«Perché succedono cose strane, se aumentiamo r ancora un pochino. Guarda come cambia la figura quando r = 3.2».
«Ma che roba è?».
«Non ci avviciniamo più al punto di intersezione della retta con la parabola».
«Eh, vedo, ma perché?».
«Perché adesso ci sono due posizioni stabili, che si alternano generazione dopo generazione».
«Come un pendolo, ma senza attrito?».
«Sì, ma l'analogia non è del tutto corretta. Un pendolo senza attrito continua ad oscillare mantenendo l'ampiezza iniziale: qua invece qualunque sia il valore iniziale, pian piano esso si sposta verso quella particolare doppia posizione di equilibrio. Ora si dovrebbe capire meglio il motivo per cui viene chiamata attrattore».
«Ah, ecco. Qualsiasi valore iniziale viene attratto verso quel punto».
«Con l'attuale valore di r, sono due punti: e quella che viene chiamata orbita periodica. Te la faccio vedere senza le fasi di avvicinamento:».
«Bella! E che succede se aumentiamo ancora r?».
«Eccoti r = 3.5».
«Oh mamma, quattro posizioni?».
«Proprio così. Eccoti l'orbita stabile:».
«Quindi adesso ci sono quattro posizioni che si succedono, nel corso di quattro generazioni?».
«Sì, è un'altra orbita periodica, di periodo doppio rispetto alla precedente».
«E cioè quattro. E se aumentiamo r il periodo aumenta ancora?».
«Sì, raddoppia sempre. Eccoti un periodo 8, con r = 3.55».
«Ma è bellissimo. E quando ci si ferma?».
«In che senso?».
«Quando termina questo raddoppio?».
«Mai».
«Ma come? Il valore di r non può crescere per sempre: mi avevi detto che al massimo si arriva a 4».
«Esatto, ma nonostante questo i raddoppiamenti vanno avanti all'infinito. Si susseguono sempre più velocemente».
«E magari si riesce anche a sapere quanto velocemente?».
«Sì: il rapporto tra la lunghezza di un intervallo di periodo 2n e quella di un intervallo di periodo 2n+1 è uguale al valore di una costante universale, detta costante di Feigenbaum, il cui valore è circa 4.6692».
«Mamma mia, voi matematici siete megalomani. Costante universale… Non vi bastava chiamarla costante?».
«Eh, ma il fatto è che è davvero universale. Non vale solo per la nostra parabola: qualsiasi sistema fatto come il nostro, del tipo xn+1 = rf(xn), dove f può essere una funzione con proprietà simili a quelle della parabola (che non sto a specificarti), gode della stessa proprietà».
«Wow».
«Sì, e la scoperta di questo fatto è recente: Feigenbaum se ne è accorto nel 1975. La storia ci racconta che la scoperta è dovuta al fatto che la calcolatrice HP-65 che usava per fare i calcoli era molto lenta, pur essendo una meraviglia per l'epoca. Ed essendo lenta, manteneva i numeri sul display per un tempo sufficiente a notare una certa regolarità».
«E come fai a sapere tutte queste cose?».
«Ho dato la tesi con un prof. che ha lavorato con lui. Pochi giorni prima della mia laurea eravamo a un convegno in cui era presente anche Feigenbaum, e il mio prof. mi presentò, dicendogli che di lì a poco mi sarei laureato. Lui mi diede la mano e mi disse Ah! It's about time!».
«Eh, eh».
«Ma lasciamo perdere gli aneddoti. Hai capito che, dato che i raddoppiamenti di periodo arrivano sempre più velocemente, si arriva all'infinito prima che r diventi uguale a 4?».
«All'infinito? Vuoi dire che ci saranno orbite di periodo sempre più grande?».
«Sì, all'aumentare di r il periodo raddoppia sempre, e si raggiunge il limite quando r è circa 3.569945672».
«E dopo?».
