Su un particolare insieme numerico - la somma di numeri interi

La somma di due numeri interi (n,m) + (p,q) è uguale a (n+p,m+q).

“Sembra facile”.

“Esatto”.

“In che senso, esatto?”.

“Sembra facile”.

“Non è così?”.

“Non è tutto ovvio. Per esempio, è una definizione ben posta?”.

“Cosa significa?”.

“Ricordi che un numero intero è una intera classe di equivalenza, no? Per esempio, la classe individuata da (1,0) contiene anche (2,1), (3,2), e così via. In pratica, contiene tutte le coppie del tipo (a+1,a): a questa classe di equivalenza abbiamo dato il nome di +1”.

“Vero, un numero intero può essere scritto in tanti modi, come coppia di numeri naturali”.

“E allora, se prendo due modi diversi per rappresentare lo stesso numero, otterrò dalla somma lo stesso risultato?”.

“Ah. Uhm, non ci avevo pensato”.

“Cominciamo da un esempio facile: 1+1”.

“Non mi stai prendendo in giro, vero?”.

“No, no. Vorrei che tu calcolassi 1+1 come somma di numeri interi, non come somma di numeri naturali”.

“E non è la stessa cosa?”.

“No, perché ora stiamo costruendo i numeri interi, quindi non sappiamo ancora nulla su di essi. Invece sappiamo tutto sui numeri naturali, che sono i nostri mattoni”.


“Va bene, vediamo se ho capito. Se voglio calcolare 1+1 devo considerare numeri interi, cioè coppie di naturali. Quindi dovrei calcolare (1,0)+(1,0). Secondo la definizione, dovrebbe risultare (2,0)”.

“Giusto. Ora il problema è: cosa succede se al posto di (1,0) prendi un altro rappresentante?”.

“Uhm. Potrei prendere (2,1): mi stai chiedendo che succede se voglio calcolare (2,1)+(2,1)?”.

“O anche (2,1)+(1,0)”.

“Vediamo: (2,1)+(2,1) fa (4,2). Ehi, va bene, perché (4,2) è in relazione con (2,0)!”.

“Giusto. Se invece calcoli (2,1)+(1,0)?”.

“In questo caso risulta (3,1). Va bene ugualmente, perché (3,1) corrisponde a (2,0)”.

“Riesci a trovare una regola generale? Ricordati che il numero +1 si può scrivere in infiniti modi come (a+1,a)”.

“Potrei provare a sommare (n+1,n) con (m+1,m)”.

“Bene, cosa ottieni come risultato?”.

“Risulta (n+1+m+1,n+m), che è uguale a (n+m+2,n+m)”.

“Esatto. Questa coppia è del tipo (a+2,a), vero?”.

“Sì, e quindi è in relazione con (2,0), cioè con +2”.

“Benissimo, quindi è vero che 1+1 fa 2”.

“Uhm, così tanta fatica per dimostrare una cosa che conoscevamo già...”.

“Sì, ma ora l'abbiamo estesa ai nostri nuovi numeri: 1+1 fa 2 nei numeri naturali, ma anche nei numeri interi. Quindi abbiamo esteso la somma ai nuovi numeri che abbiamo costruito”.

“Uhm, ripensandoci, abbiamo esteso soltanto la somma 1+1. Anche le altre somme funzionano altrettanto bene?”.

“Sì, anche se è noioso dimostrarlo. Abbiamo definito la somma di (n,m)+(p,q) come la coppia (n+p,m+q). Ora prendiamo un altro rappresentante generico per la coppia (n,m), cioè (n+a,m+a)”.

“Mi pare di capire: se il risultato della somma rimane uguale, allora la somma è ben definita sempre”.

“Giusto. Prova a fare la somma, dunque”.

“Allora, (n+a,m+a) + (p,q) = (n+a+p,m+a+q)”.

“Ed è vero che questo risultato è in relazione con (n+p,m+q)?”.

“Sì, perché, secondo la definizione, (n+a+p) + (m+q) è uguale a (m+a+q) + (n+p)”.

“Perfetto, quindi siamo a posto, la somma è una buona somma”.

“Va bene, ho capito. Ma voi matematici come fate a far funzionare cose così complicate? Come vi è venuto in mente di inventare una definizione così strana? Per non parlare della relazione di equivalenza iniziale, quella dalla quale è partito tutto?”.

“Eh, in effetti c'è un trucco”.

Il Bene e il Male

Faranno un prequel di Blade Runner: via web, col televoto, in cui eventi e ambientazioni, per una questione di diritti non acquistati, non avranno nulla a che fare con Blade Runner.

Faranno Toy Story 3: Andy è cresciuto, andrà al college, e nel teaser compaiono tutti i personaggi.

Ancora reboot

Dai, con Star Trek è andata abbastanza bene, ma forse non è il caso di provarci anche con Alien. Ripley è la Weaver, punto. E quando è arrivata sul pianeta degli alieni non sapeva nulla.

Su un particolare insieme numerico - ma sono proprio quei numeri interi?

“Come fai a dire che questi sono proprio i numeri interi? Cioè, roba tipo 1, 2, 3, -1, -2, -3?”.

“Hai detto tipo!”.

“Eh?”.

“Non dire più tipo, ti prego”.

“Perché?”.

“Perché gli studenti sono nella fase in cui dicono tipo ogni volta che aprono bocca. Cioè, tipo, se devono dire una cosa tipo ciao, andiamo a prendere un gelato, dicono ehi raga, cioè, andiamo a prendere, tipo, un gelato?”.

“Oh mamma”.

“Speriamo che passi presto”.

“Di solito sono mode passeggere”.

“È vero. L'unica che non è ancora passata è quella dei pantaloni a vita bassa con le mutande fuori”.

“Taci, taci, non me ne parlare... Forse è meglio se torniamo ai nostri numeri interi. Come procediamo per capire se sono davvero quei numeri interi?”.

“Cominciamo con lo scoprire come sono fatte le classi di equivalenza. Hai dimostrato prima che (3,2) è in relazione con (a+1,a). In particolare, è in relazione con (1,0)”.

“Vero”.

“Ora prendiamo un altro esempio: (3,1). Questo è in relazione con (a+2,a), sei d'accordo?”.

“Giusto: 3+a è uguale a 1+a+2”.

“E quindi questa coppia sarà in relazione anche con (2,0)”.

“Mh, va bene. Mi pare di capire che ti piacciano le coppie con a=0”.

“Infatti. Prova tu a calcolare i corrispondenti di (3,3)”.

“Uhm, (3,3) è in relazione con (a,a), perché 3+a = 3+a. A te piacerà sicuramente (0,0)”.

“Giusto. Proviamo a generalizzare?”.

“Proviamo”.

“Se io scrivo una generica coppia (x,y), questa con quali altre coppie sarà in relazione?”.

“Boh, non saprei”.

“Ricordati che mi piacciono le coppie che hanno uno zero in seconda posizione”.

“Allora, (x,y) sarà in relazione con una certa coppia (a,0). Un momento, potrei anche impostare un'equazione per trovare a”.

“Ottimo: fallo”.

“Allora, se vale la nostra relazione, deve essere vero che x+0 = y+a”.

“E quindi? Quanto deve essere a?”.

“Devo ricavare a a sinistra: ecco, risulta che a = x-y”.

“Quindi una generica coppia (x,y) sarà in relazione con (x-y,0)”.

“Comincia ad accendersi una lampadina...”.

“Hai capito come funziona? Noi scriviamo coppie di numeri, ma possiamo sempre ricondurle a una coppia che ha zero in seconda posizione. In pratica, riconduciamo una coppia di numeri a un numero solo, dato che l'altro è sempre zero”.

“E quindi, senza fare troppo calcoli, potremmo dire che (42,40) è in relazione con (42-40,0) = (2,0)”.

“Esattamente”.

“Ancora non capisco come saltino fuori i numeri interi, però”.

“Prova a dire a cosa corrisponde la coppia (2,3)”.

“Bè, facile, corrisponde a (2-3,0), cioè (-1,0)”.

“Che non esiste”.

“Eh?”.

“Ti pare che (-1,0) sia una coppia di numeri naturali?”.

“Ehm, no, -1 è un intero”.

“Che stiamo ancora definendo, e che quindi non possiamo usare”.

“Uffa, allora non è corretta la corrispondenza tra (x,y) e (x-y,0)”.

“Sì e no. Andiamo per gradi: se x-y è maggiore o uguale di zero, puoi sempre scrivere che (x,y) corrisponde a (x-y,0), questo è quello che hai calcolato tu”.

“Bene”.

“In pratica se x è maggiore o uguale a y la coppia (x,y) appartiene alla classe di equivalenza di (x-y,0)”.

“Ok”.

“E quindi (x,y) corrisponde a x-y”.

“Fin qua ti seguo”.

“E x-y è un vecchio numero naturale”.

“Sì, quindi praticamente finora non abbiamo fatto nulla di nuovo, se non complicare le cose. Invece di scrivere 42 posso scrivere (42,0) oppure (43,1) oppure (44,2) oppure una qualunque coppia nella forma (42+a,a)”.

“Vero. Quindi i vecchi numeri naturali sono stati immersi in questa nuova struttura più complicata”.

“Va bene. Mi piace la parola immersi”.

“Infatti rende bene l'idea, perché i numeri naturali sono stati davvero inseriti all'interno di una struttura più ampia. Per esempio la coppia (0,1) non corrisponde a nessun numero naturale”.

“Vero, non si può fare l'operazione 0-1 all'interno dei numeri naturali”.

“Quindi (0,1) è un nuovo numero”.

“Ah”.

“Diverso da tutti i naturali”.

“Capisco. Sarebbe quindi un numero negativo?”.

“Certo, corrisponde proprio al numero -1 delle scuole elementari”.

