Auguri.
giovedì 22 novembre 2012
giovedì 8 novembre 2012
Cannoni che sparano alle mosche
Teorema: la radice cubica di 2 è irrazionale.
Dimostrazione: se la radice cubica di 2 fosse uguale alla frazione p/q, allora 2 sarebbe uguale a p3/q3, cioè p3 = q3+q3, ma questo contraddice l'ultimo teorema di Fermat.
La dimostrazione vale per tutti gli indici maggiori di 2. Purtroppo l'ultimo teorema di Fermat non è abbastanza potente da dimostrare che anche la radice quadrata di 2 è irrazionale.
Dicono gli esperti che, purtroppo, questa è una dimostrazione circolare. La verifica di quest'ultima affermazione è lasciata alla pazienza del lettore.
Teorema: 56 non è un cubo.
Dimostrazione: dato che 56 = 43-23, se fosse un cubo allora l'ultimo teorema di Fermat sarebbe falso.
Pare che questa dimostrazione sia stata data da uno studente del Benelux durante una gara di matematica, ma non ne abbiamo le prove.
Dimostrazione: se la radice cubica di 2 fosse uguale alla frazione p/q, allora 2 sarebbe uguale a p3/q3, cioè p3 = q3+q3, ma questo contraddice l'ultimo teorema di Fermat.
La dimostrazione vale per tutti gli indici maggiori di 2. Purtroppo l'ultimo teorema di Fermat non è abbastanza potente da dimostrare che anche la radice quadrata di 2 è irrazionale.
Dicono gli esperti che, purtroppo, questa è una dimostrazione circolare. La verifica di quest'ultima affermazione è lasciata alla pazienza del lettore.
Teorema: 56 non è un cubo.
Dimostrazione: dato che 56 = 43-23, se fosse un cubo allora l'ultimo teorema di Fermat sarebbe falso.
Pare che questa dimostrazione sia stata data da uno studente del Benelux durante una gara di matematica, ma non ne abbiamo le prove.
Come funziona il gps (in teoria)
«La teoria della relatività generale, addirittura?».
«Eh, sì. Partiamo dall'inizio: in orbita intorno alla terra ci sono tanti satelliti che, in sostanza, sono degli orologi molto precisi».
«Oltre a essere dei trasmettitori, immagino».
«Certo, ogni satellite trasmette a terra un codice che lo identifica, l'ora in cui il segnale è stato trasmesso, e le sue effemeridi».
«Effemeridi?».
«Sì, dice a tutti chi è e dove si trova in ogni istante: ciao, sono il satellite Marvin, se non mi colpisce un meteorite mi trovo su questa orbita con questi parametri, che noia».
«Ehm».
«Poi trasmette anche altre informazioni, perché il mondo non è perfetto, la ionosfera fa un po' quello che vuole… ma non complichiamo».
«Forse è meglio; allora, noi a terra col nostro ricevitore gps riceviamo tutte queste informazioni. Poi come facciamo a capire dove ci troviamo? Dobbiamo comunicare col satellite?».
«Impossibile, non abbiamo abbastanza potenza, e non abbiamo l'antenna giusta. Il nostro ricevitore deve cavarsela con quello che riceve».
«E come fa?».
«Prima di tutto, deve conoscere l'ora esatta».
«Vabbé, questo non è difficile».
«Poi ne parliamo, per adesso supponiamo che sia facile. Conoscendo l'ora esatta, il ricevitore può calcolare la distanza dal satellite: il segnale trasmesso viaggia alla velocità della luce, sappiamo quando è stato inviato, sappiamo che ore sono quando lo riceviamo, calcoliamo il tempo impiegato dal segnale per arrivare fino a noi, e da lì ricaviamo la distanza».
«Cosa ce ne facciamo della distanza dal satellite?».
«Ci permette di stabilire una cosa: la nostra posizione si trova sulla superficie di una sfera centrata sul satellite e di raggio uguale alla distanza appena calcolata».
