martedì 29 marzo 2011

Risorse limitate

«Ora consideriamo una crescita senza competizione, ma con risorse limitate».

«L'ho già detto eeh?».

«Sì, la volta scorsa… Ma non è un concetto molto complicato: i nostri conigli marziani si riproducono, però a un certo punto non trovano più da mangiare; hanno riempito completamente Marte e adesso stanno un po' stretti».

«Non possono crescere per sempre».

«Eh, no. L'ambiente può contenere al massimo un certo numero di individui. Poniamo questo massimo uguale a 1, utilizzando una unità di misura a nostro piacere».

«Quindi quell'uno può significare un milione, o un miliardo, o quello che vogliamo noi?».

«Sì, non ci interessa quanto. È il massimo possibile, oltre non ci andiamo».

«Ok».

«L'equazione di crescita si modifica un po': se alla generazione n abbiamo xn individui, alla generazione successiva ne abbiamo una certa quantità proporzionale sì a quanti ne avevamo, ma proporzionale anche a quanto siamo lontani dal massimo».

«Uhm, e come sarebbe questa equazione?».

«Se utilizziamo sempre r come costante di proporzionalità, abbiamo:».

xn+1 = rxn(1 - xn).

«Ah, vedo. Hai scritto il prodotto tra xn, che sarebbe la parte proporzionale a quanti individui erano presenti prima, e (1-xn), che mi dice quanto siamo distanti dal massimo».

«Proprio così. E se vogliamo rappresentare su un grafico questa nuova situazione, come abbiamo fatto l'altra volta, dobbiamo usare l'equazione = rx(1-x)».

«Uhm, un'equazione di secondo grado».

«Sì, è una parabola. Nota che interseca l'asse delle x sempre negli stessi punti, di ascissa 0 e 1».

«Ah, giusto. Quello che cambia è il vertice».

«Sì. Per essere precisi, cambia l'ordinata del vertice. La facciamo variare da un minimo di 0, quando = 0, a un massimo di 1, quando = 4».

«Perché proprio = 4?».

«In realtà non ragioniamo su r, ma sul vertice: al massimo deve valere 1 perché quel valore è, secondo le nostre unità di misura, il più grande valore che può assumere la popolazione».

«Ah, ok».

«Facciamo qualche esempio, allora. Prendiamo = 0.5, e iteriamo. Ricordati che ogni volta ci basta riportare il valore che abbiamo trovato sulla bisettrice del primo e terzo quadrante».

«Mi ricordo, in questo modo possiamo ridare in pasto alla nostra macchinetta i risultati della generazione precedente».

«Ecco il grafico».



«Uhm, mi pare che ci sia una estinzione».

«Sì, il tasso di crescita è molto basso. Proviamo ad aumentarlo un po'».

«Mettiamo r = 1?».

«Ok, ecco il grafico:».



«Ancora non ci siamo, muoiono tutti. Sbaglio o la retta è tangente alla parabola?».

«Non sbagli, è proprio così».

«Allora è per quello che si estinguono: se aumentiamo ancora un po' r forse la parabola supera la retta e le cose cambiano».

«Eh, sì, le cose cambiano. Proviamo con r = 1.5; spostiamo anche il punto di partenza, che altrimenti sarebbe troppo vicino al punto di intersezione tra la retta e la parabola».



«Uh, questa volta sono pochi individui, ma crescono».

«Sì, e si stabilizzano verso un valore ben preciso».

«Vedo. E che succede se invece prendiamo una popolazione maggiore?».

«Guarda:».


«Ah, questa volta diminuiscono: erano troppi e qualcuno muore».

«Esatto, ma non si va verso l'estinzione: la popolazione si stabilizza intorno a quel punto di equilibrio, che i Veri Matematici chiamano anche attrattore».

«Proviamo ad aumentare un po' r? Anche se ormai ho capito come funziona».

«Posso dubitare di questa tua ultima affermazione?».

«Perché?».

«Stai a vedere. Mettiamo = 2, per cominciare».


« Bé, non è cambiato niente, le cose stanno come prima».

«Vero, ma porta pazienza. Andiamo a vedere cosa succede con = 2.9».



«Uh?».

«Ti aspettavi una cosa del genere?».

«Veramente no… ma cosa succede? La popolazione aumenta e diminuisce in continuazione?».

«Eh, sì: in una certa generazione ce ne sono pochi, il mondo potrebbe contenerne di più. Allora crescono, ma crescono troppo, e la generazione successiva sono molti, e qualcuno muore. Allora tornano ad essere meno del massimo possibile, e quindi aumentano di nuovo, ma meno. E così via».

«Come una specie di altalena?».

«Esatto, ci sono delle oscillazioni intorno al valore massimo. E sono oscillazioni che si smorzano pian piano, ogni volta l'ampiezza diminuisce».

«Ah, vabbé, alla fine succede sempre la stessa cosa: la popolazione si stabilizza sempre intorno al punto di intersezione tra la parabola e la retta. È anche una cosa ragionevole: il mondo può contenere al massimo un certo numero di individui, e prima o poi ci si arriva».

«È qui che ti sbagli».

6 commenti:

lucaraffini ha detto...

E' molto interessante, ma se ho capito dove vuoi andare a parare, ricorda estremamente questo (soprattutto la terza parte, per il momento):

http://www.ainsophaur.it/blog/frattali-oggi-1/

zar ha detto...

Eh, sì, voglio andare lì, non sono certo il primo a parlarne...

L'oracolo ha detto...

Beh, io però sono molto orgoglioso che qualcuno mi abbia letto ^_^
Avrei voluto intervenire per dire "anche io, anche io!" ma la timidezza mi bloccava.
E comunque, queste serie di articoli didattici strutturati come dialoghi mi piacciono molto: avrei voluto saperli scrivere io in questo modo puntuale e piacevole, ma poi la bonarda ha fatto il suo corso e... :-)

zar ha detto...

Vedo che il tuo stile è un po' più, come dire, surreale :-)

zar ha detto...

(La motivazione "la forza deve venire da dentro di voi, sentitevi liberi di documentarvi" devo adottarla subito con gli studenti :-) )

lucaraffini ha detto...

Beh sono argomenti che si rileggono sempre volentieri!

@ L'oracolo: ho usato Frattali Oggi per mesmerizzare con successo un numero considerevole (compreso tra 1 e 3) di ragazze :)