“E quindi potremmo anche dire che (0,2) è uguale a -2?”.

“Certo”.

“Quindi tutti i numeri negativi sono del tipo, scusa, hanno la forma (0,a)?”.

“O tutte le forme equivalenti a questa. Per esempio, (3,4) corrisponde a (0,1)”.

“Ah, certo, d'accordo”.

“Naturalmente non basta un nome per fare di un numero proprio quel numero”.

“Eeeehh?”.

“Voglio dire, abbiamo dato a (0,1) il nome -1, ma siamo sicuri che sia proprio il -1 delle elementari? Non potrebbe essere -2, -3, o qualche altro numero?”.

“Boh, e come facciamo a saperlo?”.

“Perché -1 si chiama proprio così?”.

“Uhm, non so cosa vuoi dire. Credo che -1 sia l'opposto di 1, no?”.

“Giusto. Che significa opposto?”.

“Significa che ha segno opposto”.

“Stai facendo come gli studenti quando usano una definizione per spiegare sé stessa”.

“Uhm. Vuoi che definisca opposto senza usare la parola opposto?”.

“Già”.

“Vediamo. Potrebbe essere che l'opposto di un numero è quel numero che, sommato al primo, dà come risultato zero?”.

“Esattamente. L'opposto di a si indica con -a ed è tale che a + (-a) = 0”.

“Bene, quindi come facciamo a sapere se (0,1) è proprio -1?”.

“Dobbiamo definire una somma”.

Su un particolare insieme numerico - costruzione dei numeri interi

Sia data la seguente relazione, definita sul prodotto cartesiano N×N:

due coppie (n,m) e (p,q) sono in relazione se e solo se n+q = m+p.

L'insieme quoziente di questa relazione di equivalenza si chiama insieme dei numeri interi.

“Ecco fatto”.

“Fatto cosa?”.

“Abbiamo costruito i numeri interi”.

“Tu avrai anche costruito i numeri interi, ma io non ho capito praticamente niente”.

“Spiego?”.

“Sarà meglio. E parti dall'inizio: cos'è il prodotto cartesiano?”.

“Questo è facile: il prodotto cartesiano tra due insiemi A e B è l'insieme delle coppie ordinate (a,b), costruite prendendo un qualunque elemento a appartenente ad A e un qualunque b appartenente a B”.

“Va bene, questa l'ho capita. Tu però dici che prendi N×N: prendi due volte lo stesso insieme?”.

“Sì, non è vietato. N×N contiene tutte le possibili coppie di numeri naturali”.

“Ah, ora ci sono. Quindi quando parli di (n,m) e di (p,q) intendi dire che prendi due coppie di naturali, contenute dentro a N×N. Ho capito”.

“Sì, è semplice. Ora prova ad analizzare la relazione”.

“Questa mi pare oscura. Due coppie sono in relazione se n+q è uguale a m+p: che significa?”.

“Prova con qualche esempio: (3,2) e (5,3) sono in relazione?”.

“Uhm, 3+3 fa 6, mentre 2+5 fa 7. No, non lo sono”.

“Giusto. Prova a fare qualche esempio di coppie in relazione con (3,2), allora”.

“Mah, forse (4,3)? Sì, dovrebbe essere giusto, (3,2) e (4,3) sono in relazione perché 3+3 fa 6 e anche 2+4 fa 6”.

“Giusto”.

“Ah, ma allora ho capito: (5,4), (6,5), (7,6) sono tutte coppie in relazione con (3,2). Dato che 3 e 2 differiscono di 1, posso andare avanti quanto voglio creando coppie i cui elementi differiscono di 1. Le due somme n+q e m+p si bilanciano sempre”.

“Esatto”.

“Posso anche scrivere una formula generale: (3,2) è in relazione con qualunque coppia del tipo (a,a-1)”.

“Quasi giusto”.

“Perché quasi?”.

“Perché nell'insieme dei numeri naturali non è sempre definita la sottrazione: quando scrivi a-1 potresti scrivere un numero inesistente”.

“Ma come inesistente?”.

“Ricordati che stiamo costruendo numeri, e che abbiamo a disposizione solo numeri naturali. Se a è uguale a 0, a-1 sarebbe un numero negativo, che non abbiamo ancora definito”.

“Ah, ho capito. Allora la mia formula generale non vale”.

“Potresti modificarla un po' e renderla perfettamente valida”.

“E come faccio?”.

“Rigira il problema: se non puoi affermare che il secondo elemento della coppia si ottiene dal primo elemento sottraendo 1, come puoi cavartela?”.

“Posso dire che il primo si ottiene dal secondo sommando 1. La somma posso sempre farla, giusto?”.

“Proprio così. Quindi il tuo generico elemento diventa (a+1,a)”.

“Bello. Quindi (3,2) è in relazione con (a+1,a), perché 3+a è uguale a 2+(a+1). Giusto!”.

“Ora bisognerebbe dimostrare che quella appena definita è una relazione di equivalenza”.

“Uhm, ricordo che deve soddisfare a tre proprietà: riflessiva, simmetrica e transitiva”.

“Perfetto. La proprietà riflessiva dice che un elemento è in relazione con sé stesso. Come diventa nel nostro caso?”.

“Sarebbe (n,m) in relazione con (n,m), cioè n+m = m+n. Mi pare giusto”.

“Giusto perché stai usando una proprietà della somma di numeri naturali, che (anche se non abbiamo dimostrato esplicitamente) diamo per scontata. Vai con la seconda proprietà delle relazioni di equivalenza, adesso”.

“La proprietà simmetrica. Dice che se (n,m) è in relazione con (p,q), anche (p,q) è in relazione con (n,m)”.

“Esatto. Se applichi la definizione, come diventa?”.

“Se n+q = m+p, allora anche p+m = q+n. Giusto. Anche qui usiamo proprietà dei numeri naturali”.

“Ora la proprietà transitiva. Questa è più difficile”.

“Vediamo: dobbiamo supporre che (n,m) sia in relazione con (p,q) e che (p,q) sia in relazione con (r,s). Dobbiamo dimostrare che (n,m) è in relazione con (r,s)”.

“Ora traduci applicando la nostra definizione”.

“So che n+q = m+p e che p+s = q+r, voglio dimostrare che n+s = m+r. Come faccio?”.

“Somma le tue due ipotesi: quanto fa (n+q) + (p+s)?”.

“Aspetta: che cosa stai facendo?”.

“Ho sommato le due espressioni a sinistra dell'uguale nelle tue due ipotesi. Questa somma sarà uguale a ciò che ottieni sommando le due espressioni a destra dell'uguale”.

“Quindi (n+q) + (p+s) = (m+p) + (q+r), è questo che intendevi?”.

“Sì, va bene. Ora togli tutte le parentesi che non servono”.

“Ottengo n+q+p+s = m+p+q+r”.

“Ora sottrai a destra e a sinistra l'espressione p+q”.

“Rimane n+s = m+r. Ehi, è la tesi!”.

“Quindi anche la proprietà transitiva è vera, e quella che ti ho proposto è davvero una relazione di equivalenza”.

“Bene, Però, boh...”.

“Cosa c'è?”.

“Siam sicuri che questi siano proprio i numeri interi? Quelli delle elementari?”.

“Bella domanda”.

Cioè

“Prof, è vero che se una lo desidera tanto, ma proprio tanto tanto, può rimanere incinta?”.

Su un particolare insieme numerico - partiamo dai numeri naturali

“Dei numeri naturali abbiamo già parlato”.

“Vero: due volte. Hai parlato degli assiomi di Peano e anche di quella bella costruzione basata sull'insieme vuoto”.

“Già, la definizione di Von Neumann. Abbiamo anche parlato delle relazioni di equivalenza, giusto?”.

“Eh, sì, per spiegarle ti sei messo a raccontar parabole... Come dimenticarlo?”.

“Non rinvanghiamo episodi imbarazzanti, per favore”.

“Come vuoi, ma perché stiamo parlando di questi argomenti?”.

“Perché sono il nostro punto di partenza per una serie di costruzioni”.

“Ah, quindi sarebbe meglio ripassare il tutto?”.

“Già, sarebbe bene. Facciamo un elenchino riassuntivo?”.

“Se mi ricordo, sì. Vediamo, dovrei ricordarmi gli assiomi di Peano:”.

1) esiste un numero naturale, 0 (oppure 1).

2) ogni numero naturale n ha un numero naturale successore, che chiamiamo S(n).

3) numeri diversi hanno successori diversi.

4) 0 (oppure 1) non è successore di nessun numero naturale.

5) ogni insieme di numeri naturali che contenga lo zero (o l'uno) e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'insieme dei numeri naturali.

“Bene, ottimo”.

“Però il quinto mi piace di più espresso nell'altro modo:”.

5) indichiamo con P(x) una proprietà valida per il numero x. Se P è vera per 0 (oppure 1) e se la verità di P(n) implica la verità di P(n+1), allora P è vera per tutti i numeri naturali.

“Va bene, sia nel primo modo che nel secondo. L'avevamo chiamato principio di induzione, ricordi?”.

“Giusto”.

“L'altra costruzione, invece?”.

“Ah, quella è molto bella. Ricordo che si basa sull'insieme vuoto, e si costruiscono i numeri in questo modo:”.

0 = {},
1 = {0} = {{}},
2 = {0,1} = {0,{0}} = {{},{{}}},
3 = {0,1,2} = {0,{0},{0,{0}}} = {{},{{}},{{},{{}}}},

e così via.

“Perfetto. Poi abbiamo definito le relazioni di equivalenza, che sono particolari relazioni che devono soddisfare a determinate proprietà, che avevamo chiamato riflessiva, simmetrica e transitiva”.

“Sì, mi ricordo. Ricordo anche che tutti gli elementi in relazione tra loro potevano essere inscatolati insieme”.

