Abbiamo capito che ℵ0 è il cardinale associato ai numeri naturali. Ora la domanda è questa: esistono cardinali transfiniti più piccoli?
Prendiamo un insieme A, infinito. Da esso scegliamo un elemento, e associamolo al numero 1. Poi ne prendiamo un secondo, e lo associamo al numero 2. Poi un terzo, che associamo a 3, un quarto, e così via. Non c'è mai il pericolo di non trovare un altro elemento, perché A è infinito, e quindi possiamo procedere quanto vogliamo.
In pratica abbiamo costruito una funzione che immerge tutti i numeri naturali all'interno del nostro insieme A (facciamo attenzione perché a una prima lettura potrebbe sembrare il contrario: tutti i numeri naturali vengono associati a infiniti elementi di A, ma non è detto che tutti gli elementi di A vengano presi in considerazione): questo significa che la cardinalità di A sarà maggiore o uguale alla cardinalità dei numeri naturali.
Dunque ℵ0 è il più piccolo cardinale transfinito.
“Bè, questa mi sembra semplice, l'ho capita subito”.
“Purtroppo non è così semplice”.
“Ma come? Una volta che avevo capito!”.
“Il grosso problema è la frase da esso scegliamo un elemento”.
“Oh bella, e perché”.
“Perché scegliere un elemento tra infiniti non è immediato”.
“Ma va? Ce ne sono tanti, potrò pur sceglierne uno!”.
“Mettiamola così: scegliere un elemento tra tanti significa definire una funzione che i Veri Matematici chiamano funzione di scelta. Dato un insieme, la funzione mi dice quale elemento estrarre”.
“Va bene, se ti vuoi complicare la vita, ok”.
“Il problema è che questa funzione non sempre puoi definirla, magari puoi dire che esiste, ma se io ti domando come funziona, quale elemento restituisce, tu non puoi saperlo”.
“Boh?”.
“Ti faccio un esempio: hai presente la corriera con infiniti posti che è arrivata all'albergo di Hilbert?”.
“Sì, me la ricordo”.
“Ok. I passeggeri, stanchi per il viaggio, si sono tolti le scarpe”.
“Che puzza!”.
“E le calze. E hanno appoggiato tutto sopra al loro seggiolino”.
“Bleah”.
“Ora tu devi fare una corsa sulla corriera e portarmi una scarpa per ogni passeggero. Ce la fai?”.
“Mah, sì, tempo permettendo. Ci sono due scarpe, ne prendo una”.
“Quale prendi? Serve una regola”.
“No so, prendo la destra, va bene?”.
“Va bene, avresti potuto prendere la sinistra, oppure stabilire una regola più complicata. Che so, nei seggiolini di posto pari prendo la destra, in quelli di posto dispari la sinistra. Va bene qualunque regola”.
“Mah. Quindi la scelta posso farla”.
“Certo. Ora devi fare un altro giro e prendere una calza per ogni passeggero. Ricordati che le calze possono essere indifferentemente portate nel piede destro oppure nel piede sinistro”.
“Vabbè, ne prendo una”.
“Ma quale?”.
“Ma non lo so, una delle due! Ce ne sono due, una a caso. Sarò ben capace di prenderne una?”.
“Sarai anche capace, ma non sei capace di dirmi una regola. Se non sei capace di fare una scelta esplicita, come faccio io a sapere che hai ottenuto tutte le calze che dovevi raccogliere?”.
“Uhm, questi mi sembrano sofismi da filosofi”.
“Allora ti propongo un patto: io mi fido di te, e dico che tu in un qualche modo che non conosco riuscirai a prendere una calza per ogni persona, e tu mi permetti di esplicitare questa possibilità mediante un assioma. Voglio che sia chiaro che hai bisogno di questo assioma (chiamiamolo atto di fiducia) per poter fare la tua scelta”.
“Va bene”.
“Ecco l'assioma, che i Veri Matematici chiamano assioma della scelta: data una famiglia di scatole, ognuna delle quali contenenti almeno un oggetto, è possibile selezionare esattamente un oggetto da ogni scatola, anche se le scatole sono infinite e non esiste nessuna regola per selezionare gli oggetti”.
“Mah, evidentemente i Veri Matematici ci tengono a sottolineare l'ovvio. Mi pare una cosa inutile”.
“Quindi tu lo prenderesti per vero senza pensarci un momento”.
“Certo”.
“Senti, allora che mi dici di quest'altro, che i veri matematici chiamano principio del buon ordinamento: ogni insieme è ordinabile in modo tale che ogni suo sottoinsieme abbia minimo”.
“Mh, non è chiaro”.
“Pensa ai numeri naturali ordinati. Prendi un qualunque sottoinsieme, uno qualsiasi”.
“Boh, vediamo: {5,42,314,2718}”.
“Perfetto. È vero che ha minimo?”.
“Certo, è 5”.
“Bene, hai capito. Questa operazione la puoi fare sempre: prendi un insieme qualunque, lo riordini opportunamente, e ottieni questa proprietà. Ogni sottoinsieme ha minimo. Ti pare un teorema accettabile?”.
“Certo che no. Se prendo i numeri reali, come faccio a riordinarli in modo tale che ogni sottoinsieme abbia minimo?”.
“Devo dire che hai scelto un ottimo esempio. Nessuno, finora, è riuscito a trovare un ordinamento dei numeri reali con quella proprietà”.
“Dunque il tuo principio del buon ordinamento è falso!”.
“Invece no, è vero”.
“Eh?”.
“Anzi, si dimostra che è equivalente all'assioma della scelta, quello che tu consideravi tanto ovvio”.
“Equivalente?”.
“Sì, se è vero uno, è vero l'altro. Se è falso uno, è falso l'altro. Vanno via in parallelo”.
“Ohi ohi”.
“Oppure prendi quest'altro esempio: è possibile prendere una sfera piena, spezzettarla in piccole parti e poi ricomporle fino ad ottenere due copie identiche della sfera iniziale”.
“Ma va, via, non è possibile”.
“Si chiama paradosso di Banach-Tarski, è tutto vero, e dipende anche questo dal tuo assioma della scelta”.
“Mi gira la testa... Ma i Veri Matematici come prendono queste cose paradossali?”.
“Dipende. Alcuni prima cercano conseguenze dell'assioma della scelta, o enunciati equivalenti tipo il lemma di Zorn, che non sto nemmeno a raccontarti perché dice cose abbastanza incomprensibili”.
“E poi?”.
“Poi ci scherzano sopra, con frasi del tipo l’assioma della scelta è ovviamente vero, il principio del buon ordinamento è ovviamente falso e, circa il lemma di Zorn, chi è capace di capirci qualcosa? Oppure fanno battute sul fatto che tre enunciati equivalenti sono chiamati uno assioma, il secondo principio, il terzo lemma”.
“Carini. E gli altri matematici cosa fanno?”.
“Devo proprio dirtelo?”.
“Ah, ok, ho capito”.
lunedì 15 settembre 2008
domenica 14 settembre 2008
Carnevale della Matematica 5
È uscito oggi dai Rudi Matematici, e qua ci pavoneggiamo molto per il buon grado di anticonformismo creativo...
sabato 13 settembre 2008
Verso l'infinito, ma con calma - operazioni con gli alef
Il paradosso dell'albergo di Hilbert ci fa capire che il senso comune non ci aiuta più, quando si tratta di fare operazioni che coinvolgono i cardinali transfiniti.
Nel primo esempio (l'albergo è pieno, arriva un nuovo ospite) abbiamo praticamente visto che ℵ0+1=ℵ0. Non è difficile generalizzare al caso in cui arriva un numero finito n di ospiti. Otterremo sempre che
ℵ0+n=ℵ0.
Nel caso dell'unico nuovo arrivato, abbiamo messo in corrispondenza biunivoca l'insieme degli infiniti ospiti (cioè i numeri naturali) con l'insieme degli infiniti ospiti più uno (cioè i naturali con l'aggiunta di un nuovo elemento). La funzione biunivoca è f(n)=n+1. Esercizio facile: scrivere la funzione biunivoca nel caso in cui arrivi un numero x finito di ospiti.
E fin qua il senso comune potrebbe essere ancora d'accordo: dire che infinito più uno è uguale a infinito non è sconvolgente più di tanto.
Quando arrivano infiniti nuovi ospiti le cose sembrano complicarsi, in realtà l'albergatore se l'è cavata con poco: ha utilizzato la funzione f(n)=2n per liberare infiniti posti. Esercizio facile: scrivere la funzione biunivoca che mette in corrispondenza i due insiemi. In questo caso, allora, abbiamo verificato la formula:
ℵ0+ℵ0=ℵ0.
Nell'ultimo caso arriva un'infinità di infiniti, ma l'albergatore trova posto per tutti (lasciando anche qualche posto vuoto, per eventuali nuovi ospiti. Esercizio: trovare qualche posto vuoto). Abbiamo visto dunque che
ℵ0·ℵ0=ℵ0.
“Insomma, con l'infinito puoi farci quello che vuoi, ma rimane sempre infinito”.
“Eh, no. Non è così, Cantor ha scoperto che ci sono diversi livelli di infinito”.
“Ah. E come ha fatto?”.
“Ha cominciato a mettere in corrispondenza biunivoca insiemi diversi, e ha iniziato a capire come stavano le cose. Per esempio, ha visto che i numeri naturali e i numeri interi sono in corrispondenza biunivoca”.
“Uhm, com'è possibile?”.
“Si può fare così: ai numeri pari puoi associare n/2, ai numeri dispari invece -(n+1)/2”.
“Mh, devo provare. Allora, a 0 associo 0, e fin qua siamo a posto. A 1, che è dispari, associo -1. A 2 associo 1. A 3 associo -2. Ah, vedo. È come se elencassi i numeri interi in questo modo: 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, e così via”.
“Proprio così. Cantor ha visto che i numeri interi, pur sembrando il doppio dei numeri naturali, in realtà sono caratterizzati dallo stesso tipo di infinito”.
“Allora avrà preso i numeri razionali e si sarà accorto che quelli sono di più, giusto?”.
“No, ti sbagli. I numeri razionali, cioè le frazioni, possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i naturali”.
“Anche loro? Non riesco a capire come”.
“Cantor ha usato un procedimento ingegnoso. Prima di tutto, ha scritto i razionali come coppie di numeri: numeratore/denominatore. Ha considerato solo quelle positive, ma non è difficile estendere il procedimento anche a quelle negative. Si può sempre usare il metodo dell'albergatore, che ha spostato tutti gli ospiti nelle camere pari”.
“Ok”.
“Poi le ha messe in un tabella, in questo modo”.
“In questo modo ci sono alcuni numeri che si ripetono, però: 1/1 è uguale a 2/2, a 3/3, eccetera”.
“Non importa, perché questi numeri sono di più delle frazioni, e Cantor ha dimostrato che comunque la loro cardinalità è ℵ0”.
“Ah, va bene. Come ha fatto, allora, a dimostrarlo?”.
“Ha fatto vedere un modo per contare le frazioni. Eccolo qua”.
“Geniale! Ha seguito le diagonali! Ma, allora, esistono insiemi con cardinalità maggiore di quella dei numeri naturali?”.
“Questo dubbio è venuto anche a Cantor, in effetti. Si può salire, creando una sorta di graduatoria di numeri transfiniti?”.
“E si può?”.
“Sì, finché vuoi. Ma c'è un'altra domanda non meno importante: si può scendere?”.
“Intendi dire se esistono infiniti, anzi, transfiniti, più piccoli di ℵ0?”.
“Esattamente, ma in questo caso la risposta è no”.
“Oh, bene, una certezza”.
“Se consideri valido l'assioma della scelta”.
“Come?”.
“Niente, niente”.
Nel primo esempio (l'albergo è pieno, arriva un nuovo ospite) abbiamo praticamente visto che ℵ0+1=ℵ0. Non è difficile generalizzare al caso in cui arriva un numero finito n di ospiti. Otterremo sempre che
ℵ0+n=ℵ0.
Nel caso dell'unico nuovo arrivato, abbiamo messo in corrispondenza biunivoca l'insieme degli infiniti ospiti (cioè i numeri naturali) con l'insieme degli infiniti ospiti più uno (cioè i naturali con l'aggiunta di un nuovo elemento). La funzione biunivoca è f(n)=n+1. Esercizio facile: scrivere la funzione biunivoca nel caso in cui arrivi un numero x finito di ospiti.
E fin qua il senso comune potrebbe essere ancora d'accordo: dire che infinito più uno è uguale a infinito non è sconvolgente più di tanto.
Quando arrivano infiniti nuovi ospiti le cose sembrano complicarsi, in realtà l'albergatore se l'è cavata con poco: ha utilizzato la funzione f(n)=2n per liberare infiniti posti. Esercizio facile: scrivere la funzione biunivoca che mette in corrispondenza i due insiemi. In questo caso, allora, abbiamo verificato la formula:
ℵ0+ℵ0=ℵ0.
Nell'ultimo caso arriva un'infinità di infiniti, ma l'albergatore trova posto per tutti (lasciando anche qualche posto vuoto, per eventuali nuovi ospiti. Esercizio: trovare qualche posto vuoto). Abbiamo visto dunque che
ℵ0·ℵ0=ℵ0.
“Insomma, con l'infinito puoi farci quello che vuoi, ma rimane sempre infinito”.
“Eh, no. Non è così, Cantor ha scoperto che ci sono diversi livelli di infinito”.
“Ah. E come ha fatto?”.
“Ha cominciato a mettere in corrispondenza biunivoca insiemi diversi, e ha iniziato a capire come stavano le cose. Per esempio, ha visto che i numeri naturali e i numeri interi sono in corrispondenza biunivoca”.
“Uhm, com'è possibile?”.
“Si può fare così: ai numeri pari puoi associare n/2, ai numeri dispari invece -(n+1)/2”.
“Mh, devo provare. Allora, a 0 associo 0, e fin qua siamo a posto. A 1, che è dispari, associo -1. A 2 associo 1. A 3 associo -2. Ah, vedo. È come se elencassi i numeri interi in questo modo: 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, e così via”.
“Proprio così. Cantor ha visto che i numeri interi, pur sembrando il doppio dei numeri naturali, in realtà sono caratterizzati dallo stesso tipo di infinito”.
“Allora avrà preso i numeri razionali e si sarà accorto che quelli sono di più, giusto?”.
“No, ti sbagli. I numeri razionali, cioè le frazioni, possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i naturali”.
“Anche loro? Non riesco a capire come”.
“Cantor ha usato un procedimento ingegnoso. Prima di tutto, ha scritto i razionali come coppie di numeri: numeratore/denominatore. Ha considerato solo quelle positive, ma non è difficile estendere il procedimento anche a quelle negative. Si può sempre usare il metodo dell'albergatore, che ha spostato tutti gli ospiti nelle camere pari”.
“Ok”.
“Poi le ha messe in un tabella, in questo modo”.
1/1 1/2 1/3 ...2/1 2/2 2/3 ...3/1 3/2 3/3 ......
“In questo modo ci sono alcuni numeri che si ripetono, però: 1/1 è uguale a 2/2, a 3/3, eccetera”.
“Non importa, perché questi numeri sono di più delle frazioni, e Cantor ha dimostrato che comunque la loro cardinalità è ℵ0”.
“Ah, va bene. Come ha fatto, allora, a dimostrarlo?”.
“Ha fatto vedere un modo per contare le frazioni. Eccolo qua”.
“Geniale! Ha seguito le diagonali! Ma, allora, esistono insiemi con cardinalità maggiore di quella dei numeri naturali?”.
“Questo dubbio è venuto anche a Cantor, in effetti. Si può salire, creando una sorta di graduatoria di numeri transfiniti?”.
“E si può?”.
“Sì, finché vuoi. Ma c'è un'altra domanda non meno importante: si può scendere?”.
“Intendi dire se esistono infiniti, anzi, transfiniti, più piccoli di ℵ0?”.
“Esattamente, ma in questo caso la risposta è no”.
“Oh, bene, una certezza”.
“Se consideri valido l'assioma della scelta”.
“Come?”.
“Niente, niente”.
venerdì 12 settembre 2008
Verso l'infinito, ma con calma - i paradossi dell'infinito
L'albergo Hilbert è un albergo molto particolare: ha infinite stanze, tutte belle, arieggiate, con bagno e con un'ottima vista. Siamo all'inizio dell'alta stagione, e le stanze sono già tutte occupate.
Un giorno arriva un turista, parcheggia la sua auto nell'ampio parcheggio a fianco dell'albergo, e domanda una stanza. Il portiere controlla per un momento il suo registro, poi attiva il microfono che gli permette di parlare con tutte le stanze, e dice:
“Avvertiamo i nostri gentili ospiti che è necessario un cambio di stanza. Chi si trova nella stanza numero n dovrà spostarsi nella numero n+1”.
Poi, rivolgendosi al nuovo cliente, continua:
“Ecco a lei, signore, la chiave della sua stanza. È la numero 0”.
Il giorno dopo arriva, in corriera, una comitiva numerosa. Il capo gita scende velocemente e va dall'albergatore, per chiedere se c'è posto per tutti.
“Quanti siete?”.
“Infiniti”.
“Ah, però. Un momento solo”, e, parlando di nuovo al microfono, si rivolge ai suoi clienti: “si comunica ai gentili ospiti che è necessario un cambio di stanza. Chi si trova alla stanza numero n deve recarsi alla numero 2n, grazie”. Poi, rivolto al capo gita: “Ecco a lei, queste sono le chiavi delle stanze dispari, le può distribuire come crede ai suoi”.
“Molte grazie, avreste ancora un po' di posto per altri ospiti? Dovrebbero arrivare la prossima settimana”.
“Non c'è problema”.
Dopo una settimana, infatti, arriva una lunga serie di corriere. Il responsabile della comitiva scende e va a parlare col portiere, un po' preoccupato alla vista di tanta gente.
“Buongiorno, avete posto per un po' di persone?”.
“Quanti siete?”.
“Bè, in ogni corriera ci sono infinite persone”.
“E quante corriere avete?”.
“Infinite”.
“Pensavo peggio. Certo, certo, c'è posto. Un attimo solo che devo comunicare qualche cambiamento di stanza”. E, nuovamente parlando al microfono: “Ci scusiamo con i gentili ospiti, ma è necessario un cambio di stanza. Chi si trova alla stanza numero n deve recarsi alla numero 2n, grazie”. Poi, consegnando un piccolo visore con alcuni bottoni al responsabile della comitiva: “ecco a lei, tenga. Questo è un generatore di numeri primi. Gli occupanti della prima corriera andranno alle stanze del tipo 3n, quelli della seconda corriera alle stanze del tipo 5n, poi 7n, e così via. Mi raccomando non si sbagli, controlli sempre sul generatore. Una volta è venuta una gita sociale della facoltà di ingegneria e mi hanno occupato tutte le 9n, non le dico le discussioni che ci sono state dopo”.
