«Ora vediamo alcuni risultati algebrici utili per capire come funziona la faccenda della costruzione dei poligoni regolari con riga e compasso. Abbiamo già detto che queste costruzioni sono legate alle quattro operazioni e alla radice quadrata».
«Giusto».
«Ora siamo interessati a capire quali equazioni hanno radici costruibili con riga e compasso».
«Quelle di secondo grado, no?».
«Certo, ma non solo».
«Ma abbiamo visto che le radici cubiche non sono costruibili, quindi se aumenti il grado dell'equazione e passi al terzo, non costruisci più niente».
«Dimentichi, ad esempio, equazioni del tipo x3-1 = 0».
«Ah, già. Le tre radici cubiche dell'unità si costruiscono. Uhm, mi sfugge qualcosa».
«Il fatto è che l'equazione x3-1 = 0 è riducibile».
«Cioè?».
«Cioè si scompone nel prodotto di una equazione di primo grado con una di secondo grado».
«Ah, già. Se l'equazione si riduce, non è più necessaria la costruzione di radici cubiche».
«Esatto. Il risultato generale che ci interessa è il seguente: le radici di una equazione irriducibile si possono esprimere in termini delle quattro operazioni e della radice quadrata solo se l'equazione è di grado n =2h, con h maggiore o uguale di zero».
«Ah, quindi possiamo avere anche gradi alti».
«Sì, purché siano potenze di due vere, cioè non riducibili in gradi più bassi, che magari possono essere numeri diversi da potenze di due».
«Ok. Ecco perché si possono costruire le soluzioni di x3-1 = 0, perché si può scomporre in una equazione di primo grado e in una di grado 2 irriducibile».
«Proprio così. Ora vediamo come applicare questo risultato ai poligoni regolari: abbiamo detto che, per costruirne uno, bisogna saper costruire le soluzioni dell'equazione xn-1 = 0».
«Che però è sempre riducibile».
«Sì, si riduce sempre nel prodotto dell'equazione di primo grado x-1 = 0 e nell'equazione ciclotomica di grado n-1».
«Quindi dobbiamo capire come si comporta l'equazione ciclotomica».
«Ecco il teorema che ci interessa: un poligono di n lati è costruibile solo se l'equazione ciclotomica è irriducibile, e di grado 2h».
«E quindi il poligono avrà 2h lati».
«No, dimentichi la soluzione ovvia x = 1: il poligono avrà 2h+1 lati».
«Ah, già».
«E quindi vorremmo sapere quando l'equazione ciclotomica è riducibile, e quando non lo è».
«Lo sappiamo?».
«Sì, eccoti un altro teorema: se n = 2h+1 è un numero primo, allora l'equazione ciclotomica è irriducibile, se invece n non è un numero primo, allora l'equazione è riducibile e il poligono non si può costruire».
«Ma dai, c'entrano i numeri primi anche qua? Incredibile».
«Bello, eh?».
Nessun commento:
Posta un commento