“Giusto. Le scatole di cui parli si chiamano classi di equivalenza”.

“Sì, sì, e, se non sbaglio, contengono tutti gli elementi accomunati da una qualche proprietà”.

“Esatto. Le classi di equivalenza raccolgono oggetti diversi con una qualche proprietà in comune. Naturalmente la proprietà cambia a seconda di come è definita la relazione: ogni definizione crea classi diverse”.

“Va bene. Ora ripetimi perché abbiamo ripreso questi concetti, per favore”.

“Perché faremo i costruttori”.

“Costruttori? Di cosa?”.

“Saremo costruttori di numeri”.

“Uhm, costruttori o creatori?”.

“Perché non scopritori? Vuoi che cominciamo già a parlare di filosofia?”.

Siamo tutti critici letterari

Bookreview ha raccolto i cento migliori incipit di romanzi: la posizione numero 30 è occupata da

The sky above the port was the color of television, tuned to a dead channel.

Che probabilmente è l'unica frase di quel libro che merita di essere letta.

(via friendfeed)

Nidan

Per la serie gli esami non finiscono mai, da oggi posso fregiarmi del titolo di nidan.

Anche noi avevamo i debiti: con una materia insufficiente, ma la media almeno pari a sei, vieni promosso. Con due o tre materie insufficienti (ma sempre con la media del sei), sei rimandato.

Oggi ho compreso per bene l'importanza di uno scrutinio: perché non puoi rimandare un ragazzo con due cinque e mezzo, quando con un cinque e mezzo e un sei sarebbe stato promosso. Dagli quattro, se vuoi, ma abbi un minimo di decenza. Così lo prendi in giro: sarebbe come bocciare uno all'esame di stato con cinquantanove.

(No, io niente debiti, eh)

L'ultima settimana di scuola

“Prof, ascolti, io ho due, tre e mezzo e quattro allo scritto. All'orale ho preso due e tre. Domani posso farmi interrogare per rimediare?”.


“Ehm. Proprio domani, che è l'ultima ora dell'anno? Perché non vieni oggi che abbiamo due ore?”.

“Eh, no, prof, devo ripassare. Facciamo domani?”.

“Prof, domani vorrei venire anche io a farmi interrogare”.

“Anche io!”.

“Ehi, anche io!”.

“C'eravamo prima noi due!”.

“Io mi sono prenotato la settimana scorsa!”.

“Noi cinque volevamo venire fuori ora, possiamo?”.

La strana e meravigliosa chimica del decadimento audioattivo - la costante di Conway

Il decadimento audioattivo è analogo alla compressione RLE, usata ad esempio nei fax. L'idea alla base di questo tipo di compressione senza perdita di informazioni è questa: invece di memorizzare n byte tutti uguali, memorizzo n e un solo byte. In pratica un pezzo di immagine tutta bianca, che verrebbe memorizzata come BBBBBBBBBB, una volta compressa diventerebbe 10B.

Non è un sistema molto efficiente, tant'è che nel decadimento audioattivo la stringa che decade pian piano aumenta la sua dimensione. Magari qualche volta la lunghezza potrà anche diminuire, ma in media aumenterà. Ecco un esempio:

11111111
81
1811
111821
31181211
132118111221

Bene, Conway ha studiato la crescita di una generica sequenza, scoprendo che l'n-esima stringa ha una lunghezza proporzionale a λⁿ, dove λ è circa uguale a 1.303577.

Per essere più preciso, ha specificato che λ è l'unica soluzione positiva della seguente equazione:

x⁷¹-x⁶⁹-2x⁶⁸-x⁶⁷+2x⁶⁶+2x⁶⁵+x⁶⁴-x⁶³-x⁶²-x⁶¹-x⁶⁰-x⁵⁹
 +2x⁵⁸+5x⁵⁷+3x⁵⁶-2x⁵⁵-10x⁵⁴-3x⁵³-2x⁵²+6x⁵¹+6x⁵⁰+x⁴⁹+9x⁴⁸-3x⁴⁷
 -7x⁴⁶-8x⁴⁵-8x⁴⁴+10x⁴³+6x⁴²+8x⁴¹-5x⁴⁰-12x³⁹+7x³⁸-7x³⁷+7x³⁶+x³⁵
 -3x³⁴+10x³³+x³²-6x³¹-2x³⁰-10x²⁹-3x²⁸+2x²⁷+9x²⁶-3x²⁵+14x²⁴-8x²³
 -7x²¹+9x²⁰+3x¹⁹-4x¹⁸-10x¹⁷-7x¹⁶+12x¹⁵+7x¹⁴+2x¹³-12x¹²-4x¹¹
 -2x¹⁰+5x⁹+x⁷-7x⁶+7x⁵-4x⁴+12x³-6x²+3x-6 = 0.

Ecco una rappresentazione sul piano complesso di tutte le 71 soluzioni del precedente polinomio: si vede che tre di esse sono reali, e una sola positiva: quella è λ, detta anche costante di Conway.

Rimane un'ultima questione: se prendo una generica stringa e la faccio decadere, posso aspettarmi di trovare tutti i 92 elementi distribuiti con la stessa frequenza?

Naturalmente la risposta è no: alcuni elementi sono più rari, altri più comuni: basta osservare la tabella del decadimento per notare che alcuni elementi compaiono con maggiore frequenza. Ecco qua la lista di tutti gli elementi con le loro frequenze relative:

1   91790.38321598
 2    3237.29685875
 3    4220.06659818
 4    2263.88603245
 5    2951.15037158
 6    3847.05254190
 7    5014.93024640
 8    6537.34907500
 9    8521.93965391
10   11109.00682092
11   14481.44877330
12   18850.44122748
13   24573.00669542
14   32032.81295997
15   14895.88665819
16   19417.93924972
17   25312.78421743
18   32997.17012181
19   43014.36091325
20   56072.54312854
21    9302.09744434
22   12126.00278278
23   15807.18159188
24   20605.88261067
25   26861.36017966
26   35015.85854555
27   45645.87725570
28   13871.12419974
29   18082.08220273
30   23571.39133629
31    1447.89056423
32    1887.43722758
33      27.24621608
34      35.51754794
35      46.29986815
36      60.35545568
37      78.67800009
38     102.56285249
39     133.69860315
40     174.28645997
41     227.19586752
42     296.16736852
43     386.07704943
44     328.99480576
45     428.87015042
46     559.06537945
47     728.78492056
48     950.02745645
49    1238.43419719
50    1614.39466866
51    2104.48819331
52    2743.36297175
53    3576.18561068
54    4661.83427193
55    6077.06118890
56    7921.91882838
57   10326.83331181
58   13461.82516638
59   17548.52928660
60   22875.86388300
61   29820.45616740
62   15408.11518153
63   20085.66870930
64   21662.97282106
65   28239.35894924
66   36812.18641833
67   47987.52943839
68    1098.59559973
69    1204.90838414
70    1570.69118084
71    2047.51732002
72    2669.09703633
73     242.07736666
74     315.56655252
75     169.28801808
76     220.68001229
77     287.67344775
78     375.00456739
79     488.84742983
80     637.25039755
81     830.70513293
82    1082.88832855
83    1411.62861001
84    1840.16696832
85    2398.79983113
86    3127.02093283
87    4076.31340783
88    5313.78949991
89    6926.93520451
90    7581.90471245
91    9883.59863913
92     102.56285249

E questo, almeno per ora, è tutto.



“Ma tutto questo, a che scopo?”.

“Bé, per amor di precisione”.

“Precisione?”.

“Certo, è brutto dire che conosciamo solo l'approssimazione di una certa costante...”.

“Brutto? Ma ti rendi conto? Un'equazione di settantunesimo grado per definire un numero? Che oltretutto serve per spiegare come funziona un giochino? Spero almeno che abbia qualche applicazione”.

“Naturalmente...”.

“Ah, meno male. E dove viene usata, tutta questa matematica?”.

“No, ehm, stavo dicendo naturalmente no”.

“Eh? Non serve a niente? E sette persone, per non parlare del computer con nome e cognome...”.

“Ha anche un secondo nome”.

“Eh?”.

“Il computer con nome e cognome si chiama Shalos B. Ekhad, ha anche un secondo nome...”.

“Roba da matti. Sette persone e un computer con nome, secondo nome e cognome, impiegano vent'anni per studiare come funziona un giochino, tentando di ridimostrare un teorema perduto e inutile scritto su foglietti volanti, oltretutto non riuscendoci completamente?”.

“Sì, hai riassunto bene la storia. Anche se i Veri Matematici non dicono mai che i loro teoremi non servono a niente. In verità, i teoremi servono per fare altri teoremi”.

“Voi siete matti”.

La strana e meravigliosa chimica del decadimento audioattivo - il teorema cosmologico

Abbiamo conosciuto le 92 stringhe atomiche del decadimento audioattivo. Ma che succede se prendiamo una stringa a caso e la facciamo decadere? Decaderà sicuramente, dopo un certo tempo, in sole stringhe atomiche?

Conway pubblicò nel 1986 i suoi studi riguardanti il gioco del decadimento audioattivo su Eureka, la rivista degli Archimedeans, cioè la società matematica dell'università di Cambridge; la maggior parte degli articoli è scritta da studenti (!), ma nell'elenco degli autori troviamo anche gente come Dirac, Erdős, Hofstadter, Stewart, per dire.

In quell'articolo Conway racconta di aver dimostrato, con la collaborazione di Richard Parker, che qualunque stringa arbitrariamente scelta decade in un composto di elementi comuni e transuranici — questa affermazione venne chiamata teorema cosmologico. La dimostrazione era scritta su foglietti e, purtroppo, è andata perduta.

In seguito Mike Guy calcolò il massimo numero di iterazioni necessarie per fare decadere una qualunque stringa, trovando il valore 24. Anche questa dimostrazione, però, è persa.

