«Ecco la fiera con la coda aguzza,
che passa i monti, e rompe i muri e l’armi!
Ecco colei che tutto ’l mondo appuzza!».
“Si comincia benissimo”.
“Visto? Il mostro annunciato alla fine del canto precedente ora è arrivato: è Gerione, un demone puzzolente, immagine dell'inganno”.
“In che senso?”.
“Ha la faccia di un uomo giusto, rassicurante, ma il corpo di serpente”.
“Ah”.
“Due zampe pelose, mentre il dorso, il petto e i fianchi sono dipinti con nodi e rotelle”.
“Ah, i tatuaggi sui fianchi, diciamo così, sono tornati di moda però”.
“Certo. Gerione ha poi una lunga coda che guizza nel vuoto, coda che termina con un pungiglione”.
“Naturalmente”.
“E Gerione è il traghettatore che i due poeti dovranno prendere per scendere dal burrone sul quale si trovano”.
“Dante non ne sarà felice”.
“Neanche un po'. Prima, però, Dante scambia qualche parola con un gruppo di dannati seduti sulla sabbia, che cercano di ripararsi dalla pioggia di fuoco”.
“Chi sono?”.
“Sono gli usurai, che nella tassonomia dell'Inferno sono collocati qui perché sono violenti contro Dio nell'operosità umana”.
“Cosa significa?”.
“Significa che si sono arricchiti non grazie al duro lavoro, come dovrebbe fare ogni buon cristiano, ma grazie al denaro”.
“Finalmente un peccato su cui siamo d'accordo”.
“Davvero? Cosa intendiamo per usura?”.
“Ma certo che è vero! L'usura è una colpa tremenda”.
“Dammi una definizione”.
“Beh, è quando richiedi per un prestito un interesse eccessivo”.
“Sai che un Vero Matematico ha bisogno di definizioni precise: quanto è eccessivo?”.
“Oh, santo cielo. Il codice penale italiano prevede il delitto di usura, via”.
“Sì, e dice che il tasso da considerare come eccessivo è stabilito dalla legge. Attualmente il limite oltre il quale gli interessi sono ritenuti usurari è calcolato aumentando il Tasso Effettivo Globale Medio di un quarto, cui si aggiunge un margine di ulteriori quattro punti percentuali. La differenza tra il limite e il tasso medio non può essere superiore a otto punti percentuali”.
“Santo cielo”.
“E come in tutti i confini, c'è sempre il problema di chi ci abita vicino e li considera artificiali: basta un centesimo di meno perché il tasso sia lecito, basta un centesimo di più e il prestito diventa usura, e si va in galera”.
“Eh, sì, tracciare confini netti pone sempre dei problemi. Chissà dov'era quel confine ai tempi di Dante”.
“Oh, qui la risposta è molto facile: il confine era a zero”.
“Zero?”.
“Sì: qualunque interesse era considerato usura. Il denaro è sterile, non può produrre frutti: far fare frutti al denaro è un peccato contro la natura stessa, cioè contro Dio”.
“Accidenti. Sai però che, quasi quasi…”.
“Eh eh”.
“Questa idea risolverebbe un po' di problemi”.
“Eh. Diciamo che ai tempi di Dante avevano risolto drasticamente il paradosso del sorite”.
“Di quello che vuoi. Una formulazione classica del paradosso prevede di avere a che fare con un mucchio di sabbia, ma noi possiamo immaginarci un mucchio di soldi, come nel deposito di Zio Paperone”.
“Ok, e cosa ci facciamo con questo mucchio? Oltre ai tuffi, come faceva Zio Paperone”.
“Beh, possiamo certamente classificare Zio Paperone come un riccone, vero? Il suo patrimonio è tanto, un mucchio di soldi”.
“Sicuramente”.
“E se noi togliamo una monetina dal mucchio, quello rimane un mucchio”.
“Sì, anche se Zio Paperone non sarebbe contento”.
“E anche se togliamo una seconda moneta dal mucchio, il mucchio rimane tale”.
“Un po' più piccolo”.
“Certo, ma ancora un bel mucchio. E se continuiamo così?”.
“Eh, pian piano cala e poi sparisce”.
“Esatto. E in quale istante il mucchio non è più mucchio? Quando perde la caratteristica di essere mucchio? La sua mucchiosità?”.
“Eh, boh, non si può mica dire”.
“E così eccoci al paradosso: a un certo punto il mucchio non è più mucchio, ma non possiamo stabilire quando. Qualsiasi confine noi mettiamo diventa arbitrario: possiamo stabilirlo per legge, possiamo tirare una riga a un certo punto, ma non ci sono motivi per preferire un momento rispetto a un altro. La logica binaria qua non funziona, ci accorgiamo che non ci basta dire ora sì e ora no, ma ci servono valori intermedi”.
“Una logica a tre valori?”.
“Osiamo di più: una logica a infiniti valori. Una logica in cui tra 0 e 1 ci sono tutti i valori possibili, tutti i numeri reali”.
“Al contrario, un'idea con molto senso e molte applicazioni pratiche”.
“Per esempio?”.
“Per esempio un impianto di riscaldamento, o raffreddamento. Hai presente quei termostati che attaccano e staccano l'impianto quando si supera una certa temperatura?”.
“Certo. In quel caso c'è un confine, se lo superi accendi, se non lo superi spegni, o viceversa, dipende se vuoi scaldare o raffreddare”.
“Esatto. In casa c'è caldissimo, accendo il condizionatore, la temperatura scende, poi arrivo a una certa soglia e clic, l'impianto si spegne. Pian piano la casa si riscalda e se supero la temperatura, riparte l'impianto. Non molto simpatico per chi sta sotto il soffio dell'aria fredda”.
“Eh vabbé, pazienza, si sposterà”.
“Ma se prendiamo un sistema moderno, con inverter e regolazioni più sofisticate, non abbiamo solo due situazioni: o aria fredda a palla oppure niente aria fredda. Quando la temperatura ambiente sta per raggiungere la temperatura richiesta, allora il flusso d'aria diminuisce ma senza che si spenga completamente. Non c'è più una logica a solo due valori, acceso e spento”.
“Ah, ci sono valori intermedi, giusto! Motore acceso al cinquanta per cento, per esempio”.
“O qualunque altra percentuale, volendo”.
“Ottimo”.
“Questo è il paradosso del sorite: se usiamo una logica a due valori, un mucchio che cala a un certo punto non sarà più un mucchio, ma non siamo in grado di dire in quale istante preciso esso perda la propria caratteristica di mucchio”.
“Con una logica sfumata potremmo parlare di mezzo mucchio, di mucchietto, e così via”.
“Esatto. L'alternativa è fare come Dante con gli usurai”.
“Cioè tutto è mucchio, a meno che la sabbia non se ne sia andata completamente”.
“Questa gente che non è fiorentina, che non conosce le nostre usanze e le nostre tradizioni! Cosa viene a fare qui?”.
“Ma chi? Ma cosa?”.
“Questi extracittadini, che vengono qua e rovinano il clima della nostra bella città!”.
“Ma che città? Cosa stai dicendo?”.
“Vengono da fuori, sono alteri, boriosi, sono dei parvenu”.
“Vabè, quando hai finito poi mi spieghi”.
“Ho finito: stavo parafrasando uno dei temi del sedicesimo canto dell'Inferno”.
“L'invasione degli stranieri? La sostituzione etnica? Il crollo delle tradizioni?”.
“Esatto”.
“Ma di chi stiamo parlando?”.
“Dei contadini che abitano fuori Firenze e che, forti dei loro improvvisi guadagni vengono in città e fanno il bello e il cattivo tempo, rovinando la nostra bella città! Prima i fiorentini!”.
“Ma dai, Dante dice questa roba?”.
“Eh sì, nel sedicesimo canto, incontrando dei suoi concittadini”.
“Concittadini che sono all'Inferno, quindi non sono proprio degli stinchi di santo. Che peccato hanno commesso?”.
“Hanno peccato contro natura”.
“Ah. Meglio non commentare”.
“Uno di loro si giustifica, però”.
“In che modo?”.
“Così:”.
E io, che posto son con loro in croce,
Iacopo Rusticucci fui; e certo
la fiera moglie più ch’altro mi nuoce
“Capisco bene? Colpa della moglie?”.
“Capisci bene. Del resto, se uno ha una fiera moglie è facile che prenda la navicella e si diriga verso l'altra sponda”.
“Ma santo cielo”.
“Assieme a Iacopo Rusticucci ci sono anche Guido Guerra e Tegghiaio Aldobrandi”.
“Nomi decisamente fiorentini”.
“Dialogando con Dante, questi poveretti gli domandano se a Firenze albergano ancora cortesia e valore”.
“E Dante dice di no?”.
“Dice di no, per colpa di questi stranieri che vengono nella nostra bella città e…”.
“Ho capito, ho capito”.
“Dante lo dice così:”.
La gente nuova e i sùbiti guadagni
orgoglio e dismisura han generata,
Fiorenza, in te, sì che tu già ten piagni
“E la gente nuova sono i contadini che abitano in periferia”.
“Eh sì”.
“Benissimo. Abbiamo anche qualcosa di scientifico in questo canto, oltre a queste invettive?”.
“Eh, il canto è dedicato per buona parte ai tre disgraziati e alla povera Firenze, ma nel finale si riscatta, ed è dal finale che prendiamo spunto”.
“Cosa succede nel finale?”.
“Nel finale i due poeti devono scendere verso il fondo dell'inferno, ma la strada non è semplice. Il Flegetonte si getta verso il basso con una cascata, e il sentiero si interrompe. Allora Virgilio esegue una strana manovra: si fa dare da Dante la cintura e la getta in fondo al burrone, come se questo fosse un segnale convenuto tra lui e qualcun altro”.
“E che succede? A parte il fatto che Virgilio avrebbe potuto gettare la sua cintura, invece che quella di Dante”.
“Succede una cosa molto strana, tanto che Dante impiega un certo numero di versi per assicurare al lettore che non sta dicendo cose inventate, che è tutto vero, anche se molto strano. Insomma, crea un po' di hype”.
“E poi?”.
“E poi arriva”.
“Ma chi?”.
“Arriva uan figura dal basso, che sembra nuotare nell'aria”.
“E chi è?”.
“Uno che fa meravigliare anche il cuore più coraggioso:”.
[ch’]i’ vidi per quell’aere grosso e scuro
venir notando una figura in suso,
maravigliosa ad ogne cor sicuro,
sì come torna colui che va giuso
talora a solver l’àncora ch’aggrappa
o scoglio o altro che nel mare è chiuso,
che ’n sù si stende, e da piè si rattrappa.
“Una figura che nuota nell'aria?”.
“Esatto, e per questo parliamo di nuoto”.
“E tutta questa storia per parlare di nuoto?”.
“Avresti preferito parlare dell'invasione della nostra sacra patria?”.
“Nono, va benissimo il nuoto”.
“Ottimo. Dunque, perché galleggiamo, quando siamo capaci di galleggiare?”.
“Per il principio di Archimede, direi”.
“Esatto: un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l'alto pari al peso del volume del fluido spostato. Ma questa è la versione facile”.
“In che senso?”.
“Nel senso che se il corpo è puntiforme va tutto bene, ma se non lo è bisogna capire qualcosa di più”.
“Ah, cosa?”.
“Sul corpo immerso agisce la forza di gravità, che possiamo pensare applicata nel centro di massa del corpo”.
“Il baricentro”.
“Quello. Anche la forza di Archimede è applicata in un centro di massa, ma non in quello del corpo sollevato, ma in quello del fluido spostato”.
“Ah”.
“Ed ecco che succedono cose nuove: immagina il nuotatore steso in acqua, orizzontalmente, con le mani avanti, le gambe tese, che tenta di galleggiare. La parte superiore dell'uomo è più leggera rispetto alla parte inferiore: i nostri arti inferiori devono sostenere il nostro peso, le gambe ci servono per camminare o correre, poi ci sono gli organi interni, e così via. In alto abbiamo solo la testa, che dovrebbe essere almeno un po' pesante e non piena d'aria, ma anche se stendiamo le braccia verso l'alto il nostro centro di massa è comunque più spostato verso i piedi”.
“E quindi?”.
“Quindi, siccome invece il centro di gravità dell'acqua che spostiamo è più in alto, la forza di Archimede e la forza di gravità non agiscono sullo stesso punto del nostro corpo, e noi percepiamo una rotazione: cerchiamo di stare orizzontali sulla superficie dell'acqua, ma i nostri piedi vanno in basso. Nel ruotare, i due centri di applicazione si spostano e, quando si trovano uno sulla verticale dell'altro, la rotazione si interrompe”.