Un giorno arriva un turista, parcheggia la sua auto nell'ampio parcheggio a fianco dell'albergo, e domanda una stanza. Il portiere controlla per un momento il suo registro, poi attiva il microfono che gli permette di parlare con tutte le stanze, e dice:
“Avvertiamo i nostri gentili ospiti che è necessario un cambio di stanza. Chi si trova nella stanza numero n dovrà spostarsi nella numero n+1”.
Poi, rivolgendosi al nuovo cliente, continua:
“Ecco a lei, signore, la chiave della sua stanza. È la numero 0”.
Il giorno dopo arriva, in corriera, una comitiva numerosa. Il capo gita scende velocemente e va dall'albergatore, per chiedere se c'è posto per tutti.
“Quanti siete?”.
“Infiniti”.
“Ah, però. Un momento solo”, e, parlando di nuovo al microfono, si rivolge ai suoi clienti: “si comunica ai gentili ospiti che è necessario un cambio di stanza. Chi si trova alla stanza numero n deve recarsi alla numero 2n, grazie”. Poi, rivolto al capo gita: “Ecco a lei, queste sono le chiavi delle stanze dispari, le può distribuire come crede ai suoi”.
“Molte grazie, avreste ancora un po' di posto per altri ospiti? Dovrebbero arrivare la prossima settimana”.
“Non c'è problema”.
Dopo una settimana, infatti, arriva una lunga serie di corriere. Il responsabile della comitiva scende e va a parlare col portiere, un po' preoccupato alla vista di tanta gente.
“Buongiorno, avete posto per un po' di persone?”.
“Quanti siete?”.
“Bè, in ogni corriera ci sono infinite persone”.
“E quante corriere avete?”.
“Infinite”.
“Pensavo peggio. Certo, certo, c'è posto. Un attimo solo che devo comunicare qualche cambiamento di stanza”. E, nuovamente parlando al microfono: “Ci scusiamo con i gentili ospiti, ma è necessario un cambio di stanza. Chi si trova alla stanza numero n deve recarsi alla numero 2n, grazie”. Poi, consegnando un piccolo visore con alcuni bottoni al responsabile della comitiva: “ecco a lei, tenga. Questo è un generatore di numeri primi. Gli occupanti della prima corriera andranno alle stanze del tipo 3n, quelli della seconda corriera alle stanze del tipo 5n, poi 7n, e così via. Mi raccomando non si sbagli, controlli sempre sul generatore. Una volta è venuta una gita sociale della facoltà di ingegneria e mi hanno occupato tutte le 9n, non le dico le discussioni che ci sono state dopo”.
giovedì 11 settembre 2008
Verso l'infinito, ma con calma - alef
E finalmente arriviamo a parlare di infinito. Qual è la cardinalità dell'insieme dei numeri naturali? Dato che questo insieme è infinito, la sua cardinalità non sarà un numero, quindi non esiste, fine della storia.
Per fortuna le cose non sono andate così: Cantor è andato avanti, definendo (scoprendo?) nuovi numeri. Alla cardinalità dei numeri naturali ha associato il cardinale transfinito ℵ0 (si legge alef zero, e a volte si trova scritto aleph. Per rendere le cose semplici Cantor ha scelto la prima lettera dell'alfabeto ebraico).
Insomma, tutti gli elementi in corrispondenza biunivoca coi numeri naturali hanno cardinalità uguale a ℵ0: sono cioè infiniti.
“Ma possiamo confrontare questo alef zero con gli altri numeri? Voglio dire, quando si parla di infinito si vorrebbe intendere qualcosa di più grande di tutto il resto. Possiamo dire che alef zero è maggiore di 42, per dire?”.
“Certo che si può: tra i cardinali (di tutti i tipi) si possono fare confronti”.
“Come si fa?”.
“Qui saltano fuori di nuovo le funzioni. Ricordi che avere la stessa cardinalità significa essere in corrispondenza biunivoca?”.
“Sì, una freccia per ogni elemento, nessuno escluso”.
“Perfetto. Ora pensa a una funzione iniettiva da A a B. Iniettiva, ma non suriettiva”.
“Mh, vediamo. Da ogni elemento di A parte una sola freccia”.
“Bene, poi?”.
“Frecce diverse vanno a finire su elementi diversi di B, non si possono congiungere”.
“Ok”.
“Ma non tutti gli elementi di B sono raggiunti”.
“Benissimo. Intuitivamente, B ha più elementi di A”.
“Ok, certo. Tutti gli elementi di A sono associati a B, ma in B ne avanza qualcuno”.
“Bene, questa è la nostra definizione: diciamo che la cardinalità di A è minore della cardinalità di B se esiste una funzione iniettiva ma non suriettiva che va da A a B. In pratica possiamo immergere A dentro a B”.
“Tutto chiaro, bene”.
“Se, poi, sappiamo che la funzione è certamente iniettiva, ma non sappiamo se è anche suriettiva, allora diciamo che la cardinalità di A è minore o uguale a quella di B”.
“D'accordo, se non abbiamo la certezza che avanzino dei termini in B, dobbiamo usare questa formulazione debole”.
“Un modo alternativo per dire che la cardinalità di A è minore di quella di B è questo: le due cardinalità devono essere diverse, e l'insieme A deve essere strettamente contenuto in B”.
“Ma è necessario specificare che le due cardinalità devono essere diverse? Se A è strettamente contenuto in B, allora la cardinalità di A sarà certamente diversa da quella di B”.
“Ecco, ehm, no”.
“No? Ma come è possibile?”.
“Ecco, ci sono concetti che, quando si ha a che fare con l'infinito, sono un po' diversi da quelli che ci aspetteremmo”.
“Paradossi?”.
“Paradossi. Questa volta sono veri paradossi, non antinomie. Se li nominiamo non succede nulla”.
(Esercizio: dimostrare che 42 è minore di ℵ0)
Per fortuna le cose non sono andate così: Cantor è andato avanti, definendo (scoprendo?) nuovi numeri. Alla cardinalità dei numeri naturali ha associato il cardinale transfinito ℵ0 (si legge alef zero, e a volte si trova scritto aleph. Per rendere le cose semplici Cantor ha scelto la prima lettera dell'alfabeto ebraico).
Insomma, tutti gli elementi in corrispondenza biunivoca coi numeri naturali hanno cardinalità uguale a ℵ0: sono cioè infiniti.
“Ma possiamo confrontare questo alef zero con gli altri numeri? Voglio dire, quando si parla di infinito si vorrebbe intendere qualcosa di più grande di tutto il resto. Possiamo dire che alef zero è maggiore di 42, per dire?”.
“Certo che si può: tra i cardinali (di tutti i tipi) si possono fare confronti”.
“Come si fa?”.
“Qui saltano fuori di nuovo le funzioni. Ricordi che avere la stessa cardinalità significa essere in corrispondenza biunivoca?”.
“Sì, una freccia per ogni elemento, nessuno escluso”.
“Perfetto. Ora pensa a una funzione iniettiva da A a B. Iniettiva, ma non suriettiva”.
“Mh, vediamo. Da ogni elemento di A parte una sola freccia”.
“Bene, poi?”.
“Frecce diverse vanno a finire su elementi diversi di B, non si possono congiungere”.
“Ok”.
“Ma non tutti gli elementi di B sono raggiunti”.
“Benissimo. Intuitivamente, B ha più elementi di A”.
“Ok, certo. Tutti gli elementi di A sono associati a B, ma in B ne avanza qualcuno”.
“Bene, questa è la nostra definizione: diciamo che la cardinalità di A è minore della cardinalità di B se esiste una funzione iniettiva ma non suriettiva che va da A a B. In pratica possiamo immergere A dentro a B”.
“Tutto chiaro, bene”.
“Se, poi, sappiamo che la funzione è certamente iniettiva, ma non sappiamo se è anche suriettiva, allora diciamo che la cardinalità di A è minore o uguale a quella di B”.
“D'accordo, se non abbiamo la certezza che avanzino dei termini in B, dobbiamo usare questa formulazione debole”.
“Un modo alternativo per dire che la cardinalità di A è minore di quella di B è questo: le due cardinalità devono essere diverse, e l'insieme A deve essere strettamente contenuto in B”.
“Ma è necessario specificare che le due cardinalità devono essere diverse? Se A è strettamente contenuto in B, allora la cardinalità di A sarà certamente diversa da quella di B”.
“Ecco, ehm, no”.
“No? Ma come è possibile?”.
“Ecco, ci sono concetti che, quando si ha a che fare con l'infinito, sono un po' diversi da quelli che ci aspetteremmo”.
“Paradossi?”.
“Paradossi. Questa volta sono veri paradossi, non antinomie. Se li nominiamo non succede nulla”.
(Esercizio: dimostrare che 42 è minore di ℵ0)
mercoledì 10 settembre 2008
Verso l'infinito, ma con calma - numeri transfiniti
Torniamo a parlare di cardinalità, ma questa volta di insiemi un pochino più grossi.
Così come esiste la classe di equivalenza che contiene i soliti {a,b,c} e {Pippo, Pluto, Paperino}, e che raggruppa tutti gli insiemi che hanno cardinalità uguale a 3, esisterà anche una classe che contiene l'insieme dei numeri naturali.
Il fatto è che l'insieme dei numeri naturali non contiene un numero finito di elementi, e quindi il numero cardinale corrispondente non sarà un numero normale (qualunque cosa ciò significhi, tanto i Veri Matematici sanno bene che non esistono numeri normali).
Bene, Georg Ferdinand Ludwig Phillip Cantor non si spaventò di fronte alla grandezza dell'insieme dei numeri naturali, e sviluppò una teoria dedicata proprio ai numeri grossi.
“Ma non li avrà chiamati grossi, spero?”.
“No, certo. Si narra un aneddoto, forse leggendario, a riguardo. Cantor non voleva utilizzare il termine infinito, che per lui aveva anche una connotazione religiosa. Chiese consiglio a un cardinale, il quale lo tranquillizzò, ma gli consigliò comunque di utilizzare un termine equivalente. Cantor, allora, scelse il termine transfinito”.
“Quindi ora parliamo di numeri cardinali transfiniti?”.
“Proprio così”.
“Sembra bello. Ma il fatto che si chiamino cardinali ha qualcosa a che fare col cardinale di Cantor?”.
“Probabilmente no, ma chissà? Comunque, nel numero 62 della rivista Rudi Mathematici è celebrato il compleanno di Cantor, ti consiglio di leggerlo”.
“Uh, va bene. Mi sembra un po' lungo, però”.
“Lungo, impegnativo, ma interessante. Anzi, per permetterti di leggerlo, non andrò avanti oggi a parlare di cardinali”.
“Ok, lo farò. Ma, stavo pensando, questo mese il Carnevale della Matematica è ospitato proprio dai Rudi Mathematici. Il fatto che ora tu li citi e che, poi, loro citeranno te, mi ricorda uno di quei paradossi di cui hai parlato poco tempo fa”.
“Fai finta di niente, e speriamo che nessuno clicchi due volte”.
Così come esiste la classe di equivalenza che contiene i soliti {a,b,c} e {Pippo, Pluto, Paperino}, e che raggruppa tutti gli insiemi che hanno cardinalità uguale a 3, esisterà anche una classe che contiene l'insieme dei numeri naturali.
Il fatto è che l'insieme dei numeri naturali non contiene un numero finito di elementi, e quindi il numero cardinale corrispondente non sarà un numero normale (qualunque cosa ciò significhi, tanto i Veri Matematici sanno bene che non esistono numeri normali).
Bene, Georg Ferdinand Ludwig Phillip Cantor non si spaventò di fronte alla grandezza dell'insieme dei numeri naturali, e sviluppò una teoria dedicata proprio ai numeri grossi.
“Ma non li avrà chiamati grossi, spero?”.
“No, certo. Si narra un aneddoto, forse leggendario, a riguardo. Cantor non voleva utilizzare il termine infinito, che per lui aveva anche una connotazione religiosa. Chiese consiglio a un cardinale, il quale lo tranquillizzò, ma gli consigliò comunque di utilizzare un termine equivalente. Cantor, allora, scelse il termine transfinito”.
“Quindi ora parliamo di numeri cardinali transfiniti?”.
“Proprio così”.
“Sembra bello. Ma il fatto che si chiamino cardinali ha qualcosa a che fare col cardinale di Cantor?”.
“Probabilmente no, ma chissà? Comunque, nel numero 62 della rivista Rudi Mathematici è celebrato il compleanno di Cantor, ti consiglio di leggerlo”.
“Uh, va bene. Mi sembra un po' lungo, però”.
“Lungo, impegnativo, ma interessante. Anzi, per permetterti di leggerlo, non andrò avanti oggi a parlare di cardinali”.
“Ok, lo farò. Ma, stavo pensando, questo mese il Carnevale della Matematica è ospitato proprio dai Rudi Mathematici. Il fatto che ora tu li citi e che, poi, loro citeranno te, mi ricorda uno di quei paradossi di cui hai parlato poco tempo fa”.
“Fai finta di niente, e speriamo che nessuno clicchi due volte”.
martedì 9 settembre 2008
Verso l'infinito, ma con calma - i numeri naturali e il vuoto
Esiste un modo molto suggestivo di definire i numeri naturali, e questa volta si tratta di una vera definizione, non di un insieme di assiomi.
Tutto è basato su un concetto, quello di insieme vuoto. L'esistenza di un insieme che non contiene nulla può far parlare i filosofi per ore — noi diamo per scontato che esista e non ci pensiamo più. Diciamo che è un concetto primitivo, e andiamo avanti.
Indichiamo con {} l'insieme vuoto (spesso si usa anche il simbolo ∅).
Definiamo lo zero: 0 è l'insieme vuoto; in formule 0={}.
Ora costruiamo il numero uno: 1 è l'insieme che contiene 0; in formule 1={0}={{}}.
Proseguiamo: 2={0,1}={0,{0}}={{},{{}}}.
E così via: 3={0,1,2}={0,{0},{0,{0}}} = {{},{{}},{{},{{}}}}.
“Sembra una specie di effetto domino: ogni numero è l'insieme dei numeri precedenti”.
“Sì, in pratica il principio di induzione è contenuto in questa definizione. Si può anche vedere che il successore di un numero S(n) è uguale all'unione di n con {n}”.
“Sembra che la funzione successore sia molto importante”.
“È così. Con l'induzione puoi definire anche la somma di due numeri”.
“Immagino che sia una cosa incomprensibile”.
“Abbastanza. Come punto di partenza, si stabilisce che a+0=a”.
“E fin qua ci siamo”.
“Poi si definisce a+S(b)=S(a+b)”.
“Non riesco davvero a capire se questa è davvero la somma di due numeri”.
“Anche qua c'è un effetto domino. Vogliamo calcolare, per esempio, 3+2”.
“Ok. a=3, quindi”.
“E S(b)=2”.
“Quindi, se il successivo di b è 2, allora b=1”.
“Bene, quindi 3+2 diventa 3+S(1), cioè, secondo la definizione, S(3+1)”.
“E 3+1 fa 4”.
“No, ancora non lo sai, devi calcolarlo”.
“Uffa. Allora 3+1=3+S(0)=S(3+0)”.
“Bene”.
“E adesso devo calcolare 3+0?”.
“Sì, ma secondo la definizione questo puoi calcolarlo subito. È il tuo punto di partenza”.
“Ah, è vero, 3+0=3”.
“Quindi, tornando indietro, 3+1=S(3+0)=S(3)=4”.
“Ho capito. Adesso posso calcolare 3+2=3+S(1)=S(3+1)=S(4)=5. Finalmente! Mi pare un procedimento complicato”.
“Complicato nei calcoli, ma essenziale nella definizione. Come vedi, puoi definire la somma a partire da concetti già noti. I Veri Matematici dicono che questo modo di procedere è molto elegante”.
“E cosa dicono riguardo al fatto che tutta la loro matematica è basata sul vuoto?”.
“Su quello fanno finta di niente”.
Tutto è basato su un concetto, quello di insieme vuoto. L'esistenza di un insieme che non contiene nulla può far parlare i filosofi per ore — noi diamo per scontato che esista e non ci pensiamo più. Diciamo che è un concetto primitivo, e andiamo avanti.
Indichiamo con {} l'insieme vuoto (spesso si usa anche il simbolo ∅).
Definiamo lo zero: 0 è l'insieme vuoto; in formule 0={}.
Ora costruiamo il numero uno: 1 è l'insieme che contiene 0; in formule 1={0}={{}}.
Proseguiamo: 2={0,1}={0,{0}}={{},{{}}}.
E così via: 3={0,1,2}={0,{0},{0,{0}}} = {{},{{}},{{},{{}}}}.
“Sembra una specie di effetto domino: ogni numero è l'insieme dei numeri precedenti”.
“Sì, in pratica il principio di induzione è contenuto in questa definizione. Si può anche vedere che il successore di un numero S(n) è uguale all'unione di n con {n}”.
“Sembra che la funzione successore sia molto importante”.
“È così. Con l'induzione puoi definire anche la somma di due numeri”.
“Immagino che sia una cosa incomprensibile”.
“Abbastanza. Come punto di partenza, si stabilisce che a+0=a”.
“E fin qua ci siamo”.
“Poi si definisce a+S(b)=S(a+b)”.
“Non riesco davvero a capire se questa è davvero la somma di due numeri”.
“Anche qua c'è un effetto domino. Vogliamo calcolare, per esempio, 3+2”.
“Ok. a=3, quindi”.
“E S(b)=2”.
“Quindi, se il successivo di b è 2, allora b=1”.
“Bene, quindi 3+2 diventa 3+S(1), cioè, secondo la definizione, S(3+1)”.
“E 3+1 fa 4”.
“No, ancora non lo sai, devi calcolarlo”.
“Uffa. Allora 3+1=3+S(0)=S(3+0)”.
“Bene”.
“E adesso devo calcolare 3+0?”.
“Sì, ma secondo la definizione questo puoi calcolarlo subito. È il tuo punto di partenza”.
“Ah, è vero, 3+0=3”.
“Quindi, tornando indietro, 3+1=S(3+0)=S(3)=4”.
“Ho capito. Adesso posso calcolare 3+2=3+S(1)=S(3+1)=S(4)=5. Finalmente! Mi pare un procedimento complicato”.
“Complicato nei calcoli, ma essenziale nella definizione. Come vedi, puoi definire la somma a partire da concetti già noti. I Veri Matematici dicono che questo modo di procedere è molto elegante”.
“E cosa dicono riguardo al fatto che tutta la loro matematica è basata sul vuoto?”.
