«Eh? Ma poi, cosa significa? Radice di uno è uno, fine del problema».
«Eh, magari. Allora, per prima cosa per radice dell'unità si intende qualunque numero che sia soluzione dell'equazione xn = 1. Per essere più precisi, quei numeri si chiamano radici n-esime dell'unità».
«E dai, ma perché usi il plurale? Ah, no, aspetta, ho capito, quando n è un numero pari anche -1 è soluzione dell'equazione. Quando n è dispari però no. Anche se io insisto sul fatto che radice di uno sia uguale a uno, e basta».
«Vero, radice di uno è uno. Ed è anche vero che se n è pari, allora -1 elevato alla n è uguale a 1, ma noi ora ci mettiamo nei numeri complessi».
«Uhm. Quella roba con la i?».
«Esatto».
«Con i2 = -1?».
«Proprio quelli. Ti ricordi quando abbiamo esteso i numeri razionali introducendo radici di numeri che non sono quadrati perfetti?».
«Sì, avevamo ad esempio creato numeri del tipo a+b√2».
«Giusto. Ora, quello che si fa per creare i numeri complessi è la stessa cosa: si aggiunge i al campo dei numeri reali, e si ottengono numeri del tipo a+bi».
«Che formano un campo pure loro?».
«Certo, non cambia nulla rispetto a quanto abbiamo detto quando abbiamo esteso i razionali con le radici. Ora utilizziamo uno strumento molto comodo per visualizzare i numeri complessi: il piano complesso».
«Se ben ricordo, è come il piano cartesiano».
«Sì, solo che invece di avere un asse delle x e uno delle y, ha un asse reale e un asse immaginario. Se il numero che vuoi rappresentare è a+bi, allora metti in ascissa a e in ordinata b».
«Come se io volessi rappresentare il punto (a,b)».
«Proprio così. Ora torniamo alle radici n-esime dell'unità: in campo complesso sono sempre n».
«Mh, io ne vedo una sola, al massimo due».
«Per capire come mai ce ne siano n, bisogna che parliamo un momento dei due modi di rappresentare un numero complesso su un piano. Uno è quello che abbiamo detto poco fa, il numero a+bi diventa il punto (a,b)».
«E l'altro?».
«L'altro non usa le coordinate cartesiane, ma quelle polari. Invece di dirti “muoviti in orizzontale di a e in verticale di b”, ti dice “ruota di un certo angolo θ rispetto all'orizzontale e cammina di una certa lunghezza ρ”».
«Ok, mi pare di aver capito. Servono sempre due numeri».
«Sì, i numeri complessi stanno su un piano, quindi servono sempre due numeri per definirli».
«E perché ci piace questa forma polare?».
«Perché gode di una interessante proprietà che riguarda le potenze. Se tu vuoi elevare alla n un certo numero complesso, ti basta elevare alla n la sua lunghezza ρ (che si chiama modulo) e moltiplicare per n il suo angolo θ (che si chiama argomento)».
«Ah, quindi in un certo senso questi numeri ruotano nel piano».
«Sì, esatto. Allora, per fare la radice n-esima, ti basta fare il contrario: fai la radice n-esima del modulo e dividi per n l'argomento».
«E questo mi serve per le radici dell'unità?».
«Sì, ora ti spiego. Per prima cosa, l'unità ha modulo uguale a 1, quindi se la elevi o se ne estrai la radice, il suo modulo rimane tale e quale».
«Ok, fin qua ci sono. Quindi ci rimane da ragionare sulle rotazioni».
«Sì. Partiamo da un esempio semplice: avevi detto che 1 e -1 sono radici quadrate dell'unità».
«Vero».
«Questo significa che se le eleviamo al quadrato, otteniamo 1. Allora, se vogliamo verificare la proprietà che ti ho raccontato prima, dobbiamo rappresentarle sul piano complesso e raddoppiare il loro argomento».
«E fare il quadrato del modulo».
«Ma il modulo è uguale a 1, quindi rimane 1».
«Giusto. Bé, se considero 1, quello ha argomento uguale a zero».
«E se moltiplichi zero per due rimane zero. Quindi la radice 1 al quadrato fa effettivamente 1».
«Se prendo -1, invece, quello ha argomento uguale a 180 gradi».
«Esatto. Se moltiplichi per due l'argomento, cosa ottieni?».
«Ottengo 360 gradi, che è come dire 0 gradi. Quindi anche -1 al quadrato fa 1. Ok, ci sono».
«Se osservi la figura, il punto rosso rappresenta il numero -1. Se lo elevi al quadrato, raddoppi il suo argomento: fai cioè fare un altro mezzo giro al punto, portandolo sul punto blu, che è 1».
«Ho capito. Ancora non riesco a capire, però, perché ci debbano essere n radici n-esime. Se prendo n = 3, dovrei avere tre radici cubiche, ma io ne vedo solo una, quella ovvia, cioè 1. Dove sono le altre due?».
«Te le faccio vedere».
«Uh, fammi capire».
«Nella figura vedi tre punti. Quello blu è il solito 1, non abbiamo bisogno di verificare che 1 alla terza fa 1».
«Ok».
«Quelle rosse sono le altre due radici dell'unità. Cioè sono altri due numeri che, elevati alla terza, danno 1. I segmenti tratteggiati servono solo per capire che le tre radici si trovano sui vertici di un triangolo equilatero, non servono per il calcolo».
«Allora, l'argomento di A dovrebbe essere 120 gradi, giusto?».
«Giusto. Se elevi A alla terza, come dovresti modificare il suo argomento?».
«Dovrei moltiplicarlo per tre, e 120 moltiplicato 3 fa 360, quindi vado a finire sul punto blu. Perfetto, anche A elevato alla terza fa 1. E B, invece?».
«Qual è l'argomento di B?».
«Uhm, 240 gradi?».
«Sì, che moltiplicato per 3…».
«…fa 720 gradi! Ho capito, faccio due giri e torno su 1. Bello!».
«Con un po' di calcoli che ti risparmio, si possono calcolare sia la parte reale che quella immaginaria di A e B».
«Dimmi come risultano».
«Ecco qua:».
«Bruttine».
«Sì, ma se provi ad elevare alla terza, risulta proprio 1 in entrambi i casi».
«E allora per le radici quarte avrò un quadrato?».
«Certo. Quali sono i numeri complessi che elevati alla quarta danno 1?».
«Allora, vediamo 1 e -1 di sicuro».
«Poi?».
«Forse i? Fammi pensare: i alla seconda fa -1, quindi alla quarta fa (-1)2, cioè 1. Ho capito, le altre due radici sono i e -i».
«Ottimo. Eccole rappresentate sul piano complesso».
«Ah, ma certo, gli angoli sono di 90, 180 e 270 gradi. Se moltiplico per 4, arrivo sempre su 1».
«Sì, facendo un giro solo nel caso di i, due giri nel caso di -1 e tre giri nel caso di -i».
«E quindi tutte le radici dell'unità si possono trovare disegnando un poligono regolare?».
«Esatto. E qui ritrovi anche il risultato che avevi anticipato tu: se il poligono ha un numero pari di lati, un vertice cade su -1, altrimenti no. Questo significa che le radici n-esime dell'unità sono tutte complesse tranne una, se n è dispari, mentre sono tutte complesse tranne due, se n è pari».
«E quelle due sono 1 e -1. Perfetto, ho capito. Ma perché abbiamo parlato di questo argomento?».
«Per introdurre un ultimo argomento che stava a cuore ai greci: la costruzione di poligoni regolari mediante l'uso della riga e del compasso».
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