“Ma con i piedi un po' affondati si nuota male”.
“Esatto, e quindi i nuotatori devono imparare a nuotare minimizzando la dispersione di energia, perché un corpo mezzo affondato deve vincere una forza di attrito maggiore. Per esempio, devono tenere la testa sott'acqua per più tempo possibile, in modo da sfruttare meglio la spinta di Archimede e da spostare un po' in avanti il loro centro di massa”.
“Ah, potrebbero nuotare sempre sott'acqua, a questo punto”.
“E infatti nel 1956 un nuotatore a rana giapponese vinse la medaglia d'oro inventando una nuova tecnica: dopo il tuffo iniziale non riemerse più, se non negli ultimi 5 metri”.
“Accidenti, un'intera vasca sott'acqua?”.
“Sì, quasi intera: poi riemergeva negli ultimi 5 metri, prendeva fiato, faceva la virata e tornava sotto: il regolamento lo permetteva”.
“Uno sforzo sovrumano”.
“E infatti molti nuotatori soffrivano molto, qualcuno si fermava senza fiato, qualcuno sveniva”.
“Non è mica bello svenire sott'acqua”.
“Infatti. A quel punto la federazione internazionale ha cambiato il regolamento, ponendo un limite alla distanza massima percorribile sott'acqua e obbligando il nuotatore a far emergere la testa fuori dall'acqua dopo ogni bracciata. Ma tutto questo è inutile, se poi non si spinge”.
“Beh, ovvio, muovendo gambe e braccia”.
“Certo. Il principio che permette a un corpo di muoversi in un fluido è quello di azione e reazione”.
“Ok”.
“L'acqua non offre appigli, e quindi cosa fa il nuotatore? Semplicemente, per modo di dire, la sposta. Il nuotatore, insomma, non spinge sé stesso, ma spinge via l'acqua, in direzione opposta a quella del movimento che vuole ottenere”.
“Quando un corpo A esercita una forza su un corpo B, anche il corpo B esercita la stessa forza sul corpo A”.
“Giusto: il nuotatore esercita una forza sull'acqua, spingendola indietro, e l'acqua restituisce il favore spingendo il nuotatore in avanti. Succede la stessa cosa nei razzi, ad esempio: il razzo espelle a gran velocità i gas di combustione verso il basso, e in cambio riceve una spinta verso l'alto”.
“Bello”.
“E si può scegliere: il nuotatore potrebbe spingere poca acqua a grande velocità, oppure molta acqua a bassa velocità, ottenendo lo stesso effetto”.
“E quale è meglio?”.
“Il secondo: muovere acqua a grande velocità produce turbolenze, aumenta gli attriti, e alla fine fa perdere energia. Meglio muovere molta acqua a velocità più bassa”.
“Come quando si usano le pinne?”.
“Esatto. Ci può essere anche un altro modo per limitare gli attriti: cercare di fare scorrere l'acqua nella maniera più liscia possibile, in modo che crei meno turbolenze possibile passando aderente al corpo”.
“E come si fa?”.
“Intanto ci si depila: i nuotatori sono sempre liscissimi”.
“Ecco”.
“Oppure si usa un materiale che ricopre la pelle e offre un attrito minore. Fino a qualche anno fa si usavano costumi speciali interi, che coprivano braccia e gambe, e che hanno permesso di superare molti record. Poi sono stati vietati”.
“Ah”.
“Anche se, per prima cosa, il regolamento internazionale specifica che i costumi devono essere rispettosi del comune senso del pudore”.
“Benissimo”.
“E come seconda cosa specifica che non possono essere trasparenti”.
“Perfetto”.
“Più avanti, specifica che devono essere filati di natura tessile, naturale o sintetica. Non impermeabili, che non aiutino nel galleggiamento, che non scendano sotto al ginocchio, che non coprano le braccia, e altre cose ancora.”.
“Che roba”.
“Eh, stilare un regolamento tecnico non deve essere semplice. Chissà che costume avrà il personaggio atteso da Dante e Virgilio”.
Quali Fiamminghi tra Guizzante e Bruggia,
temendo ’l fiotto che ’nver lor s’avventa,
fanno lo schermo perché ’l mar si fuggia;
e quali Padoan lungo la Brenta,
per difender lor ville e lor castelli,
anzi che Carentana il caldo senta:
a tale imagine eran fatti quelli,
tutto che né sì alti né sì grossi,
qual che si fosse, lo maestro felli.
“Eccoci”.
“Siamo nel canto XV, quello completamente dedicato a Brunetto Latini e all'ingrato popolo dei fiorentini”.
“Poveri fiorentini”.
“Ma non parliamo di questo: è difficile trovare qualche aspetto scientifico in questo canto, che è tutto un celebrare l'antico maestro e un profetizzare a Dante qualche sventura. Ci salva però la breve parte iniziale, in cui Dante spiega che il percorso che sta seguendo con Virgilio ora percorre un argine del Flegetonte, di cui osserva la forma”.
“Ah, un argine come quelli fiamminghi”.
“Sì. Dante cita Guizzante, che è Wissant, in Francia, e Bruggia, che è Bruges, in Belgio”.
“Vedo che cita anche il Brenta”.
“Sì, gli argini che i padovani hanno costruito lungo il Brenta. Così sono gli argini del Flegetonte, sul quale stanno camminando Dante e Virgilio, anche se non così alti e così grossi. E qui arriviamo al punto: perché gli argini devono essere alti e grossi?”.
“Beh, per evitare che l'acqua passi dall'altra parte”.
“O il sangue, nel caso del Flegetonte”.
“Va bene”.
“E perché anche grossi?”.
“Perché l'acqua spinge con forza”.
“Ma se hai presente come sono fatti gli argini e le dighe, non sono costruiti con uno spessore costante: sono più grossi in fondo”.
“Vero. Sarà perché l'acqua spinge con più forza in fondo?”.
“Esatto. La legge fisica di cui stiamo parlando si chiama legge di Stevino”.
“Mi pare di ricordare qualcosa”.
“Il nome è una italianizzazione, come al solito. Il nome originale è Simon Stevin e, guarda un po', era un matematico nato a Bruges”.
“Che, del resto, non è il vero nome della città”.
“Esatto, in olandese è Brugge”.
“Che assomiglia un po' di più al dantesco Bruggia”.
“E il cerchio si chiude. Ora, la legge di Stevino/Stevin dice che la pressione in un liquido incomprimibile è direttamente proporzionale alla profondità”.
“Più vai sotto, più c'è pressione”.
“Esatto. La pressione è proporzionale anche alla densità del liquido e all'accelerazione di gravità. Questo è il motivo per cui le dighe sono più larghe in fondo: devono sopportare una pressione maggiore”.
“Mi sembra una legge abbastanza semplice da capire”.
“Sì. Sarebbe diverso se il liquido (o, per meglio dire, il fluido) fosse comprimibile, come l'aria. In quel caso non avremmo più una legge lineare, perché il peso della colonna di fluido comprime il fluido stesso aumentandone la densità: è quello che succede con l'atmosfera terrestre, per esempio”.
“Quindi se noi saliamo in montagna misuriamo un calo di pressione che però non varia linearmente con l'altitudine?”.
“No, in quel caso c'è una legge esponenziale. Un altro aspetto di cui tenere conto, poi, è che la pressione dipende anche dalla densità del liquido: se ti immergi nel mercurio subisci un aumento di pressione maggiore”.
“Certo, se mi immergo nel mercurio forse devo preoccuparmi di qualcos'altro”.
“Sì, vero, l'esempio del mercurio era legato al barometro a mercurio”.
“Ah”.
“Che misura la pressione atmosferica con una colonna di mercurio: la colonna d'aria, fluido a bassa densità, è equilibrata da una colonna di mercurio non esageratamente alta: 760 millimetri”.
“Ah, vero, un tempo la pressione si misurava in millimetri di mercurio!”.
“Esatto. Se volessimo costruire un barometro ad acqua, dovremmo fare una colonna d'acqua alta 10.33 metri”.
“Un po' scomodo”.
“E se invece avessimo un lago di mercurio, dovremmo costruire delle dighe molto più larghe, sul fondo, rispetto alle nostre, altrimenti verrebbero travolte”.
“Per fortuna non abbiamo laghi di mercurio. Nemmeno a Dante è venuto in mente un Inferno con laghi di mercurio”.
“No, lui aveva un fiume di sangue. Ma, per fortuna, la densità del sangue è simile a quella dell'acqua, e quindi le dighe degli olandesi funzionerebbero bene”.
“Per fortuna, non mi piacerebbe assistere a uno tsunami di sangue”.
“Chi sono i poveretti che subiscono questa pena?”.
“Sono i violenti contro Dio. Siamo in una zona sabbiosa, simile a un deserto; i violenti sono sdraiati, seduti o camminano a seconda del loro specifico peccato”.
“In che senso?”.
“Puoi essere violento contro Dio perché sei un bestemmiatore, e in quel caso sarai sdraiato. Oppure puoi essere violento contro Dio perché sei un usuraio…”.
“Cosa c'entra Dio con gli usurai?”.
“Ne parleremo approfonditamente più avanti. Per ora diciamo solo che un usuraio non lavora per guadagnare, mentre Dio ha fornito l'uomo dell'operosità perché con essa si guadagni da vivere. Dunque, se ti arricchisci tramite il denaro e non tramite il lavoro, hai peccato contro Dio”.
“Non so se scuotere la testa o applaudire”.
“Eh. E poi ci sono i sodomiti, peccatori contro Natura e quindi contro Dio”.
“Poveracci”.
“Su tutti, piove fuoco”.
Sovra tutto ’l sabbion, d’un cader lento,
piovean di foco dilatate falde,
come di neve in alpe sanza vento.
“Una bella nevicata calda”.
“E qui abbiamo una prima osservazione naturale: la caduta della neve è più lenta della caduta della pioggia. Verticale, perché non c'è vento, e inesorabile”.
“Quell'ultimo verso descrive bene tutto. Ma, invece della pace della neve, c'è il tormento del fuoco”.
“Esatto. Ma andiamo avanti: dopo un incontro con Capaneo, uno dei sette re che assediarono Tebe, superbo odiatore di Dio, i due poeti incontrano un ruscello”.
Tacendo divenimmo là ’ve spiccia
fuor de la selva un picciol fiumicello,
lo cui rossore ancor mi raccapriccia.
Quale del Bulicame esce ruscello
che parton poi tra lor le peccatrici,
tal per la rena giù sen giva quello.
“Acqua rossa?”.
“Sangue”.
“Ah, certo. E il Bulicame cos'è?”.
“Una fonte d'acqua sulfurea che si trova vicino a Viterbo. Mi piace molto il verso successivo, che sembra una annotazione inutile: quell'acqua veniva suddivisa tra le peccatrici, cioè le prostitute, che la usavano per lavarsi”.
“Perché ti piace?”.
“Perché anche qua con una riga in più riusciamo a visualizzare la scena, e poi perché tra tutti gli esempi che Dante avrebbe potuto trovare, ha scelto proprio le peccatrici, come se fosse loro affezionato. E non sto facendo allusioni, dico davvero. E infine perché questo è un ottimo servizio antibufala nei confronti di chi dice che nel medioevo erano tutti sporchi e non si lavavano mai”.
“Benissimo”.
“Segue poi una spiegazione tutt'altro che scientifica sulle origini dei fiumi infernali”.
“Inventata? Sbagliata?”.
“Richiama un passo della Bibbia, ma non ha nulla di scientifico. Si tratta di mitologia, insomma, ma leggiamo lo stesso. Virgilio comincia la spiegazione così:”.
«In mezzo mar siede un paese guasto»,
diss’elli allora, «che s’appella Creta,
sotto ’l cui rege fu già ’l mondo casto.
Una montagna v’è che già fu lieta
d’acqua e di fronde, che si chiamò Ida:
or è diserta come cosa vieta.
Rea la scelse già per cuna fida
del suo figliuolo, e per celarlo meglio,
quando piangea, vi facea far le grida.
“Parla di Creta?”.
“Sì. Ora Creta è andata in rovina, ma anticamente era casta, o innocente, o perfetta e paradisiaca, se vogliamo. Sull'isola c'è una montagna, Ida, che un tempo era ricca di corsi d'acqua e di boschi, e Rea la scelse come nascondiglio per suo figlio Giove. Ma andiamo avanti, perché dentro al monte Ida c'era qualcosa”.