“Su quello fanno finta di niente”.
lunedì 8 settembre 2008
Verso l'infinito, ma con calma - i numeri naturali e i loro assiomi
Abbiamo citato e usato più volte i numeri naturali, ma non ci siamo mai fermati un momento per definirli. Qualunque persona normale non avrebbe bisogno di definire un concetto che usa da quando aveva due anni, ma i Veri Matematici vogliono essere molto precisi, e vogliono anche risparmiare sulle fondamenta: meno concetti primitivi esistono, meglio è.
Un primo modo per definire i naturali consiste nel proporre un elenco di assiomi: in pratica non ti dico cosa sono i numeri, ma ti dico quali proprietà devono avere. Lo so, non è onesto.
Gli assiomi in questione si chiamano assiomi di Peano. Eccoli qua:
Primo: esiste un numero naturale, 0 (oppure 1).
“Ma dai, già col primo assioma ci sono degli oppure?”.
“Hai ragione, ma il fatto è che quando si parla di numeri naturali non si capisce mai se si deve partire da zero oppure da uno”.
“E su una cosa così semplice i matematici non sono ancora riusciti a mettersi d'accordo?”.
“No, non si mettono d'accordo perché a volte è conveniente avere a disposizione lo zero, altre volte no”.
“E quindi ogni volta che un Vero Matematico usa i numeri naturali, deve dire se ha intenzione di considerare lo zero?”.
“Sì. Oppure parla di numeri interi positivi, se vuole partire da uno”.
“E se vuole partire da zero?”.
“Numeri interi non negativi”.
“L'avevo già detto che questi matematici sono pazzi?”.
“Eh, sì. Comunque questo primo assioma serve per avere un punto di partenza. Dentro all'insieme dei numeri naturali c'è un elemento, chiamiamolo zero, uno, Pippo, non importa”.
“Va bene, andiamo avanti”.
Secondo: ogni numero naturale n ha un numero naturale successore, che chiamiamo S(n).
“Quindi se c'è zero, c'è anche uno”.
“Giusto. Da nessuna parte sta scritto che il successore di zero si chiama uno, però”.
“E come si chiama?”.
“Semplicemente S(0)”.
“E se c'è uno, c'è anche due”.
“Che sarebbe, poi S(S(0))”.
“E possiamo andare avanti quanto vogliamo con questa delirante sequenza di S una dentro all'altra”.
Terzo: numeri diversi hanno successori diversi.
“Va bene, è vero, ma è proprio necessario sottolinearlo?”.
“Eh sì. Pensa all'insieme {Pippo, Pluto}, in cui S(Pippo)=Pluto e S(Pluto)=Pluto”.
“Uhm, non assomiglia molto ai numeri naturali. Sarebbe come se io mi mettessi a contare in questo modo: zero, uno, uno, uno, eccetera. Non vado molto avanti”.
Quarto: 0 (oppure 1) non è successore di nessun numero naturale.
“Sarebbe come dire che 0 è il primo elemento? Che prima di lui non c'è nessuno?”.
“Perfetto”.
Quinto: ogni insieme di numeri naturali che contenga lo zero (o l'uno) e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'insieme dei numeri naturali.
“Eeh?”.
“Questo è difficile. Significa che ti puoi immaginare i numeri naturali in un solo modo, non ci sono interpretazioni differenti. Ti basta una sorta di seme iniziale e la regola del successore per averli tutti”.
“Ed è importante?”.
“Sì, ma un modo migliore per capire questo assioma è questa seconda formulazione:”.
Quinto: indichiamo con P(x) una proprietà valida per il numero x. Se P è vera per 0 (oppure 1) e se la verità di P(n) implica la verità di P(n+1), allora P è vera per tutti i numeri naturali.
“Continua a rimanere oscuro”.
“Ti faccio un esempio. Osserva questa serie di pezzi di domino.
“Bella!”.
“Ora la proprietà P: P(n) significa che il pezzo n cade. Naturalmente immaginiamo di identificare ogni pezzo in modo unico. Inoltre, con n+1 indicherò il pezzo successivo a n nella catena”.
“Ok, tutto chiaro”.
“Ora voglio dimostrare che tutti i pezzi cadranno. Prima di tutto, sei d'accordo sul fatto che se è vero P(n) allora è vero anche P(n+1)? Prova a tradurre questa mia affermazione”.
“Vediamo... significa che se il pezzo n cade, allora anche il pezzo n+1 cade. Mi pare giusto, il pezzo n cade sopra al pezzo n+1, e lo spinge”.
“Ottimo. Ora ti dico che tra un attimo anche P(0) sarà vera”.
“Stai per dare una spinta al primo pezzo?”.
“Sì. Ti ho fornito due ipotesi: è vera P(0), ed è vero che P(n) implica P(n+1). Cosa puoi dedurre?”.
“Beh, che cadranno tutti i pezzi”.
“Giusto. Infatti il primo pezzo, anzi, il pezzo numero 0 cade, quindi P(0) è vera. Se è vera P(0), allora è vera anche P(0+1)=P(1). Quindi cade anche il pezzo numero 1. Ma se è vero P(1), allora è vero anche P(1+1)=P(2), quindi cade anche il pezzo numero 2. Ma se è vero P(2)...”.
“Ho capito, ho capito. Cadranno tutti. Hai dimostrato tutto in una volta, utilizzando l'effetto domino”.
“Sarebbe un bel nome per questo metodo di dimostrazione. I Veri Matematici dicono che hanno usato il principio di induzione”.
Un primo modo per definire i naturali consiste nel proporre un elenco di assiomi: in pratica non ti dico cosa sono i numeri, ma ti dico quali proprietà devono avere. Lo so, non è onesto.
Gli assiomi in questione si chiamano assiomi di Peano. Eccoli qua:
Primo: esiste un numero naturale, 0 (oppure 1).
“Ma dai, già col primo assioma ci sono degli oppure?”.
“Hai ragione, ma il fatto è che quando si parla di numeri naturali non si capisce mai se si deve partire da zero oppure da uno”.
“E su una cosa così semplice i matematici non sono ancora riusciti a mettersi d'accordo?”.
“No, non si mettono d'accordo perché a volte è conveniente avere a disposizione lo zero, altre volte no”.
“E quindi ogni volta che un Vero Matematico usa i numeri naturali, deve dire se ha intenzione di considerare lo zero?”.
“Sì. Oppure parla di numeri interi positivi, se vuole partire da uno”.
“E se vuole partire da zero?”.
“Numeri interi non negativi”.
“L'avevo già detto che questi matematici sono pazzi?”.
“Eh, sì. Comunque questo primo assioma serve per avere un punto di partenza. Dentro all'insieme dei numeri naturali c'è un elemento, chiamiamolo zero, uno, Pippo, non importa”.
“Va bene, andiamo avanti”.
Secondo: ogni numero naturale n ha un numero naturale successore, che chiamiamo S(n).
“Quindi se c'è zero, c'è anche uno”.
“Giusto. Da nessuna parte sta scritto che il successore di zero si chiama uno, però”.
“E come si chiama?”.
“Semplicemente S(0)”.
“E se c'è uno, c'è anche due”.
“Che sarebbe, poi S(S(0))”.
“E possiamo andare avanti quanto vogliamo con questa delirante sequenza di S una dentro all'altra”.
Terzo: numeri diversi hanno successori diversi.
“Va bene, è vero, ma è proprio necessario sottolinearlo?”.
“Eh sì. Pensa all'insieme {Pippo, Pluto}, in cui S(Pippo)=Pluto e S(Pluto)=Pluto”.
“Uhm, non assomiglia molto ai numeri naturali. Sarebbe come se io mi mettessi a contare in questo modo: zero, uno, uno, uno, eccetera. Non vado molto avanti”.
Quarto: 0 (oppure 1) non è successore di nessun numero naturale.
“Sarebbe come dire che 0 è il primo elemento? Che prima di lui non c'è nessuno?”.
“Perfetto”.
Quinto: ogni insieme di numeri naturali che contenga lo zero (o l'uno) e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'insieme dei numeri naturali.
“Eeh?”.
“Questo è difficile. Significa che ti puoi immaginare i numeri naturali in un solo modo, non ci sono interpretazioni differenti. Ti basta una sorta di seme iniziale e la regola del successore per averli tutti”.
“Ed è importante?”.
“Sì, ma un modo migliore per capire questo assioma è questa seconda formulazione:”.
Quinto: indichiamo con P(x) una proprietà valida per il numero x. Se P è vera per 0 (oppure 1) e se la verità di P(n) implica la verità di P(n+1), allora P è vera per tutti i numeri naturali.
“Continua a rimanere oscuro”.
“Ti faccio un esempio. Osserva questa serie di pezzi di domino.
“Bella!”.
“Ora la proprietà P: P(n) significa che il pezzo n cade. Naturalmente immaginiamo di identificare ogni pezzo in modo unico. Inoltre, con n+1 indicherò il pezzo successivo a n nella catena”.
“Ok, tutto chiaro”.
“Ora voglio dimostrare che tutti i pezzi cadranno. Prima di tutto, sei d'accordo sul fatto che se è vero P(n) allora è vero anche P(n+1)? Prova a tradurre questa mia affermazione”.
“Vediamo... significa che se il pezzo n cade, allora anche il pezzo n+1 cade. Mi pare giusto, il pezzo n cade sopra al pezzo n+1, e lo spinge”.
“Ottimo. Ora ti dico che tra un attimo anche P(0) sarà vera”.
“Stai per dare una spinta al primo pezzo?”.
“Sì. Ti ho fornito due ipotesi: è vera P(0), ed è vero che P(n) implica P(n+1). Cosa puoi dedurre?”.
“Beh, che cadranno tutti i pezzi”.
“Giusto. Infatti il primo pezzo, anzi, il pezzo numero 0 cade, quindi P(0) è vera. Se è vera P(0), allora è vera anche P(0+1)=P(1). Quindi cade anche il pezzo numero 1. Ma se è vero P(1), allora è vero anche P(1+1)=P(2), quindi cade anche il pezzo numero 2. Ma se è vero P(2)...”.
“Ho capito, ho capito. Cadranno tutti. Hai dimostrato tutto in una volta, utilizzando l'effetto domino”.
“Sarebbe un bel nome per questo metodo di dimostrazione. I Veri Matematici dicono che hanno usato il principio di induzione”.
domenica 7 settembre 2008
Disgiunzione logica
Ho appena spiegato a mio figlio che alla domanda “vuoi un pezzo di pizza margherita oppure con la salsiccia?” solo un matematico risponderebbe “sì”.
Verso l'infinito, ma con calma - crisi dei fondamenti
L'ultima frase di questo post è falsa.
Cosa succede a considerare l'insieme di tutti gli insiemi? Un tale insieme contiene tutti gli insiemi, nessuno escluso. Quindi contiene anche sé stesso. Non tutti gli insiemi hanno questa caratteristica: per esempio, {a,b,c} non contiene sé stesso, ma solo i tre elementi a, b e c. Avremo quindi due categorie di insiemi: quelli che contengono sé stessi e quelli che non contengono sé stessi. Raggruppiamoli, costruendo due insiemi: A è l'insieme degli insiemi che non contengono sé stessi, mentre B è l'insieme degli insiemi che contengono sé stessi. La domanda è: in quale dei due insiemi sta A?
Bisogna capire se A contiene o no sé stesso; visto che ci sono solo due possibilità, l'analisi sembra semplice.
Primo caso, se A contiene sé stesso, cadremmo in contraddizione, perché A contiene solo insiemi che non contengono sé stessi. Bene, quindi il primo caso è impossibile.
Rimane il secondo caso: A non contiene sé stesso. Ma allora, essendo un insieme che non contiene sé stesso, dovrebbe appartenere ad A. Quindi A conterrebbe sé stesso, e questa è una contraddizione.
“E quindi?”.
“Quindi c'è una contraddizione irrisolvibile”.
“E questo è grave?”.
“Direi. Vuol dire che c'è una contraddizione nel concetto di insieme. Se pensiamo che il concetto di insieme è ciò che sta alla base di tutta la matematica, questo significa che la matematica è basata su concetti sbagliati”.
“Gulp. Bisogna dire però che la formulazione di questo problema è un po' complicata”.
“Ne vuoi una più semplice? Eccola: non apparterrò mai a un club che mi accetta tra i suoi membri, Groucho Marx”.
“Ah, è una battuta che conosco. Non avevo mai pensato che fosse un paradosso”.
“In effetti viene spesso chiamata paradosso, ma è una antinomia, cioè una vera contraddizione”.
“Ma quindi è proprio una Cosa Brutta, come avevi detto”.
“Già. Ci sono anche altre formulazioni, da quella semplice come questa frase è falsa, a quelle più complicate come il paradosso del barbiere”.
“Che sarebbe?”.
“Questa: in un paese il barbiere fa la barba solo alle persone che non se la fanno da sé”.
“E allora?”.
“Il barbiere è rasato. Chi gli fa la barba?”.
“Eh, se la fa da solo. No, non può, perché la fa solo a quelli che non se la fanno da soli. Gliela farà qualcun altro? No, non è possibile, è il barbiere che fa la barba a quelli che non se la fanno da soli. Ho capito! C'è una contraddizione anche qui”.
“Qui, in effetti, ci sarebbe una soluzione: il barbiere è una donna”.
“Ah, ma non vale!”.
“In realtà è quello che fanno i Veri Matematici per risolvere i problemi creati dall'idea di insieme di tutti gli insiemi. Usano due tipi diversi di insiemi, quelli normali, e quelli che chiamano classi proprie. Le classi proprie non possono essere a loro volta elementi. L'insieme di tutti gli insiemi è una classe propria, non può contenere sé stesso, e il problema è sistemato. Spesso si riferiscono a questi strategemmi denominandoli Trucchi Ignobili”.
“Uhm, mi pare che questo metodo di risolvere il problema si possa tradurre con: facciamo finta di niente”.
“Già. Ma è così: una volta visto che la costruzione delle basi della matematica non è una cosa così semplice, molti matematici vanno avanti e lasciano ad altri il compito di creare le definizioni giuste”.
“E quindi possono continuare a parlare di numeri cardinali senza preoccuparsi dell'insieme di tutti gli insiemi”.
“Esatto. Ora, per farti ragionare ancora un po' sui problemi degli enti che si riferiscono a sé stessi, ti lascio con un paio di esercizi”.
“Uh, va bene”.
“Due frasi da analizzare. La prima è questa: se questa frase è vera, allora Babbo Natale esiste”.
“Oh mamma. E la seconda?”.
“Questa frase non è un teorema dimostrabile dell'aritmetica”.
La prima frase di questo post è vera.
Cosa succede a considerare l'insieme di tutti gli insiemi? Un tale insieme contiene tutti gli insiemi, nessuno escluso. Quindi contiene anche sé stesso. Non tutti gli insiemi hanno questa caratteristica: per esempio, {a,b,c} non contiene sé stesso, ma solo i tre elementi a, b e c. Avremo quindi due categorie di insiemi: quelli che contengono sé stessi e quelli che non contengono sé stessi. Raggruppiamoli, costruendo due insiemi: A è l'insieme degli insiemi che non contengono sé stessi, mentre B è l'insieme degli insiemi che contengono sé stessi. La domanda è: in quale dei due insiemi sta A?
Bisogna capire se A contiene o no sé stesso; visto che ci sono solo due possibilità, l'analisi sembra semplice.
Primo caso, se A contiene sé stesso, cadremmo in contraddizione, perché A contiene solo insiemi che non contengono sé stessi. Bene, quindi il primo caso è impossibile.
Rimane il secondo caso: A non contiene sé stesso. Ma allora, essendo un insieme che non contiene sé stesso, dovrebbe appartenere ad A. Quindi A conterrebbe sé stesso, e questa è una contraddizione.
“E quindi?”.
“Quindi c'è una contraddizione irrisolvibile”.
“E questo è grave?”.
“Direi. Vuol dire che c'è una contraddizione nel concetto di insieme. Se pensiamo che il concetto di insieme è ciò che sta alla base di tutta la matematica, questo significa che la matematica è basata su concetti sbagliati”.
“Gulp. Bisogna dire però che la formulazione di questo problema è un po' complicata”.
“Ne vuoi una più semplice? Eccola: non apparterrò mai a un club che mi accetta tra i suoi membri, Groucho Marx”.
“Ah, è una battuta che conosco. Non avevo mai pensato che fosse un paradosso”.
“In effetti viene spesso chiamata paradosso, ma è una antinomia, cioè una vera contraddizione”.
“Ma quindi è proprio una Cosa Brutta, come avevi detto”.
“Già. Ci sono anche altre formulazioni, da quella semplice come questa frase è falsa, a quelle più complicate come il paradosso del barbiere”.
“Che sarebbe?”.
“Questa: in un paese il barbiere fa la barba solo alle persone che non se la fanno da sé”.
“E allora?”.
“Il barbiere è rasato. Chi gli fa la barba?”.
“Eh, se la fa da solo. No, non può, perché la fa solo a quelli che non se la fanno da soli. Gliela farà qualcun altro? No, non è possibile, è il barbiere che fa la barba a quelli che non se la fanno da soli. Ho capito! C'è una contraddizione anche qui”.
“Qui, in effetti, ci sarebbe una soluzione: il barbiere è una donna”.
“Ah, ma non vale!”.
“In realtà è quello che fanno i Veri Matematici per risolvere i problemi creati dall'idea di insieme di tutti gli insiemi. Usano due tipi diversi di insiemi, quelli normali, e quelli che chiamano classi proprie. Le classi proprie non possono essere a loro volta elementi. L'insieme di tutti gli insiemi è una classe propria, non può contenere sé stesso, e il problema è sistemato. Spesso si riferiscono a questi strategemmi denominandoli Trucchi Ignobili”.
“Uhm, mi pare che questo metodo di risolvere il problema si possa tradurre con: facciamo finta di niente”.
“Già. Ma è così: una volta visto che la costruzione delle basi della matematica non è una cosa così semplice, molti matematici vanno avanti e lasciano ad altri il compito di creare le definizioni giuste”.
“E quindi possono continuare a parlare di numeri cardinali senza preoccuparsi dell'insieme di tutti gli insiemi”.
“Esatto. Ora, per farti ragionare ancora un po' sui problemi degli enti che si riferiscono a sé stessi, ti lascio con un paio di esercizi”.
“Uh, va bene”.
“Due frasi da analizzare. La prima è questa: se questa frase è vera, allora Babbo Natale esiste”.
“Oh mamma. E la seconda?”.
“Questa frase non è un teorema dimostrabile dell'aritmetica”.