«Una informazione un po' vaga, no?».
«Infatti. Prendiamo allora un secondo satellite, e rifacciamo i calcoli con i suoi dati».
«Otteniamo un'altra sfera?».
«Sì. La nostra posizione allora è in un qualche punto che appartiene sia alla prima che alla seconda sfera. Cioè?».
«Cioè su un qualche punto di una circonferenza! L'intersezione tra le due sfere è una circonferenza, vero?».
«Esatto».
«È ancora un po' vago, però. Ci serve un terzo satellite?».
«Proprio così: col terzo satellite otteniamo una terza sfera, e se la intersechiamo con la circonferenza che già abbiamo…».
«Otteniamo… due punti?».
«Già».
«Ma non va bene».
«Bé, uno dei due punti è quello giusto, e l'altro potrebbe trovarsi sotto terra, oppure in cielo, vai a sapere. Un'idea della nostra posizione dovremmo già averla».
«Non mi piace mica tanto questa imprecisione, però».
«Hai ragione, ma non è un problema, perché c'è un problema più grosso».
«Quale?».
«La precisione del nostro orologio. Per quanto la tecnologia di un aggeggino che costa alcune decine di euro sia avanzata, quanto deve essere preciso?».
«Boh?».
«Prova a calcolare quanto spazio percorre la luce in un microsecondo».
«300 mila chilometri al secondo, per un microsecondo, fa 300 metri… oh, non sono mica pochi».
«Soprattutto se devi capire se, alla rotonda, devi prendere la seconda o la terza uscita».
«Ma quindi i nostri ricevitori gps hanno degli orologi così precisi?».
«Assolutamente no: per questo ci serve il quarto satellite».
«E perché?».
«Perché il quarto satellite produrrà una nuova sfera, e intersecandola con i due punti dovremmo essere in grado di ricavare la nostra posizione, se gli orologi fossero sincronizzati. Dato che non lo sono, la quarta sfera non passerà per nessuno dei due punti».
«E quindi?».
«Quindi sarà il nostro ricevitore, dotato di orologio non in punto, che farà i conti necessari per fare sì che la quarta sfera passi per il punto giusto: dovrà cioè mettere in punto l'orologio, in modo che i conti tornino. Insomma, ci sono quattro incognite da trovare — le tre coordinate spaziali più il tempo — e quattro equazioni fornite dai quattro satelliti».
«Ah, bello».
«Ma tutto questo ancora non basta».
«E perché?».
«Perché c'è la teoria della relatività in ballo».
«Uh».
«I satelliti non sono fermi, ma si muovono. Secondo la teoria della relatività speciale, per un corpo in movimento si verifica il fenomeno della dilatazione dei tempi».
«Ma il corpo deve andare molto veloce, no? I satelliti hanno una velocità così alta?».
«L'hanno abbastanza alta per accumulare un ritardo di 7 microsecondi in un giorno. Robetta, se non fosse per il fatto che la luce ha questa brutta abitudine di andare molto veloce».
«Eh, 300 metri al microsecondo, dopo un giorno il navigatore chissà dove ci porta».
«E non è tutto».
«No? Cosa c'è ancora?».
«La relatività generale: lo spaziotempo nella zona in cui orbitano i satelliti è meno curvo rispetto a quello in cui si trova la superficie della terra; la relatività generale prevede dunque un anticipo degli orologi in orbita, rispetto a quelli che si trovano sulla terra».
«Quindi la relatività ristretta prevede un ritardo e quella generale un anticipo? Allora gli errori si correggono da soli, no?».
«Magari. L'anticipo è di 45 microsecondi, quindi di entità maggiore rispetto al ritardo. Sommando i due errori, abbiamo un anticipo di 38 microsecondi».
«Cominciano a diventare tanti, sono 11 chilometri e 400 metri in un giorno».