L'articolo di Conway conteneva una richiesta ai lettori: Can you find a proof in just a few pages? Please!

Nel 1997 uscì un articolo, scritto da Shalosh B. Ekhad e Doron Zeilberger, che conteneva la risposta: sì, la dimostrazione era stata trovata, ma richiedeva l'uso di un computer. Un uso pesante: dal sito degli autori si può scaricare un pacchetto che gira sotto Maple e, dopo un paio di settimane, produce il risultato (un paio di settimane del 1997 — sarei curioso di sapere quanto ci mette oggi, se qualcuno ha Maple può provarlo?).

La dimostrazione non era però perfetta: il programma dimostrava che il teorema cosmologico è vero, ma dava come massimo numero di iterazioni il valore di 29, più alto di quello trovato da Conway. Il fatto meraviglioso di questo lavoro, comunque, riguarda i due autori: Doron Zeilberger è un umano, ma Shalosh B. Ekhad è il suo computer. E risulta accreditato come autore.

Ma andiamo avanti: nel 2003 (con qualche correzione apportata poi nel 2006) R.A. Litherland provò a ridimostrare, utilizzando altre tecniche di programmazione, il teorema. Secondo l'autore il suo programma è simile, in spirito, alla dimostrazione perduta di Conway e Parker. Citando Conway, essa consisteva di “a very subtle and complicated argument, which (almost) reduced the problem to tracking a few hundred cases”, casi che erano “handled on dozens of sheets of paper (now lost)”. Litherland ammette che, forse, la sua tecnica non è abbastanza sottile, perché comunque deve considerare 3360 casi distinti. Comunque è molto veloce, e in poco tempo fornisce la soluzione corretta, compreso il famoso valore di 24 iterazioni.

Ma le dimostrazioni fatte con l'ausilio del computer non sempre sono ben viste dai matematici, soprattutto quando non si è sicuri al di là di ogni ragionevole dubbio (cioè mai) che il software funzioni come si deve. Nel 2006, quindi, entra in scena un altro matematico, Kevin Watkins, che dimostra nuovamente il teorema cosmologico utilizzando il linguaggio Haskell; per me è totalmente incomprensibile, perché non è un linguaggio procedurale, comunque il codice è notevolmente più corto e, quindi, più facilmente controllabile.

E questo pone fine (almeno per ora) alla sequenza di dimostrazioni del teorema cosmologico di Conway: se la sua dimostrazione fatta su foglietti di carta era corretta, non è ancora stata trovata.

Rimane da chiarire un'ultima questione: è davvero 24 il valore minimo di iterazioni necessarie per far decadere qualunque stringa in elementi comuni? Sì, qua la risposta è certa: Conway trovò un controesempio, un composto che decade proprio in 24 iterazioni, da lui chiamato Methuselum (quale altro nome sarebbe stato altrettanto appropriato...?). Eccolo qua:

0: 22333222112
 1: 2233322112
 2: 2233222112
 3: 2223322112
 4: 3223222112
 5: 132213322112
 6: 1113221123222112
 7: 311322211213322112
 8: 1321133221121123222112
 9: La.H.123222112211213322112
10: 11121332212221121123222112
11: Sr.32211322112211213322112
12: 1322211322212221121123222112
13: 11133221133211322112211213322112
14: 3123222.Ca.Li
15: 1311121332
16: 11133112112.Zn
17: Zn.321122112
18: 131221222112
19: 1113112211322112
20: 311321222113222112
21: 1321131211322113322112
22: 111312211311122113222.Na
23: 3113112221133122211332
24: Ho.Pa.H.Ca.Ac.H.Ca.Zn

Guy ne trovò un altro, più efficiente perché più breve, che in seguito fu ulteriormente migliorato da Litherland eliminando le prime due cifre. Dato che era più corto, lo chiamò Thuselum:

0: 333222112
 1: 33322112
 2: 33222112
 3: 23322112
 4: 1223222112
 5: 112213322112
 6: 21221123222112
 7: 121122211213322112
 8: 111.H.13221121123222112
 9: 31.1113222112211213322112
10: 1311.311332212221121123222112
11: 111321.Pm.Ca.32211322112211213322112
12: 31131211.1322211322212221121123222112
13: 132113111221.11133221133211322112211213322112
14: 1113122113312211.3123222.Ca.Li
15: Er.Ca.Sb.1311121332
16: 11133112112.Zn
17: Zn.321122112
18: 131221222112
19: 1113112211322112
20: 311321222113222112
21: 1321131211322113322112
22: 111312211311122113222.Na
23: 3113112221133122211332
24: Ho.Pa.H.Ca.Ac.H.Ca.Zn

Per quanto riguarda il teorema cosmologico, non c'è altro da aggiungere. Ma lo studio non è finito qua: rimangono ancora alcune domande. Quanto sono frequenti gli elementi? Cioè, se una stringa scelta a caso decade, i vari elementi sono ugualmente distribuiti oppure possiamo aspettarci che qualcuno di essi sia più comune e qualcun altro più raro? E poi, come decade una stringa? Di quanto aumenta, se aumenta, la sua dimensione? Ma questa è un'altra storia, e si dovrà raccontare un'altra volta.

È un duro lavoro

Un mio studente è arrivato primo nella sua categoria ai giochi matematici Kangourou, ed è stato ammesso alla finale. Mi tocca accompagnarlo, starò via da questa sera a martedì.

A Mirabilandia.

La strana e meravigliosa chimica del decadimento audioattivo - gli elementi

Dunque una stringa decade, seguendo le regole del decadimento audioattivo, in una stringa più lunga ma spezzabile in tante parti separate, indipendenti. Esistono quindi delle stringhe indivisibili, atomiche?

Sì, effettivamente è così, esistono delle stringhe di base che non sono ulteriormente divisibili. Per esempio la stringa 22 è un atomo, ed è anche stabile, ovvero non decade. Il fatto meraviglioso è che di stringhe atomiche ce ne sono 92, tante quanti sono gli elementi chimici naturali (wikipedia dice che qualche elemento transuranico è stato rinvenuto anche in natura, ma non sottilizziamo). Data la forte analogia con la chimica, Conway ha deciso di chiamare ogni stringa atomica con il nome di un elemento chimico, partendo dall'Uranio e facendolo decadere fino all'Idrogeno.

Ecco la tabella con tutte le stringhe atomiche:

92 U   3
91 Pa  13
90 Th  1113
89 Ac  3113
88 Ra  132113
87 Fr  1113122113
86 Rn  311311222113
85 At  Ho.1322113
84 Po  1113222113
83 Bi  3113322113
82 Pb  Pm.123222113
81 Tl  111213322113
80 Hg  31121123222113
79 Au  132112211213322113
78 Pt  111312212221121123222113
77 Ir  3113112211322112211213322113
76 Os  1321132122211322212221121123222113
75 Re  111312211312113221133211322112211213322113
74 W   Ge.Ca.312211322212221121123222113
73 Ta  13112221133211322112211213322113
72 Hf  11132.Pa.H.Ca.W
71 Lu  311312
70 Yb  1321131112
69 Tm  11131221133112
68 Er  311311222.Ca.Co
67 Ho  1321132.Pm
66 Dy  111312211312
65 Tb  3113112221131112
64 Gd  Ho.13221133112
63 Eu  1113222.Ca.Co
62 Sm  311332
61 Pm  132.Ca.Zn
60 Nd  111312
59 Pr  31131112
58 Ce  1321133112
57 La  11131.H.Ca.Co
56 Ba  311311
55 Cs  13211321
54 Xe  11131221131211
53 I   311311222113111221
52 Te  Ho.1322113312211
51 Sb  Eu.Ca.3112221
50 Sn  Pm.13211
49 In  11131221
48 Cd  3113112211
47 Ag  132113212221
46 Pd  111312211312113211
45 Rh  311311222113111221131221
44 Ru  Ho.132211331222113112211
43 Tc  Eu.Ca.311322113212221
42 Mo  13211322211312113211
41 Nb  1113122113322113111221131221
40 Zr  Er.12322211331222113112211
39 Y   1112133.H.Ca.Tc
38 Sr  3112112.U
37 Rb  1321122112
36 Kr  11131221222112
35 Br  3113112211322112
34 Se  13211321222113222112
33 As  11131221131211322113322112
32 Ge  31131122211311122113222.Na
31 Ga  Ho.13221133122211332
30 Zn  Eu.Ca.Ac.H.Ca.312
29 Cu  131112
28 Ni  11133112
27 Co  Zn.32112
26 Fe  13122112
25 Mn  111311222112
24 Cr  31132.Si
23 V   13211312
22 Ti  11131221131112
21 Sc  3113112221133112
20 Ca  Ho.Pa.H.12.Co
19 K   1112
18 Ar  3112
17 Cl  132112
16 S   1113122112
15 P   311311222112
14 Si  Ho.1322112
13 Al  1113222112
12 Mg  3113322112
11 Na  Pm.123222112
10 Ne  111213322112
 9 F   31121123222112
 8 O   132112211213322112
 7 N   111312212221121123222112
 6 C   3113112211322112211213322112
 5 B   1321132122211322212221121123222112
 4 Be  111312211312113221133211322112211213322112
 3 Li  Ge.Ca.312211322212221121123222112
 2 He  13112221133211322112211213322112
 1 H   Hf.Pa.22.Ca.Li

Dobbiamo leggerla in questo modo: l'Uranio decade nel Protoattinio, perché 3 diventa 13, il quale decade a sua volta nel Torio, perché 13 diventa 1113, e così via. Se in una stringa compaiono simboli di altri elementi, significa che la stringa precedente decade in più di un elemento: per esempio, la stringa del Samario (311332) decade in 13212312, che si spezza (secondo le regole già enunciate) in 132.12.312: 132 corrisponde al Promezio, 12 a Calcio e 312 a Zinco. L'ultimo elemento nella lista è l'Idrogeno (22), che è stabile. Il fatto che le stringhe più lunghe siano composte da 42 cifre non deve farvi prendere dal panico.