Dentro dal monte sta dritto un gran veglio,
che tien volte le spalle inver’ Dammiata
e Roma guarda come suo speglio.
La sua testa è di fin oro formata,
e puro argento son le braccia e ’l petto,
poi è di rame infino a la forcata;
da indi in giuso è tutto ferro eletto,
salvo che ’l destro piede è terra cotta;
e sta ’n su quel più che ’n su l’altro, eretto.
“Un vecchio”.
“Un vecchio che guarda Roma, la cui testa è fatta d'oro, braccia e petto d'argento, rame fino all'inguine, e sotto è tutta di ferro, tranne il piede destro che è di terracotta”.
“Che delirio”.
“Ed ecco da dove nascono i fiumi:”.
Ciascuna parte, fuor che l’oro, è rotta
d’una fessura che lagrime goccia,
le quali, accolte, foran quella grotta.
Lor corso in questa valle si diroccia:
fanno Acheronte, Stige e Flegetonta;
poi sen van giù per questa stretta doccia
infin, là ove più non si dismonta,
fanno Cocito; e qual sia quello stagno
tu lo vedrai, però qui non si conta».
“Mamma mia”.
“La statua è tutta crepata, e dalle fessure escono lacrime che si raccolgono alla base e formano i fiumi: l'Acheronte, lo Stige e il Flegetonte. Le acque scendono per un canale fino al punto in cui non scendono più”.
“Eh, a un certo punto si fermeranno”.
“E laggiù formeranno il Cocito, ma per quello c'è tempo, bisogna arrivare fino al fondo dell'Inferno. E Dante, che ogni tanto fa delle domande da tontolone, ma diciamo pure che le fa per ragioni didattiche, chiede a Virgilio come mai quel fiume che hanno davanti lo incontrano soltanto adesso, quando invece esso nasce dalla statua, molto più in alto”.
“Santo cielo”.
“Eh, Virgilio infatti gli spiega che stanno girando intorno al bordo di una voragine, ma non l'hanno ancora percorso tutto, quindi è normale che non abbiano ancora visto tutto:”.
Ed elli a me: «Tu sai che ’l loco è tondo;
e tutto che tu sie venuto molto,
pur a sinistra, giù calando al fondo,
non se’ ancor per tutto il cerchio vòlto:
per che, se cosa n’apparisce nova,
non de’ addur maraviglia al tuo volto»
“Benissimo. Abbiamo letto tanto, ma qua non c'è nulla di scientifico”.
“Lo so. L'osservazione scientifica la facciamo quindi noi, a partire dalla spiegazione di Virgilio e dall'osservazione che l'acqua, come tutte le cose pesanti, cade verso il basso”.
“Sai che osservazione”.
“Eppure, soltanto nel 1847 il matematico Cauchy ha sfruttato questa osservazione per risolvere un problema che, altrimenti, non avrebbe saputo risolvere”.
“Uh, Cauchy non era mica l'ultimo arrivato”.
“Eh, no. Il problema era quello di determinare l'orbita di un corpo celeste a partire dalle sue equazioni del moto. Le equazioni di quel tipo sono molto complicate, e una risoluzione esatta spesso è impraticabile: ci sono troppe incognite da gestire e non è facile ridurle”.
“E quindi?”.
“Per semplificare le idee, supponiamo che le incognite siano solo due. Poi Cauchy dirà che anche se sono n va bene lo stesso, ma limitiamoci a due così vediamo le cose”.
“Speriamo di vederle”.
“Una funzione in una variabile è una curva (se non ci si mettono di mezzo gli analisti a inventarsi funzioni patologiche): assegni dei valori alla variabile, trovi il risultato, metti tutto su un piano cartesiano, ed ecco la curva”.
“Fin qua direi che ci siamo, sono le cose che si fanno a scuola”.
“Sì. Ora, se di variabili ne hai due, devi scegliere due valori, darli in pasto alla funzione e ottenere il risultato. I due valori li scegli su un piano, e il risultato lo puoi visualizzare come un'altezza. Insomma, una funzione in due variabili puoi immaginartela come una superficie, un lenzuolo lanciato per aria che sta per adagiarsi sul letto”.
“Uh, che immagine”.
“O, se vogliamo, una montagna”.
“Ah”.
“Ora Cauchy dice: supponiamo di essere sempre al di sopra del livello del mare, tranne che in un punto in cui arriviamo a quota zero”.
“Quel punto è la soluzione dell'equazione”.
“Esatto. Come facciamo a trovarlo?”.
“Se non sappiamo risolvere le equazioni, non saprei”.
“Facciamo come i fiumi di Dante: facciamo scorrere dell'acqua, e vediamo dove va a finire”.
“Ma dai”.
“Certo. C'è un modo semplice per calcolare la direzione di massima pendenza, che i Veri Matematici chiamano gradiente: punto per punto il gradiente è un vettore che ci indica la direzione di massima discesa (o salita, dipende dal segno che si sceglie). Seguendo le indicazioni date dal gradiente, siamo in grado di arrivare in fondo e di trovare dove la montagna arriva al livello del mare”.
“Cioè sappiamo risolvere l'equazione”.
“Esatto. Anche se bisogna sistemare un po' di cose: che succede se, invece di arrivare al mare, finiamo sul fondo di un laghetto di montagna?”.
“Uh, non va mica bene”.
“Eh, no. La soluzione consiste nello spostarsi un po' e continuare a provare a scendere. Questo metodo si chiama proprio metodo della discesa del gradiente: è come guardare una carta geografica e scendere perpendicolarmente alle isoipse”.
“Hai detto questa frase solo perché volevi dire isoipse, vero?”.
“Lo confesso. Avrei voluto dire Qual è il geometra che scende il gradiente, ma mi sembrava irrispettoso”.
“Siamo al canto tredicesimo, quello di Pier della Vigna”.
“Uh, triste argomento, i suicidi”.
“Già. Non c'è molta scienza, questa volta, ma c'è molta retorica”.
“Che a noi non interessa”.
“Potrebbe interessarci, invece. Ma prima sottolineiamo l'unica osservazione sperimentale che fa Dante, che è questa:”.
Come d’un stizzo verde ch’arso sia
da l’un de’capi, che da l’altro geme
e cigola per vento che va via,
sì de la scheggia rotta usciva insieme
parole e sangue; ond’io lasciai la cima
cadere, e stetti come l’uom che teme.
“Cosa succede qui?”.
“Succede che a Dante sembra di sentire dei lamenti ma non capisce da dove vengano, e allora Virgilio gli consiglia di strappare un ramoscello, così si chiariranno tutti i dubbi”.
“E Dante strappa il ramoscello?”.
“Sì, solo che qui i cespugli sono le anime dei dannati, e strappare un ramoscello provoca loro dolore”.
“Ma santo cielo”.
“Eh. Quindi Dante strappa il ramoscello, e osserva che sta succedendo qualcosa di simile a quando si mette un pezzo di legno verde in un fuoco, in modo che uno solo dei due estremi del pezzo sia tra le fiamme. Dall'altro estremo dopo poco cominciano a uscire acqua e vapore, a volte con un fischio”.
“Ah, vero, il fuoco trasforma i liquidi ancora contenuti nel ramo in vapore, e la pressione li fa uscire”.
“Esatto. In questo caso dal ramoscello rotto escono parole e sangue”.
“Ma povere anime”.
“E qui finisce l'osservazione scientifica. Poi ci sarebbe un altro aspetto, anche se non è molto chiaro”.
“Cioè?”.
“L'anima a cui Dante ha strappato un ramoscello si presenta con queste parole:”.
Io son colui che tenni ambo le chiavi
del cor di Federigo, e che le volsi,
serrando e diserrando, sì soavi,
che dal secreto suo quasi ogn’uom tolsi:
fede portai al glorioso offizio,
tanto ch’i’ ne perde’ li sonni e ’ polsi.
“E chi è, quindi? Colui che tenne entrambe le chiavi del cuore di Federico?”.
“Chi parla è Pier della Vigna, segretario dell'imperatore Federico II di Svevia. Lui conservava entrambe le chiavi del cuore di Federico, appunto”.
“Ma cosa significa? Due chiavi? Del cuore?”.
“Questo è il mio dubbio, infatti. Ho trovato scritto in un solo sito che qui Dante fa riferimento a forzieri sofisticati che avevano una serratura che doveva essere aperta con una chiave e chiusa con un'altra, ma non so se sia vero, non ho trovato altri riferimenti a riguardo. Mi dicono che forse si riferisce a forzieri che avevano una chiave che serviva per il deposito, e non per il prelievo, e una seconda chiave che serviva solo per prelevare, un po' come le casse continue delle banche di oggi. Ma, ancora una volta, non ho riferimenti certi. Se fosse così, sarebbe molto bello”.
“Perché?”.
“Perché ricorda un meccanismo usato nelle attuali reti informatiche”.
“Ah”.
“Io devo mandarti uno scrigno contenente un documento segreto, e non voglio che nessuno lo legga”.
“Metti un lucchetto”.
“Ma poi a te serve la chiave”.
“E allora mandamela”.
“Ma se la rubano?”.
“Mettila dentro a uno scrigno… oh”.
“Non funziona, come vedi. O ci vediamo di persona e ti passo la chiave, oppure questo sistema è poco sicuro”.
“Vediamoci di persona, allora”.
“E se non potessimo? Tu vai di persona presso tutte le sedi fisiche alle quali farai prelevare soldi dalla tua carta di credito?”.
“Eh, no”.
“Ma non tutto è perduto: io metto il documento dentro allo scrigno e lo chiudo col mio lucchetto, di cui solo io possiedo la chiave, e poi ti mando tutto”.
“Ma così non riesco ad aprirlo”.
“No, tu al momento non vuoi aprirlo, anzi. Accanto al mio lucchetto, ce ne metti uno anche tu, di cui questa volta tu hai la chiave”.
“E poi?”.
“E poi mi rimandi lo scrigno”.
“E cosa te ne fai, ora che ha due lucchetti?”.
“Ora tolgo io mio lucchetto, e ti rimando il tutto”.
“Ah! Geniale! C'è ancora il mio lucchetto, quindi nessuno può sbirciare il documento segreto. Poi io lo tolgo e, finalmente, posso leggere quello che voglio. Ma questo metodo esiste davvero?”.
“Chissà se Dante quando parlava di entrambe le chiavi parlava di un vero scrigno con due chiavi. Comunque, questo è quello che mi è venuto in mente. Per concludere, poi, c'è un terzo aspetto interessante di questo canto”.
“Quale? La retorica?”.
“Sì, ci sono alcune figure retoriche che sfruttano un po' di matematica, o di geometria”.
“Ma dai”.
“Ci vuole un po' di fantasia, ma non solo ai matematici piacciono le simmetrie, per esempio”.
“Ci sono figure retoriche che hanno a che fare con le simmetrie?”.
“Sì, per esempio quando Pier della Vigna chiede un po' di rispetto a Dante, spiega che le anime in questa parte dell'Inferno sono state tramutate in cespugli, così:”.
Uomini fummo, e or siam fatti sterpi
“E questa è una figura retorica?”.
“Un chiasmo: nella prima parte ci sono due termini, uomini e fummo, e nella seconda parte ci sono altri due termini simmetrici di questi due, cioè con i ruoli invertiti, che sono fatti e sterpi. Lo schema qui è sostantivo-verbo seguito da verbo-sostantivo. Potremmo dire SVVS, una sigla palindroma”.
“Benissimo”.
“E ai matematici le simmetrie piacciono, perché permettono di risparmiare un po' di fatica”.
“Capirai”.
“Poco prima, Dante dice”.
Cred’io ch’ei credette ch’io credesse
che tante voci uscisser, tra quei bronchi
da gente che per noi si nascondesse
“Io credevo che lui credesse che io credessi? Si diverte, Dante”.
“Vero? Gioca coi suoni, li ripete. Scopro anche che questa figura si chiama polipototo: una parola ripetuta, mutando il genere o il caso”.
“E anche questo piace ai matematici?”.
“Se le parole fossero ripetute identiche a sé stesse, in matematica si parlerebbe di periodicità. Qui ci sono delle modifiche, delle perturbazioni, direbbero i matematici”.
“Esistono anche le perturbazioni matematiche?”.
“Certo. Si parte da una cosa nota, facile da studiare, e la si modifica un pochino in modo da non distruggerne la struttura, e si cercano le proprietà che non variano. Ma questa l'ho citata soltanto perché mi piace molto il verso Cred’io ch’ei credette ch’io credesse”.