La prima frase di questo post è vera.
sabato 6 settembre 2008
Verso l'infinito, ma con calma - i numeri cardinali
Abbiamo detto che contare gli elementi di un insieme significa creare una corrispondenza biunivoca tra un insieme di numeri e l'insieme dato. Abbiamo anche detto che la logica vorrebbe cominciare a contare partendo da 1, mentre i Veri Matematici partono da 0.
Poi abbiamo accennato velocemente al concetto di cardinalità. Riprendiamolo, perché è importante. Si dice che due insiemi hanno la stessa cardinalità se esiste una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi. Non è importante sapere quale sia questa corrispondenza: può essere una qualunque funzione, purché sia biunivoca.
La definizione è sottile: non dico quanto vale la cardinalità di un insieme, dico solo che due insiemi hanno la stessa cardinalità, ma non specifico quanto sia.
Esempio: gli insiemi {a,b,c} e {Pippo, Pluto, Paperino} hanno la stessa cardinalità. Per dimostrarlo mi serve far vedere che esiste una funzione biunivoca tra i due. Eccola qua: a-Pippo, b-Pluto, c-Paperino. Facile. Notate che non ho mai detto che gli insiemi hanno 3 elementi.
Per parlare di numero cardinale, e quindi per associare un valore alla cardinalità, entrano in ballo le classi di equivalenza. E qui possono succedere Cose Brutte.
“Quanto brutte?”.
“Eh, molto”.
“Paradossi?”.
“Peggio”.
“Buchi neri super...”.
“Non dirlo, ti prego”.
“Va bene. Cosa, allora?”.
“Antinomie”.
“Wow! Racconta”.
“Ricordi la parabola dei Lego?”.
“Come potrei dimenticarla? Avevi spiegato che le relazioni di equivalenza estraggono, in qualche modo, una proprietà da un insieme di oggetti, e ci permettono di raggruppare quegli oggetti in base alla proprietà”.
“Bene, nell'esempio fatto, la proprietà era la forma dei Lego. Ogni scatolina conteneva un certo tipo di mattoncino, c'era la scatolina dei pezzi da uno, quella dei quadrati, eccetera. Ogni scatolina è una classe di equivalenza”.
“Bene, e adesso, con la cardinalità, come facciamo?”.
“Possiamo fare anche qui una relazione di equivalenza. Anzi, la relazione è proprio quella che abbiamo già definito: due insiemi sono in relazione se hanno la stessa cardinalità, cioè se esiste una corrispondenza biunivoca tra di loro”.
“E questa è una relazione di equivalenza?”.
“Certo. Prova a verificare le tre proprietà. Quella riflessiva è valida?”.
“Dunque, dovrebbe essere questa: un insieme ha la stessa cardinalità di sé stesso. Mi sembra stupida”.
“Se vuoi, possiamo dire che esiste una corrispondenza biunivoca tra un insieme e sé stesso”.
Bè, è vero. La corrispondenza è facile da trovare: ad ogni elemento associo sé stesso“”.
“Giusto. Vediamo la seconda proprietà, quella simmetrica”.
“Se esiste una corrispondenza biunivoca tra A e B, allora esiste una corrispondenza biunivoca tra B e A. Facile, è vero. Basta invertire il senso delle frecce”.
“Bene. E la proprietà transitiva?”.
“Se posso costruire una corrispondenza biunivoca tra A e B, e una seconda corrispondenza biunivoca tra B e C, allora ne posso fare una direttamente tra A e C. Vero anche questo, ci sarà una freccia che parte da un elemento di A e va a finire su un elemento di B, da cui parte una seconda freccia che parte da lì e va su un elemento di C. Mi basta collegare le due frecce e sono a posto”.
“Perfetto. Hai fatto un'operazione che i Veri Matematici chiamano composizione di funzioni”.
“Va bene. E adesso?”.
“Adesso abbiamo delle classi di equivalenza, che raggruppano tra di loro gli insiemi aventi la stessa cardinalità. Per esempio, assieme a {a,b,c} ci sarà {Pippo, Pluto, Paperino}, ma anche {Emy, Ely, Evy}, oppure {Spennacchiotto, Filo Sganga, Dinamite Bla}”.
“Certo che potevi usare degli esempi migliori...”.
“Allora ti dico che ci sarà anche l'insieme {0,1,2}”.
“Ho capito! Se come rappresentante della classe di equivalenza prendo {Pippo, Pluto, Paperino}, ottengo poco. Ma se prendo {0,1,2} posso parlare di numeri associati alla cardinalità”.
“Esatto. La cardinalità di {Pippo, Pluto, Paperino} è 3 perché quell'insieme si trova nella stessa classe di equivalenza di {0,1,2}”.
“Bene, mi sembra tutto a posto. Dove salta fuori l'antinomia?”.
“Eh, salta fuori proprio qua. Ricordi la scatola dei Lego?”.
“Certo. Era il nostro insieme da suddividere in classi”.
“E adesso qual è il nostro insieme?”.
“Eh. Ehm. La cardinalità si calcola su un insieme, quindi devo avere un contenitore di insiemi”.
“Sì. Un insieme di insiemi. Quali insiemi?”.
“Boh, non hai detto nulla sul tipo di insiemi sui quali si può calcolare la cardinalità, quindi direi tutti”.
“Perfetto: l'insieme di tutti gli insiemi”.
“Cosa c'è che non va nell'insieme di tutti gli insiemi?”.
“Il solo nominarlo fa crollare le basi di tutta la matematica”.
Poi abbiamo accennato velocemente al concetto di cardinalità. Riprendiamolo, perché è importante. Si dice che due insiemi hanno la stessa cardinalità se esiste una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi. Non è importante sapere quale sia questa corrispondenza: può essere una qualunque funzione, purché sia biunivoca.
La definizione è sottile: non dico quanto vale la cardinalità di un insieme, dico solo che due insiemi hanno la stessa cardinalità, ma non specifico quanto sia.
Esempio: gli insiemi {a,b,c} e {Pippo, Pluto, Paperino} hanno la stessa cardinalità. Per dimostrarlo mi serve far vedere che esiste una funzione biunivoca tra i due. Eccola qua: a-Pippo, b-Pluto, c-Paperino. Facile. Notate che non ho mai detto che gli insiemi hanno 3 elementi.
Per parlare di numero cardinale, e quindi per associare un valore alla cardinalità, entrano in ballo le classi di equivalenza. E qui possono succedere Cose Brutte.
“Quanto brutte?”.
“Eh, molto”.
“Paradossi?”.
“Peggio”.
“Buchi neri super...”.
“Non dirlo, ti prego”.
“Va bene. Cosa, allora?”.
“Antinomie”.
“Wow! Racconta”.
“Ricordi la parabola dei Lego?”.
“Come potrei dimenticarla? Avevi spiegato che le relazioni di equivalenza estraggono, in qualche modo, una proprietà da un insieme di oggetti, e ci permettono di raggruppare quegli oggetti in base alla proprietà”.
“Bene, nell'esempio fatto, la proprietà era la forma dei Lego. Ogni scatolina conteneva un certo tipo di mattoncino, c'era la scatolina dei pezzi da uno, quella dei quadrati, eccetera. Ogni scatolina è una classe di equivalenza”.
“Bene, e adesso, con la cardinalità, come facciamo?”.
“Possiamo fare anche qui una relazione di equivalenza. Anzi, la relazione è proprio quella che abbiamo già definito: due insiemi sono in relazione se hanno la stessa cardinalità, cioè se esiste una corrispondenza biunivoca tra di loro”.
“E questa è una relazione di equivalenza?”.
“Certo. Prova a verificare le tre proprietà. Quella riflessiva è valida?”.
“Dunque, dovrebbe essere questa: un insieme ha la stessa cardinalità di sé stesso. Mi sembra stupida”.
“Se vuoi, possiamo dire che esiste una corrispondenza biunivoca tra un insieme e sé stesso”.
Bè, è vero. La corrispondenza è facile da trovare: ad ogni elemento associo sé stesso“”.
“Giusto. Vediamo la seconda proprietà, quella simmetrica”.
“Se esiste una corrispondenza biunivoca tra A e B, allora esiste una corrispondenza biunivoca tra B e A. Facile, è vero. Basta invertire il senso delle frecce”.
“Bene. E la proprietà transitiva?”.
“Se posso costruire una corrispondenza biunivoca tra A e B, e una seconda corrispondenza biunivoca tra B e C, allora ne posso fare una direttamente tra A e C. Vero anche questo, ci sarà una freccia che parte da un elemento di A e va a finire su un elemento di B, da cui parte una seconda freccia che parte da lì e va su un elemento di C. Mi basta collegare le due frecce e sono a posto”.
“Perfetto. Hai fatto un'operazione che i Veri Matematici chiamano composizione di funzioni”.
“Va bene. E adesso?”.
“Adesso abbiamo delle classi di equivalenza, che raggruppano tra di loro gli insiemi aventi la stessa cardinalità. Per esempio, assieme a {a,b,c} ci sarà {Pippo, Pluto, Paperino}, ma anche {Emy, Ely, Evy}, oppure {Spennacchiotto, Filo Sganga, Dinamite Bla}”.
“Certo che potevi usare degli esempi migliori...”.
“Allora ti dico che ci sarà anche l'insieme {0,1,2}”.
“Ho capito! Se come rappresentante della classe di equivalenza prendo {Pippo, Pluto, Paperino}, ottengo poco. Ma se prendo {0,1,2} posso parlare di numeri associati alla cardinalità”.
“Esatto. La cardinalità di {Pippo, Pluto, Paperino} è 3 perché quell'insieme si trova nella stessa classe di equivalenza di {0,1,2}”.
“Bene, mi sembra tutto a posto. Dove salta fuori l'antinomia?”.
“Eh, salta fuori proprio qua. Ricordi la scatola dei Lego?”.
“Certo. Era il nostro insieme da suddividere in classi”.
“E adesso qual è il nostro insieme?”.
“Eh. Ehm. La cardinalità si calcola su un insieme, quindi devo avere un contenitore di insiemi”.
“Sì. Un insieme di insiemi. Quali insiemi?”.
“Boh, non hai detto nulla sul tipo di insiemi sui quali si può calcolare la cardinalità, quindi direi tutti”.
“Perfetto: l'insieme di tutti gli insiemi”.
“Cosa c'è che non va nell'insieme di tutti gli insiemi?”.
“Il solo nominarlo fa crollare le basi di tutta la matematica”.
venerdì 5 settembre 2008
Verso l'infinito, ma con calma - classi di equivalenza
Di nuovo si mise a insegnare alla cattedra, e si riunì intorno a lui una folla di studenti.
C'era un uomo, disse loro, che aveva un figlio. Al figlio piaceva molto giocare con i Lego, che teneva tutti raccolti in una valigetta. L'uomo entrò nella camera del figlio, e vide che sul pavimento della stanza erano sparse centinaia di mattoncini, di ogni forma e colore.
Il figlio era disperato. “Perché piangi?”, gli domandò il padre. “Perché sto diventando matto a trovare i pezzi che mi servono, sono tutti mescolati! Per costruire questo piccolo pezzo di muro ho sprecato tutto il pomeriggio!”. Nella valigetta il figlio teneva tutti i suoi Lego: ne aveva veramente tanti, e sarebbe stato impensabile conservare tutte le scatole originali. Al figlio, poi, piaceva anche inventare nuove costruzioni, prendendo a prestito dei pezzi dalle varie scatole.
“Ti aiuto”, gli disse il padre, e, dopo essersi procurato alcuni piccoli contenitori, si inginocchiò vicino a lui. Rovesciò la valigetta sul pavimento e iniziò a catalogare i piccoli pezzi colorati. In un contenitore ripose tutti i pezzi da uno, di qualunque colore. In un altro, quelli di dimensione 2×1, poi quelli quadrati, e così via.
Non importava la loro provenienza: alcuni pezzi erano, in origine, nella scatola della casetta, altri in quella dell'aereo, altri ancora facevano parte della Ferrari, o del Nottetempo di Harry Potter. Alcuni erano bianchi, altri rossi, blu, grigi, viola: non faceva differenza. Ciò che contava, per la catalogazione, era soltanto la forma.
Alla fine, della montagna di pezzi colorati rimase un piccolo gruppo di scatolette. Il figlio sorrise, felice.
“Noto evidenti segni di megalomania”.
“Perché?”.
“Non so, fare lezione per parabole?”.
“Ehm”.
“Non stavi per fare una battuta sul prof di matematica che racconta parabole, vero?”.
“Assolutamente no!”.
“Mh. E cosa vorrebbe dire, questa parabola?”.
“In verità ti dico...”.
“Allora ho ragione!”.
“Ok, scherzavo. L'esempio dei mattoncini dei Lego divisi per forma mi serve per parlare di classi di equivalenza”.
“Un'altra roba per Veri Matematici?”.
“Eh, sì. Ricordi le relazioni?”.
“Certo. Associazioni di coppie di elementi”.
“Bene. Gli elementi delle coppie venivano da due diversi insiemi, giusto?”.
“Sì, avevamo un insieme di partenza, che avevi chiamato A, e uno di arrivo, che avevi chiamato B”.
“Perfetto. Questa volta invece abbiamo un insieme solo”.
“E come facciamo ad accoppiare gli elementi? Da dove li prendiamo?”.
“Da due copie dello stesso insieme”.
“Oh mamma. Vorrei un esempio”.
“Eccolo qua: prendi l'insieme {a,b,c}. Ora associa gli elementi in questo modo: (a,a), (a,b), (b,c). Si dice anche, relativamente alla prima coppia, che a è in relazione con a. Per la seconda, che a è in relazione con b. Per la terza, che b è in relazione con c”.
“Comincio a capire. In effetti, hai definito una relazione. Avevi detto che una relazione è un insieme di coppie”.
“E infatti quello che ti ho elencato è un insieme di coppie. Solo che gli elementi provengono dallo stesso insieme. In effetti, non avevamo mai detto che A e B dovessero essere diversi”.
“Mh, sottigliezze da Vero Matematico. E adesso cosa ce ne facciamo di questa roba?”.
“Ci sono delle relazioni speciali che si chiamano relazioni di equivalenza”.
“Se dici che sono speciali, vorrà dire che hanno delle particolari caratteristiche”.
“Sì. Soddisfano a tre proprietà. Te le elenco?”.
“Vai”.
“La prima si chiama proprietà riflessiva. Dice che ogni elemento è in relazione con sé stesso”.
“Ok. Vorrebbe dire, per esempio, che esiste la coppia (a,a) dentro alla relazione. In effetti, nell'esempio che hai fatto c'è. Però mancano le coppie (b,b) e (c,c)”.
“Esatto. La seconda proprietà si chiama proprietà simmetrica. Dice che se un elemento a è in relazione con b, allora anche b deve essere in relazione con a”.
“Traducendo nel linguaggio delle coppie dovrebbe essere così: se la relazione contiene la coppia (a,b), allora deve contenere anche la coppia (b,a)”.
“Benissimo. La terza proprietà si chiama proprietà transitiva. Dice che se a è in relazione con b, e se b è in relazione con c, allora a è in relazione con c. Prova a tradurre questa”.
“Dunque: se (a,b) e (b,c) fanno parte della relazione, allora ne fa parte anche (a,c)”.
“Bene”.
“E cosa c'entrano i Lego?”.
“Allora: l'insieme A sul quale costruiamo la nostra relazione è la valigetta contenente tutti i pezzi. La relazione che consideriamo è definita così: due pezzi sono in relazione se si possono incastrare perfettamente uno sull'altro, senza lasciare buchi vuoti”.
“Ok. Dici che è una relazione di equivalenza?”.
“Prova tu a vedere se sono soddisfatte le tre proprietà. La prima è vera?”.
“Un elemento è in relazione con sé stesso, cioè un pezzo di Lego si può incastrare su sé stesso. Forse è meglio dire su un altro pezzo identico. Sì, è giusto”.
“La seconda?”.
“Se un pezzo a si può incastrare con b, anche b si può incastrare con a. Certo, è vero”.
“La terza?”.
“Se posso incastrare a con b, e se posso incastrare b con c, allora posso incastrare a con c direttamente. Certo, hanno la stessa forma”.
“Bravo, hai colto il punto”.
“Quale?”.
“La forma. Tutti gli elementi aventi la stessa forma si possono incastrare insieme”.
“E quindi sono tutti in relazione tra di loro, ho capito!”.
“E li mettiamo tutti nella stessa scatola. Le scatole rappresentano una proprietà comune a tutti i pezzi contenuti, in questo caso la loro forma. Ogni volta che ti trovi di fronte a una relazione di equivalenza, riesci a mettere in evidenza una particolare proprietà. E riesci a suddividere l'insieme in scatole”.
“Ho capito. E quindi i matematici fanno queste scatole di equivalenza”.
“Già. Naturalmente non le chiamano così”.
“Capirai. Come si chiamano?”.
“Classi di equivalenza”.
“Ah, l'avevi detto all'inizio. E a cosa ci servono?”.
“Stai pronto, con le lampade accese, e attendi”.
“Argh!”.
C'era un uomo, disse loro, che aveva un figlio. Al figlio piaceva molto giocare con i Lego, che teneva tutti raccolti in una valigetta. L'uomo entrò nella camera del figlio, e vide che sul pavimento della stanza erano sparse centinaia di mattoncini, di ogni forma e colore.
Il figlio era disperato. “Perché piangi?”, gli domandò il padre. “Perché sto diventando matto a trovare i pezzi che mi servono, sono tutti mescolati! Per costruire questo piccolo pezzo di muro ho sprecato tutto il pomeriggio!”. Nella valigetta il figlio teneva tutti i suoi Lego: ne aveva veramente tanti, e sarebbe stato impensabile conservare tutte le scatole originali. Al figlio, poi, piaceva anche inventare nuove costruzioni, prendendo a prestito dei pezzi dalle varie scatole.
“Ti aiuto”, gli disse il padre, e, dopo essersi procurato alcuni piccoli contenitori, si inginocchiò vicino a lui. Rovesciò la valigetta sul pavimento e iniziò a catalogare i piccoli pezzi colorati. In un contenitore ripose tutti i pezzi da uno, di qualunque colore. In un altro, quelli di dimensione 2×1, poi quelli quadrati, e così via.
Non importava la loro provenienza: alcuni pezzi erano, in origine, nella scatola della casetta, altri in quella dell'aereo, altri ancora facevano parte della Ferrari, o del Nottetempo di Harry Potter. Alcuni erano bianchi, altri rossi, blu, grigi, viola: non faceva differenza. Ciò che contava, per la catalogazione, era soltanto la forma.
Alla fine, della montagna di pezzi colorati rimase un piccolo gruppo di scatolette. Il figlio sorrise, felice.
“Noto evidenti segni di megalomania”.
“Perché?”.
“Non so, fare lezione per parabole?”.
“Ehm”.