Come si vede, non compare mai la cifra 4, a meno che non la inseriamo noi all'inizio (infatti nulla vieta di fare partire il decadimento da una stringa contenente cifre maggiori di 3). Ma anche le stringe artificiali contenenti una cifra maggiore di 3 sono state previste e studiate da Conway: esse decadono in elementi naturali e in elementi chiamati transuranici. Questi ultimi costituiscono due diverse famiglie, quella del Plutonio, che corrisponde a

Pu_x = 31221132221222112112322211x

dove con x indichiamo una qualunque cifra maggiore di 3, e quella del Nettunio, l'elemento nel quale decade il Plutonio e che corrisponde a

Np_x = 1311222113321132211221121332211x

A sua volta il Nettunio decade in elementi stabili e Plutonio — più precisamente, il Nettunio diventa Hf.Pa.H.Ca.Pu_x.

Ora la prossima domanda: abbiamo visto che se partiamo dall'Uranio (3) otteniamo tutti gli elementi, ma è così per qualunque stringa scritta a caso? È vero che ogni possibile stringa decade solo in questi elementi, prima o poi? (E quanto poi?)

Ma la storia della ricerca della risposta a questa domanda merita un post a parte...

La strana e meravigliosa chimica del decadimento audioattivo - fissione

1
11
21
1211
111221
...

Cosa viene dopo? Questa semplice domanda ci permette di dividere il mondo in tre categorie: quelli che rispondono “boh?”, quelli che ci pensano un po' e poi trovano la risposta, e i Veri Matematici.

Dunque, cosa viene dopo? Non è facile rispondere, perché... Beh, provateci un po', prima di continuare a leggere.

Trovata la soluzione? Il motivo per cui è difficile rispondere è dovuto al fatto che quelli che leggiamo non sono semplici numeri, ma sono descrizioni di numeri (metanumeri?). Ogni riga, infatti, descrive la precedente: cosa si legge nella prima riga, per esempio? Una cifra uno, cioè “un uno”, in numeri 11.

Cosa si legge nella seconda? Due cifre uno, cioè “due uno”, in numeri 21. Poi leggiamo un due e un uno, cioè 1211, e così via. Chi appartiene alla seconda categoria si ferma qui, ben felice di aver trovato la soluzione. Cosa fa invece un Vero Matematico? Certamente non si ferma alla soluzione del quesito: ora che ha scoperto cosa viene dopo, vuole capire come funziona la regola. E quindi comincia a domandarsi: posso prevedere come sarà la n-esima stringa? Come si evolvono le stringhe? Ma è un caso che compaiano solo le cifre 1, 2 e 3? Compare mai la cifra 4?

In sostanza, un Vero Matematico si domanda: posso ricavare una qualche regola?

Si dà il caso che in questo giochino di regole ce ne siano tante, e per nulla banali.

Per esempio: in che modo una stringa influenza la successiva? Dobbiamo valutare una sequenza di cifre nella sua globalità, per stabilire come sarà la successiva? La risposta è no: se sono valide certe condizioni possiamo spezzare una stringa in sottostringhe separate, e farle evolvere separatamente. Ecco qua le condizioni:


1) ...m][n..., se m è maggiore o uguale di 4 e n è minore o uguale di 3

Con questa simbologia vogliamo indicare che una stringa si spezza in corrispondenza delle due parentesi quadrate se m è maggiore o uguale di 4 e n è minore o uguale di 3: ciò significa che le due cifre m e n non si influenzano nella generazione della stringa successiva. Per esempio, osserviamo l'evoluzione seguente:

124.1
111214.11
31121114.21
1321123114.1211

tutto quello che avviene prima della cifra 4 non può modificare quello che avviene dopo: se noi prendiamo le due stringhe 124 e 1 e le facciamo evolvere separatamente, ottieniamo lo stesso risultato. Vediamo gli altri casi in cui le stringhe si spezzano:

2) ...2][1¹x¹...

Con questa simbologia vogliamo intendere che una stringa si spezza in due se un 2 è seguito da un singolo 1 e un'altra singola cifra diversa da 1

3) ...2][1³...

4) ...2][3¹x^≠3...

Qui, con una simbologia che il mio vecchio prof di meccanica razionale avrebbe definito sportiva, intendiamo che il 3 è seguito da un'altra cifra che può anche ripetersi, ma non per tre volte.

5) ...2][n¹...

6) ...≠2][2²1¹x¹...

Qui si intende che la cifra prima della parentesi quadra deve essere diversa da 2.

7) ...≠2][2²1³...

8) ...≠2][2²3¹x^≠3...

9) ...≠2][2²n^{0|1}...

Qua si intende che la cifra n o non c'è o è presente una sola volta.

Queste regole ci fanno capire un concetto fondamentale: è vero che la stringa da cui si parte aumenta di dimensione ad ogni passaggio, però essa è spezzabile in varie sottostringhe che possono essere studiate separatamente. Quindi la domanda che dovrebbe nascere spontanea è: esistono delle sottostringhe di base che generano tutto il resto, come se fossero una sorta di atomi, oppure no? Se sì, quante sono? Come sono fatte? Che proprietà hanno?

Vedremo prossimamente quali sono le risposte a queste domande, perché ora ne sorge una ancora più importante: che nome diamo a questo procedimento di costruzione di stringhe numeriche?

Il nome scelto dal Vero Matematico che ha studiato il tutto, Conway (sempre lui, sì), è il seguente: decadimento audioattivo.

Qui Paperino Quack

R.I.P.

Mi serve più antenna

“Un'altra dimostrazione senza parole?”.

“Già”.

“Qui, però, qualche parolina ci starebbe bene, eh?”.

“Forse hai ragione”.

“Quella disegnata lì è una parabola?”.

“Esatto. La figura evidenzia la definizione: la parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto e da una retta”.

“Ah, nella figura il punto è F e la retta è quella orizzontale che contiene A?”.

“Sì. Il punto si chiama fuoco, la retta invece direttrice”.

“Ok, quindi PF e PA sono uguali”.

“O, come dicono i Veri Matematici, congruenti. O isometrici”.

“Va bene. Cos'altro si vede in figura?”.

“Si vede un altro punto particolare della parabola, quello indicato con V, che si chiama vertice”.

“Bene, vedo. È quello che si trova sull'asse di simmetria, giusto?”.

“Giusto. Dato che anche V è un punto della parabola, allora VF e VB sono segmenti congruenti”.

“Poi vedo anche il segmento FA, è diviso a metà da M?”.

“Esatto, la retta VM divide a metà sia FB che FA, per il teorema di Talete”.

“Ok. Però c'è una cosa non chiara: come faccio a dire che PM è la tangente?”.

“Bene, ottima osservazione: in effetti non l'abbiamo mai detto. Si può ragionare in questo modo: il triangolo PFA è isoscele, giusto?”.

“Certo, l'abbiamo detto all'inizio: è la definizione di parabola”.

“Sappiamo anche che in un triangolo isoscele la mediana relativa alla base è anche altezza e bisettrice”.

“Vero. Quindi PM divide in due AF, è perpendicolare ancora ad AF, e in più divide in due l'angolo in P. Ah, ecco, vedo che i due angoli FPM e MPA sono segnati allo stesso modo”.

“Esatto. Ora, ragionamo sulla retta PM; questa divide il piano in due parti: una contiene punti che hanno distanza da F minore della loro distanza da A, l'altra contiene punti che hanno la proprietà opposta, cioè hanno distanza da A minore della distanza che essi hanno da F”.

“Uhm, va bene, credo di aver capito. Dovrebbe essere il modo che usano i Veri Matematici per dire che la retta PM divide il piano in due parti, i punti vicini a F e quelli vicini ad A”.

“Va bene, diciamo così. Ora, noterai che tutti i punti della parabola stanno dalla stessa parte”.

“Ehi, Vero Matematico! Quasi tutti i punti...”.

“Sì, hai ragione, tutti i punti tranne P stanno dalla stessa parte, quella dei punti vicini a F”.

“Bene”.

“Siamo sicuri?”.

“Eh?”.

“Siamo sicuri che non ci siano altri punti della parabola che stanno sulla retta PM?”.

“Uffa. Come faccio a saperlo? Ma dai, si vede!”.

“Eh, si vede è una risposta non accettabile... Lo sai, vero?”.

“Già. Quindi, come faccio?”.

“Prova. Immagina di prendere un altro punto della parabola, chiamalo Q”.

“Ok. Aspetta che faccio una figura”.

“Bene. Ora, Q si trova sulla parabola, quindi la sua distanza da F sarà uguale alla sua distanza dalla direttrice”.

“Cioè QF è uguale — anzi, congruente — a QQ'”.

“Sì. Dato che QQ' sarà sempre minore di QA, possiamo concludere che QF è minore di QA”.

“E quindi?”.

“E quindi Q sta nel semipiano dei punti vicini a F, e non può appartenere a PM”.

“Va bene, ma ancora non vedo la conclusione”.

“Ormai è semplice: hai immaginato di prendere un qualsiasi punto Q della parabola diverso da P, e hai concluso che Q non appartiene a PM”.

“E quindi?”.

“E quindi PM ha un solo punto in comune con la parabola”.

“Ah! Ho capito! Dato che PM ha un solo punto in comune con la parabola, è la tangente”.

“Proprio così. A questo punto la nostra dimostrazione senza parole ci dice qualcosa sugli angoli che hanno vertice P”.

“Uhm, vedo tre angoli congruenti”.

“Sì. Considera anche la linea tratteggiata, che è la perpendicolare alla tangente”.