“Eh eh”.
“C'è anche un'altra ripetizione, un altro poliptoto, qui:”.
La meretrice che mai da l’ospizio
di Cesare non torse li occhi putti,
morte comune e de le corti vizio,
infiammò contra me li animi tutti;
e li ’nfiammati infiammar sì Augusto,
che ’ lieti onor tornaro in tristi lutti.
“Un sacco di fiamme. Ma chi è questa meretrice?”.
“Sta parlando dell'invidia, che non distolse mai gli occhi disonesti dalla reggia dell'imperatore. L'invidia è morte di tutti e vizio delle corti (anzi, morte di tutti e delle corti vizio - un altro chiasmo, oserei dire), e infiammò gli animi di tutti quanti contro di me (cioè contro Pier della Vigna), e a loro volta essi infiammarono l'imperatore, tanto che i miei onori si trasformarono in tristi lutti. Insomma, Pier della Vigna è caduto in disgrazia a causa dell'odio dei cortigiani”.
“Un po' come certe comari di un paesino”.
“Esatto. Ma tutto questo canto è pieno di figure retoriche, perché Pier della Vigna si meritava un registro elevato. Subito dopo questi versi, infatti Pier della Vigna spiega di aver cercato di sfuggire il disonore con la morte, e questo fatto lo ha reso ingiusto contro sé stesso:”.
L’animo mio, per disdegnoso gusto,
credendo col morir fuggir disdegno,
ingiusto fece me contra me giusto.
“Un altro chiasmo”.
“Esatto. Dopodiché Dante incontra due scialacquatori, Lano da Siena e Iacopo da Sant'Andrea. Ecco come li introduce:”.
Noi eravamo ancora al tronco attesi,
credendo ch’altro ne volesse dire,
quando noi fummo d’un romor sorpresi,
similemente a colui che venire
sente ’l porco e la caccia a la sua posta,
ch’ode le bestie, e le frasche stormire.
Ed ecco due da la sinistra costa,
nudi e graffiati, fuggendo sì forte,
che de la selva rompieno ogni rosta.
“Uh, quanti versi”.
“E guarda tutte quelle ripetizioni, guarda quante s-t: ”.
“Non sapevano niente, e avevano già capito tutto”.
“Ma come non sapevano niente?”.
“Insomma, via, si inventavano un po' di cose, non c'era fondamento scientifico”.
“Ovviamente, direi”.
“Certo, il metodo scientifico è arrivato dopo. Eppure ogni tanto avevano idee molto vicine alla realtà, ammesso che possiamo chiamare realtà quello che conosciamo oggi”.
“Ah sì? Ma oggi parliamo dei filosofi greci e non di Dante?”.
“No, no, partiamo sempre da Dante, ma poi ci colleghiamo a un particolare filosofo”.
“Dovremmo essere al canto XII, vero?”.
“Esatto. Dopo la sosta del canto XI, Dante e Virgilio riprendono il loro cammino. C'è un problema, devono discendere dirupando perché il terreno è franato”.
Qual è quella ruina che nel fianco
di qua da Trento l’Adice percosse,
o per tremoto o per sostegno manco,
che da cima del monte, onde si mosse,
al piano è sì la roccia discoscesa,
ch’alcuna via darebbe a chi sù fosse[:]
“Dirupando”.
“Ehm. Comunque, Dante fa riferimento a una frana nei pressi di Trento che probabilmente aveva visto. E Virgilio specifica:”.
Or vo’ che sappi che l’altra fiata
ch’i’ discesi qua giù nel basso inferno,
questa roccia non era ancor cascata.
“Dice che l'altra volta la frana non c'era? Quale altra volta?”.
Ma certo poco pria, se ben discerno,
che venisse colui che la gran preda
levò a Dite del cerchio superno,
“Colui che levò a Dite la gran preda del cerchio superno?”.
“Certo, Gesù”.
“Eh? Cosa ha fatto Gesù?”.
“Mh, partiamo dall'inizio. Ogni anno si festeggia la Pasqua”.
“E fin qua”.
“Bè, si festeggiano due Pasque, quella ebraica e quella cristiana. Noi parliamo di quella cristiana”.
“Bene”.
“Cosa succede a Pasqua?”.
“Gesù risorge”.
“Ma per i cristiani la cosa è più complicata: la Pasqua è la più importante festività, e si festeggia su tre giorni, il triduo pasquale”.
“Venerdì, sabato e domenica”.
“Giovedì, venerdì, sabato e domenica”.
“Ma come? Triduo?”.
“Eh, sai che la chiesa conta i giorni in modo strano, un po' come i latini”.
“Non capisco”.
“Il primo giorno del triduo pasquale è giovedì santo. Che inizia, come tutte le festività importanti, al tramonto del giorno precedente”.
“Mh, ok, questo è il motivo per cui la messa della domenica può essere celebrata anche al sabato”.
“Esatto. Il giovedì si ricorda l'ultima cena, la lavanda dei piedi, la preghiera notturna nell'orto degli ulivi, il tradimento di Giuda, la carcerazione di Gesù”.
“Ok”.
“Oggi la chiesa celebra una messa particolare, dove il sacerdote ripete la lavanda dei piedi. Alla fine della messa le ostie consacrate vengono spostate dal tabernacolo e conservate in un luogo diverso”.
“I miei nonni li chiamavano i sepolcri”.
“Giusto. Non è un termine correttissimo, perché Gesù non viene sepolto il giovedì, ma è vero, li chiamavano così. Dopodiché la chiesa viene spogliata, l'altare non ha più una tovaglia che lo copre, non ci sono candele, le croci vengono velate. In passato lo facevano in tutte le chiese, oggi lo fanno quelli che tengono molto alla liturgia, ma non importa. Poi arriva il venerdì”.
“La via crucis”.
“Questa è la cerimonia che trasmette la televisione, ma non fa parte delle celebrazioni prescritte dal messale romano. La celebrazione del venerdì santo è diversa, si chiama semplicemente celebrazione della Passione del Signore, e non è una vera messa”.
“No?”.
“No, perché non viene fatta la consacrazione. I fedeli possono fare la comunione, ma non con il pane consacrato in quel giorno, bensì quello conservato dal giorno prima”.
“Quella celebrazione, comunque, ricorda la Passione di Gesù e la morte. Pensa che alla fine si interrompe senza la formulazione classica di tutte le messe: manca la benedizione dei fedeli. Dopo la sua morte, Gesù non si trova più sulla terra, e non può benedire niente. I fedeli sono lasciati soli”.
“Oh”.
“Il venerdì è il secondo giorno del triduo pasquale. Poi c'è il sabato, in cui non si fa niente”.
“Uhm”.
“Sabato santo è un giorno aliturgico: non ci sono celebrazioni”.
“Niente messe?”.
“Niente di niente, nemmeno celebrazioni che non sono messe come quella del venerdì. Giorno di attesa, di disperazione e di speranza insieme. Un giorno sospeso, un giorno senza tempo. I cristiani attendono che Gesù torni, ma al momento Gesù è andato via”.
“E dov'è andato?”.
“Nei Vangeli non c'è scritto, ma la tradizione della chiesa dice che Gesù è disceso agli inferi”.
“Dove lo dice?”.
“In una delle preghiere che si recitano durante il sabato santo, per esempio. C'è una bella lettura, che inizia così:”.
Che cosa è avvenuto? Oggi sulla terra c'è grande silenzio, grande silenzio e solitudine. Grande silenzio perché il Re dorme: la terra è rimasta sbigottita e tace perché il Dio fatto carne si è addormentato e ha svegliato coloro che da secoli dormivano. Dio è morto nella carne ed è sceso a scuotere il regno degli inferi.
Certo egli va a cercare il primo padre, come la pecorella smarrita. Egli vuole scendere a visitare quelli che siedono nelle tenebre e nell'ombra di morte. Dio e il Figlio suo vanno a liberare dalle sofferenze Adamo ed Eva che si trovano in prigione.
“Ah, addirittura Adamo ed Eva”.
“Esatto: da quel momento saranno in Paradiso. Tutte quelle imprecazioni che si dicono contro la povera Eva, oltre a essere ingiuste, sono anche rivolte a una santa. I cristiani devoti dovrebbero fare più attenzione quando inveiscono nei confronti di una santa. Anche nel racconto della Genesi la punizione di Dio è per entrambi, Adamo ed Eva, non solo per una”.
“C'è un po' di sessismo in queste imprecazioni. Tra l'altro, la donna è stata ingannata dal maestro dei seduttori, ma l'uomo dalla donna: è stato più pollo lui di lei. Ma nessuno inveisce mai contro Adamo”.
“Eh, vero. Comunque, in quella lettura della tradizione cristiana c'è un punto che si collega a quanto dice Dante: Dio è e sceso a scuotere il regno degli inferi. Più avanti si spiegherà che ogni volta che un'anima passa dal Purgatorio al Paradiso, la terra si scuote. In questo caso Gesù stesso è andato a spalancare le porte degli inferi e ha portato in Paradiso tantissime anime”.
“Mi immagino il terremoto”.
“E infatti Virgilio spiega che non appena Gesù ebbe levato la gran preda da Dite:”.
da tutte parti l’alta valle feda
tremò sì, ch’i’ pensai che l’universo
sentisse amor, per lo qual è chi creda
più volte il mondo in caòsso converso;
e in quel punto questa vecchia roccia,
qui e altrove, tal fece riverso.
“La valle feda cosa sarebbe?”.
“La valle fetida, cioè l'Inferno”.
“Ah, quindi tutto l'Inferno ha tremato”.
“Ed ecco la causa della frana: il terremoto è stato così grande che il terreno è franato”.
“E cosa c'entra l'universo che sente amore?”.
“Siamo finalmente arrivati ai filosofi greci: alcuni credono che il mondo si sia trasformato in caos più volte”.
“Di chi parliamo?”.
“Di qualche filosofo pitagorico. Possiamo prendere come rappresentante Empedocle”.
“Quello dei quattro elementi? Acquafuocoterraaria?”.
“Lui”.
“E cosa c'entra con le frane?”.
“Oltre ai quattro elementi, Empedocle pensava che in natura esistessero altri due principi, due forze contrapposte, in grado di mettere tutto in movimento. Chiamava questi due principi Amore e Odio; il primo aveva la capacità di avvicinare, legare, mettere insieme, mentre il secondo aveva la capacità di allontanare, dividere”.
“Anche adesso amore e odio hanno quell'effetto”.
“Sì, ma adesso l'effetto è sulle persone, mentre per Empedocle era un effetto capace di plasmare la realtà. L'Amore non attrae solo le persone, ma attrae tutti gli elementi”.
“Ah”.
“Se l'Amore avesse la possibilità di agire indisturbato, l'universo diventerebbe una sfera uniforme, uguale a sé stessa in ogni parte, infinitamente estesa. Empedocle chiamava questa forma dell'universo lo Sfero”.
“Ma non c'è solo l'Amore”.
“Esatto. C'è anche una forza contrapposta, l'Odio, che tende a separare tutte le cose, e che quindi distrugge lo Sfero. A volte prevale l'Amore, a volte prevale l'Odio, e l'universo oscilla tra due stati, quello in cui tutto è concentrato nello Sfero e quello in cui tutto è sparpagliato nel caos. La vita sta lì in mezzo”.
“E i terremoti?”.
“Sono causati del conflitto tra Odio e Amore, che muove tutte le cose”.
“Vabè, non c'è una gran scientificità in tutto questo. Una bella storiella, ma niente di più”.
“Dici?”.
“Eh, dai”.
“Ti invito a leggere la prima pagina del numero 51 di Rudi Mathematici, quella dedicata a Eulero, che si intitola Di Minuscole Forme, e che parla (anche) di formule matematiche e della loro bellezza”.
“Vediamo”.
E cosa ci vuole, allora? Limitiamo i segni alle iniziali, e siano m e m' i "moti del cuore"; sia G il respiro della "Grande Madre", sia F la "Folle passione". E d sia la "diabolica distanza" che nella doppia "d" iniziale porta già con se la sua potenza al quadrato, tanto è crudele il demonio nel combattere l'amore tra gli esseri umani. E, quel che i moti del cuore moltiplicano con l'ausilio della Grande Madre che pure moltiplica, il diavolo tenti di distruggere, rendere piccolo, con il crudele artificio della divisione. Sarà allora: F = Gmm'/d2
“Bello eh?”.
“Ma dai, tutta una storia per la formula della gravitazione universale?”.
“E la F di forza cos'è, se non Folle passione, o Amore?”.