“Non stavi per fare una battuta sul prof di matematica che racconta parabole, vero?”.
“Assolutamente no!”.
“Mh. E cosa vorrebbe dire, questa parabola?”.
“In verità ti dico...”.
“Allora ho ragione!”.
“Ok, scherzavo. L'esempio dei mattoncini dei Lego divisi per forma mi serve per parlare di classi di equivalenza”.
“Un'altra roba per Veri Matematici?”.
“Eh, sì. Ricordi le relazioni?”.
“Certo. Associazioni di coppie di elementi”.
“Bene. Gli elementi delle coppie venivano da due diversi insiemi, giusto?”.
“Sì, avevamo un insieme di partenza, che avevi chiamato A, e uno di arrivo, che avevi chiamato B”.
“Perfetto. Questa volta invece abbiamo un insieme solo”.
“E come facciamo ad accoppiare gli elementi? Da dove li prendiamo?”.
“Da due copie dello stesso insieme”.
“Oh mamma. Vorrei un esempio”.
“Eccolo qua: prendi l'insieme {a,b,c}. Ora associa gli elementi in questo modo: (a,a), (a,b), (b,c). Si dice anche, relativamente alla prima coppia, che a è in relazione con a. Per la seconda, che a è in relazione con b. Per la terza, che b è in relazione con c”.
“Comincio a capire. In effetti, hai definito una relazione. Avevi detto che una relazione è un insieme di coppie”.
“E infatti quello che ti ho elencato è un insieme di coppie. Solo che gli elementi provengono dallo stesso insieme. In effetti, non avevamo mai detto che A e B dovessero essere diversi”.
“Mh, sottigliezze da Vero Matematico. E adesso cosa ce ne facciamo di questa roba?”.
“Ci sono delle relazioni speciali che si chiamano relazioni di equivalenza”.
“Se dici che sono speciali, vorrà dire che hanno delle particolari caratteristiche”.
“Sì. Soddisfano a tre proprietà. Te le elenco?”.
“Vai”.
“La prima si chiama proprietà riflessiva. Dice che ogni elemento è in relazione con sé stesso”.
“Ok. Vorrebbe dire, per esempio, che esiste la coppia (a,a) dentro alla relazione. In effetti, nell'esempio che hai fatto c'è. Però mancano le coppie (b,b) e (c,c)”.
“Esatto. La seconda proprietà si chiama proprietà simmetrica. Dice che se un elemento a è in relazione con b, allora anche b deve essere in relazione con a”.
“Traducendo nel linguaggio delle coppie dovrebbe essere così: se la relazione contiene la coppia (a,b), allora deve contenere anche la coppia (b,a)”.
“Benissimo. La terza proprietà si chiama proprietà transitiva. Dice che se a è in relazione con b, e se b è in relazione con c, allora a è in relazione con c. Prova a tradurre questa”.
“Dunque: se (a,b) e (b,c) fanno parte della relazione, allora ne fa parte anche (a,c)”.
“Bene”.
“E cosa c'entrano i Lego?”.
“Allora: l'insieme A sul quale costruiamo la nostra relazione è la valigetta contenente tutti i pezzi. La relazione che consideriamo è definita così: due pezzi sono in relazione se si possono incastrare perfettamente uno sull'altro, senza lasciare buchi vuoti”.
“Ok. Dici che è una relazione di equivalenza?”.
“Prova tu a vedere se sono soddisfatte le tre proprietà. La prima è vera?”.
“Un elemento è in relazione con sé stesso, cioè un pezzo di Lego si può incastrare su sé stesso. Forse è meglio dire su un altro pezzo identico. Sì, è giusto”.
“La seconda?”.
“Se un pezzo a si può incastrare con b, anche b si può incastrare con a. Certo, è vero”.
“La terza?”.
“Se posso incastrare a con b, e se posso incastrare b con c, allora posso incastrare a con c direttamente. Certo, hanno la stessa forma”.
“Bravo, hai colto il punto”.
“Quale?”.
“La forma. Tutti gli elementi aventi la stessa forma si possono incastrare insieme”.
“E quindi sono tutti in relazione tra di loro, ho capito!”.
“E li mettiamo tutti nella stessa scatola. Le scatole rappresentano una proprietà comune a tutti i pezzi contenuti, in questo caso la loro forma. Ogni volta che ti trovi di fronte a una relazione di equivalenza, riesci a mettere in evidenza una particolare proprietà. E riesci a suddividere l'insieme in scatole”.
“Ho capito. E quindi i matematici fanno queste scatole di equivalenza”.
“Già. Naturalmente non le chiamano così”.
“Capirai. Come si chiamano?”.
“Classi di equivalenza”.
“Ah, l'avevi detto all'inizio. E a cosa ci servono?”.
“Stai pronto, con le lampade accese, e attendi”.
“Argh!”.
Verso l'infinito, ma con calma - contare
Anche l'atto del contare quanti sono ha una definizione matematica. Ora, ci si potrebbe domandare se c'è proprio bisogno di dare una definizione a un'attività che si impara intorno ai due anni, ma i Veri Matematici son tipi molto precisi.
Quindi, cosa significa contare? Dice il De Mauro: numerare progressivamente persone, animali o cose per determinarne la quantità. Numerare. Cioè segnare con numeri progressivi.
Eccoci al punto: per contare si associano dei numeri progressivi agli oggetti. E siamo anche in grado di formalizzare questa frase in termini matematici.
“E come si fa?”.
“Beh, abbiamo già parlato di oggetti che permettono di fare associazioni, cioè permettono di mettere in relazione elementi appartenenti a due diversi insiemi”.
“Ah, certo, le relazioni, appunto”.
“Sì. Però una relazione non va bene, in generale, per contare. Immagina di avere un insieme composto da quattro elementi. Per esempio, le prime quattro lettere dell'alfabeto: {a,b,c,d}”.
“Ok. Ora serve una relazione che leghi dei numeri a queste quattro lettere”.
“Sì. Te ne propongo una: 1-a, 2-b, 1-c”.
“Cosa significa?”.
“Ho associato 1 alla a. Poi 2 alla b, e di nuovo 1 alla c”.
“Non mi sembra un gran bel modo di contare, questo”.
“No, infatti. Riesci a scoprire quali sono i problemi?”.
“Vediamo... Prima di tutto, hai ripetuto 1 due volte. Non si può contare in questo modo. A 1 deve corrispondere un solo elemento”.
“Giusto. Ma una relazione mi permette di associare 1 a quanti elementi voglio”.
“Ho capito! Non va bene usare una relazione. Serve una funzione”.
“Perfetto. Poi, noti altri problemi?”.
“Sì. Non hai associato nessun numero a d”.
“Esattamente. Ma è possibile che una funzione non prenda in considerazione tutti gli elementi dell'insieme di arrivo”.
“Ok, ci sono: serve una funzione suriettiva”.
“Bene. Nient'altro? Può, questa funzione, non essere iniettiva?”.
“Mh, vediamo. Basta provare, forse. Una funzione non iniettiva ma suriettiva potrebbe essere 1-a, 2-b, 3-a, 4-c, 5-d. No, non va bene: Ho contato a due volte. Ok, ci sono. Per contare serve una funzione sia iniettiva che suriettiva, cioè biunivoca!”.
“Molto bene. Contare, allora, significa mettere in corrispondenza biunivoca un insieme numerico con l'insieme di cui vogliamo contare gli elementi”.
“Ho capito. Eh, però bisogna essere precisi”.
“Vedo che stai entrando nella mentalità del Vero Matematico. Cosa dovremmo precisare?”.
“Qual è l'insieme numerico”.
“Bravo. Non possiamo contare un insieme di tre elementi partendo, che so, dal cinque. Se al primo elemento associamo 5, al secondo 6 e al terzo 7, arriveremmo a concludere che l'insieme è composto da 7 elementi”.
“Dobbiamo dire, allora, che l'insieme numerico è quello dei primi n numeri naturali. Si parte da 1, e si va avanti fino a che ci sono elementi nell'altro insieme”.
“Ottimo”.
“I Veri Matematici fanno proprio così?”.
“Ehm”.
“Cosa, ehm?”.
“Non proprio”.
“Ma come? Prima mi spieghi tutte queste cose, dici che bisogna contare, che non si può partire da cinque, io dico che bisogna partire da uno, tu dici ottimo, e poi dici che i matematici fanno in un altro modo? E come fanno, di grazia?”.
“Ecco, hai presente quell'insieme che abbiamo preso come esempio all'inizio?”.
“Quale? L'insieme {a,b,c,d}?”.
“Quello. I Veri Matematici contano così: zero, uno, due, tre”.
“...”.
“Il numero di elementi dell'insieme è il primo numero non nominato, cioè quattro”.
“Sono Pazzi Questi Matematici”.
“E non è tutto qua”.
“Cosa c'è ancora?”.
“Eh, in effetti ci sono due modi di contare, anche nella vita normale”.
“Hai fatto bene a dire normale, vedo che qua si stanno complicando a dismisura cose semplici, non mi sembra mica tanto normale questa cosa. Quali sarebbero questi due modi?”.
“Allora, se io ti dico che l'insieme {a,b,c,d} ha quattro elementi, intendo descrivere una proprietà dell'insieme che potremmo chiamare grandezza”.
“Non oso chiedere come la chiamano i Veri Matematici”.
“Cardinalità. Questo è il primo modo di contare”.
“Ok, pensavo peggio”.
“I numeri usati per contare in questo modo li chiamo numeri cardinali”.
“E l'altro modo?”
“Ecco, con l'altro modo voglio anche tener conto dell'ordine con cui compaiono gli elementi che sto contando. Non mi accontento di dire che {a,b,c,d} ha quattro elementi, ma li conto e li ordino uno per uno. In questo caso, dico che sto utilizzando dei numeri ordinali”.
“Credo di aver capito. In pratica diresti che a è il primo elemento, b il secondo, c il terzo, e d il quarto?”.
“Ecco, quasi”.
“Uffa. Cosa ho sbagliato?”.
“Direi che a è il zeresimo elemento, b il primo, c il secondo, d il terzo. Totale, quattro elementi”.
“Roba da matti. E poi non esiste la parola zeresimo”.
“Invece sì”.
Quindi, cosa significa contare? Dice il De Mauro: numerare progressivamente persone, animali o cose per determinarne la quantità. Numerare. Cioè segnare con numeri progressivi.
Eccoci al punto: per contare si associano dei numeri progressivi agli oggetti. E siamo anche in grado di formalizzare questa frase in termini matematici.
“E come si fa?”.
“Beh, abbiamo già parlato di oggetti che permettono di fare associazioni, cioè permettono di mettere in relazione elementi appartenenti a due diversi insiemi”.
“Ah, certo, le relazioni, appunto”.
“Sì. Però una relazione non va bene, in generale, per contare. Immagina di avere un insieme composto da quattro elementi. Per esempio, le prime quattro lettere dell'alfabeto: {a,b,c,d}”.
“Ok. Ora serve una relazione che leghi dei numeri a queste quattro lettere”.
“Sì. Te ne propongo una: 1-a, 2-b, 1-c”.
“Cosa significa?”.
“Ho associato 1 alla a. Poi 2 alla b, e di nuovo 1 alla c”.
“Non mi sembra un gran bel modo di contare, questo”.
“No, infatti. Riesci a scoprire quali sono i problemi?”.
“Vediamo... Prima di tutto, hai ripetuto 1 due volte. Non si può contare in questo modo. A 1 deve corrispondere un solo elemento”.
“Giusto. Ma una relazione mi permette di associare 1 a quanti elementi voglio”.
“Ho capito! Non va bene usare una relazione. Serve una funzione”.
“Perfetto. Poi, noti altri problemi?”.
“Sì. Non hai associato nessun numero a d”.
“Esattamente. Ma è possibile che una funzione non prenda in considerazione tutti gli elementi dell'insieme di arrivo”.
“Ok, ci sono: serve una funzione suriettiva”.
“Bene. Nient'altro? Può, questa funzione, non essere iniettiva?”.
“Mh, vediamo. Basta provare, forse. Una funzione non iniettiva ma suriettiva potrebbe essere 1-a, 2-b, 3-a, 4-c, 5-d. No, non va bene: Ho contato a due volte. Ok, ci sono. Per contare serve una funzione sia iniettiva che suriettiva, cioè biunivoca!”.
“Molto bene. Contare, allora, significa mettere in corrispondenza biunivoca un insieme numerico con l'insieme di cui vogliamo contare gli elementi”.
“Ho capito. Eh, però bisogna essere precisi”.
“Vedo che stai entrando nella mentalità del Vero Matematico. Cosa dovremmo precisare?”.
“Qual è l'insieme numerico”.
“Bravo. Non possiamo contare un insieme di tre elementi partendo, che so, dal cinque. Se al primo elemento associamo 5, al secondo 6 e al terzo 7, arriveremmo a concludere che l'insieme è composto da 7 elementi”.
“Dobbiamo dire, allora, che l'insieme numerico è quello dei primi n numeri naturali. Si parte da 1, e si va avanti fino a che ci sono elementi nell'altro insieme”.
“Ottimo”.
“I Veri Matematici fanno proprio così?”.
“Ehm”.
“Cosa, ehm?”.
“Non proprio”.
“Ma come? Prima mi spieghi tutte queste cose, dici che bisogna contare, che non si può partire da cinque, io dico che bisogna partire da uno, tu dici ottimo, e poi dici che i matematici fanno in un altro modo? E come fanno, di grazia?”.
“Ecco, hai presente quell'insieme che abbiamo preso come esempio all'inizio?”.
“Quale? L'insieme {a,b,c,d}?”.
“Quello. I Veri Matematici contano così: zero, uno, due, tre”.
“...”.
“Il numero di elementi dell'insieme è il primo numero non nominato, cioè quattro”.
“Sono Pazzi Questi Matematici”.
“E non è tutto qua”.
“Cosa c'è ancora?”.
“Eh, in effetti ci sono due modi di contare, anche nella vita normale”.
“Hai fatto bene a dire normale, vedo che qua si stanno complicando a dismisura cose semplici, non mi sembra mica tanto normale questa cosa. Quali sarebbero questi due modi?”.
“Allora, se io ti dico che l'insieme {a,b,c,d} ha quattro elementi, intendo descrivere una proprietà dell'insieme che potremmo chiamare grandezza”.
“Non oso chiedere come la chiamano i Veri Matematici”.
“Cardinalità. Questo è il primo modo di contare”.
“Ok, pensavo peggio”.
“I numeri usati per contare in questo modo li chiamo numeri cardinali”.
“E l'altro modo?”
“Ecco, con l'altro modo voglio anche tener conto dell'ordine con cui compaiono gli elementi che sto contando. Non mi accontento di dire che {a,b,c,d} ha quattro elementi, ma li conto e li ordino uno per uno. In questo caso, dico che sto utilizzando dei numeri ordinali”.
“Credo di aver capito. In pratica diresti che a è il primo elemento, b il secondo, c il terzo, e d il quarto?”.
“Ecco, quasi”.
“Uffa. Cosa ho sbagliato?”.
“Direi che a è il zeresimo elemento, b il primo, c il secondo, d il terzo. Totale, quattro elementi”.
“Roba da matti. E poi non esiste la parola zeresimo”.
“Invece sì”.
mercoledì 3 settembre 2008
Verso l'infinito, ma con calma - le funzioni
Tutti, a scuola, hanno sentito parlare di funzioni. Anche gli studenti.
Ma se domandi: “allora, che cosa è esattamente una funzione?”, tutti mostrano di essere intensamente impegnati a fare altro.
Bene, una volta capito cosa sia una relazione, è molto semplice passare alle funzioni: infatti una funzione è un particolare tipo di relazione. Una funzione è una relazione per la quale ad ogni elemento del primo insieme corrisponde un unico elemento del secondo insieme. La differenza è tutta qua, nel sottolineare che il corrispondente deve essere uno solo.
In pratica, non ci sono elementi del primo insieme dai quali possano partire due o più frecce: da ogni elemento ne parte una sola.
Ecco un disegnino:
Come si vede, da ogni elemento di A parte una sola freccia, mentre non esiste nessuna regola che riguarda gli elementi di B: ci sono elementi sui quali arriva una sola freccia, elementi sui quali ne arrivano due, elementi sui quali non ne arriva nemmeno una.
“E non vogliamo specificare niente sugli elementi di B? Ai matematici va bene tutto?”.
“Certo che no. I matematici fanno alcune distinzioni. Per esempio, osserva questo disegno”.
“Ah, vedo che qua non ci sono elementi di B sui quali arrivano due o più frecce”.
“Bene, giusto. Anche se esistono elementi di B sui quali non arriva nulla, cioè elementi che non hanno un corrispondente in A”.
“Vedo. Diciamo che al massimo arriva una freccia. Queste funzioni hanno un nome particolare?”.
“Sì. Si chiamano funzioni iniettive”.
“Ok. E una funzione fatta così, ha un nome anche lei?”.
“Vuoi dire una funzione che ricopre tutto il secondo insieme? Cioè una funzione tale che su ogni elemento di B arriva almeno una freccia?”.
“Esatto. Prima hai fatto l'esempio delle funzioni con al massimo una freccia su ogni elemento di B, pensavo che magari potesse esistere una definizione per funzioni con al minimo una freccia su ogni elemento di B”.
“Sì, in questo caso si parla di funzione suriettiva”.
“E magari si possono combinare le due richieste? Al massimo una freccia e al minimo una freccia? So che i matematici dicono una e una sola freccia”.
“Esattamente. Una funzione che è sia iniettiva che suriettiva si dice biunivoca (o anche biiettiva, qualcuno addirittura scrive bijettiva). Ecco un disegnino”.
“Ok, ho capito. Delle corrispondenze biunivoche me ne avevano parlato anche alle elementari. Ma i matematici parlano davvero di frecce?”.
“Beh, no, quasi mai. Invece di dire che la funzione f collega con una freccia l'elemento a con l'elemento b, scrivono semplicemente f(a)=b”.
“Questo mi ricorda qualcosa...”.
“Già. Tieni presente che spesso si dimentica che per definire una funzione non serve solo la legge (cioè il modo in cui le frecce collegano gli elementi), ma serve anche conoscere quali sono gli insiemi A e B”.
“Perché?”.
“Prendi per esempio la funzione f(x)=x2, cioè la funzione che prende un elemento e lo eleva al quadrato. È chiara la legge? Sapresti trovare il corrispondente di un qualunque numero?”.
“Direi di sì, non è difficile”.
“Bene. Allora, questa funzione è iniettiva?”.
“Mh, direi di sì. Sì. Se per esempio elevo 3 al quadrato, ottengo 9. Se elevo un altro numero al quadrato non ottengo 9”.
“Che mi dici di -3 al quadrato?”.