“Si chiama anche normale, vero?”.

“Esatto. Immaginala come asse di simmetria”.

“Ah, vedo: i due angoli segnati in blu sono simmetrici rispetto alla normale”.

“Già. Immagina che la parabola sia uno specchio. Ti traduco quello che abbiamo dimostrato in linguaggio fisico: l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione”.

“Wow!”.

“Quindi ogni raggio parallelo all'asse della parabola viene riflesso nel fuoco”.

“Ma allora è per questo che mettiamo le parabole sul tetto per ricevere i segnali da satellite?”.

“Proprio così. Anche se quelle che mettiamo sul tetto non sono curve, ma sono superfici. In pratica si prende una parabola, la si fa ruotare intorno al suo asse, e si ottiene una specie di scodella che i Veri Matematici chiamano paraboloide ellittico”.

“E poi mettiamo il ricevitore nel fuoco?”.

“Sì”.

“A me però non sembra che il ricevitore delle antenne che stanno sui tetti sia proprio nel fuoco, mi sembra un po' fuori asse”.

“In realtà è il paraboloide che è tagliato storto: viene tagliato con un piano non perpendicolare all'asse in modo tale che il ricevitore non schermi una parte di superficie. Le antenne fatte così si chiamano antenne offset. In questo modo si può risparmiare sulle dimensioni del disco”.

“Anche se...”.

“Anche se?”.

“Se uno ha bisogno di un'antenna grande può usare questa”.

Giorni di un futuro passato

Oggi è uscito il dodicesimo Carnevale della Matematica, da Gravità Zero. Il che ha provocato una notevole reazione a catena: per prima cosa, una delle partecipanti ha scritto un post sul Festival della Matematica di quest'anno parlando di Galois (e già questo non è poco). Il suddetto post cita, in tre righe, le macchine matematiche costruite a Modena.

Allora io ho scritto all'autrice su feisbuc (nessuno è perfetto) facendole presente che la costruzione delle macchine matematiche ebbe inizio ai tempi in cui io ero al liceo, nel mio liceo, da parte della mia prof. di matematica e di un collega.

Nel mio commento facevo riferimento anche a una mia compagna di classe, pure lei in ascolto. I ricordi iniziano a mettersi in movimento.

Cominciamo a cercare informazioni in rete, salta fuori una pagina di Treccani Scuola, che fra le altre cose dice:

Già all'inizio degli anni '80, un piccolo gruppo di insegnanti (Marcello Pergola, Annalisa Martinez e Carla Zanoli) aveva iniziato a produrre a scuola sussidi didattici ispirati agli approcci di Lucio Lombardo Radice ed Emma Castelnuovo. I sussidi erano sistemi articolati e biellismi montati su tavolette di piccole dimensioni, in grado di tracciare curve algebriche o di realizzare trasformazioni geometriche. Accanto a questi, c'erano le 'barelle', modelli dinamici più grandi con piani fissi e piani mobili di legno o plexiglas, in grado di rappresentare ombre e prospettive, attraverso la materializzazione dei raggi luminosi o dei visivi con fili tenuti tesi da pesi da pesca.

Siamo quasi alla commozione: noi c'eravamo, eravamo gli strani del liceo, perché avevamo una prof. che ci spiegava cose strane, non nel programma. Parole come traslazioni, rotazioni, isometrie, glissosimmetrie, omotetie, proiettività, birapporti, polari erano il nostro pane quotidiano. La matematica ha iniziato a piacermi grazie a quelle cose lì.

L'articolo prosegue:

La produzione degli oggetti avveniva nel seminterrato del Liceo Scientifico Tassoni di Modena, in prossimità dell'Aula di Matematica. L'aula-laboratorio, frequentata dalle classi dei tre insegnanti, godeva di una fama incerta tra gli studenti delle altre sezioni. L'invito a visitare l'aula per attività di laboratorio era raramente accolto dai colleghi di matematica delle altre sezioni.

Mi sono rivisto per un attimo in quell'aula, a provare le macchine. C'era un plotter (un plotter vero, di quelli di una volta) col quale i nostri insegnanti avevano fatto un filmato: un fascio di coniche in movimento. Non c'era geogebra, a quei tempi. C'erano delle calcolatrici HP, che programmavamo in notazione polacca inversa—conoscevamo la regola di Horner, per dire. C'erano dei coni di legno tagliati in tutti i modi possibili. C'eravamo noi, così tanto giovani...

Proooof, posso usare la calcolatrice?

Se in una verifica compaiono numeri maggiori di 11 subito tutti gli studenti pretendono di poter usare la calcolatrice (prof, ma non vorrà che calcoli il quadrato di 16 a mano, vero?).

Nel 1907 Henry Dudeney pubblicava il suo primo libro, Gli enigmi di Canterbury, in cui proponeva un problema in cui si chiedeva di trovare due numeri razionali, diversi da 1 e 2, che elevati al cubo e sommati dessero come risultato 9. Questi due numeri, naturalmente, dovevano essere frazionari. Pare che già nel diciassettesimo secolo Fermat avesse trovato una soluzione composta da due frazioni aventi denominatori di ventuno cifre (soluzione che non sono riuscito a trovare, però), ma Dudeney ne presentò una molto più semplice.

Il numero

415280564497
------------
348671682660

elevato alla terza dà come risultato

71618433685536548740491975757991473
-----------------------------------
42388693682134611430314787845096000

mentre il numero

676702467503
------------
348671682660

elevato alla terza dà come risultato

309879809453674954132341114847872527
------------------------------------
42388693682134611430314787845096000

Ebbene, la somma di questi due cubi è uguale a 9.

Senza calcolatrice.

im a AI "brain" lol

Oggi è nata la prima singolarità. Creata da google, si chiama CADIE (acronimo di Cognitive Autoheuristic Distributed-Intelligence Entity), e ha un blog. Naturalmente è ancora giovane: scrive ancora con un sacco di abbreviazioni e usa il comic-sans.

La scala di Giacobbe e altre string figures

I Rudi Mathematici segnalano, nella rivista di questo mese, un sito di string figures, che sarebbero quegli intrecci che si fanno con due mani e un anello di corda. Questa è la "classica" scala di Giacobbe, ma sul sito ce ne sono molte altre, con le istruzioni per costruirle e i filmati.

Il sito in questione, Gadan Climbing, parla di manipolazioni di cordini: in effetti è anche un sito di alpinismo. A ogni manipolazione è associato un indice di difficoltà, analogo a quello che usano gli arrampicatori per classificare i loro "passaggi".

Welcome to the real world

Questo succedeva qualche anno fa:


“Proooof, ma lei come fa a conoscere il grafico della funzione solo guardando la formula?”.

“Eh, il prof è come Neo, legge direttamente il codice”.

Son già dieci anni, sigh.

Ma come si fa a insegnare quando mancano le basi?

“Abbiamo detto che un flesso è un punto in cui cambia la concavità”.

“Sì, prof, ma in che senso? Non si capisce bene cosa vuol dire cambiare la concavità”.

“Allora, questa è una pista di moto vista dall'alto”.

“Moto?”.

“Sì, facciamo una gara. All'inizio il motociclista è piegato verso sinistra, se vuole percorrere la curva”.

“Eh, già”.

“Poi si rialza e, verso la fine, sarà piegato verso destra”.

“Giusto”.

“Ci sarà un punto in cui la moto si trova verticale, no? Il passaggio dalla curva a sinistra a quella a destra”.

“Vero”.

“Bene, quello è il flesso”.

“Ho capito”.

Passa il tempo.

“Prof, ma anche nei punti angolosi c'è un flesso?”.

“Eh, bella domanda. Qua si tratta di mettersi d'accordo sulla definizione: in effetti anche coi punti angolosi ci potrebbero essere cambi di concavità”.

“Infatti”.

“Però nel punto non esiste la tangente. Di solito quelli non si chiamano flessi, molti libri specificano che nel flesso deve esistere la tangente. Ricordi l'esempio della moto?”.

“Certo”.

“Ecco, in questo caso servirebbe la moto di Tron per percorrere questa pista”.

“Eeeh?”.

Il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla radice del dente di mia nonna

Per la serie Dimostrazioni Senza Parole, ecco qua un famoso teorema:

(Menzione d'onore a chi coglie la citazione contenuta nel titolo del post senza usare google...)

Altro che tesina d'esame

Keplero ha pubblicato un link, segnalatomi poi anche da Marcello Seri, relativo a uno studio compiuto da alcuni studenti del Liceo Scientifico “A. Vallisneri” di Lucca: analizzando le registrazioni in mp3 delle comunicazioni tra Neil Armstrong (sulla luna) e il controllo di Houston (sulla terra) hanno notato che le parole trasmesse da Houston, riecheggiando all'interno del casco dell'astronauta, rientravano nel suo microfono e venivano ritrasmesse a terra, creando un'eco.

Misurando il ritardo dell'eco, gli studenti sono stati in grado di misurare la distanza terra-luna.

Usando poi le registrazioni della missione Apollo 17 (che è rimasta sulla superficie lunare per circa trecento ore) gli studenti sono riusciti a misurare anche l'eccentricità dell'orbita lunare. Non male, eh?

(Guardando il testo dell'articolo, vedo che ha partecipato anche il Liceo Scientifico “E. Fermi” di Massa: onore anche a loro)

La Guardia cittadina

Me lo avevano detto che i libri di Terry Pratchett sono suddivisi in varie saghe, pur essendo ambientati sempre nello stesso mondo. Mi avevano anche detto che un profano non dovrebbe leggerli partendo dalla prima, quella di Scuotivento. Io però sono molto puntiglioso su queste cose: devo partire dall'inizio e procedere in ordine (anche se, davanti alla saga di Guerre Stellari o la ciclo della Fondazione di Asimov mi trovo un po' a disagio).