“Ma santo cielo”.
“Bene, si scherza, ma fino a un certo punto: la forza di gravitazione universale si comporta esattamente come l'Amore di Empedocle. Attira tutto, e se fossimo in un universo con solo quella forza, arriveremmo anche noi alla creazione dello Sfero”.
“E invece non è così?”.
“Pare di no”.
“Abbiamo anche l'Odio? Capirai”.
“Forse sì. Ma partiamo dall'inizio. Beh, non troppo inizio: partiamo da Newton”.
“La gravitazione universale, la Folle passione: l'abbiamo già citata”.
“Sì, vero. Partiamo da qui perché, come succede in tutta la fisica, la gravitazione universale è una teoria”.
“Va bene, ma non è campata per aria”.
“Ma nemmeno la teoria di Empedocle è campata per aria, non è che si sia svegliato la mattina e abbia deciso che secondo lui il mondo funziona così. La filosofia, o la fisica (tanto ai tempi non c'era molta differenza tra le due discipline) erano frutto dell'intelletto umano, immagine di quello di Dio”.
“Ok, ok, non volevo offendere la filosofia antica. Però Newton aveva una base più solida”.
“Soprattutto Newton sapeva di dover verificare le proprie affermazioni. La teoria della gravitazione universale di Newton è una teoria, ha una base matematica, permette di sviluppare molti calcoli e di prevedere tante cose. Quello che bisogna fare, poi, è verificare che la natura si comporta davvero come la teoria predice, altrimenti la teoria è sbagliata. Questo non vuol dire che ci sono errori di calcolo, come quando risolviamo un problema e sbagliamo un segno e i risultati non coincidono con quelli scritti sul libro di matematica; vuole invece dire che il modello matematico della realtà non è un modello matematico della nostra realtà”.
“Uhm”.
“Quando studiavo meccanica razionale mi fecero fare un bellissimo esercizio: a partire dalla formula della gravitazione universale…”.
“Quella della Folle passione”.
“Quella. A partire da quella formula molto semplice, dovevamo ricavare le tre leggi di Keplero”.
“E ci siete riusciti?”.
“Certo: era un esercizio svolto dall'esercitatore”.
“Santo cielo”.
“Che, a proposito, poco tempo dopo ha ricevuto l'ordine sacerdotale”.
“A posto”.
“Il fatto è che la teoria matematica prevede, come conseguenza, le tre leggi di Keplero. Per capire se quella teoria ha senso, bisogna cercare di capire se si accorda con le previsioni. Possiamo fare misure e possiamo cercare di capire se i pianeti si muovo rispettando quelle leggi? Se sì, tutto bene, se no, la teoria non funziona e bisogna cambiarla”.
“Ma la teoria funziona, no? Dico quella di Newton: la usiamo ancora oggi”.
“Sì, ma non è vero che funziona”.
“Ma come?”.
“Funziona in prima approssimazione. Ma se andiamo a vedere qualche caso estremo, qualche caso in cui la forza di gravità è molto alta, come succede per esempio col pianeta del sistema solare più vicino al Sole, cioè Mercurio, ecco che ci accorgiamo che le previsioni della teoria non vanno più tanto d'accordo con le misure sperimentali”.
“E allora cosa si fa?”.
“Si cerca di capire prima di tutto se ci siano cause esterne. Per esempio, magari c'è un altro pianeta ancora più vicino al Sole di quanto non lo sia Mercurio. Questa è una proposta che è stata fatta, e l'ipotetico pianeta ha avuto anche un nome”.
“Quale?”.
“Vulcano. Ma Vulcano non esiste. E allora è stato ipotizzato un satellite di Mercurio, ma niente da fare. Qualcuno ha avuto anche l'idea di supporre che la forma del Sole potrebbe non essere sferica”.
“E chi aveva ragione?”.
“Nessuno. Perché poi è arrivato Einstein, che ha modificato la teoria”.
“Ah”.
“Ma anche la teoria di Einstein andava verificata. Attenzione, perché dico verificata in modo improprio: le teorie non si possono mai verificare, si possono solo falsificare”.
“Non posso dimostrare che sono vere?”.
“I concetti di vero e falso sono propri della matematica (e qualche logico avrebbe comunque da protestare). In fisica non si può dire che la teoria è vera, ma solo che si accorda con le osservazioni fatte finora. Anche la teoria di Newton è stata vera per un po' di tempo, nel senso che si accordava con le osservazioni. Poi c'è stato qualcuno che si è messo a fare i calcoli sull'orbita di Mercurio, e sono saltati fuori i problemi”.
“Ok. E la teoria di Einstein si accorda con la realtà meglio di quanto non faccia la teoria di Newton?”.
“Molto meglio, moltissimo. Spiega il perché dell'anomalia dell'orbita di Mercurio, e spiega tante altre cose. Quando fu pubblicata, fu così rivoluzionaria che i fisici cominciarono a cercarne le conseguenze teoriche”.
“Come facevate voi con le leggi di Keplero”.
“Esatto. Ed è saltato fuori, per esempio, che la teoria prevedeva il fenomeno delle lenti gravitazionali con grande precisione”.
“Cioè?”.
“Cioè il fatto che la gravità sia in grado anche di piegare la luce. Con la teoria si può calcolare di quanto viene deviato un raggio luminoso che passa molto vicino a un corpo dotato di massa elevata”.
“E come hanno fatto a verificarlo?”.
“Hanno aspettato un'eclissi di sole, e hanno osservato le stelle i cui raggi passavano vicini al sole, osservabile grazie all'eclissi: tutto concordava”.
“Che roba”.
“Un'altra previsione era il fenomeno del redshift, lo spostamento verso il rosso. La gravità è in grado di fare perdere energia anche alla luce: un raggio di luce che risale un pozzo gravitazionale cede energia, e questo fenomeno comporta un abbassamento della sua frequenza. In parole povere, i colori cambiano e diventano un po' più rossi, perché il rosso è il colore della luce visibile a frequenza più bassa. Se si abbassasse la frequenza ancora un po', si entrerebbe nell'infrarosso, che i nostri occhi non possono vedere”.
“E anche questo effetto è stato misurato?”.
“Certo. Nel 1925 con un po' di fatica, e nel 1959 con più certezza”.
“Quindi la teoria della relatività non è mai stata falsificata?”.
“Mh, non esattamente”.
“Ah-ha”.
“Ognuno di noi ha delle idee, ed è difficile non farsi influenzare da esse. Einstein, a un certo punto, ha iniziato a pensare alle conseguenze cosmologiche della sua teoria: com'è fatto l'universo? Che forma ha? Quanta roba contiene? Secondo Einstein doveva essere infinito”.
“E non lo è?”.
“Come possiamo saperlo? Non vediamo tanto lontano: come si fa a sapere se una cosa è infinita? Non abbiamo la possibilità di vivere abbastanza a lungo per osservarla tutta”.
“Oh mamma, e quindi?”.
“E quindi niente, si fa come al solito: si fanno ipotesi, si studiano le conseguenze, si guarda se le conseguenze sono compatibili con le osservazioni. Quindi, può l'universo essere infinito? E contenere infinite stelle? Se così fosse, potrebbe esserci un problema: le stelle produrrebbero così tanta luce che il cielo, di notte, dovrebbe brillare come il sole”.
“Ma di notte c'è buio”.
“E quindi bisogna trovare una spiegazione. Forse l'universo è ancora troppo giovane, e la luce di tutte le infinite stelle non è ancora arrivata fino a noi. Oppure l'universo si sta espandendo”.
“E cosa succede se l'universo si espande?”.
“Succede che le stelle si allontanano tra loro e si verifica un altro fenomeno, lo spostamento verso il rosso cosmologico. A un certo punto la luce delle stelle si sposta così tanto verso il rosso che non la vediamo più”.
“Ed è così? Le stelle corrono via da noi?”.
“Sì, ma no”.
“Ecco”.
“Non bisogna pensare che noi siamo al centro dell'universo e tutto si allontana da noi. È l'universo che si espande, e tutto si allontana da tutto. L'esempio che si fa è quello del panettone”.
“Buono”.
“Immagina di versare l'impasto del panettone, con uvetta e canditi, nello stampo”.
“Non mi piacciono i canditi”.
“A me sì: e poi uvetta e canditi sono corpi celesti, che stanno nell'universo-panettone. L'universo lievita, aumenta di volume, e uvetta e canditi si allontanano. Ma non esiste un centro: tutto si allontana da tutto”.
“E quindi l'universo si espande in questo modo?”.
“Così sembra. Ma abbiamo lasciato in sospeso una domanda: come è fatto? È finito o infinito? Possibile che sia finito? Einstein non lo riteneva possibile, ma era consapevole del fatto che un universo infinito con infinite stelle non potesse essere buio. E, insomma, ha concepito l'idea di un universo di volume finito ma senza confini”.
“Eh?”.
“Come una sfera. La sfera è una superficie finita, ma puoi muoverti sopra di essa senza mai trovare una barriera. Se invece di una superficie prendiamo un volume con le stesse caratteristiche, otteniamo un oggetto che i matematici chiamano 3-sfera”.
“Ecco, quella è la forma dell'universo di Einstein. Ma un universo fatto così non sarebbe stabile, potrebbe espandersi o contrarsi, la forza di gravità tende prima o poi a fare collassare tutto”.
“Nello Sfero”.
“Esatto. Einstein, allora, ha introdotto nelle sue equazioni un Ignobile Trucco Matematico: ha aggiunto una costante in grado di compensare la tendenza a contrarsi, la famigerata costante cosmologica. Una costante in grado di equilibrare la tendenza a contrarsi dell'universo, perché Einstein pensava che esso dovesse essere statico”.
“Una specie di repulsività?”.
“Sì. Poi è successo che le osservazioni di Hubble, fatte intorno al 1927-1929, hanno evidenziato un universo che è in espansione”.
“E tanti saluti alla staticità”.
“Non solo. Misure effettuate sulla costante cosmologica hanno mostrato che, se non ha valore uguale a zero, ha valore piccolissimo. A quel punto Einstein ha commentato la sua idea di inserire la costante cosmologica nelle sue equazioni come il suo più grave errore”.
“Quindi non solo l'universo non è statico, ma si espande senza l'ausilio di trucchi matematici”.
“Esatto”.
“Ma non è finita. Facciamo un salto al 1998”.
“Non tanto tempo fa”.
“No, infatti. Nel 1998 due gruppi di astrofisici scoprono che l'universo non solo si espande, ma la velocità di espansione aumenta nel tempo. Insomma, c'è un'accelerazione dell'espansione. Questo fatto non è previsto dal modello relativistico con costante cosmologica nulla”.
“Uh. Alla fine Einstein aveva ragione”.
“Così sembra: pare necessario introdurre questa costante cosmologica per spiegare l'espansione accelerata dell'universo. Nel 2011 verrà assegnato il premio Nobel ai fisici che hanno fatto questa scoperta”.
“Ma dal punto di vista fisico cos'è questa costante cosmologica?”.
“Non si sa. È da quel momento che nasce l'idea dell'energia oscura, in grado di causare una forza repulsiva che permetta all'universo di espandersi sempre più velocemente”.
“Ah, l'energia oscura”.
“Trovi che sia un termine così diverso rispetto all'Odio di Empedocle?”.
“Eh, non tantissimo”.
“Certo, ora l'idea nasce grazie alla scienza, e verrà migliorata grazie alle prossime scoperte. Ma, insomma, serve sempre un'idea per partire, e i filosofi greci ne avevano molte, di idee”.
“Già”.
“Inoltre, fino al 1998 anche noi eravamo in dubbio sul destino dell'universo. Fino a che non abbiamo scoperto che la velocità di espansione dell'universo sta aumentando, avevamo un dubbio: cosa succederà poi? L'espansione continuerà in eterno, allontanando tutti i corpi celesti tra loro sempre di più, provocando una morte termica dell'universo, che diventerà sempre più buio e freddo? Oppure a un certo punto l'espansione finirà e inizierà una fase di contrazione, che porterà alla fine a un big bang al contrario? Ci sarà un big crunch o un big rip?”.
“Da quanto dici, sembra che ci sarà un big rip”.
“Forse. Ma magari tra molto tempo l'accelerazione diminuirà, potrebbe diventare zero, o addirittura negativa, e in questo caso si assisterebbe a una contrazione. Chi lo sa? Se si verificasse una contrazione e un big crunch, avremmo replicato la teoria di Empedocle”.
“Che roba”.