«Sono quasi 500 metri in un'ora, quasi 8 al minuto: se anche metti in punto molto precisamente il tuo orologio sulla terra, dopo qualche minuto sei già fuori strada. E quindi le correzioni relativistiche sono necessarie, altrimenti il gps non funzionerebbe».
«Pensa un po', io pensavo che fosse solo roba teorica, questa faccenda della teoria della relatività».
«E invece non è così. A dir la verità, il gps funzionerebbe ugualmente anche senza la comprensione della relatività: gli ingegneri sono abituati a lavorare con errori sistematici, a cercarli e a ridurli al minimo. Anzi, pare che sia successo proprio questo: inizialmente non era stata compresa a pieno la portata degli effetti relativistici, e gli errori furono corretti senza conoscerne la causa. Poi è arrivato qualche teorico che ha spiegato la natura degli errori».
«Bravi, questi ingegneri».
«Non esageriamo, eh?».
«Scusa».
«Eh, sì. Partiamo dall'inizio: in orbita intorno alla terra ci sono tanti satelliti che, in sostanza, sono degli orologi molto precisi».
«Oltre a essere dei trasmettitori, immagino».
«Certo, ogni satellite trasmette a terra un codice che lo identifica, l'ora in cui il segnale è stato trasmesso, e le sue effemeridi».
«Effemeridi?».
«Sì, dice a tutti chi è e dove si trova in ogni istante: ciao, sono il satellite Marvin, se non mi colpisce un meteorite mi trovo su questa orbita con questi parametri, che noia».
«Ehm».
«Poi trasmette anche altre informazioni, perché il mondo non è perfetto, la ionosfera fa un po' quello che vuole… ma non complichiamo».
«Forse è meglio; allora, noi a terra col nostro ricevitore gps riceviamo tutte queste informazioni. Poi come facciamo a capire dove ci troviamo? Dobbiamo comunicare col satellite?».
«Impossibile, non abbiamo abbastanza potenza, e non abbiamo l'antenna giusta. Il nostro ricevitore deve cavarsela con quello che riceve».
«E come fa?».
«Prima di tutto, deve conoscere l'ora esatta».
«Vabbé, questo non è difficile».
«Poi ne parliamo, per adesso supponiamo che sia facile. Conoscendo l'ora esatta, il ricevitore può calcolare la distanza dal satellite: il segnale trasmesso viaggia alla velocità della luce, sappiamo quando è stato inviato, sappiamo che ore sono quando lo riceviamo, calcoliamo il tempo impiegato dal segnale per arrivare fino a noi, e da lì ricaviamo la distanza».
«Cosa ce ne facciamo della distanza dal satellite?».
«Ci permette di stabilire una cosa: la nostra posizione si trova sulla superficie di una sfera centrata sul satellite e di raggio uguale alla distanza appena calcolata».
«Una informazione un po' vaga, no?».
«Infatti. Prendiamo allora un secondo satellite, e rifacciamo i calcoli con i suoi dati».
«Otteniamo un'altra sfera?».
«Sì. La nostra posizione allora è in un qualche punto che appartiene sia alla prima che alla seconda sfera. Cioè?».
«Cioè su un qualche punto di una circonferenza! L'intersezione tra le due sfere è una circonferenza, vero?».
«Esatto».
«È ancora un po' vago, però. Ci serve un terzo satellite?».
«Proprio così: col terzo satellite otteniamo una terza sfera, e se la intersechiamo con la circonferenza che già abbiamo…».
«Otteniamo… due punti?».
«Già».
«Ma non va bene».
«Bé, uno dei due punti è quello giusto, e l'altro potrebbe trovarsi sotto terra, oppure in cielo, vai a sapere. Un'idea della nostra posizione dovremmo già averla».
«Non mi piace mica tanto questa imprecisione, però».
«Hai ragione, ma non è un problema, perché c'è un problema più grosso».
«Quale?».