Insomma, sono partito proprio dalla saga di Scuotivento, che mi ha divertito, ma niente di più. Poi sono passato alla saga delle streghe, molto carina; poi Morte, uno dei personaggi migliori del mondo disco. Poi, finalmente, sono arrivato ai romanzi della Guardia: spettacolari.



Oltre al livello dell'umorismo c'è dell'altro. Per esempio, la discussione sull'ateismo messa in bocca al golem di Piedi d'argilla è molto seria, e così pure il tema dell'uguaglianza tra "diversi" di Uomini d'arme. La biblioteca di Modena li classifica come libri per ragazzi, ma non è assolutamente così. I ragazzi certamente si divertiranno, ma gli adulti potranno fare anche riflessioni più profonde (pur continuando a divertirsi, naturalmente).

In più, i romanzi della Guardia sono gialli: c'è un morto, c'è un'indagine, c'è la soluzione finale. Ma per me questo è un aspetto secondario, a me interessano le storie che si evolvono, le relazioni tra i personaggi, mi interessa sapere se lui ama lei, se si rivedranno, se questo è davvero buono e quello davvero cattivo. Temo che questo sia indice di vecchiaia, ma forse no. C'è stato un periodo della mia vita in cui guardavo Sentieri, per dire.

Un simpatico problema di probabilità

(Di solito non lo sono, simpatici...)

Consideriamo le prime cifre dei numeri 2ⁿ: 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, ...

In questa successione compare la cifra 7? E quale cifra si incontra più spesso: 7 o 8? E quanto più spesso?

Dopo averlo risolto (o prima di risolverlo) (o invece di risolverlo...) date un'occhiata alle Dense Potenze di marcellosblog.

Gara a squadre

Questo pomeriggio ho accompagnato alcuni studenti a una gara a squadre di matematica. I testi dei problemi erano tutti sulla falsariga di questo (che è il primo quesito):

1. La luce sulla cima
Il robot paranoico Marvin è sul bordo del cornicione della torre A della Megadodo Publications, la casa editrice della Guida Galattica per AutoStoppisti (G²AS) a 78 metri di altezza, ha appena terminato la discussione esistenziale con il Frogstar Robot Tank e guarda verso la vetta dell'unica collina di Ursa Minor B. In effetti, guarda proprio la luce in cima dell'antenna sulla vetta della collina: per farlo, alza la testa di 30 gradi. Sapendo che la collina è alta 856 m, l'antenna è alta 6 m e gli occhi di Marvin sono a 2 m dal cornicione, qual è la distanza in metri tra gli occhi di Marvin e la cima dell'antenna?

Buon Ceil(Pi) day

Oggi, giornata nella quale si festeggia il Pi Day approssimato per eccesso, vi segnalo che ieri è uscito l'undicesimo Carnevale della Matematica e vi omaggio con la seguente frazione:

59946682763143137809392908831860261770944188707458
--------------------------------------------------
19081621767431898279289737232615955683911919747559

E anche questa volta niente assegno

Ho scritto a Knuth segnalandogli un errore in un suo libro.

Mi ha risposto in modo molto gentile spiegandomi che non avevo ben colto una nuance della lingua inglese. Insomma, l'errore non c'era.

Stavo pensando di rispondergli che, no, in effetti non avrei mai pensato di essere in grado di trovare un errore in uno dei suoi libri, ma speravo lo stesso di ricevere uno dei suoi famosi assegni da incorniciare.

È un pazzo con la bava alla bocca

Un accanito modellista ha costruito un dodecaedro di Rubik: qui tutte le fasi della costruzione.

Alcune statistiche:

Il dodecaedro è fatto con 975 pezzi;
ogni faccia ha 101 adesivi, per un totale di 1212;
sono state impiegate 20 ore per fare il master e gli stampi;
12 ore per le fusioni di tutti i pezzi;
30 ore per ripulire i pezzi e sabbiarli;
7 ore per l'assemblaggio;
6 ore per incollare gli adesivi.

E poi dicono a cosa serve la matematica.

(via)

Cominciamo bene

“Allora, ci siete tutti?”.

“Boh, prof. Sì, cioè, no, insomma...”.

“Vabbè, ho capito. Alice?”.

“Presente”.

“Bruno?”.

“Sì”.

“Carlo?”.

“Qui”.

“Dario?”.

“Quo”.

“Erio?”.

“Qua”.

“...”.

Are you a math genius?

La Wolfram Research ha da tempo pubblicato un sito sulla matematica di Numb3rs (telefilm che riprende a essere trasmesso in Italia da domani sera). Dall'inizio della quinta stagione il sito si è arricchito: a ogni puntata è associato anche un quesito matematico. Questo è un classico, ma non l'avevo ancora visto sotto forma di animazione.

(Via 360)

Considerazioni di similitudine

Alcuni problemi che sembrano difficili da risolvere hanno una soluzione facile se si fanno alcune considerazioni di similitudine e di dimensione.

Per esempio: gli animali di un deserto devono compiere grandi distanze tra le diverse sorgenti d'acqua. Come dipende il tempo massimo di corsa dalle dimensioni L dell'animale?

La riserva d'acqua è proporzionale al volume dell'animale (cioè a L³), la trasudazione alla sua superficie, cioè a L². Quindi il tempo massimo di corsa da una sorgente d'acqua all'altra è proporzionale a L. In altre parole: gli animali grandi corrono per più tempo.

Altro esempio: come dipende la velocità di corsa dell'animale in un luogo pianeggiante e in montagna dalle dimensioni L dell'animale?

La potenza esercitata da un animale è proporzionale a L²; la resistenza dell'aria è proporzionale al quadrato della velocità e all'area della sezione trasversale — la potenza spesa per vincerla è proporzionale quindi a v²L²v. Quindi v³L² deve essere proporzionale a L², e allora v non dipende da L. In effetti la velocità di corsa in pianura per animali non più piccoli della lepre e non più grandi del cavallo non dipende praticamente dalle dimensioni.

Per correre in montagna è necessaria una potenza mgv proporzionale a L³v. Dato che la potenza esercitata è proporzionale a L², troviamo che v è inversamente proporzionale a L. Un cane sale di corsa su un colle, un cavallo segna il passo.

Infine, come dipende dalle dimensioni dell'animale l'altezza che esso può raggiungere con un salto?

L'energia necessaria per un salto di altezza h è proporzionale a L³h, mentre il lavoro compiuto dalla forza muscolare F è proporzionale a FL. F è proporzionale a L², dunque L³h deve essere proporzionale a L²L, e quindi h non dipende dalle dimensioni dell'animale. Effettivamente il topo delle piramidi e il canguro salto più o meno alla stessa altezza.

Tratto da V.I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, che a sua volta ha tratto da J. Smith, Idee matematiche in biologia.

Compito per casa: dimostrare che King Kong non può esistere.

Un interessante problema autoreferenziale

Siamo diventati famosi anche negli States: il carnevale della matematica è stato notato anche là.

Si sono accorti che non è il nostro primo carnevale, dato che il titolo del post parla del numero 10₁₀. Ma in quale base deve essere considerato il secondo 10? Forse 10₁₀₁₀? Ma, in questo caso, il terzo 10 in quale base è scritto...?

Successo o fallimento?

“Prof, con tutti questi esercizi sulle equazioni differenziali mi ha fatto venire voglia di fare fisica”.

“Guarda che per fare fisica devi studiare molta matematica, sai?”.

“E allora studierò matematica”.



(Si scherza nel titolo del post, eh)

Valentino matematico

You disintegrate my differential,
You dislocate my focus.
My pulse goes up like an exponential
whenever you cross my locus.
Without you, sets are null and void —
so won’t you be my cardioid?

(via jd2718)
(oggi comunque si festeggiano i santi Cirillo e Metodio)

Carnevale della Matematica #1010

Benvenuti al carnevale della matematica numero 10₁₀. Ricordando che al mondo ci sono solo 10 categorie di persone, quelli che capiscono il sistema binario e quelli che non lo capiscono, andiamo a incominciare.

Vediamo qualche caratteristica del numero 10: è la base della numerazione posizionale decimale, cioè quella che usiamo di solito. È un numero composto: i suoi divisori sono 1, 2 e 5; è un numero difettivo, dato che 1+2+5=8, e dato che 8 è minore di 10. È un numero triangolare, essendo formato da 1+2+3+4; è un numero felice, dato che 1²+0²=1; è la somma dei primi tre numeri primi e dei primi quattro fattoriali. Inoltre, 10₁₀=1010₂.

Ricordiamo anche il Decalogo, con i dieci comandamenti, e il Decamerone, nel quale dieci giovani raccontano dieci storie al giorno per dieci giorni.

E, infine, non dimentichiamo l'affascinante documentario Potenze di 10.

Veniamo ai contributi di questo mese.

Dario Bressanini ci propone quello che, a prima vista, sembra un semplice giochino di carte. In realtà è un pretesto per parlare di metodo scentifico e pregiudizi.

Ricciele ha creato un filmato in cui illustra la costruzione della curva di Peano, anche nella versione proposta da Bruno Munari: lo trovate qui.

Gravità Zero ci propone tre contributi, da parte di tre autori diversi: Massimo Auci ci parla di come calcolare la potenza di un generico polinomio con l'aiuto della geometria; Walter Caputo ci parla di eventi rarissimi: avete mai partecipato a qualche lotteria, pur sapendo che la probabilità di vittoria è estremamente bassa? Ebbene, la lotteria in questione riguarda l'esplosione di una stella. Infine, Rosa Maria Mistretta ci riporta coi piedi per terra: avete mai considerato un lichene dal punto di vista dei frattali?