“Non sappiamo molto, insomma. Ci manca anche la matematica per descrivere la singolarità del big bang. Il modello matematico funziona fino a pochissimi istanti dopo il big bang (10−43 secondi, per la precisione), ma non ci dice niente di come era fatto l'universo nell'istante iniziale”.
“Mi pare che la costante di tutti questi discorsi sia che sappiamo poco”.
“Eh, sì, ma ci piace saperne di più, ci piace scoprire e ci piacciono i come e i perché”.
“E tanti saluti a Empedocle”.
“Che, magari, quel famoso sabato si è visto aprire le porte degli inferi e ora sa come funzionano le cose”.
P.S. C'è un video di Amedeo Balbi che racconta, in maniera più precisa di questa, di Einstein, della costante cosmologica e dell'energia oscura. Chiedo venia al dio dei cosmologi per le inesattezze contenute in questo testo.
In su l’estremità d’un’alta ripa
che facevan gran pietre rotte in cerchio
venimmo sopra più crudele stipa;
e quivi, per l’orribile soperchio
del puzzo che ’l profondo abisso gitta,
ci raccostammo, in dietro, ad un coperchio
“Ed eccoci al canto della puzza”.
“E cominciamo benissimo”.
“La puzza è una scusa di Dante per fermare il cammino e spiegare al lettore la struttura dell'Inferno. Racconta come sono suddivisi i peccatori in base alla gravità della colpa, fa una bella tassonomia del peccato”.
“Che bellezza”.
“Molto. Avrei qualcosa da dire su due grossi argomenti, ma mi sembra un po' troppo. Te li presento, e poi rimando uno dei due a un prossimo canto”.
“Uh, sentiamo”.
“A un certo punto, tra l'elenco dei vari peccati, viene nominata l'usura”.
“Giustamente, direi”.
“Dici bene, ma c'è un ma”.
“E quale ma ci potrebbe mai essere?”.
“La definizione di usura”.
“Beh, si ha usura quando il tasso di interesse richiesto è eccessivamente alto”.
“E questa non è una buona definizione matematica”.
“Ok, ma ci sarà una legge che stabilisce quando il tasso è troppo, no?”.
“Esatto, oggi c'è una legge che contiene tabelle e formule per calcolare il tasso di usura. Sotto a quel valore va tutto bene, al di sopra di quel valore no. Il problema è che ai tempi di Dante quel valore era zero”.
“Ah, però”.
“Eh. L'operosità dell'uomo, come insegna la fisica di Aristotele, copia quella di Dio. E la Genesi insegna che operosità e lavoro devono fornire sostentamento all'uomo. Chi presta i soldi chiedendo un interesse, qualsiasi interesse, segue invece un'altra strada, che non è quella di Dio. Il peccato dell'usuraio è il disprezzo della natura, quindi il disprezzo di Dio. Ma ci torneremo, quando Dante incontrerà questi peccatori”.
“E tanti saluti alle banche e ai risparmi. L'altro argomento di cui parlavi, invece?”.
“Si riferisce a questi versi:”.
[…] Ma seguimi oramai, che ’l gir mi piace;
ché i Pesci guizzan su per l’orizzonta,
e ’l Carro tutto sovra ’l Coro giace,
e ’l balzo via là oltra si dismonta».
“Costellazioni?”.
“Sì. Alla fine del canto Virgilio dice a Dante che è ora di andare, e per specificare l'ora dice che i Pesci stanno salendo sopra l'orizzonte, mentre il Carro si trova nella direzione da cui soffia il vento denominato Coro, che sarebbe un vento tra ponente e maestrale”.
“Circa verso nord-ovest, insomma”.
“Sì”.
“Certo che non è un modo comodissimo per dire che ore sono”.
“Non lo è, ma né Dante né Virgilio avevano orologi da polso, o orologi di altro tipo. Ma il problema del calcolo dell'ora è sempre stato un problema fondamentale da risolvere”.
“Perché?”.
“Immagina di essere su una nave”.
“Bello”.
“In alto mare, senza terre visibili all'orizzonte”.
“Ahh, che pace”.
“C'è stata una burrasca e la nave non è naufragata per poco e i venti l'hanno spostata senza controllo e il timoniere cercava di mantenerla con la prua verso le onde gigantesche, in modo da non farla naufragare, e il cielo era buio, squarciato solo dai fulmini, e la pioggia fortissima impediva la visuale e i marinai dovevano legarsi agli alberi maestri per non essere gettati fuori bordo dalle onde e tra un tuono e l'altro si potevano udire soltanto le urla del capitano che ordinava ai marinai di ripiegare le vele, per evitare che venissero strappate dai venti, o le preghiere dei marinai, o le loro imprecazioni, a seconda del loro stato d'animo e della loro fede”.
“Ecco, ora è un po' meno bello, grazie tante”.
“Ma la burrasca finisce, sorge il sole, qualche vela si è strappata ma si può ancora navigare, le provviste stanno per finire e soprattutto c'è bisogno di acqua”.
“Mh. Beh, la nave può ancora navigare, si può andare verso la terra più vicina, no?”.
“Si può, ma dov'è? Non c'è terra all'orizzonte, non ci sono uccelli cielo, solo un bel mare calmo e un sole che comincia a picchiare. Quella che tu chiamavi pace ora sembra essere un problema grosso”.
“Ci sarà una carta geografica a bordo, santo cielo”.
“Certo che c'è, e c'è anche la bussola”.
“E allora? Andiamo!”.
“Dove? A cosa ti serve la bussola se non sai dove sei?”.
“Ok. Ma i marinai sapevano fare il punto. Ci sarà qualcuno che sa trovare la posizione della nave su quella maledetta carta”.
“Oh, sì. La latitudine è abbastanza semplice da trovare, basta osservare il sole: a mezzogiorno assume la sua posizione più alta nel cielo, che dipende proprio dalla latitudine. A seconda delle stagioni il massimo grado di elevazione cambia, ma diciamo che tutti, sulla nave, possono conoscere almeno il mese, se non il giorno, attuale. Quindi con un po' di sforzo la latitudine è determinabile”.
“Ok”.
“La longitudine, invece, è un grossissimo problema”.
“Perché?”.
“Mentre la latitudine è legata a un aspetto fisico (la terra è rotonda, ruota intorno a un asse, l'asse ha una certa inclinazione, e quindi facendo riferimento al sole si può capire a che distanza dall'equatore ci si trova), la longitudine è legata a una convenzione. Mentre il parallelo zero è l'equatore, che esiste grazie alla geometria della sfera che ruota intorno a un asse, il meridiano zero non esiste fisicamente: bisogna mettersi d'accordo e stabilire che quel particolare meridiano è l'origine del sistema di riferimento usato per la longitudine”.
“Sarebbe il meridiano di Greenwich?”.
“Sì, che oggi, col sistema GPS, non è più nemmeno quello classico, quello che puoi calpestare se vai a visitare l'osservatorio di Greenwich”.
“Ah no?”.
“No, ci sono stato con un GPS in mano e, purtroppo, la longitudine zero non è più quella. Bisogna spostarsi di un centinaio di metri da lì. Quando sono stato a vedere, il riferimento più evidente per la longitudine zero era un cestino dei rifiuti”.
“Santo cielo”.
“Ma, a parte questo, una volta che si è d'accordo sulla longitudine zero, come si fa a calcolare quella della nave in mezzo al mare?”.
“Uhm, non saprei”.
“Si può approfittare del calcolo della latitudine, cioè del momento in cui il sole è nella posizione più alta: in quel momento è mezzogiorno, nell'ora locale. Dando un'occhiata all'orologio messo in punto rispetto all'ora del meridiano zero, si può capire di quanto ci si è spostati da quel meridiano”.
“In che senso?”.
“Beh, se adesso è mezzogiorno ma l'orologio segna le 11 del mattino, vuol dire che c'è una differenza di un'ora. Visto che la terra compie un giro su sé stessa in 24 ore, in un'ora ha compiuto un ventiquattresimo di giro, quindi la longitudine corrisponde alla distanza angolare di un ventiquattresimo di angolo giro dal meridiano zero”.
“Oh mamma. Si fa fatica a fare questi calcoli, ma almeno poi si trova la posizione e si può andare a cercare l'acqua per i poveri marinai”.
“Il problema grosso è che bisogna guardare l'ora: come si fa?”.
“Non ce l'abbiamo un orologio a bordo?”.
“Sai quando sono stati inventati i primi cronometri funzionanti anche a bordo di una nave?”.
“Prima dei cronometri c'erano i pendoli, che su una nave non possono funzionare, a causa delle onde. Un pendolo deve avere una base fissa”.
“Ok”.
“E, per quanto riguarda la precisione, immagina di essere su quella nave in mezzo al mare senza acqua potabile. In un qualche modo trovi un orologio, fai il punto, guardando la carta scopri che c'è una bella isola a pochi chilometri di distanza, e via che ti dirigi verso la salvezza a vele spiegate. Passa il tempo, la sete aumenta, il cielo si annuvola di nuovo, arriva la notte, non si vedono stelle, e non si vede nemmeno l'isola”.
“Ma come?”.
“Eh, l'orologio che hai usato non era esattamente in punto, aveva accumulato un errorino di 4 minuti”.
“Beh ma cosa vuoi che siano 4 minuti?”.
“In 4 minuti la terra ruota di un grado”.
“Ma è pochissimo!”.
“Un grado all'equatore corrisponde a poco più di 110 km”.
“Oh”.
“E quindi tu pensavi che la salvezza fosse a pochi chilometri verso est, e invece era a pochi chilometri verso ovest”.
“Accidenti”.
“E molta gente è morta davvero per questo problema: la storia della longitudine è legata a quella dell'esplorazione, e in quei tempi era questione di vita o di morte, non di sbagliare strada perché non hai seguito bene le indicazioni del cellulare. E lo sviluppo dell'esplorazione è legato allo sviluppo della matematica”.
“E ai tempi di Dante, che non c'erano né i cronometri né i pendoli? Come facevano?”.
“Facevano come potevano. Prima di tutto, cercavano di rimanere sempre in vista della costa, a costo di allungare il percorso. Nel caso di viaggi in alto mare, cercavano almeno di orientarsi con la conoscenza della direzione, e sperando di non finire fuori rotta. Facevano una navigazione stimata, quella che gli inglesi chiamano dead reckoning”.
“E come si orientavano? Dante conosceva già la bussola?”.
“Direi proprio di sì: questi sono versi di Guido Guinizzelli, che Dante incontrerà nel Purgatorio”.
In quella parte sotto tramontana
sono li monti de la calamita,
che dàn vertud’ all’aire
di trar lo ferro; ma perch’ è lontana,
vòle di simil petra aver aita
per farl’ adoperare,
che si dirizzi l’ago ver’ la stella.
“Accidenti, i monti della calamita”.
“Già. E prima della bussola i marinai si orientavano con le stelle”.
“Ritorniamo all'astronomia”.
“Esatto. Tanta matematica viene da lì: vuoi sapere dove sei, vuoi sapere dove devi andare, vuoi sapere come scorre il tempo? Guarda in alto. Alzare gli occhi al cielo ha sempre permesso all'uomo di fare dei passi avanti”.
“Non a caso le tre cantiche finiscono tutte e tre con la parola stelle”.
“Siamo arrivati al canto decimo dell'Inferno: siamo all'interno della città di Dite, Dante e Virgilio stanno camminando tra le tombe degli eretici, quando incontrano Farinata degli Uberti. Dante e Farinata parlano, c'è qualche schermaglia politica, cose di Guelfi e Ghibellini, poi dalla tomba in cui Farinata sta scontando la sua pena si alza un'altra anima, quella di Cavalcante dei Cavalcanti”.
“Bel nome”.
“Sai, i toscani sono così. Cavalcante è in pena per suo figlio, Guido, amico di Dante. Vuole sapere come sta, perché dalle parole di Dante, che fa riferimento a Guido usando il passato remoto, sembra che sia morto. In realtà è un equivoco, le parole di Dante non si riferivano alla morte di Guido, che al momento in cui avviene il viaggio nell'Inferno è ancora vivo”.
“Beh, una piccola consolazione per il padre”.
“Eh, no, perché Dante indugia, stupito della domanda, e Cavalcante interpreta questo silenzio come timore da parte di Dante di dover confermare la notizia della morte. Siccome Dante non parla, Cavalcante si convince della morte del figlio e cade, come svenuto, nella tomba dalla quale si era alzato, senza dire più nulla”.
“Ma no, ma poveretto!”.
“Eh”.