“Oh oh, non avevo pensato ai numeri negativi”.
“Vedi dunque l'importanza di conoscere l'insieme A. Se A contiene solo numeri maggiori o uguali a zero, la funzione è iniettiva. Se A contiene anche numeri negativi, allora non lo è”.
“Ho capito. E per quanto riguarda l'insieme B?”.
“Dimmi tu. La funzione che eleva al quadrato è suriettiva? Cioè, ricopre tutto l'insieme di arrivo?”.
“Ah, ho capito! Dipende da come è fatto l'insieme di arrivo! Se contiene solo numeri maggiori o uguali a zero, la funzione lo ricopre tutto. Se contiene anche i numeri negativi, no. Non esiste nessun numero che elevato al quadrato mi dia -4, per esempio”.
“Se non prendiamo numeri immaginari nell'insieme di partenza, è vero”.
“Numeri immaginari?”.
“Vabbè, questa è un'altra storia”.
Ma se domandi: “allora, che cosa è esattamente una funzione?”, tutti mostrano di essere intensamente impegnati a fare altro.
Bene, una volta capito cosa sia una relazione, è molto semplice passare alle funzioni: infatti una funzione è un particolare tipo di relazione. Una funzione è una relazione per la quale ad ogni elemento del primo insieme corrisponde un unico elemento del secondo insieme. La differenza è tutta qua, nel sottolineare che il corrispondente deve essere uno solo.
In pratica, non ci sono elementi del primo insieme dai quali possano partire due o più frecce: da ogni elemento ne parte una sola.
Ecco un disegnino:
Come si vede, da ogni elemento di A parte una sola freccia, mentre non esiste nessuna regola che riguarda gli elementi di B: ci sono elementi sui quali arriva una sola freccia, elementi sui quali ne arrivano due, elementi sui quali non ne arriva nemmeno una.
“E non vogliamo specificare niente sugli elementi di B? Ai matematici va bene tutto?”.
“Certo che no. I matematici fanno alcune distinzioni. Per esempio, osserva questo disegno”.
“Ah, vedo che qua non ci sono elementi di B sui quali arrivano due o più frecce”.
“Bene, giusto. Anche se esistono elementi di B sui quali non arriva nulla, cioè elementi che non hanno un corrispondente in A”.
“Vedo. Diciamo che al massimo arriva una freccia. Queste funzioni hanno un nome particolare?”.
“Sì. Si chiamano funzioni iniettive”.
“Ok. E una funzione fatta così, ha un nome anche lei?”.
“Vuoi dire una funzione che ricopre tutto il secondo insieme? Cioè una funzione tale che su ogni elemento di B arriva almeno una freccia?”.
“Esatto. Prima hai fatto l'esempio delle funzioni con al massimo una freccia su ogni elemento di B, pensavo che magari potesse esistere una definizione per funzioni con al minimo una freccia su ogni elemento di B”.
“Sì, in questo caso si parla di funzione suriettiva”.
“E magari si possono combinare le due richieste? Al massimo una freccia e al minimo una freccia? So che i matematici dicono una e una sola freccia”.
“Esattamente. Una funzione che è sia iniettiva che suriettiva si dice biunivoca (o anche biiettiva, qualcuno addirittura scrive bijettiva). Ecco un disegnino”.
“Ok, ho capito. Delle corrispondenze biunivoche me ne avevano parlato anche alle elementari. Ma i matematici parlano davvero di frecce?”.
“Beh, no, quasi mai. Invece di dire che la funzione f collega con una freccia l'elemento a con l'elemento b, scrivono semplicemente f(a)=b”.
“Questo mi ricorda qualcosa...”.
“Già. Tieni presente che spesso si dimentica che per definire una funzione non serve solo la legge (cioè il modo in cui le frecce collegano gli elementi), ma serve anche conoscere quali sono gli insiemi A e B”.
“Perché?”.
“Prendi per esempio la funzione f(x)=x2, cioè la funzione che prende un elemento e lo eleva al quadrato. È chiara la legge? Sapresti trovare il corrispondente di un qualunque numero?”.
“Direi di sì, non è difficile”.
“Bene. Allora, questa funzione è iniettiva?”.
“Mh, direi di sì. Sì. Se per esempio elevo 3 al quadrato, ottengo 9. Se elevo un altro numero al quadrato non ottengo 9”.
“Che mi dici di -3 al quadrato?”.
“Oh oh, non avevo pensato ai numeri negativi”.
“Vedi dunque l'importanza di conoscere l'insieme A. Se A contiene solo numeri maggiori o uguali a zero, la funzione è iniettiva. Se A contiene anche numeri negativi, allora non lo è”.
“Ho capito. E per quanto riguarda l'insieme B?”.
“Dimmi tu. La funzione che eleva al quadrato è suriettiva? Cioè, ricopre tutto l'insieme di arrivo?”.
“Ah, ho capito! Dipende da come è fatto l'insieme di arrivo! Se contiene solo numeri maggiori o uguali a zero, la funzione lo ricopre tutto. Se contiene anche i numeri negativi, no. Non esiste nessun numero che elevato al quadrato mi dia -4, per esempio”.
“Se non prendiamo numeri immaginari nell'insieme di partenza, è vero”.
“Numeri immaginari?”.
“Vabbè, questa è un'altra storia”.
Si fa presto a dire cina /2
Alice Riddle, quella dei tre che beve birra quanto un uomo, si è appassionata alla vicenda delle medaglie e ha compilato uno schema con tutte le nazioni e tutte le medaglie vinte in tutte le olimpiadi. Eccola qua.
martedì 2 settembre 2008
Verso l'infinito, ma con calma - le relazioni
Tutto comincia dalle relazioni.
Se domandate a un matematico cosa sia una relazione, lui vi risponderà che una relazione tra due insiemi A e B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A×B. Con questo il matematico se la cava, il non matematico non capisce niente.
In questi casi non bisogna partire da una definizione rigorosa, ma da qualcosa di molto più intuitivo: potremmo dire che una relazione tra due insiemi è una legge che lega gli elementi del primo insieme a quelli del secondo. Una cosa così, per esempio:
Questa è una relazione: il primo elemento dell'insieme A è legato al primo dell'insieme B, il secondo dell'insieme A è legato al secondo e al terzo dell'insieme B, e così via. In questo modo dovrebbe essere più chiaro. Potremmo anche prendere il concetto di relazione come concetto primitivo, e finirla qua (in matematica i concetti primitivi sono quelli che non si possono definire a partire da altri concetti più semplici: sono cioè i mattoni con cui si costruisce tutto il resto).
I Veri Matematici, però, basano tutto sul concetto di insieme, e quindi anche la relazione è definita a partire dagli insiemi. Dire sottoinsieme del prodotto cartesiano è un modo pomposo per dire insieme di coppie ordinate composte da un elemento di A e uno di B (anche il concetto di coppia ordinata non è primitivo, ma può essere definito utilizzando esclusivamente gli insiemi; i Veri Matematici danno per scontato che tutti lo sappiano e fanno finta di niente).
Esempietto: abbiamo gli insiemi A = {1,2,3} e B = {a,b,c,d}.
Ecco una relazione: R = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,c)}.
“Ehi, ma a 3 non è associato niente!”.
“Non importa”.
“E come la mettiamo col fatto che a 1 sono associati due elementi?”.
“Va bene, non c'è problema”.
“E il prodotto cartesiano cosa sarebbe?”.
“L'insieme di tutte le possibili coppie ordinate. Nel nostro esempio quante ce ne sono?”.
“Dodici?”.
“Esatto”.
“Ok. E come fai a definire una coppia ordinata (a,b) utilizzando solo il concetto di insieme?”.
“Faccio così: (a,b) è, per definizione, l'insieme {{a},{a,b}}”.
“Ma è una cosa orribile!”.
“Già. E non sto a dirti come si definisce una terna (a,b,c). È per questo che i Veri Matematici fanno finta di niente”.
Se domandate a un matematico cosa sia una relazione, lui vi risponderà che una relazione tra due insiemi A e B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A×B. Con questo il matematico se la cava, il non matematico non capisce niente.
In questi casi non bisogna partire da una definizione rigorosa, ma da qualcosa di molto più intuitivo: potremmo dire che una relazione tra due insiemi è una legge che lega gli elementi del primo insieme a quelli del secondo. Una cosa così, per esempio:
Questa è una relazione: il primo elemento dell'insieme A è legato al primo dell'insieme B, il secondo dell'insieme A è legato al secondo e al terzo dell'insieme B, e così via. In questo modo dovrebbe essere più chiaro. Potremmo anche prendere il concetto di relazione come concetto primitivo, e finirla qua (in matematica i concetti primitivi sono quelli che non si possono definire a partire da altri concetti più semplici: sono cioè i mattoni con cui si costruisce tutto il resto).
I Veri Matematici, però, basano tutto sul concetto di insieme, e quindi anche la relazione è definita a partire dagli insiemi. Dire sottoinsieme del prodotto cartesiano è un modo pomposo per dire insieme di coppie ordinate composte da un elemento di A e uno di B (anche il concetto di coppia ordinata non è primitivo, ma può essere definito utilizzando esclusivamente gli insiemi; i Veri Matematici danno per scontato che tutti lo sappiano e fanno finta di niente).
Esempietto: abbiamo gli insiemi A = {1,2,3} e B = {a,b,c,d}.
Ecco una relazione: R = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,c)}.
“Ehi, ma a 3 non è associato niente!”.
“Non importa”.
“E come la mettiamo col fatto che a 1 sono associati due elementi?”.
“Va bene, non c'è problema”.
“E il prodotto cartesiano cosa sarebbe?”.
“L'insieme di tutte le possibili coppie ordinate. Nel nostro esempio quante ce ne sono?”.
“Dodici?”.
“Esatto”.
“Ok. E come fai a definire una coppia ordinata (a,b) utilizzando solo il concetto di insieme?”.
“Faccio così: (a,b) è, per definizione, l'insieme {{a},{a,b}}”.
“Ma è una cosa orribile!”.
“Già. E non sto a dirti come si definisce una terna (a,b,c). È per questo che i Veri Matematici fanno finta di niente”.
lunedì 1 settembre 2008
Matematica in cucina
Parmigiano reggiano, prosciutto di Modena, salame, mortadella, coppa di testa, ciccioli, zampone, cotechino, gnocco fritto, crescentina (ma noi pianurani diciamo tigella), pesto modenese, tortellino, borlengo, aceto balsamico, lambrusco, nocino, bensone.
Tutto questo (mancano i tortelloni di ricotta e spinaci, mh) e altro ancora sull'ultimo numero di Rudi Mathematici.
Ah, c'è anche un matematico modenese.
Tutto questo (mancano i tortelloni di ricotta e spinaci, mh) e altro ancora sull'ultimo numero di Rudi Mathematici.
Ah, c'è anche un matematico modenese.
martedì 26 agosto 2008
Si fa presto a dire Cina
Dicono che la Cina si trova in testa al medagliere perché ha vinto cento medaglie, di cui cinquantuno d'oro. Mi pare però che sia facile trovare atleti da medaglia in un paese che ha più di un miliardo di abitanti, e quindi vi propongo una nuova classifica, in cui ciò che conta non è il totale assoluto delle medaglie, bensì il numero di medaglie rapportato ai miliardi di abitanti.
Vince la Giamaica, con quasi 4000 medaglie, seguita da Australia e Bielorussia.
Medaglie Abitanti Medaglie/abitanti
Cina 100 1306313813 76,55
Stati Uniti 110 302713700 363,38
Russia 72 146400000 491,80
Gran Bretagna 47 60609155 775,46
Germania 41 82438000 497,34
Australia 46 19855188 2.316,77
Corea del Sud 31 49044790 632,08
Giappone 25 127435000 196,18
Italia 28 58876835 475,57
Francia 40 61875822 646,46
Ucraina 27 46372700 582,24
Olanda 16 16408557 975,10
Giamaica 11 2804332 3.922,50
Spagna 18 45200737 398,22
Kenya 14 34707817 403,37
Bielorussia 19 9689800 1.960,82
Vince la Giamaica, con quasi 4000 medaglie, seguita da Australia e Bielorussia.
mercoledì 20 agosto 2008
Ebbene sì. Torinesi, ho bisogno di voi!
Qualcuno di voi conosce questa cupola? È in san Lorenzo a piazza Castello, nel cuore di Torino. Sicuramente un posto magico, una costruzione che mette in seria crisi gli studiosi di storia dell'architettura — soprattutto quelli che amano le etichette, le categorie. Guarino Guarini le etichette non le rispettava proprio e lo dimostra proprio qui, sotto alla cupola di san Lorenzo.
Tra coloro che conoscono questa creatura dell'architetto di origine modenese, c'è qualcuno che mi saprebbe dire se le semicolonne che si incurvano nella cupola sono lesene (cioè elementi puramente decorativi) o paraste (quindi pilastri poco aggettanti dalla muratura ma con funzione portante)? Grazie a tutti anticipatamente.
martedì 19 agosto 2008
Paradossi
Oggi Eriadan presenta il paradosso dell'impiccagione imprevedibile, applicato agli schifidi lavoretti.
sabato 16 agosto 2008
Feed dei commenti
Ho scoperto che blogger fornisce anche un feed per tutti i commenti in tutti i post. Per chi è interessato, c'è il link nella barra a destra, in basso.
giovedì 14 agosto 2008
Carnevale della Matematica 4
È uscito da Chartitalia, con interessanti legami musicali e una playlist.
mercoledì 13 agosto 2008
Il lavoro di una vita
Esiste un teorema che è stato dimostrato nell'arco di tempo che va dal 1955 al 1983, è composto da un numero di pagine stimato tra le diecimila e le quindicimila, distribuite in circa cinquecento articoli composti da circa cento autori diversi. Si tratta del teorema di classificazione dei gruppi semplici finiti, detto anche teorema enorme.
Qualche matematico si è anche azzardato a sollevare dubbi sulla correttezza della dimostrazione, e allora un gruppo di studiosi si è rimesso in moto per produrre un risultato più semplice e più facilmente controllabile: si parla delle dimostrazioni di seconda generazione. Ora si è giunti ad una conclusione certa: la tesi principale del teorema è corretta, i gruppi semplici finiti sono solo quelli e proprio quelli.
Nell'elenco si trovano chicche come il baby monster e il monster (ci sarebbe anche il Tits group, ma qua non ci sono giochi di parole: Tits è semplicemente il cognome del matematico che l'ha studiato).
Bene, un matematico ha annunciato oggi l'uscita di un suo libro: si tratta di una dimostrazione di un singolo teorema relativo alla classificazione dei gruppi semplici finiti, al quale ha lavorato per 25 anni. Nel frattempo, racconta l'autore, tre generazioni di studenti di dottorato, molti dei quali sono diventati in seguito colleghi, hanno contribuito al lavoro. Nel frattempo si è formata la sua famiglia: anche suo figlio quest'anno compie 25 anni.
È difficile anche trovare fondi di ricerca per progetti di così ampio respiro, pochi enti di ricerca finanziano progetti così lunghi. In effetti il nostro autore è stato finanziato dalla London Mathematical Society, che fornisce fondi alle persone, e non ai progetti.
La conclusione del suo post vale la pena di essere riportata così com'è:
I believe it is important for us in our mathematical community to remember that our work is measured not in man-months and not even in man-years (or, using management speak, CMEs, Contract Man-Year Equivalents), but in man-lives.
Qualche matematico si è anche azzardato a sollevare dubbi sulla correttezza della dimostrazione, e allora un gruppo di studiosi si è rimesso in moto per produrre un risultato più semplice e più facilmente controllabile: si parla delle dimostrazioni di seconda generazione. Ora si è giunti ad una conclusione certa: la tesi principale del teorema è corretta, i gruppi semplici finiti sono solo quelli e proprio quelli.
Nell'elenco si trovano chicche come il baby monster e il monster (ci sarebbe anche il Tits group, ma qua non ci sono giochi di parole: Tits è semplicemente il cognome del matematico che l'ha studiato).
Bene, un matematico ha annunciato oggi l'uscita di un suo libro: si tratta di una dimostrazione di un singolo teorema relativo alla classificazione dei gruppi semplici finiti, al quale ha lavorato per 25 anni. Nel frattempo, racconta l'autore, tre generazioni di studenti di dottorato, molti dei quali sono diventati in seguito colleghi, hanno contribuito al lavoro. Nel frattempo si è formata la sua famiglia: anche suo figlio quest'anno compie 25 anni.
È difficile anche trovare fondi di ricerca per progetti di così ampio respiro, pochi enti di ricerca finanziano progetti così lunghi. In effetti il nostro autore è stato finanziato dalla London Mathematical Society, che fornisce fondi alle persone, e non ai progetti.
La conclusione del suo post vale la pena di essere riportata così com'è:
I believe it is important for us in our mathematical community to remember that our work is measured not in man-months and not even in man-years (or, using management speak, CMEs, Contract Man-Year Equivalents), but in man-lives.
sabato 9 agosto 2008
martedì 5 agosto 2008
Rapporto peso-potenza
La potenza esercitata da un muscolo dipende dalla sua sezione: un quadricipite di raggio venti centimetri è più forte di uno che ha un diametro di soli dieci centimetri.
Il peso invece dipende dal volume (a parità di pianeta sul quale si misura il peso, naturalmente).
Ora, se noi prendiamo un adulto che, rispetto a un bambino, è in scala 2:1, osserviamo che il suo peso sarà 8 volte quellodella piccola peste del caro frugoletto, mentre la potenza dei suoi muscoli sarà soltanto 4 volte maggiore.
Il risultato di questa disquisizione è il seguente: mentre l'adulto ansimerà nel percorrere una salita, il bambino gli correrà davanti, tornerà indietro, ripercorrerà la salita un'altra volta e, in pratica, farà il doppio del percorso dell'adulto. Una volta arrivato a casa, l'adulto si stenderà sul letto sperando che venga presto la notte, mentre il bambino uscirà di nuovo di casa per andare un po' a correre.
(Anche se il calendario di riferimento non lo segnala, oggi su molte cime montuose si festeggia la Madonna della neve, e io sono salito sulla montagna più alta, e più brutta, dell'appennino tosco-emiliano)
Il peso invece dipende dal volume (a parità di pianeta sul quale si misura il peso, naturalmente).
Ora, se noi prendiamo un adulto che, rispetto a un bambino, è in scala 2:1, osserviamo che il suo peso sarà 8 volte quello
Il risultato di questa disquisizione è il seguente: mentre l'adulto ansimerà nel percorrere una salita, il bambino gli correrà davanti, tornerà indietro, ripercorrerà la salita un'altra volta e, in pratica, farà il doppio del percorso dell'adulto. Una volta arrivato a casa, l'adulto si stenderà sul letto sperando che venga presto la notte, mentre il bambino uscirà di nuovo di casa per andare un po' a correre.
