Il gatto di Arnold

Il sistema dinamico costruito da Arnold per mostrare la proprietà di mixing fa uso di un gatto. Non che sia importante la presenza del gatto, eh, ma Arnold utilizzava sempre dei disegnini nei suoi libri per fare capire le cose, sana e ottima pratica spesso dimenticata da molti docenti universitari (per dire, ho già parlato del mio libro di geometria senza figure, tempo fa).

Prendiamo un toro.

In matematica e in storia dell'arte per toro si intende una ciambella, non l'animale (interessante l'etimologia). Una cosa così, insomma (grazie a wikipedia):

Siccome è scomodo da disegnare, trasformiamolo un po': se lo tagliamo in modo da aprirlo, come se aprissimo l'anello di una catena, e poi lo stendiamo, otteniamo un cilindro. Se poi tagliamo il cilindro in modo da aprire anche quello, otteniamo un rettangolo. Ecco, ho trovato un video che spiega la costruzione del toro a partire da un rettangolo in modo molto chiaro:

Bene, siccome non ci interessa il fatto che il toro sia immerso nello spazio tridimensionale, per semplicità possiamo sempre fare riferimento al rettangolo che lo genera. In pratica è come se avessimo una carta geografica in cui se usciamo da destra rientriamo a sinistra, e viceversa. E se usciamo dall'alto, rientriamo dal basso, e viceversa. Mi accorgo di aver già parlato una volta della costruzione del toro, qui. In quel caso avevo fatto dei disegnini a mano…

Andiamo avanti: per comodità prendiamo un quadrato, invece di un rettangolo. Il sistema dinamico del gatto di Arnold prende il quadrato, lo deforma in un certo modo, e poi rimappa sul quadrato iniziale il risultato ottenuto. La deformazione è fatta così: dato un quadrato (immaginando che sia un toro)

lo deformiamo in questo modo

[per chi è interessato, l'equazione della trasformazione è questa: (x,y) → (2x+y,x+y)].

Ora ricordiamoci che siamo su un toro, e quindi ciò che esce da destra rientra da sinistra, e ciò che esce dell'alto rientra dal basso. Se coloriamo i vari pezzi che escono dal quadrato iniziale, così

possiamo renderci conto di dove essi vadano a finire quando li rimettiamo all'interno del quadrato di partenza:

Come si vede, il quadrato iniziale è stato mischiato un po'. Bene, si può dimostrare che questo sistema è mescolante. Arnold l'ha spiegata così: se disegniamo un gattino sul quadrato, dopo infinite iterazioni ogni parte del quadrato contiene la stessa percentuale di gattino. Ecco:

Volendo, si potrebbe anche parlare di fornai e di ferri di cavallo.