“Ma perché Dante non ha detto niente? Ma poteva rispondere, no? Ma santo cielo”.
“Dante è rimasto stupito perché sa che i dannati sono dotati di preveggenza: sanno vedere il futuro”.
“Ah, e quindi si chiede come mai Cavalcante, che può vedere il futuro, non sappia se il figlio è vivo o morto”.
“Esatto”.
“E perché Cavalcante non lo sa?”.
“Dante è stupito proprio per questo, ma non può dare voce ai suoi pensieri perché non appena Cavalcante ricade all'interno della tomba Farinata riprende il suo discorso, come se non fosse successo nulla”.
“Sono tutti sensibilissimi, questi dannati”.
“Si devono adattare anche loro alle condizioni in cui vivono, per così dire. E non è finita qui: Farinata predice il futuro di Dante”.
“Ma come?”.
“Eh, sì. Farinata e Dante stavano parlando del fatto che i loro rispettivi avi vennero cacciati da Firenze, esiliati. E Dante ha sottolineato che i suoi antenati erano migliori di quelli di Farinata, perché anche se cacciati sono sempre stati in grado di rientrare a Firenze, prima o poi. Ed ecco la risposta di Farinata:”.
«S’elli han quell’arte», disse, «male appresa,
ciò mi tormenta più che questo letto.
Ma non cinquanta volte fia raccesa
la faccia de la donna che qui regge,
che tu saprai quanto quell’arte pesa[»].
“Di che arte stiamo parlando?”.
“Dell'arte di rientrare dall'esilio. La faccia della donna di cui parla Farinata è la faccia della luna: entro cinquanta fasi lunari anche Dante sperimenterà l'esperienza dell'esilio, e allora vedrà che riuscire a rientrare a Firenze non sarà così facile”.
“Simpatico questo Farinata”.
“Diciamo che anche Dante non è stato molto diplomatico”.
“Ma questa è poi una profezia vera? Se è vera, non si capisce perché Cavalcante non potesse conoscere la sorte del figlio”.
“Esatto, e infatti Dante chiede spiegazioni, ora che una profezia lo tocca direttamente:”.
El par che voi veggiate, se ben odo,
dinanzi quel che ’l tempo seco adduce,
e nel presente tenete altro modo».
“Cioè sta dicendo che i dannati, secondo lui, vedono il futuro ma non il presente?”.
“Proprio così”.
“E la risposta?”.
“È questa:”.
«Noi veggiam, come quei c’ha mala luce,
le cose», disse, «che ne son lontano;
cotanto ancor ne splende il sommo duce.
Quando s’appressano o son, tutto è vano
nostro intelletto; e s’altri non ci apporta,
nulla sapem di vostro stato umano.
Però comprender puoi che tutta morta
fia nostra conoscenza da quel punto
che del futuro fia chiusa la porta».
“Vedono le cose lontane?”.
“Sì, come i presbiti, quelli che hanno mala luce. Perché le cose lontane sono vicine a Dio, che le illumina per bene. Ma quando gli eventi si avvicinano, allora tutto diventa sempre più offuscato. Del presente i dannati non sanno nulla, a meno che qualcuno non porti loro delle notizie”.
“E l'ultima terzina di cosa parla?”.
“Dice che alla fine dei tempi, quando non esisterà più niente di futuro, la conoscenza delle anime dannate sarà azzerata”.
“Va bene. Se volevamo parlare di qualcosa di scientifico, mi pare di poter dire che qui non ce n'è nemmeno un po'. Forse l'accenno alla presbiopia, ma per il resto…”.
“Eh, è tutto il contrario di quello che sappiamo ora sul futuro”.
“Cioè niente”.
“No, non del tutto. Anche oggi facciamo previsioni sul futuro”.
“Non vorrai mica parlare degli oroscopi”.
“Ma no. Oggi abbiamo sviluppato la fisica, abbiamo modelli matematici del mondo, e cerchiamo anche di prevedere il futuro. Pensa alle previsioni del tempo”.
“Beh, non un gran futuro. Forse siamo in grado di prevedere il tempo di domani, ma ogni tanto qualche previsione sbaglia clamorosamente”.
“Sì, esattamente il contrario rispetto alla preveggenza delle anime dell'Inferno. Noi vediamo abbastanza bene nell'immediato futuro, mentre non abbiamo idea di come sarà quello più lontano. Ma dipende poi da cosa vogliamo vedere”.
“In che senso?”.
“Beh, non so prevedere che tempo ci sarà tra una settimana, ma posso prevedere dove sarà la luna”.
“Ah. Beh, ma la luna è un oggetto ben definito, è un po' diverso dal tempo di domani”.
“Sì, ma alla base ci sono le stesse idee”.
“Quali?”.
“Noi conosciamo delle leggi evolutive locali…”.
“Eh?”.
“Delle leggi matematiche che ci dicono cosa succede istante per istante. Per esempio, la legge di gravità ci dice come si attraggono due corpi nello spazio. Sapendo come si attraggono istante per istante, possiamo provare a ricostruire una legge globale che ci dica la posizione della luna in un qualunque momento. Queste leggi, questi modelli matematici, si chiamano equazioni differenziali”.
“Roba che Dante conosceva?”.
“Assolutamente no. Il calcolo differenziale nasce con Newton e Leibniz, siamo alla fine del 1600. Poi nei secoli è stato perfezionato, e dalle basi poste dai due scienziati si è sviluppata tantissima matematica. Sono dell'inizio del 1800 i teoremi fondamentali di Cauchy sull'esistenza e l'unicità delle soluzioni delle equazioni differenziali”.
“Ci è voluto un po'”.
“Eh sì. E da quegli studi sono nati anche problemi filosofici: ecco una famosa citazione di Laplace del 1814, in pieno illuminismo”.
Noi dobbiamo considerare lo stato presente dell'universo come l'effetto di un dato stato anteriore e come la causa di ciò che sarà in avvenire. Un'intelligenza che, in un dato istante, conoscesse tutte le forze che animano la natura e la rispettiva posizione degli esseri che la costituiscono, e che fosse abbastanza vasta per sottoporre tutti i dati alla sua analisi, abbraccerebbe in un’unica formula i movimenti dei più grandi corpi dell'universo come quello dell'atomo più sottile; per una tale intelligenza tutto sarebbe chiaro e certo e così l'avvenire come il passato le sarebbero presenti.
“Beh, niente male”.
“Già. Tanti saluti al libero arbitrio: le leggi matematiche sono inesorabili, tutto è scritto, la libertà è un'illusione”.
“Beh, siamo passati dal disegno di Dio al disegno delle equazioni”.
“Se non vogliamo azzardare il fatto che le equazioni sono Dio”.
“Uh”.
“Ma Dante non pensava che la creazione di Dio fosse disegnata fin dall'inizio, lui credeva nel libero arbitrio, l'uomo poteva fare scelte”.
“E quindi gli illuministi avevano una fede nelle equazioni più salda di una fede religiosa”.
“Con la differenza che le equazioni si ottengono da dimostrazioni matematiche, che sono vere senza dubbio”.
“E quindi è così? Il futuro è predeterminato e noi non ci possiamo fare niente?”.
“No, per tre motivi”.
“Oh, bene. Addirittura tre”.
“Il primo è che Laplace parlava di equazioni differenziali, che sono modelli matematici del mondo. Sono precisi, ma sono modelli, non sono la realtà. I modelli si studiano, si confrontano con le osservazioni, gli esperimenti, e se si scoprono contraddizioni i modelli vengono cambiati o buttati via. E poi si ricomincia, con altri modelli e altre osservazioni. Questa è l'essenza del metodo scientifico: faccio un'ipotesi, controllo se il mondo si comporta secondo le mie ipotesi, se non lo fa butto via l'ipotesi”.
“Insomma, non posso mai avere la certezza del fatto che la mia ipotesi è vera”.
“Esatto. Puoi solo dire se è falsa. Ma poi c'è un secondo motivo”.
“Quale?”.
“Laplace aveva ragione nell'esempio di un universo formato da solo due corpi: sui due corpi agisce la forza di gravità e sappiamo esattamente quello che succede in ogni istante. Le equazioni si risolvono esattamente, tutto è prevedibile, fine. Ma l'universo deve essere formato solo da due corpi”.
“Eh, sì. Il cosiddetto problema dei tre corpi, studiato inizialmente da Lagrange e Poincaré, ha soluzioni caotiche. Questo significa che un piccolo errore nelle condizioni iniziali del problema (cioè dove si trovano esattamente i tre corpi nello spazio, e che velocità hanno?) si amplifica nel tempo fino a diventare, dopo poco, grande quanto le grandezze che fanno parte della soluzione del problema”.
“Cosa vuol dire?”.
“Se tu hai tre corpi che distano qualche metro uno dall'altro, ben presto l'errore diventa dell'ordine del metro. Quindi la tua misura è completamente fuori controllo: i due corpi potrebbero anche scontrarsi, o essere molto più lontani di quello che si prevedeva. Se i tre corpi sono pianeti che distano milioni di chilometri, ci vorrà magari un po' più tempo ma prima o poi l'errore diventerà dell'ordine dei milioni di chilometri, e quindi non sai se i pianeti continueranno a girare dove pensavi oppure si scontreranno”.
“Bisognerebbe misurare senza errori”.
“Ma questo è impossibile, no? Una qualunque misura è sempre affetta da errori, non possiamo mai sapere il valore esatto della posizione o della velocità di un corpo”.
“In teoria, però, nel modello matematico si potrebbe”.
“Vero, ma non del tutto. Non tutte le equazioni differenziali sono risolubili esattamente: per alcune possiamo appoggiarci soltanto al calcolo numerico e fare previsioni con i computer. E i computer non possono memorizzare una posizione o una velocità con precisione infinita, perché non sono dotati di una memoria infinita”.
“Uffa”.
“E questo ci porta al terzo motivo: sarebbe possibile, nella realtà, conoscere la posizione e la velocità di un corpo con precisione infinta?”.
“Eh, hai detto di no”.
“Ma perché no? Pensiamo ai pianeti: cosa significa conoscere posizione e velocità con precisione infinita? Cosa dovremmo fare? Perché se andiamo sempre più in piccolo, a un certo punto non possiamo più considerare un pianeta come un unico corpo: non è omogeneo, magari è un po' elastico, c'è l'acqua, e così via. Ma non è tutto: andando ancora più in piccolo, arrivando agli atomi, entriamo nel mondo microscopico che tanto fa sudare ancora oggi i fisici”.
“Stai parlando della meccanica quantistica? Dell'equazione dell'amore di Dirac?”.
“NO! NON DIRLO”.
“Ah, lo sapevo”.
“Lascia perdere tutti quei discorsi farlocchi che si trovano in rete su quell'equazione, e le citazioni false che la tirano fuori in ogni momento. Se vuoi, c'è una citazione forse vera di Feynman che mette a posto tutti i discorsi a riguardo”.
“Quale?”.
“Non l'ho trovata direttamente su un'opera firmata da Feynman, quindi non posso giurare sulla sua autenticità. In rete si trovano riferimenti che possono essere controllati, ma comunque te la dico lo stesso perché inquadra per bene il problema. La citazione è questa: Credo di poter dire con sicurezza che nessuno comprende la meccanica quantistica. Non è un aforisma memorabile, e quindi potrebbe benissimo essere vero”.
“Va bene, ma c'entra qualcosa quindi la meccanica quantistica col caos?”.
“Sì. Per misurare una grandezza fisica relativa a un oggetto, devi osservarlo. E per osservarlo devi interagire con esso”.
“Ma se lo guardo da lontano? Non interagisco, mi tengo bene a distanza”.
“Come fai a guardarlo? Tu osservi dei fotoni, che hanno precedentemente colpito l'oggetto: quindi hai interagito. E ogni interazione modifica quello che volevi misurare. Basta un colpetto di un fotone, e il corpo non è più esattamente dove era prima”.
“Ma basta anche solo un misero fotone?”.
“Eh sì, certo. Se osservi un pianeta, ok, un fotone fa pochissimo. Ma se osservi un altro fotone, o una particella subatomica…”.
“Ok, va bene”.
“Quindi è impossibile misurare le grandezze fisiche con precisione infinita per motivi profondi, non perché adesso i nostri strumenti sono scarsi ma in futuro, chissà”.
“Ok. E quindi, alla fine, esiste il libero arbitrio?”.
“Il fatto che Dante abbia scritto Inferno, Purgatorio e Paradiso implica che la risposta sia sì. Lo dice anche nel canto 16 del Purgatorio: se non esistesse il libero arbitrio, non sarebbe giusto essere premiati per la virtù e puniti per la colpa”.