«La precisione del nostro orologio. Per quanto la tecnologia di un aggeggino che costa alcune decine di euro sia avanzata, quanto deve essere preciso?».
«Boh?».
«Prova a calcolare quanto spazio percorre la luce in un microsecondo».
«300 mila chilometri al secondo, per un microsecondo, fa 300 metri… oh, non sono mica pochi».
«Soprattutto se devi capire se, alla rotonda, devi prendere la seconda o la terza uscita».
«Ma quindi i nostri ricevitori gps hanno degli orologi così precisi?».
«Assolutamente no: per questo ci serve il quarto satellite».
«E perché?».
«Perché il quarto satellite produrrà una nuova sfera, e intersecandola con i due punti dovremmo essere in grado di ricavare la nostra posizione, se gli orologi fossero sincronizzati. Dato che non lo sono, la quarta sfera non passerà per nessuno dei due punti».
«E quindi?».
«Quindi sarà il nostro ricevitore, dotato di orologio non in punto, che farà i conti necessari per fare sì che la quarta sfera passi per il punto giusto: dovrà cioè mettere in punto l'orologio, in modo che i conti tornino. Insomma, ci sono quattro incognite da trovare — le tre coordinate spaziali più il tempo — e quattro equazioni fornite dai quattro satelliti».
«Ah, bello».
«Ma tutto questo ancora non basta».
«E perché?».
«Perché c'è la teoria della relatività in ballo».
«Uh».
«I satelliti non sono fermi, ma si muovono. Secondo la teoria della relatività speciale, per un corpo in movimento si verifica il fenomeno della dilatazione dei tempi».
«Ma il corpo deve andare molto veloce, no? I satelliti hanno una velocità così alta?».
«L'hanno abbastanza alta per accumulare un ritardo di 7 microsecondi in un giorno. Robetta, se non fosse per il fatto che la luce ha questa brutta abitudine di andare molto veloce».
«Eh, 300 metri al microsecondo, dopo un giorno il navigatore chissà dove ci porta».
«E non è tutto».
«No? Cosa c'è ancora?».
«La relatività generale: lo spaziotempo nella zona in cui orbitano i satelliti è meno curvo rispetto a quello in cui si trova la superficie della terra; la relatività generale prevede dunque un anticipo degli orologi in orbita, rispetto a quelli che si trovano sulla terra».
«Quindi la relatività ristretta prevede un ritardo e quella generale un anticipo? Allora gli errori si correggono da soli, no?».
«Magari. L'anticipo è di 45 microsecondi, quindi di entità maggiore rispetto al ritardo. Sommando i due errori, abbiamo un anticipo di 38 microsecondi».
«Cominciano a diventare tanti, sono 11 chilometri e 400 metri in un giorno».
«Sono quasi 500 metri in un'ora, quasi 8 al minuto: se anche metti in punto molto precisamente il tuo orologio sulla terra, dopo qualche minuto sei già fuori strada. E quindi le correzioni relativistiche sono necessarie, altrimenti il gps non funzionerebbe».
«Pensa un po', io pensavo che fosse solo roba teorica, questa faccenda della teoria della relatività».
«E invece non è così. A dir la verità, il gps funzionerebbe ugualmente anche senza la comprensione della relatività: gli ingegneri sono abituati a lavorare con errori sistematici, a cercarli e a ridurli al minimo. Anzi, pare che sia successo proprio questo: inizialmente non era stata compresa a pieno la portata degli effetti relativistici, e gli errori furono corretti senza conoscerne la causa. Poi è arrivato qualche teorico che ha spiegato la natura degli errori».
«Bravi, questi ingegneri».
«Non esageriamo, eh?».
«Scusa».
mercoledì 7 novembre 2012
Il problema del fabbricante di tachimetri
«Ma quindi, prof, il tachimetro di un'automobile calcola le derivate?».