(Anche se il calendario di riferimento non lo segnala, oggi su molte cime montuose si festeggia la Madonna della neve, e io sono salito sulla montagna più alta, e più brutta, dell'appennino tosco-emiliano)
lunedì 4 agosto 2008
giovedì 31 luglio 2008
Vienna giorno 10 - The sport where you are the search engine
Si torna a casa.
Ma che fa il saggio campeggiatore, dopo aver smontato la tenda e utilizzato i migliori algoritmi greedy per impacchettare tutto nel bagagliaio, sapendo di avere davanti a sé almeno sette ore di viaggio, senza contare le soste e gli imprevisti?
No, non si sbriga a partire, ma attraversa tutta Vienna per andare a cercare una geocache.
I bimbi vanno matti per questo nuovo tipo di caccia al tesoro, e io, beh, diciamo che non sono contrario al loro entusiasmo...
Avevamo con noi una medaglietta, in termini più rigorosi un geocoin. Si tratta di un oggetto rintracciabile sul sito del geocaching, un oggetto che ha lo scopo di viaggiare da un nascondiglio all'altro. L'avevamo trovato in Italia, in una precedente spedizione, e avevamo letto che il suo scopo era tornare in Danimarca. Quindi dovevamo rimanere qualche ora in più, per cercargli una nuova casa.
Non è stato facile: la cache che avevamo scelto si trova nel Donau Park, e nei pressi della grande croce d'acciaio installata nel 1985 in occasione della visita di Giovanni Paolo II alla città. Ora la croce è recintata, e tutt'intorno si è sviluppata una vegetazione simile a quella della foresta vergine.
Quando arriviamo sotto alla croce, vediamo delle persone all'interno del recinto. Muovendoci disinvolti le aggiriamo, cercando un punto per entrare. Troviamo un modo di passare all'interno di un boschetto, dove il recinto termina perché chi lo ha messo non pensava che qualcuno si potesse addentrare tanto nella vegetazione.
Ci facciamo strada verso la croce, e arriviamo al basamento di cemento, alto circa un metro e mezzo, forse un po' di più. Mio figlio grande si arrampica, si mette ad esplorare la base della croce e trova la scatoletta.
Ma da lassù vede anche che c'è una persona che si sta avvicinando. Dico a tutti di fare silenzio, lo faccio scendere, sono già lì che penso al fatto che dovrò contattare l'ambasciata italiana, chiedere asilo, telefonare agli avvocati, chiamare casa dicendo che sono in carcere, quando arriva una ragazza con un gps al collo che ci saluta.
Anche lei stava cercando la stessa geocache, solo che non riusciva ad arrampicarsi sulla croce. Quando ci ha visti (ma non ci stavamo muovendo in modo disinvolto?) è tornata lì sperando che qualcuno di più agile di lei trovasse la scatoletta.
Le abbiamo lasciato il nostro geocoin (che ora è arrivato vicino ad Amburgo) e finalmente siamo partiti per tornare a casa.
Riassunto breve di tutte le puntate: Vienna non è un gran che.
Tutte le foto sono qui.
Ma che fa il saggio campeggiatore, dopo aver smontato la tenda e utilizzato i migliori algoritmi greedy per impacchettare tutto nel bagagliaio, sapendo di avere davanti a sé almeno sette ore di viaggio, senza contare le soste e gli imprevisti?
No, non si sbriga a partire, ma attraversa tutta Vienna per andare a cercare una geocache.
I bimbi vanno matti per questo nuovo tipo di caccia al tesoro, e io, beh, diciamo che non sono contrario al loro entusiasmo...
Avevamo con noi una medaglietta, in termini più rigorosi un geocoin. Si tratta di un oggetto rintracciabile sul sito del geocaching, un oggetto che ha lo scopo di viaggiare da un nascondiglio all'altro. L'avevamo trovato in Italia, in una precedente spedizione, e avevamo letto che il suo scopo era tornare in Danimarca. Quindi dovevamo rimanere qualche ora in più, per cercargli una nuova casa.
Non è stato facile: la cache che avevamo scelto si trova nel Donau Park, e nei pressi della grande croce d'acciaio installata nel 1985 in occasione della visita di Giovanni Paolo II alla città. Ora la croce è recintata, e tutt'intorno si è sviluppata una vegetazione simile a quella della foresta vergine.
Quando arriviamo sotto alla croce, vediamo delle persone all'interno del recinto. Muovendoci disinvolti le aggiriamo, cercando un punto per entrare. Troviamo un modo di passare all'interno di un boschetto, dove il recinto termina perché chi lo ha messo non pensava che qualcuno si potesse addentrare tanto nella vegetazione.
Ci facciamo strada verso la croce, e arriviamo al basamento di cemento, alto circa un metro e mezzo, forse un po' di più. Mio figlio grande si arrampica, si mette ad esplorare la base della croce e trova la scatoletta.
Ma da lassù vede anche che c'è una persona che si sta avvicinando. Dico a tutti di fare silenzio, lo faccio scendere, sono già lì che penso al fatto che dovrò contattare l'ambasciata italiana, chiedere asilo, telefonare agli avvocati, chiamare casa dicendo che sono in carcere, quando arriva una ragazza con un gps al collo che ci saluta.
Anche lei stava cercando la stessa geocache, solo che non riusciva ad arrampicarsi sulla croce. Quando ci ha visti (ma non ci stavamo muovendo in modo disinvolto?) è tornata lì sperando che qualcuno di più agile di lei trovasse la scatoletta.
Le abbiamo lasciato il nostro geocoin (che ora è arrivato vicino ad Amburgo) e finalmente siamo partiti per tornare a casa.
Riassunto breve di tutte le puntate: Vienna non è un gran che.
Tutte le foto sono qui.
Razionalismo scientifico
Non puoi pensare di montare uno stendibiancheria se non hai una completa fiducia nei teoremi della teoria dei nodi.
Vienna giorno 9 - Senti come viene giù
Piove come non era mai piovuto nei giorni scorsi: ci chiudiamo dentro al Leopoldmuseum, la più grande collezione universale di opere di Schiele (ma non c'è solo Schiele, naturalmente).
Dopo aver benedetto quell'aria calda delle stazioni più profonde della metropolitana ce ne torniamo in tenda, accompagnati da un costante sciaf-sciaf prodotto dai nostri piedi.
mercoledì 30 luglio 2008
Pulaster!
Ricordati che usare il trapano nella stanza che hai imbiancato poche ore prima è Male. Pistola!
Vienna giorno 8 - Sempre più in alto
“Non dovevamo andare a casa?”.
“No, dobbiamo ancora vedere il museo della tecnica”.
“Non è che voi potete andarci mentre io vado a vedere quel museo che...”.
“No, mamma!”.
Il Technisches Museum di Vienna non è niente di speciale: se avete visto il Deutsches Museum di Monaco (di Baviera), avete già visto tutto. Se non l'avete visto, andateci.
Divertente fare rotolare la pallina nel modello dell'attrazione gravitazionale, comunque:
E, caso unico in tutta Vienna, il ristorante del museo non ha prezzi proibitivi.
Nel pomeriggio visita alla Karlskirche: gli affreschi sulla cupola sono stati da poco restaurati e all'interno della chiesa hanno lasciato le impalcature. Un ascensore trasporta i visitatori a una piattaforma (non proprio stabilissima, i tubi d'acciaio sono un po' flessibili) che arriva a livello della base della cupola, poi si prosegue a piedi lungo una scalinata che sale fino ad entrare nella lanterna: bellissimo. Non ci sono molte occasioni di vedere da vicino gli affreschi di una cupola, e quel sottile terrore che ti accompagna durante la traballante salita ti fa pensare a quando, lì, c'era il pittore che lavorava a testa in su...
Infine, passaggio per la stazione Jugendstil della metropolitana di Karlsplatz. Notare il colore del cielo nella foto, di lì a poco pioggia torrenziale:
Nota di colore: i controllori della metropolitana sono spettacolari. Salgono due personaggi un po' trasandati, pantaloni e giubbotto di jeans, barba di qualche giorno. Attendono che le porte si chiudano e che la metro parta, poi si slacciano il giubbotto e, mostrando il cartellino d'identificazione, dicono: “Buonasera, signori. Stiamo controllando i biglietti, potete mostrarceli?”.
Sul nostro vagone ne hanno beccata una senza, l'hanno fatta scendere e multata.
“Allora domani si parte, mamma?”.
“Beh, no, c'è ancora il Leopoldmuseum da vedere. Siamo rimasti oggi, rimaniamo anche domani”.
“No, dobbiamo ancora vedere il museo della tecnica”.
“Non è che voi potete andarci mentre io vado a vedere quel museo che...”.
“No, mamma!”.
Il Technisches Museum di Vienna non è niente di speciale: se avete visto il Deutsches Museum di Monaco (di Baviera), avete già visto tutto. Se non l'avete visto, andateci.
Divertente fare rotolare la pallina nel modello dell'attrazione gravitazionale, comunque:
E, caso unico in tutta Vienna, il ristorante del museo non ha prezzi proibitivi.
Nel pomeriggio visita alla Karlskirche: gli affreschi sulla cupola sono stati da poco restaurati e all'interno della chiesa hanno lasciato le impalcature. Un ascensore trasporta i visitatori a una piattaforma (non proprio stabilissima, i tubi d'acciaio sono un po' flessibili) che arriva a livello della base della cupola, poi si prosegue a piedi lungo una scalinata che sale fino ad entrare nella lanterna: bellissimo. Non ci sono molte occasioni di vedere da vicino gli affreschi di una cupola, e quel sottile terrore che ti accompagna durante la traballante salita ti fa pensare a quando, lì, c'era il pittore che lavorava a testa in su...
Infine, passaggio per la stazione Jugendstil della metropolitana di Karlsplatz. Notare il colore del cielo nella foto, di lì a poco pioggia torrenziale:
Nota di colore: i controllori della metropolitana sono spettacolari. Salgono due personaggi un po' trasandati, pantaloni e giubbotto di jeans, barba di qualche giorno. Attendono che le porte si chiudano e che la metro parta, poi si slacciano il giubbotto e, mostrando il cartellino d'identificazione, dicono: “Buonasera, signori. Stiamo controllando i biglietti, potete mostrarceli?”.
Sul nostro vagone ne hanno beccata una senza, l'hanno fatta scendere e multata.
“Allora domani si parte, mamma?”.
“Beh, no, c'è ancora il Leopoldmuseum da vedere. Siamo rimasti oggi, rimaniamo anche domani”.
martedì 29 luglio 2008
Vienna giorno 7 - Giochi matematici
Schönbrunn è grande. Ed è una discreta macchina per turisti. Ci sono varie tariffe d'ingresso, a seconda di quello che si vuole vedere; noi avevamo deciso per la più bassa, ma il biglietto famiglia tutto compreso costava meno di cinque biglietti singoli a tariffa minima, e allora ci siamo adeguati e siamo rimasti tutto il giorno. Nel tutto compreso c'è di tutto, anche la scuola di strudel con assaggio, per dire.
Oltre alla visita del palazzo, il nostro biglietto ci ha permesso di entrare in un parco giochi, contenente due labirinti di siepi (Irrgarten). Nel cercare la via d'uscita ci si poteva anche imbattere in un labirinto matematico:
Non si vede tanto bene, quindi riporto lo schema qua sotto:
Erano proposti due quesiti. Il primo: partendo dal +1 al centro della riga in basso, ci si può muovere a destra, a sinistra, in alto o in basso di tante caselle quanto è il numero indicato nella casella su cui ci si trova (non tenete conto dei segni). Si può arrivare alla casella centrale? Per esempio: dal +1 iniziale si può andare al -2 che si trova alla sua sinistra, e da lì al -2 che si trova a due spazi di distanza verso l'alto. Io aggiungo un'altra domanda: è possibile raggiungere lo zero centrale partendo da qualunque casella?
Il secondo quesito invece chiedeva questo: utilizzando le stesse regole di prima, accumulate i valori che man mano incontrate (e quindi tenete conto del segno: se partite da +1 e andate a sinistra a -2 il totale che avete accumulato finora è -1); riuscite ad arrivare a zero? A dir la verità non ho capito bene se bisogna arrivare a zero sia accumulando che terminando sulla casella centrale, oppure se basta solo accumulare fino ad ottenere zero (in questo secondo caso è facile, il primo invece non ho provato a risolverlo).
Se volete provare anche voi...
Nota di colore: quelli che noi chiamiamo würstel qua si chiamano Frankfurter (ci sono anche altri tipi di würstel, compresi quelli ripieni di formaggio che sono stati molto graditi dal resto della famiglia — il mio salutismo mi ha impedito di avvicinarli), mentre in tutto il resto del mondo parlante la lingua tedesca si chiamano Wiener.
Oltre alla visita del palazzo, il nostro biglietto ci ha permesso di entrare in un parco giochi, contenente due labirinti di siepi (Irrgarten). Nel cercare la via d'uscita ci si poteva anche imbattere in un labirinto matematico:
Non si vede tanto bene, quindi riporto lo schema qua sotto:
+2 -2 +4 -1 +3
-3 +3 -1 +3 -2
+1 -2 0 -2 +3
-3 +2 -3 +2 -4
+4 -2 +1 -3 +2
Erano proposti due quesiti. Il primo: partendo dal +1 al centro della riga in basso, ci si può muovere a destra, a sinistra, in alto o in basso di tante caselle quanto è il numero indicato nella casella su cui ci si trova (non tenete conto dei segni). Si può arrivare alla casella centrale? Per esempio: dal +1 iniziale si può andare al -2 che si trova alla sua sinistra, e da lì al -2 che si trova a due spazi di distanza verso l'alto. Io aggiungo un'altra domanda: è possibile raggiungere lo zero centrale partendo da qualunque casella?
Il secondo quesito invece chiedeva questo: utilizzando le stesse regole di prima, accumulate i valori che man mano incontrate (e quindi tenete conto del segno: se partite da +1 e andate a sinistra a -2 il totale che avete accumulato finora è -1); riuscite ad arrivare a zero? A dir la verità non ho capito bene se bisogna arrivare a zero sia accumulando che terminando sulla casella centrale, oppure se basta solo accumulare fino ad ottenere zero (in questo secondo caso è facile, il primo invece non ho provato a risolverlo).
Se volete provare anche voi...
Nota di colore: quelli che noi chiamiamo würstel qua si chiamano Frankfurter (ci sono anche altri tipi di würstel, compresi quelli ripieni di formaggio che sono stati molto graditi dal resto della famiglia — il mio salutismo mi ha impedito di avvicinarli), mentre in tutto il resto del mondo parlante la lingua tedesca si chiamano Wiener.
lunedì 28 luglio 2008
Vienna giorno 6 - Animali
In mattinata visita alla Minoritenkirche, frequentata da italiani. L'esterno è un bel gotico
mentre l'interno contiene una copia del Cenacolo di Leonardo da Vinci, commissionata da Napoleone
(non sembra, ma è un mosaico composto da tessere minuscole e lucide).
Il pomeriggio è trascorso tutto all'interno del Naturhistorischesmuseum, museo di storia naturale che contiene un'infinità di animali impagliati. Un po' triste, ma per fortuna c'era qualche sezione aurea a rallegrare l'ambiente:
Il pezzo più importante, la Venere di Willendorf, non era visibile perché la sala che lo contiene era in allestimento, peccato.
Nota di colore: la stazione della metropolitana sotto a Karlsplatz contiene uno strano allestimento. Una serie di pannelli a led mostra un insieme di dati del tutto eterogenei, e continuamente aggiornati: in uno si può leggere il numero di anni che devono trascorrere prima che del disastro di Chernobyl non rimanga alcuna traccia (questo pannello era, in effetti, statico, e le cifre indicavano decine o forse centinaia di migliaia di anni, non ricordo bene), in un altro la popolazione mondiale, e poi il numero di bambini nati a Vienna nell'anno corrente, i morti provocati dalle mine antiuomo, e così via. In ultimo c'era pi greco...
Le cifre proseguono verso destra per una decina di pannelli come questo, e alla fine si trova un display che ne calcola in continuazione.
mentre l'interno contiene una copia del Cenacolo di Leonardo da Vinci, commissionata da Napoleone
(non sembra, ma è un mosaico composto da tessere minuscole e lucide).
Il pomeriggio è trascorso tutto all'interno del Naturhistorischesmuseum, museo di storia naturale che contiene un'infinità di animali impagliati. Un po' triste, ma per fortuna c'era qualche sezione aurea a rallegrare l'ambiente:
Il pezzo più importante, la Venere di Willendorf, non era visibile perché la sala che lo contiene era in allestimento, peccato.
Nota di colore: la stazione della metropolitana sotto a Karlsplatz contiene uno strano allestimento. Una serie di pannelli a led mostra un insieme di dati del tutto eterogenei, e continuamente aggiornati: in uno si può leggere il numero di anni che devono trascorrere prima che del disastro di Chernobyl non rimanga alcuna traccia (questo pannello era, in effetti, statico, e le cifre indicavano decine o forse centinaia di migliaia di anni, non ricordo bene), in un altro la popolazione mondiale, e poi il numero di bambini nati a Vienna nell'anno corrente, i morti provocati dalle mine antiuomo, e così via. In ultimo c'era pi greco...
Le cifre proseguono verso destra per una decina di pannelli come questo, e alla fine si trova un display che ne calcola in continuazione.
Vienna giorno 5 - Schiele
Egon Schiele è stato uno dei più famosi pittori austriaci del ventesimo secolo. Espressionista, secessionista, tormentato, pessimista. Trova un po' di pace nel 1914, quando sposa Edith Harms. Nell'ottobre del 1918 lei è incinta di sei mesi, e lui dipinge un quadro in cui raffigura la futura famiglia:
Il 28 ottobre Edith muore di influenza spagnola. Tre giorni dopo muore anche lui. Durante quei tre giorni Schiele disegna qualche ritratto di sua moglie — non ho capito bene se anche questo quadro è stato fatto in quel breve periodo, wikipedia non lo dice. Comunque sia, dopo aver ascoltato mia moglie raccontare questa storia mi si è annodato lo stomaco. E mia moglie ha cominciato a sgridarmi perché tiravo su col naso.
L'opera si trova all'Oberes Belvedere:
e da lì siamo poi andati alla Secessione, questa volta in tempo per poter entrare e vedere gli affreschi di Klimt.
Infine, approfittando di un pochino di sole, siamo stati a passeggiare (o a correre, a seconda dell'età) nei dintorni della Rathaus,
fino alla Votivkirche:
E quindi uscimmo a riveder le stelle.
