mercoledì 3 agosto 2011

I greci non erano normali — 17: poligoni costruibili dai greci

«I greci sapevano costruire poligoni regolari di 2n (con n qualunque naturale), 3 e 5 lati».

«Mh, non sono sicuro di saperlo fare».

«Per quanto riguarda i poligoni di 2n lati, ti basta saper fare la bisettrice di un angolo. Tracci un diametro di una circonferenza, e hai un poligono di 2 lati».

«Che non esiste».

«Infatti, è un segmento, ma se lo chiamiamo poligono non abbiamo bisogno di specificare che n deve essere maggiore di 1».

«Ma dai».

«Trucchi da Vero Matematico».

«Lasciamo stare…».

«E se poi comincio a costruire bisettrici, ottengo poligoni di 4, 8, 16 lati, eccetera».

«Va bene. Per quanto riguarda i 3 lati, cioè il triangolo equilatero, direi di sapere come si fa».

«Vediamo».

«Ecco qua».



«Ottimo. Parti da un punto su una circonferenza, e con apertura uguale al raggio tracci un po' di punti».

«Se vado avanti, riesco a costruire anche un esagono».

«Certo, dopo parliamo di questo fatto, ora rimane il pentagono».

«Ecco, il pentagono proprio non so farlo».

«Mi autocito dicendoti che il lato del decagono è la sezione aurea del raggio della circonferenza».

«E dato che la sezione aurea è (√5-1)/2, possiamo costruirla con riga e compasso».

«Perfetto. E se sai costruire un decagono, sai anche costruire un pentagono, basta prendere un vertice sì e uno no».

«Ok».

«Ecco, un altro risultato interessante ottenuto dai greci è questo: se sai costruire due poligoni, uno di a lati, uno di b lati, con a e b primi tra loro, sai costruire anche un poligono di ab lati».

«E come si fa?».

«Mi autocito di nuovo: con l'algoritmo di Euclide».

«Uhm».

«Facciamo un esempio facile, consideriamo il poligono di 15 lati».

«So costruire quello di 3 e quello di 5 lati, e 3 e 5 sono primi tra loro».

«Bene. L'algoritmo di Euclide ci permette di trovare due numeri k e l tali che ka+lb = 1, se a e b sono primi tra loro».

«Nel nostro caso, 3k+5= 1».

«Sì, e non c'è nemmeno bisogno dell'algoritmo di Euclide per trovare i valori di k e di l».

«Uhm, no?».

«Bé, non è difficile: = 2 e = -1».

«Ah, già. Risulta 6-5, che fa 1, sì».

«Allora, costruire un poligono di a lati significa costruire un angolo al centro di 360/a gradi».

«Giusto. E col poligono di b lati costruisco un angolo al centro di 360/b gradi».

«Ora possiamo costruire dei multipli di questi angoli, affiancandoli più volte».

«Certo».

«Quindi costruiamo 360l/a e 360k/b».

«Ok».

«E li affianchiamo. Cosa otteniamo?».

«Un angolo al centro pari a 360l/a+360k/b».

«Fai il denominatore comune».

«(360lb+360ka)/(ab)».

«Cioè 360(ka+lb)/(ab)».

«E dato che ka+lb fa 1, ho costruito un angolo al centro di 360/(ab) gradi».

«Cioè il lato di un poligono di ab lati».

«Bello».

«Quindi, riassumendo, i greci sapevano costruire poligoni con 2n3r5s, con n non negativo e r e s uguali a 0 oppure a 1».

«E basta?».

«Basta».

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