.mau. ha scritto molto: per la categoria matematica light ci offre Perché non potrei mai fare il fisico, una riflessione (anche filosofica) sulla differenza tra i problemi matematici e i problemi fisici; e aritmetica modulare parte 1 e parte 2, una spiegazione sul funzionamento dell'aritmetica modulare. Per la categoria povera matematica abbiamo invece L'inflazione dà i numeri, ovvero come è facile scegliere numeri diversi ma tutti formalmente corretti, a seconda di cosa si voglia far risaltare, Per una volta che potevano dire "più del 100%", che analizza il problema del riportare in termini percentuali una variazione tra risultati economici di segno diverso, e Pesavano più di 455 chili, ovvero come fare inutili conversioni ultraprecise tra unità di misura. Il nostro ci segnala poi un interessante testo di Martin Gardner: Entertaining Mathematical Puzzles; i Fatti di Carl Gauss, da lui tradotti in italiano; il fantastico poema S_{|{e,s,t,i,n,a}|} e la repository (o il repository?) degli articoli di matematica di Paul Erdős; infine due siti che permettono di stampare carta millimetrata o con schemi di vario tipo (c'è anche la carta a esagoni per giocare a DnD Hex).

I Rudi Mathematici, che questo mese festeggiano dieci anni di pubblicazioni, ci offrono un problema fisico (quello che ha fatto dire a .mau. che non potrebbe mai fare il fisico): Perfettamente ideale. Poi ci propongono il primo compleanno mai comparso sulla loro rivista, quello di Lagrange, un post catalogato come farneticazione — ma che, in realtà, ci parla del paradosso della conferma — intitolato Ah! Dicevo io..., e infine ci raccontano di come Venn abbia ucciso Lady Barbara. Chi è Lady Barbara? Andate voi a scoprirlo...

Giovanna, da Matematicamedie, ha parlato di numeri irrazionali zebra. Per la categoria didattica con excel ci propone tre post: l'equazione di una retta e l'intesezione tra due rette, l'algoritmo di Euclide per il calcolo del massimo comun divisore, il triangolo di Tartaglia. Poi, per ricordarci che algebra e geometria non sono due mondi che non si parlano, ci mostra come costruire geometricamente le potenze di 1/2 mediante geogebra. Infine, continua la serie sugli antichi sistemi di numerazione: abbiamo indiani, arabi, e il sistema posizionale.

Annarita, da Matem@ticaMente, ci guida all'esplorazione di Spacelandia (che è come Flatlandia, ma con una dimensione in più...), poi ci propone un problema di piastrellamento, ci parla del paradosso dell'area scomparsa e di alcune proprietà della pi greca (ehm). Poi, per rinfrancar lo spirito tra un problema e l'altro, ci segnala un gioco logico-matematico: Strimko. Infine, alcune letture: una introduzione al Tangram, uno studio sulla Gioconda fatto utilizzando la geometria composita, e un bel testo di storia della matematica, intitolato Number Stories of Long Ago.

E questo è tutto. L'appuntamento per il prossimo Carnevale è da Marcello Seri (e sarà per il pi day, eh).

Quattro giorni a Parigi

Che dire di Parigi? Siamo stati là per poco tempo, compiendo una visita standard (eh, sì, siamo stati anche di fronte alla Gioconda, c'erano anime innocenti con noi che non l'avevano mai vista) (sì, li ho portati anche in cima alla torre Eiffel, non vi dico il freddo che faceva).

Le insegne della metropolitana sono scritte in un delizioso font Art Deco, per esempio.



E la Nike è sempre bellissima.



Anche Amore e Psiche hanno il loro fascino.



Il tema dominante, comunque, è stato quello delle tette. Il Louvre ne è pieno:



(e, non c'è che dire, la Venere ha un gran fisico)



ma anche l'Orsay non scherza:



e da lì al mestiere più antico del mondo il passo è breve:



Poi è tutta discesa, fino alla mitica fontana di Duchamp,



conservata al centro Pompidou:



Io devo costruirmi una di queste:



Questo era il panorama dalla finestra dell'ostello in cui eravamo, il giorno della partenza:



La speranza dei bimbi era quella di rimanere bloccati dalla neve; in realtà siamo partiti nel pomeriggio e sia l'aereoporto di partenza che quello di arrivo erano già stati adeguatamente ripuliti (ma ci è andata molto, molto bene: la fila di persone che aspettava di poter partire era interminabile; mentre la percorrevo tutta mi sembrava di essere in una candid camera, non potevo credere che fosse vera).

E, a proposito di ostelli, se dovete portare una classe a Parigi, o se volete anche andarci per conto vostro, vi consiglio il Mije: ottimi servizi a prezzi veramente bassi, a due passi da Notre Dame.

[Qui ho messo tutte le foto]

Ville Lumière

Quando, qualche giorno fa, ho detto che sarei andato a Parigi (che poi non l'ho detto, ma l'ho scritto su feisbuc, però siccome questo non mi fa onore lasciate perdere) (che tanto, poi, quello che sto per scrivere mi fa ancora meno onore), comunque, quando ho detto così un'amica mi ha detto: salutami la Ville Lumière.

Allora io ho fatto finta di niente e, quando son stato a Parigi, ho cominciato a guardarmi intorno. C'erano tanti bei palazzi, eh, tanta roba grossa, che i francesi se non fan le cose grandi non sono contenti. Ma la Ville Lumière non l'ho mica vista. Allora, parlando del più e del meno, mentre passeggiavamo tra un palazzo e l'altro, ho detto a mia moglie, che queste cose le sa: senti, ma, la Ville Lumière, che cosa... cioè, ehm, mi daresti una definizione di Ville Lumière?

E allora lei mi ha spiegato che Parigi è stata definita la Ville Lumière, cioè città della luce, perché fu una delle prime città a dotarsi dell'illuminazione stradale. E io ho pensato: ecco perché non trovavo nessuna Ville Lumière in giro. Però non l'ho mica detto ad alta voce, eh.

Oh, non è che si può sapere tutto. Voi la sapete l'equazione della catenaria, per dire? Ecco.

Problemi matematici di xkcd

xkcd ha messo online una pagina wiki contenente alcuni problemi matematici la cui soluzione va contro il senso comune (fiendishly counterintuitive, dice lui).

Messaggio in codice

Maghetto pasticcio è dentro la vasca
ma fa una magia... e c'è il mare in burrasca!
Che lampi! Che onde! Lo portano via...
Maghetto Pasticcio, dai, cambia magia!

E qui dove siamo? Che posto carino!
C'è un bosco e una casa... che buffo camino!
Chi ci abiterà? Una fata? Un folletto?
«Andiamo a vedere!» decide Maghetto.

Aiuto una strega! Che unghie... che denti!
E come capelli ha cento serpenti...
È verde e infuriata, odia la compagnia...
Maghetto Pasticcio, dài, cambia magìa!

Adesso è passata, però che paura!
E qui cosa c'è? Una grotta... ma scura!
Bé, entro o non entro? Io sono curioso...
«Magari ci trovo un tesoro prezioso!»

Ma quale tesoro? C'è un grosso leone!
Saprebbe mangiarti così in un boccone!
C'è solo un sistema per scappare via:
Maghetto Pasticcio, dai, cambia magia!

Oh guarda, qui siamo nel cielo stellato:
Maghetto Pasticcio lo guarda incantato,
poi atterra ed esplora una fetta di Luna
e pensa: «Stavolta ho avuto fortuna!»

Ma ecco arrivare tre mostri spaziali
sbarcati da un disco che vola senz'ali...
«Mi prendono, aiuto! Dov'è casa mia?»
Maghetto Pasticcio, dai, cambia magia!

Ed eccolo a casa che mangia la torta
però c'è qualcuno che bussa alla porta...
Maghetto Pasticcio continua a mangiare.
Toc toc! «Siamo amici! Ci inviti ad entrare?»

Dedicato a una prestigiosa rivista di matematica ricreativa che questo mese compie dieci anni.

Sprechi

Usare il wifi del centro Pompidou per vedere le tue foto di quando facevi il liceo pubblicate da una tua ex compagna di classe.

Qua siam messi così

“Guarda che tu mi devi ubbidire!”.

“Ma mamma, io posso decidere se ubbidirti o no”.

“No! Puoi disubbidirmi solo se poi vai a predicare al tempio!”.

Call for paper

Il 14 febbraio si festeggia il Carnevale della Matematica, ospitato qui. Se avete scritto qualcosa di matematico e volete che sia pubblicato, fatemi sapere.

Tanto per mettere le cose in chiaro

“Prof, posso andare ad aprire la finestra?”.

“Va bene... però tirati su le braghe che non mi piace la visione delle tue mutande”.

“Ma uffa, prof... Va bene?”.

“Sì, ma non camminare così che mi sembri Jar Jar”.

“Ma prof, lei non sa nemmeno chi sia Jar Jar”.

“See”.

“Allora mi dica: che razza è? Su che pianeta è nato?”.

“Ehm. È un Gungan”.

“Giusto. E il pianeta?”.

“Eehhmmm”.

“Psst, prof! Naboo”.

“Naboo!”.

“Eh, vabbè, così son buoni tutti”.

“Comunque deve morire tra atroci sofferenze. Siediti che interrogo”.

Jericho

Uelà, pare che facciano il film.

Il canone cancrizzante

Attraverso gli elementi condivisi di Keplero sono arrivato a questo post di Strange Paths: il canone cancrizzante di Bach scritto su un nastro di Möbius. Da vedere, ascoltare, riascoltare, rivedere...

Per chi ha letto GEB, e per chi ancora non sa cosa sia GEB.

Strani anelli

(Via Mighty Optical Illusions)

(Gli snob scrivono Gauß)

Dopo i Chuck Norris facts, ecco i Carl Friedrich Gauß facts.

When Gauss tells you that he’s lying, he’s telling the truth.

Io non sono un numero! Sono un uomo libero!

 

R.I.P.