Il 28 ottobre Edith muore di influenza spagnola. Tre giorni dopo muore anche lui. Durante quei tre giorni Schiele disegna qualche ritratto di sua moglie — non ho capito bene se anche questo quadro è stato fatto in quel breve periodo, wikipedia non lo dice. Comunque sia, dopo aver ascoltato mia moglie raccontare questa storia mi si è annodato lo stomaco. E mia moglie ha cominciato a sgridarmi perché tiravo su col naso.
L'opera si trova all'Oberes Belvedere:
e da lì siamo poi andati alla Secessione, questa volta in tempo per poter entrare e vedere gli affreschi di Klimt.
Infine, approfittando di un pochino di sole, siamo stati a passeggiare (o a correre, a seconda dell'età) nei dintorni della Rathaus,
fino alla Votivkirche:
E quindi uscimmo a riveder le stelle.
domenica 27 luglio 2008
Vienna giorno 4 - Stili
Visita al Kunsthistorischesmuseum: arte in abbondanza. Poi entrata veloce nella Augustinerkirche, ad ammirare Canova. Eccolo qua:
Infine giro senza meta in tram, per stare seduti e vedere un po' di mondo, con puntata finale alla Secessione — ma solo da fuori, perché la Secessione va presa a piccole dosi (e anche perché sta chiudendo).
Nota di colore: “Mamma, ma che cos'è il corococò?”.
Infine giro senza meta in tram, per stare seduti e vedere un po' di mondo, con puntata finale alla Secessione — ma solo da fuori, perché la Secessione va presa a piccole dosi (e anche perché sta chiudendo).
Nota di colore: “Mamma, ma che cos'è il corococò?”.
sabato 26 luglio 2008
Grande Concorso Senza Premi - 2
Ecco un testo leggermente più difficile, anche se gli spazi bianchi aiutano molto (prossimamente spariranno...).
UOPO FWJYNSE KGOIHN HOIHN OIH GP MNLXWPN MWG RWZZWLWSO
ROS MJOLOROPHO FWJYNSE MOJLXO PNP XE IOYPW RW
WPHOJMGPAWNPO O EPLXO MOJLXO SE INIHWHGAWNPO ROSSO
SOHHOJO PNP IOYGO MWG GPE JOYNSE MGPHN IWEQN E GP
SWFOSSN SOYYOJQOPHO MWG LNQMSWLEHN JWIMOHHN ESS
EPORRNHN LWZJEHN ROSSE IOHHWQEPE OPWYQWIHWLE MGPHN
GPE IOQMSWLO EPESWIW ROSSO ZJOKGOPAO JNQMO KGOIHN HWMN
RW LNRWLO MGPHN REW GPE NLLXWEHE ESSE FNLO RW
DWTWMORWE OHENWP IXJRSG FWJYNSE MOJ OIOQMWN MGPHN MOJ
RWQNIHJEJO RW EFOJ JWINSHN KGOIHN LJWHHNYJEQQE
NJRWPE SO SOHHOJO ROS PNQO LNP LGW HW ZWJQW IOLNPRN
SN NJRWPO REHN RE OHENWPIXJRSG MEJOPHOIW EMOJHE SO
SOHHOJO PNP LNQMJOIO WP KGOIHE IHJWPYE SEILWESO MOJ
GSHWQO IOLNPRN WS SNJN NJRWPO PEHGJESO MEJOPHOIW LXWGIE
MGPHN IO PNP XEW LEMWHN FWJYNSE SE MEJNSE MJNZOIINJO
RWFOPHE OONNIIJJZM MGPHN
Vienna giorno 3 - Igiene pubblica
Visite a luoghi classici di Vienna: il duomo (che si chiama Stephansdom), Hofburg (nel quale si viene a sapere che la principessa Sissi veniva chiamata Sisi ed era una fanatica della linea, nonché un soggetto piuttosto antipatico), la Peterskirche (all'interno della quale ho sperimentato la fotografia con la tecnica high dynamic range, che potete vedere qua sopra), la Kapuzinerchirche e la fontana della provvidenza (detta Donnerbrunner, la cui acqua mostra delle perfette traiettorie a parabola).
Seconda nota di colore: intorno a Hofburg girano un sacco di calesse; il figlio piccolo osserva che tutti i cavalli sono dotati di comodi raccoglicacca posteriori, per non imbrattare le strade.
Vienna giorno 2 - Casa
“Uh, che caldo, troviamo un posto all'ombra”.
“Mh, troppo all'ombra non va bene, in questi posti c'è freddo”.
“Ma no, ma no, siamo in estate. L'ombra è necessaria, altrimenti di giorno non si resiste”.
“Ma se di giorno saremo in giro! Un po' di caldo farà bene, asciuga dall'umidità”.
“Ma troppo caldo no, poi si muore. Andiamo qua, sotto questo bell'albero”.
“Vabbè”.
Tre giorni dopo questo dialogo sono uscito dalla tenda con maglietta, pile, tuta, giacca impermeabile.
“Mh, troppo all'ombra non va bene, in questi posti c'è freddo”.
“Ma no, ma no, siamo in estate. L'ombra è necessaria, altrimenti di giorno non si resiste”.
“Ma se di giorno saremo in giro! Un po' di caldo farà bene, asciuga dall'umidità”.
“Ma troppo caldo no, poi si muore. Andiamo qua, sotto questo bell'albero”.
“Vabbè”.
Tre giorni dopo questo dialogo sono uscito dalla tenda con maglietta, pile, tuta, giacca impermeabile.
venerdì 25 luglio 2008
Vienna giorno 1 - Si comincia
Pensare di montare una tenda dopo otto ore di viaggio in macchina è folle, per questo il primo giorno di vacanza a Vienna non è stato trascorso a Vienna...
Ci siamo fermati a dare un'occhiata a Villa Manin, a Codroipo.
Poco più di un mese fa, di fronte a un pubblico seduto su questo prato, Mark Knopfler ha tenuto un concerto al quale mi sarebbe piaciuto partecipare.
Ripartiti, ci siamo fermati al Bed & Breakfast Ai tre confini, vicino a Tarvisio.
Prima nota di colore: i proprietari ci hanno consigliato di provare una specialità locale, polenta e frico. Ottima, ma non mangiatela prima di fare esami del sangue...
(Le foto pian piano rimpingueranno questo album, che ha anche il feed rss)
Ci siamo fermati a dare un'occhiata a Villa Manin, a Codroipo.
Poco più di un mese fa, di fronte a un pubblico seduto su questo prato, Mark Knopfler ha tenuto un concerto al quale mi sarebbe piaciuto partecipare.
Ripartiti, ci siamo fermati al Bed & Breakfast Ai tre confini, vicino a Tarvisio.
Prima nota di colore: i proprietari ci hanno consigliato di provare una specialità locale, polenta e frico. Ottima, ma non mangiatela prima di fare esami del sangue...
(Le foto pian piano rimpingueranno questo album, che ha anche il feed rss)
giovedì 24 luglio 2008
Austriaci
È bello sapere che nel mondo esistono persone che utilizzano la corsia di sorpasso per sorpassare.
lunedì 14 luglio 2008
domenica 13 luglio 2008
Grande Concorso Senza Premi - 1
Tra un paio di giorni qua si parte per Vienna. Ma, per non lasciarvi soli in spiaggia coi soliti sudoku, ecco qualcosa di più divertente (mah) da risolvere:
(Magari quando torno ne posto uno un pochino più difficile, via.)
GSQTPMQIRXM, LEM VMWSPXS UYIPPS GLI ZMIRI GLMEQEXS
(WXERHS E UYERXS HMGI WZIXSRMS) GMJVEVMS HM GIWEVI:
MR IWWS SKRM PIXXIVE HIP XIWXS MR GLMEVS ZMIRI
WSWXMXYMXE HE UYIPPE GLI, RIPP'EPJEFIXS, PE WIKYI
HM UYEXXVS TSWMDMSRM. TIV HMQSWXVEVI MP JEXXS
GLI XY WIM VMYWGMXS E HIGVMXXEVI UYIWXS XIWXS,
WIRDE VSZMREVI MP HMZIVXMQIRXS EKPM EPXVM, TYSM
HMGLMEVEVI MR YR GSQQIRXS GLI PE VMWTSWXE I' PE
MRMDMEPI HIP RSQI GSR GYM XM JMVQM, GSHMJMGEXE
WIGSRHS UYIWXS GSHMGI. RSR XIQIVI, MR JYXYVS GM
WEVERRS GSHMGM TMY' GSQTPMGEXM.
(Magari quando torno ne posto uno un pochino più difficile, via.)
lunedì 7 luglio 2008
Geocaching
Portare i bimbi in giro per i boschi per concludere una moderna caccia al tesoro fa tornare bambini (non che io abbia bisogno di trovare occasioni di tornare bambino, eh).
venerdì 4 luglio 2008
L'arte del Commissario -esterno-
L'essere uscita indenne dall'ennesimo esame di stato mi ha reso degna di un premio: l'invito a partecipare a questo spazio, regno incontrastato del proooof (naturalmente è stata una sua idea, tutta, tutta sua, io non ci pensavo nemmeno ;--).
Non mi dilungherò a spiegare l'esperienza perché, nonostante abbia già partecipato a molti esami, continuo a stupirmi sempre di quanto "locale" — direi professorale — sia la scuola statale, regno assoluto dell'ignoranza della legge e delle norme vigenti nonché paradiso del "personalissimo e mutevole-a-piacimento-buonsenso".
Sicuramente è colpa mia.
Del resto se qualcuno mi nomina commissario è chiaro che mi monto la testa!
Però non mi sento bene nell'uniforme del commissario: prima di tutto perché è un nome maschile, e già mi indispettisco, poi l'uniforme mi uniforma e fa a pugni con la disciplina delle arti visive che immeritatamente, ma orgogliosamente, rappresento.
Mi sto perdendo... ma il mio invito era finalizzato a regalarvi le più prelibate porzioni sull'abbondante e gustosa produzione dei candidati, che sono candidi, poverini, per definizione!
Dal tema su Montale:
"...Montale scriveva del male di vivere e della verità perduta.
Un esempio lampante lo troviamo nel titolo di una sua raccolta : OSSI DI SEPPIA.
La seppia è un pesce e come tale è formato da cartilagine, non da osso, ma tutti lo chiamano osso senza porsi il problema.
La verità assoluta le conseguenze e i dubbi vengono così sgretolati dall'autore..."
La parte di colloquio d'esame Storia dell'arte (ci tengo a precisare: altro candidato)
Prof.: Riconosci quel quadro (Les demoiselles d'Avignon)?
Candidata: ... no
Prof.: Sai cos'è il cubismo?
Candidata: L'ho sentito...
Prof.: Hai mai visto questo foglio (appunti del loro prof di storia dell'arte sul cubismo)?
Candidata: Sì, ma non l'ho letto!
Prof.: Se ti dico Picasso... (ammiccante)?
Candidata: L'ho sentito!
Prof.: Cambiamo argomento. Di chi è questo quadro?
Candidata: ... è impressionista... è di M...
Prof. (sudata): attenta bene.
Candidata:- ... Monet, no... Manet ... Monet ... non lo so ... comunque è "la colazione sull'erba"!
Prof: Bravissima! Ma, senti, questo dipinto è più conosciuto col nome in francese, visto che lo sai così bene (ha appena parlato per 10 minuti con la prof di francese, il mio sospetto è che abbia imparato tutto a memoria...) dillo in francese.
Candidata: Ok. La colazion sur l'herbe.
La commissione si guarda sconvolta.
Chiedo di cosa vuole parlare e lei indica un quadro di Turner.
Prof. (con un sorriso un po' forzato): Bene. Parlami di questo dipinto: come si chiama?
Candidata: ... (pensa) forse... l'incendio al parlamento, no, no è la camera dei lord?
Prof.: Vai avanti, non fermiamoci su questi dettagli (la candidata non coglie l'ironia). Chi l'ha dipinto?
Candidata: ... però ci sono colori accesi (NDC: in effetti!!) e colori scuri, c'è lo sfumato.
Prof. (ormai ad un passo dall'incazzatura): Bene! ora che abbiamo definito che Turner non faceva il fornaio ma il pittore cos'altro possiamo dire?
Candidata: ... Muta
Altro colloquio.
La prima parte, su un argomento scelto dalla candidata, è stata disastrosa, allora scelgo una domanda facilissima.
Prof (mostra un quadro cubista con tanto di collages): riconosci questa opera?
candidata: ...
prof: Ma dai, è facile! Questo è il tuo album di immagini, vedi? Dimmi a quale movimento appartiene?
candidata: ...
prof.: Guarda bene è tra i primi movimenti del Novecento, dai.. e del Cu... Cu... Cu... (ciao Dignità, ci vediamo fuori da scuola)
candidata: ... Colbert?... era un pittore vero?
Prof. (allibita, si rende conto che avrebbe preferito che la candidata avesse dato una dimostrazione d'irriverenza futurista e avesse detto CULO!) No, è un importante uomo di governo del Re Sole. Siamo nel '600, fa parte del programma di storia dello scorso anno e non avrei potuto chiedertelo per diverse ragioni... poi mi balena un dubbio angosciante e, presa dal vortice dell'emozione, forse ingannata dal surreale che si faceva largo sulla ragione, oso insinuare: ma volevi forse dire Courbet?
candidata
: Sì Courbet! È di Courbet!
Prof. (stremata): no, non è un dipinto realista.
Altri colloqui sono stati meno originali e più conformi allo svolgimento del programma, più scolastici insomma!
Adesso, dopo aver smesso i panni di commissario esterno, lascio anche quelli di blogger al legittimo creatore di questo luogo numerico. Felice di averlo un po' imbrattato.
Non mi dilungherò a spiegare l'esperienza perché, nonostante abbia già partecipato a molti esami, continuo a stupirmi sempre di quanto "locale" — direi professorale — sia la scuola statale, regno assoluto dell'ignoranza della legge e delle norme vigenti nonché paradiso del "personalissimo e mutevole-a-piacimento-buonsenso".
Sicuramente è colpa mia.
Del resto se qualcuno mi nomina commissario è chiaro che mi monto la testa!
Però non mi sento bene nell'uniforme del commissario: prima di tutto perché è un nome maschile, e già mi indispettisco, poi l'uniforme mi uniforma e fa a pugni con la disciplina delle arti visive che immeritatamente, ma orgogliosamente, rappresento.
Mi sto perdendo... ma il mio invito era finalizzato a regalarvi le più prelibate porzioni sull'abbondante e gustosa produzione dei candidati, che sono candidi, poverini, per definizione!
Dal tema su Montale:
"...Montale scriveva del male di vivere e della verità perduta.
Un esempio lampante lo troviamo nel titolo di una sua raccolta : OSSI DI SEPPIA.
La seppia è un pesce e come tale è formato da cartilagine, non da osso, ma tutti lo chiamano osso senza porsi il problema.
La verità assoluta le conseguenze e i dubbi vengono così sgretolati dall'autore..."
La parte di colloquio d'esame Storia dell'arte (ci tengo a precisare: altro candidato)
Prof.: Riconosci quel quadro (Les demoiselles d'Avignon)?
Candidata: ... no
Prof.: Sai cos'è il cubismo?
Candidata: L'ho sentito...
Prof.: Hai mai visto questo foglio (appunti del loro prof di storia dell'arte sul cubismo)?
Candidata: Sì, ma non l'ho letto!
Prof.: Se ti dico Picasso... (ammiccante)?
Candidata: L'ho sentito!
Prof.: Cambiamo argomento. Di chi è questo quadro?
Candidata: ... è impressionista... è di M...
Prof. (sudata): attenta bene.
Candidata:- ... Monet, no... Manet ... Monet ... non lo so ... comunque è "la colazione sull'erba"!
Prof: Bravissima! Ma, senti, questo dipinto è più conosciuto col nome in francese, visto che lo sai così bene (ha appena parlato per 10 minuti con la prof di francese, il mio sospetto è che abbia imparato tutto a memoria...) dillo in francese.
Candidata: Ok. La colazion sur l'herbe.
La commissione si guarda sconvolta.
Chiedo di cosa vuole parlare e lei indica un quadro di Turner.
Prof. (con un sorriso un po' forzato): Bene. Parlami di questo dipinto: come si chiama?
Candidata: ... (pensa) forse... l'incendio al parlamento, no, no è la camera dei lord?
Prof.: Vai avanti, non fermiamoci su questi dettagli (la candidata non coglie l'ironia). Chi l'ha dipinto?
Candidata: ... però ci sono colori accesi (NDC: in effetti!!) e colori scuri, c'è lo sfumato.
Prof. (ormai ad un passo dall'incazzatura): Bene! ora che abbiamo definito che Turner non faceva il fornaio ma il pittore cos'altro possiamo dire?
Candidata: ... Muta
Altro colloquio.
La prima parte, su un argomento scelto dalla candidata, è stata disastrosa, allora scelgo una domanda facilissima.
Prof (mostra un quadro cubista con tanto di collages): riconosci questa opera?
candidata: ...
prof: Ma dai, è facile! Questo è il tuo album di immagini, vedi? Dimmi a quale movimento appartiene?
candidata: ...
prof.: Guarda bene è tra i primi movimenti del Novecento, dai.. e del Cu... Cu... Cu... (ciao Dignità, ci vediamo fuori da scuola)
candidata: ... Colbert?... era un pittore vero?
Prof. (allibita, si rende conto che avrebbe preferito che la candidata avesse dato una dimostrazione d'irriverenza futurista e avesse detto CULO!) No, è un importante uomo di governo del Re Sole. Siamo nel '600, fa parte del programma di storia dello scorso anno e non avrei potuto chiedertelo per diverse ragioni... poi mi balena un dubbio angosciante e, presa dal vortice dell'emozione, forse ingannata dal surreale che si faceva largo sulla ragione, oso insinuare: ma volevi forse dire Courbet?
candidata
: Sì Courbet! È di Courbet!Prof. (stremata): no, non è un dipinto realista.
Altri colloqui sono stati meno originali e più conformi allo svolgimento del programma, più scolastici insomma!
Adesso, dopo aver smesso i panni di commissario esterno, lascio anche quelli di blogger al legittimo creatore di questo luogo numerico. Felice di averlo un po' imbrattato.
Me ne pentirò
Ho appena dato a mia moglie la possibilità di inserire post qui.
Senza censura preventiva, intendo.
Senza censura preventiva, intendo.
martedì 1 luglio 2008
E con questo, la discussione è chiusa
Chi non è all'altezza della matematica non è pienamente umano. Al massimo è un tollerabile subumano che ha imparato a mettersi le scarpe, a lavarsi, e a non fare disordine in casa.Robert A. Heinlein (1907-1988), Time Enough for Love
(Trovata su Base Cinque.)
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