«In un mondo ideale, sì: calcola lo spazio percorso in un tempo infinitesimo, fa il rapporto, ed ecco la velocità istantanea. Naturalmente nella realtà no: si basa sui giri che fanno le ruote, o magari sui sottomultipli di un giro, e calcola una velocità media. Comunque, è meglio il gps».
«Per calcolare le velocità?».
«Eh, sì, è più preciso».
«Ma dai, anche i tachimetri sono precisi, non è che siano così tanto scarsi».
«Eppure, basta tenere le gomme più o meno gonfie, oppure averle un po' troppo consumate, e si sbagliano anche loro».
«Massé».
«Proviamo a fare un calcolo».
«Capirai».
«Per calcolare la velocità, o anche lo spazio percorso, ci serve sapere la lunghezza della circonferenza della gomma».
«Uh?».
«Altrimenti come fai a calcolare quanta strada hai fatto, se non sai quanta strada percorri con un giro di ruote?».
«Anche questo è vero».
«Quindi, ci serve il raggio di una ruota. Facciamo circa trenta centimetri?».
«Più o meno, se non prendiamo un SUV».
«Lasciamo perdere i SUV: allora, la lunghezza di una circonferenza di raggio trenta centimetri è circa… 188.5 centimetri. Per fare 100 chilometri, quanti giri fa una ruota?».
«Aspetti che faccio la divisione: viene 53050 giri».
«Bene. Adesso facciamo consumare le gomme, diciamo che dopo molta strada abbiamo perso 5 millimetri di spessore».
«Così tanti?».
«Eh, succede. Poi magari abbiamo anche le gomme un po' sgonfie…».
«Mh, allora il raggio diventa 29.5 centimetri».
«E la circonferenza?».
«Diventa 185.4 centimetri».
«Bene, ora calcola quanta strada fai con 53050 giri di quella lunghezza».
«Mi risulta 98.3 chilometri, possibile?».
«Eh, sì, perdi un paio di chilometri ogni cento».
«E allora anche la velocità non è più quella?».
«Eh, no: se il tachimetro segna 100 km/h, in realtà stai facendo i 98.3».
«Potrei andare più forte!».
«Potresti cambiare le gomme, anche. Comunque, come dicevo, il gps funziona meglio, ed è una tecnologia meravigliosa».
«Perché?».
«Perché senza la teoria della relatività generale non funzionerebbe».
«In un mondo ideale, sì: calcola lo spazio percorso in un tempo infinitesimo, fa il rapporto, ed ecco la velocità istantanea. Naturalmente nella realtà no: si basa sui giri che fanno le ruote, o magari sui sottomultipli di un giro, e calcola una velocità media. Comunque, è meglio il gps».
«Per calcolare le velocità?».
«Eh, sì, è più preciso».
«Ma dai, anche i tachimetri sono precisi, non è che siano così tanto scarsi».
«Eppure, basta tenere le gomme più o meno gonfie, oppure averle un po' troppo consumate, e si sbagliano anche loro».
«Massé».
«Proviamo a fare un calcolo».
«Capirai».
«Per calcolare la velocità, o anche lo spazio percorso, ci serve sapere la lunghezza della circonferenza della gomma».
«Uh?».
«Altrimenti come fai a calcolare quanta strada hai fatto, se non sai quanta strada percorri con un giro di ruote?».
«Anche questo è vero».
«Quindi, ci serve il raggio di una ruota. Facciamo circa trenta centimetri?».
«Più o meno, se non prendiamo un SUV».
«Lasciamo perdere i SUV: allora, la lunghezza di una circonferenza di raggio trenta centimetri è circa… 188.5 centimetri. Per fare 100 chilometri, quanti giri fa una ruota?».
«Aspetti che faccio la divisione: viene 53050 giri».
«Bene. Adesso facciamo consumare le gomme, diciamo che dopo molta strada abbiamo perso 5 millimetri di spessore».
«Così tanti?».
«Eh, succede. Poi magari abbiamo anche le gomme un po' sgonfie…».