Se così fosse, in voi fora distrutto
libero arbitrio, e non fora giustizia
per ben letizia, e per male aver lutto.
“Eravamo rimasti a Dante e Virgilio davanti alle porte chiuse della città di Dite”.
“Finalmente le porte vengono aperte?”.
“A fatica. Prima i due poeti hanno paura di non riuscire a passare, sanno che è stato promesso loro un aiuto, ma l'aiuto non arriva, e quindi c'è molta tensione. Ma durante l'attesa si chiacchiera, e Dante domanda se sia mai successo che un'anima del primo cerchio, che non ha colpe gravi se non l'assenza della speranza di salvezza, sia mai scesa fino al fondo dell'inferno”.
“Cioè, sta praticamente chiedendo a Virgilio se sa la strada”.
“Eh, sì, in modo molto elegante”.
“E Virgilio?”.
“Virgilio risponde che succede raramente che qualcuno scenda fino in fondo; racconta che è successo anche a lui, mandato dalla maga Eritone che richiamava le anime nei loro corpi. Racconta di quando la maga lo fece entrare nella città di Dite per portare uno spirito fuori dalla Giudecca. Ed ecco come Virgilio descrive questa zona dell'inferno:”.
Quell’è ’l più basso loco e ’l più oscuro,
e ’l più lontan dal ciel che tutto gira:
ben so ’l cammin; però ti fa sicuro.
“Mi pare tranquillo, sa la strada”.
“Sì. La cosa interessante, se vogliamo trovare qualcosa di scientifico in questo canto, è la descrizione della Giudecca: il punto più basso e oscuro dell'inferno, il più lontano dal Primo Mobile. Cominciamo ad avere una descrizione dell'universo: il posto più inquietante dell'inferno è al centro del Primo Mobile”.
“Non è il più lontano?”.
“Eh, e se il Primo Mobile è una sfera celeste, l'inferno è il centro della sfera, il punto più lontano da tutti i punti della sfera”.
“Stona un po', verrebbe da dire che al centro del Primo Mobile ci dovrebbe essere Dio”.
“Esattamente. Da qui partono le discussioni sulla geometria dell'universo di Dante: tanto tempo fa abbiamo parlato della 3-sfera, ma ne riparleremo quando arriveremo a leggere una descrizione più precisa di tutto il sistema delle sfere”.
“Ok”.
“Poi arrivano le Erinni, gridano, spaventano Dante, e poi si sente un gran frastuono, le sponde dello Stige tremano, si sente un vento che sarebbe in grado di schiantare rami e sradicare alberi, se ci fossero alberi in questa parte dell'inferno. Ma Virgilio incoraggia Dante, e gli dice di guardare alto, dove la nebbia, la polvere, il pantano, insomma tutto ciò che è stato messo in moto dal vento, è più fitto”.
“E cosa c'è da guardare?”.
“Di fronte a quella vista, che ancora non ci viene rivelata, le anime fuggono, come se fossero rane davanti a una biscia”.
“Eh?”.
“Sì, questo è il paragone:”.
Come le rane innanzi a la nimica
biscia per l’acqua si dileguan tutte,
fin ch’a la terra ciascuna s’abbica,
vid’io più di mille anime distrutte
fuggir così dinanzi ad un ch’al passo
passava Stige con le piante asciutte.
“Che stano paragone”.
“Un paragone legato all'osservazione della natura. Un etologo potrebbe raccontare un sacco di cose”.
“Ah, molto bene”.
“E finalmente, in mezzo alla polvere, si scorge la figura di uno che avanza, attraversando lo Stige coi piedi asciutti”.
“L'aiuto che stavano aspettando?”.
“Lui, un messo celeste che imperioso si avvicina alla porta della città di Dite e la apre con uno stecchino. Poi redarguisce i diavoli ma non rivolge parola a Dante e Virgilio, che finalmente possono entrare”.
“E cosa c'è dentro?”.
“Tombe, in mezzo a fiamme tanto calde che nessun artigiano del ferro desidererebbe una temperatura maggiore. Le tombe contengono le anime degli eresiarchi, che gridano di dolore”.
“Ma sappiamo chi sia questo messo celeste?”.
“No, Dante non lo dice, e anzi qui interrompe il canto, rimandando al prossimo l'incontro che tutti i lettori si aspettano”.
“Canto ottavo, finora quello più povero di riferimenti scientifici”.
“Passiamo al nono?”.
“Proviamo ugualmente a dire qualcosa. Virgilio e Dante si stanno avvicinando a un'alta torre e, osservando la cima, vedono due fiammelle. In lontananza, poi, vedono una seconda torre rispondere al segnale”.
Io dico, seguitando, ch’assai prima
che noi fossimo al piè de l’alta torre,
li occhi nostri n’andar suso a la cima
per due fiammette che i vedemmo porre
e un’altra da lungi render cenno
tanto ch’a pena il potea l’occhio tòrre.
“Segnale? Che segnale? Per chi?”.
“È quello che si chiede anche Dante, e Virgilio risponde indicando chi è stato richiamato da quelle luci: Flegiàs, alla guida di una piccola barca che viaggia velocissima sulle acque paludose”.
“Va bene. Quale spunto scientifico prendiamo da qui?”.
“Uno spunto molto vago: le due fiammelle”.
“E cioè?”.
“E cioè il fatto che la comunicazione tra le due torri possa avvenire anche senza l'uso delle parole. Si possono usare simboli diversi, abbreviazioni, linguaggi diversi o, semplicemente, codifiche diverse. L'informazione può essere trasmessa in molti modi”.
“Sì, e anche di linguaggio. Siamo nella palude dello Stige, le acque emettono vapori che limitano la visibilità. In più, nel pantano sono immerse le anime dei dannati, che urlano, gridano, ne fanno di tutti i colori. Evidentemente c'è bisogno di comunicare tra la riva sui cui si trovano Dante e Virgilio e un luogo lontano, su cui è stata costruita la seconda torre; luogo che potrebbe essere il posto in cui sta di solito il traghettatore, Flegiàs, oppure l'altra riva: questo non è chiarissimo. Come fare per comunicare in modo efficiente attraverso un canale disturbato?”.
“Disturbato?”.
“Sì, le voci dei dannati possono impedire che un richiamo vocale arrivi a destinazione, e i fumi della palude possono impedire segnali visivi: un uomo (o un diavolo, visto l'ambiente) che gesticola potrebbe non essere visto”.
“E quindi accendiamo le luci”.
“Esatto: due luci e non una per dare ridondanza (magari la prima fiammella non viene vista, e allora per sicurezza mettiamocene una seconda), accese su una torre per evitare i fumi della palude. Non è necessario poi trasmettere molta informazione, basta un bit: luce accesa, vieni qua; luce spenta, aspetta. E infine, per essere sicuri che il messaggio sia arrivato a destinazione, c'è anche la trasmissione di una ricevuta di ritorno”.
“La luce proveniente dall'altra torre”.
“Quella. Questo sistema di semplice comunicazione tra due punti mi ricorda due cose. La prima, non scientifica ma molto evocativa, è l'accensione dei fari di Gondor nel Signore degli Anelli”:
Per un po’ tornò a regnare il silenzio. Poi: “Che cos’è quello?” gridò a un tratto Pippin, aggrappandosi al mantello di Gandalf. “Guarda! Fuoco, fuoco rosso! Ci sono draghi in questa regione? Guarda, eccone un altro!”
Per tutta risposta Gandalf incitò a gran voce il cavallo. “Su, Mantombroso! Dobbiamo affrettarci. Il tempo stringe. Lo vedi? I fari di Gondor sono accesi, chiedono aiuto. È scoppiata la guerra. Vedi il fuoco su Amon Dîn, e le fiamme su Eilenach; e si spostano rapidamente verso ovest: a Nardol, Erelas, Min-Rimmon, Calenhad e l’Halifirien alle frontiere di Rohan.”
“Non molto scientifico, effettivamente”.
“Lo so, ma mi piaceva citarlo, mi piace quella scena con i fuochi che si propagano, portando il messaggio sempre più lontano. Ma rimedio alla poca scientificità con la seconda cosa che mi è venuta in mente: il problema dei due generali”.
“Cos'è?”.
“È un problema non risolubile relativo alla comunicazione tra due soggetti su un canale non affidabile”.
“Eh? Non risolubile? Non affidabile? E i generali cosa c'entrano?”.
“Il problema dice questo: ci sono due generali che devono coordinare un attacco verso truppe nemiche. Le truppe si trovano tra il primo generale e il secondo. I generali possono comunicare tra loro soltanto mandando dei messaggeri, che però devono attraversare la zona nemica e quindi potrebbero essere catturati o uccisi”.
“E quindi il messaggio non arriva”.
“Esatto. I due generali sanno che possono vincere solo se attaccano contemporaneamente, e quindi vogliono essere sicuri di accordarsi sul momento preciso in cui sferrare l'attacco. Come fare? Supponiamo che il primo generale mandi il messaggio attacchiamo domani alle nove del mattino”.
“Per essere sicuro, questo generale dovrebbe aspettare una risposta di conferma. Ma se non arriva?”.
“I casi sono due: o il messaggio non è arrivato al secondo generale, e in questo caso un attacco porterebbe alla sconfitta, oppure il messaggio è arrivato, ma la ricevuta di ritorno no”.
“In questo caso si potrebbe attaccare, ma come si fa a essere sicuri?”.
“Il problema è proprio questo: non si può esserlo. Non esiste un metodo per essere sicuri, in queste condizioni di canale non affidabile”.
“E quindi come si fa?”.
“Serve un canale di comunicazione sicuro, altrimenti c'è sempre il dubbio che l'attacco non funzioni perché i due generali non sono riusciti a mettersi d'accordo”.
“Non è un gran successo, questo”.
“Non lo è, ma non si può fare di meglio. Cioè, dal punto di vista matematico si può dimostrare che non esiste un algoritmo che funzioni, dando la certezza ai due generali; ma usando il calcolo delle probabilità si può cercare di tenere bassa l'incertezza, cercando di capire quale sia la probabilità che il messaggio spedito da uno dei due generali sia intercettato e bloccato”.
“Un problema, per i generali che devono attaccare”.
“Già. E qui ci dobbiamo fermare, perché il resto del canto è occupato dallo sfogo di Dante nei confronti di una particolare anima dannata”.
“Uh, non prova pietà questa volta?”.
“Macché, è tutto un caro Virgilio, vorrei pestare quel tale che è molto antipatico e che non sopporto. E, da parte di Virgilio, ma certo, caro Dante, mi sembra cosa buona e giusta, sfogati pure: anche se sta già penando le pene dell'inferno, infierisci pure”.
“Ma dai”.
“Sì, sì. Dante e Virgilio sono sulla barca di Flegiàs, e un dannato immerso nell'acqua fangosa allunga le mani e chiede a Dante cosa ci faccia lì, dato che non è un'anima dannata. Dante risponde lascia fare, son qua adesso ma poi vado via, piuttosto tu chi sei, che sei così brutto?”.
“Incredibile”.
“E il tipo risponde Vedi che son un che piango”.
“E non dice il nome?”.
“Stranamente no. Ma Dante lo riconosce, e gli dice che è bene che pianga, e dovrebbe continuare a farlo, brutto schifoso. Leggi qua:”.
E io a lui: «Con piangere e con lutto,
spirito maladetto, ti rimani;
ch’i’ ti conosco, ancor sie lordo tutto».
“È proprio arrabbiato”.
“Sì. Dante poi prosegue dicendo che quel tipo in vita non ha commesso nessuna buona azione che meriti di essere ricordata. Poi, tutto gentile, si rivolge a Virgilio”.
E io: «Maestro, molto sarei vago
di vederlo attuffare in questa broda
prima che noi uscissimo del lago»
“Terribile. E Virgilio?”.
“E Virgilio dice ma certo caro Dante”.
Ed elli a me: «Avante che la proda
ti si lasci veder, tu sarai sazio:
di tal disio convien che tu goda».
“Poveretto quel tipo. Ma chi è?”.
“Né Dante né Virgilio ne pronunciano il nome. Gli altri dannati, però, quando lo vedono staccarsi dalla barca, gli danno addosso gridando il suo nome. Impariamo quindi che il poveretto si chiama Filippo Argenti”.
“Poi che succede?”.
“Succede che Dante e Virgilio vanno verso la città di Dite, ma trovano chiuso. E direi di lasciarli lì a soffrire per un po'”.
