lunedì 28 marzo 2011

Crescite e decrescite

«Immaginiamo una popolazione con la possibilità di crescere senza competizione e con risorse illimitate».

«Eeh?».

«Una specie di conigli marziani, che ogni tot si riproducono. Possono riprodursi all'infinito, e nessuno li mangia».

«In breve invadono Marte…».

«Sì, bè, noi astraiamo molto, vogliamo creare un modello per una crescita di questo tipo. Diciamo che non ci sono limiti alla loro attività. E, per semplificare, il modello lo facciamo discreto».

«Discreto?».

«Sì, significa che il tempo scorre a salti. Abbiamo una certa popolazione in un istante, che potremmo indicare con xn, e un'altra popolazione all'istante successivo, che potremmo indicare con xn+1».

«Bene. E come facciamo a fare crescere questi conigli?».

«Diciamo che la popolazione in un certo istante è proporzionale alla popolazione all'istante precedente».

«Ok. E ci sarà quindi una costante di proporzionalità?».

«Sì, la indichiamo con r. E scriviamo la nostra equazione così:».

xn+1 = rxn.

«Va bene, credo di capire. Se r=1 rimane tutto costante, giusto?».

«Sì, se r=1 non nasce e non muore nessuno, la popolazione rimane sempre quella».

«Allora, perché cresca, dovremmo porre la costante r maggiore di 1?».

«Esatto. Immaginiamo, tanto per fissare le idee, che r sia uguale a 2».

«Oh, così crescono in fretta».

«Eh, sì. E noi vogliamo trovare un modo comodo per visualizzare questa crescita».

«Perché?».

«Perché quando le cose si vedono, è meglio. E poi perché così riusciamo a complicarle meglio».

«Capirai».

«Allora, quella relazione che abbiamo scritto tra xn+1 e xn è come una macchinetta con un'entrata e una uscita. Inseriamo un valore, che indichiamo con xn, e la macchinetta ci calcola xn+1. Se poi vogliamo conoscere il successivo, ci basta prendere l'uscita e riportarla all'ingresso».

«Ah, certo, al giro dopo calcolerà xn+2, poi xn+3, e così via».

«Proprio così. Ora vogliamo fare una rappresentazione grafica. Immagina di mettere il valore iniziale della popolazione sull'asse delle x».

«Ok. Se voglio visualizzare la popolazione all'istante successivo, dovrò disegnare in un qualche modo la relazione tra xn e xn+1. Ma non capisco bene come».

«Non è difficile: la nostra macchinetta è semplice, perché prende una x e la moltiplica per r. Potremmo rappresentarla con la formula rx».

«Ah, ma questa è la formula di una retta!».

«Esatto, se noi rappresentiamo sul grafico quella retta…».

«…allora ci basta prendere il nostro valore di x, portarlo in verticale verso la retta, e poi in orizzontale sull'asse delle y. Immagino di poter fissare delle coordinate arbitrarie; ecco, il grafico dovrebbe essere questo:».



«Sì, potremmo fare così, ma perderemmo poi la possibilità di riportare l'uscita all'ingresso della macchinetta».

«Uh, e allora?».

«E allora dobbiamo trovare il modo di riportare la y, così come è stata calcolata, sull'asse delle x. E non è difficile, esiste un sistema per trasformare le y di nuovo in x».

«Quale?».

«Se il nuovo x deve essere uguale al vecchio y, perché non usare semplicemente la funzione = x?».

«Per riflettere le y di nuovo sulle x? Geniale!».

«Ora che abbiamo ottenuto una nuova x, possiamo ripetere il procedimento. Tra l'altro, non c'è nemmeno bisogno di riportare effettivamente la x proprio sull'asse delle x. È sufficiente muoverci in verticale verso la retta = rx e in orizzontale verso la retta = x. Ogni movimento orizzontale ci fornisce una nuova x. Ecco un disegno, il puntino viola è quello di partenza:».



«Bello, si vede una specie di gradinata che sale sempre».

«Certo, ogni volta che il nostro tempo discreto fa un passo avanti, la popolazione raddoppia. Ho messo in evidenza anche i punti sull'asse delle x, ma vedi che non sono necessari».

«Già. E che succederebbe se r fosse minore di 1?».

«Puoi immaginarlo, ma ecco un disegno. Questa volta prendo un punto di partenza un po' più a destra, però».




«Ahia. Questa la chiamerei estinzione».

«Già. O crescono all'infinito, o rimangono costanti, o muoiono tutti. Non ci sono altre possibilità».

«Ok, mi sembra semplice».

«Ottimo. Adesso complichiamo un po'».

4 commenti:

gas12n ha detto...

Complicare? Mettendo dei predatori?

zar ha detto...

No, mettendo un limite alla capacità di Marte... Limitiamo le risorse.

gas12n ha detto...

Queste risorse ricrescono se non utilizzate? Sono dell'erba praticamente?

zar ha detto...

Mh, sì. L'idea è che il pianeta può contenere al massimo un tot di abitanti, se sono di più qualcuno comincia a morire.