«Mh, allora il raggio diventa 29.5 centimetri».
«E la circonferenza?».
«Diventa 185.4 centimetri».
«Bene, ora calcola quanta strada fai con 53050 giri di quella lunghezza».
«Mi risulta 98.3 chilometri, possibile?».
«Eh, sì, perdi un paio di chilometri ogni cento».
«E allora anche la velocità non è più quella?».
«Eh, no: se il tachimetro segna 100 km/h, in realtà stai facendo i 98.3».
«Potrei andare più forte!».
«Potresti cambiare le gomme, anche. Comunque, come dicevo, il gps funziona meglio, ed è una tecnologia meravigliosa».
«Perché?».
«Perché senza la teoria della relatività generale non funzionerebbe».
lunedì 15 ottobre 2012
domenica 7 ottobre 2012
Connessioni
Una delle cose che piacciono di più ai matematici (oltre alle barzellette che fanno ridere solo loro) è riconoscere le connessioni tra argomenti che, apparentemente, non hanno nulla a che fare uno con l'altro.
Per esempio, sul numero di settembre di Rudi Mathematici c'era questo quesito:
quanto vale la somma degli angoli formati dal segmento blu e dal segmento rosso con il segmento nero (insomma, nero-blu + nero-rosso)?
Un primo metodo è quello di usare la goniometria (del resto, stiamo parlando di angoli): si tratta di calcolare arctg(1/3) + arctg(1/2). Se ci ricordiamo la formula della tangente della somma di due angoli, abbiamo che
tg(arctg(1/3) + arctg(1/2)) = (1/3+1/2)(1-1/6) = (5/6)/(5/6) = 1,
e se la tangente è 1 allora l'angolo è di 45 gradi. A me questa soluzione non piace tanto (sarà perché la formula della tangente della somma di due angoli devo sempre ricavarmela, dato che non me la ricordo mai…).
Io avevo inizialmente risolto il quesito in un altro modo, utilizzando la geometria:
Non c'è nemmeno bisogno di spiegare troppo: l'angoloviola fucsia più in basso è l'angolo della diagonale del rettangolo 3×1, l'angolo blu più in alto è quello della diagonale del rettangolo 2×1 (opportunamente ruotato e ingrandito, ma questo non è un problema: l'angolo è sempre quello). E dunque si vede bene (ma si può calcolare facilmente, la griglia è stata disegnata apposta) che la somma dei due angoli è uguale a 45 gradi.
Questa soluzione per me è molto più bella della precedente, almeno qui le cose si vedono. Anzi, il vederle mi ha fatto venire in mente che questo tipo di problemi può essere descritto in un'altro modo: utilizzando i numeri complessi.
Nati per tutto un'altro scopo (la risoluzione delle equazioni di terzo grado), dopo essere stati generalizzati nei quaternioni si è scoperto [in realtà qualcuno l'aveva scoperto anche prima, ma se scrivi in danese nessuno ti considera] che i numeri complessi erano legati anche alle rotazioni nel piano. Un numero complesso può essere espresso in forma cartesiana (spostati in orizzontale di tot e in verticale di tot) oppure in forma polare (ruota di un certo angolo e poi vai avanti di tot). Nella forma polare, la moltiplicazione di due numeri complessi diventa molto semplice: si devono moltiplicare le lunghezze e sommare gli angoli.
Ecco come funziona, allora, la soluzione del problema: prendo il numero complesso (3+i) (spostati a destra di tre e in su di uno — ma tre cosa? — tre unità di misura, aspetta che te la disegno; hai notato che 3 e 1 sono le misure del rettangolo di partenza, quello del testo del problema, vero?)
Adesso moltiplico questo numero per il numero (2+i) (sì, 2 e 1 sono le dimensioni dell'altro rettangolo, ho capito, ma come faccio a moltiplicare — facile: ti sposti avanti di 2 e in su di 1 — ma due cosa? — sempre due unità di misura, ma attenzione: l'unità di misura attuale è il segmento blu, quindi devi raddoppiare quello)
E ora bisognerebbe andare in su di 1, ma bisogna fare attenzione: rispetto al vettore rosso su non significa andare in verticale. In realtà dobbiamo girare a sinistra di 90 gradi, e quello è il su attuale.
Ed ecco fatto, il risultato del prodotto dei due numeri complessi è il vettore che congiunge il punto di partenza con quello di arrivo
qui disegnatoin viola con un tratto più spesso.
Il bello di tutto ciò è che il calcolo può essere fatto in un paio di passaggi:
(3+i)(2+i) = 6+3i+2i-1 = 5+5i,
e, infatti, 5+5i è proprio il vettore risultante, inclinato di 45 gradi (se vogliamo, il segmento avente per estremi il punto di coordinate (5,5) e l'origine forma, con il semiasse positivo delle x, un angolo di 45 gradi).
Naturalmente la moltiplicazione poteva essere svolta anche nell'altro senso, moltiplicando (2+i) per (3+i). Il risultato algebrico è naturalmente lo stesso, l'interpretazione geometrica invece è leggermente diversa. La riassumo in una sola figura:
Il vettore 2+i (in blu) viene moltiplicato per 3 e poi ruotato di 90 gradi, e il risultato è sempre quello di prima.
Morale della storia: la goniometria, la geometria analitica, i numeri complessi, il calcolo vettoriale sono modi diversi di descrivere la stessa cosa. E quando i matematici riescono a intravedere, al di sotto della descrizione particolare, ciò che c'è realmente, vanno in brodo di giuggiole.
Per esempio, sul numero di settembre di Rudi Mathematici c'era questo quesito:
quanto vale la somma degli angoli formati dal segmento blu e dal segmento rosso con il segmento nero (insomma, nero-blu + nero-rosso)?
Un primo metodo è quello di usare la goniometria (del resto, stiamo parlando di angoli): si tratta di calcolare arctg(1/3) + arctg(1/2). Se ci ricordiamo la formula della tangente della somma di due angoli, abbiamo che
tg(arctg(1/3) + arctg(1/2)) = (1/3+1/2)(1-1/6) = (5/6)/(5/6) = 1,
e se la tangente è 1 allora l'angolo è di 45 gradi. A me questa soluzione non piace tanto (sarà perché la formula della tangente della somma di due angoli devo sempre ricavarmela, dato che non me la ricordo mai…).
Io avevo inizialmente risolto il quesito in un altro modo, utilizzando la geometria:
Non c'è nemmeno bisogno di spiegare troppo: l'angolo
Questa soluzione per me è molto più bella della precedente, almeno qui le cose si vedono. Anzi, il vederle mi ha fatto venire in mente che questo tipo di problemi può essere descritto in un'altro modo: utilizzando i numeri complessi.
Nati per tutto un'altro scopo (la risoluzione delle equazioni di terzo grado), dopo essere stati generalizzati nei quaternioni si è scoperto [in realtà qualcuno l'aveva scoperto anche prima, ma se scrivi in danese nessuno ti considera] che i numeri complessi erano legati anche alle rotazioni nel piano. Un numero complesso può essere espresso in forma cartesiana (spostati in orizzontale di tot e in verticale di tot) oppure in forma polare (ruota di un certo angolo e poi vai avanti di tot). Nella forma polare, la moltiplicazione di due numeri complessi diventa molto semplice: si devono moltiplicare le lunghezze e sommare gli angoli.
Ecco come funziona, allora, la soluzione del problema: prendo il numero complesso (3+i) (spostati a destra di tre e in su di uno — ma tre cosa? — tre unità di misura, aspetta che te la disegno; hai notato che 3 e 1 sono le misure del rettangolo di partenza, quello del testo del problema, vero?)
Adesso moltiplico questo numero per il numero (2+i) (sì, 2 e 1 sono le dimensioni dell'altro rettangolo, ho capito, ma come faccio a moltiplicare — facile: ti sposti avanti di 2 e in su di 1 — ma due cosa? — sempre due unità di misura, ma attenzione: l'unità di misura attuale è il segmento blu, quindi devi raddoppiare quello)
E ora bisognerebbe andare in su di 1, ma bisogna fare attenzione: rispetto al vettore rosso su non significa andare in verticale. In realtà dobbiamo girare a sinistra di 90 gradi, e quello è il su attuale.
Ed ecco fatto, il risultato del prodotto dei due numeri complessi è il vettore che congiunge il punto di partenza con quello di arrivo
qui disegnato
Il bello di tutto ciò è che il calcolo può essere fatto in un paio di passaggi:
(3+i)(2+i) = 6+3i+2i-1 = 5+5i,
e, infatti, 5+5i è proprio il vettore risultante, inclinato di 45 gradi (se vogliamo, il segmento avente per estremi il punto di coordinate (5,5) e l'origine forma, con il semiasse positivo delle x, un angolo di 45 gradi).
Naturalmente la moltiplicazione poteva essere svolta anche nell'altro senso, moltiplicando (2+i) per (3+i). Il risultato algebrico è naturalmente lo stesso, l'interpretazione geometrica invece è leggermente diversa. La riassumo in una sola figura:
Il vettore 2+i (in blu) viene moltiplicato per 3 e poi ruotato di 90 gradi, e il risultato è sempre quello di prima.
Morale della storia: la goniometria, la geometria analitica, i numeri complessi, il calcolo vettoriale sono modi diversi di descrivere la stessa cosa. E quando i matematici riescono a intravedere, al di sotto della descrizione particolare, ciò che c'è realmente, vanno in brodo di giuggiole.
Sono una persona orribile
«Buongiorno».
«Buongiorno prof».
«Bé? Dove sono tutti gli altri?».
«Eh, han fatto sciopero…».
«Ma noo, ma come, ma dai, ma uffa, E ADESSO COSA FACCIO?».
«Eh?».
«Vi interrogo tutti».
«Ma no! Non è giusto, e poi noi siamo qui e…».
«Va bene, va bene, ho capito. Allora via, finisco il programma così gli altri SI ARRANGIANO QUANDO TORNANO».
«Ma come, a ottobre, finisce il programma? Dai, prof».
«Uff. E cosa facciamo?».
«Ci spiega finalmente quella faccenda del triangolo col buco?».
«Ah, va bene, via, quelli che rompevano tanto per sapere la storiella sono rimasti a casa, allora ve la spiego COSÌ IMPARANO!».
«Ehm».
«Vabbé, comunque sia la storia è questa: sono andato da un gioielliere e ho preso in prestito una lastra d'oro, ve la disegno: è la figura in basso».
«Quella col buco?».
«Sì, ma il gioielliere mi ha dato la lastra senza buco, poi io sono andato a casa e ho fatto il buco, mi sono messo in tasca il quadratino d'oro, e ho ritagliato la la lastra in quattro parti, come nella figura».
«E poi?».
«E poi le ho ricombinate come nella figura in alto. A quel punto, ho restituito la lastra al gioielliere, guadagnando un quadratino d'oro».
«Mh».
«Il giorno dopo sono tornato dal gioielliere, mi sono rifatto prestare la lastra, e ho rifatto il giochetto. Dopo essermi messo in tasca il quadratino d'oro, ho restituito la lastra».
«Ma come?».
«L'ho fatto per molto tempo, e adesso SONO RICCHISSIMO! Ho la casa piena di quadratini d'oro, ci posso fare il bagno dentro».
«Ma cosa dice, prof?».
«Oh, fai i conti, guarda la figura: con i pezzi della figura in basso riesco a ricostruire la figura intera. Ogni volta che lo faccio, guadagno un po' d'oro. Potrei anche smettere di lavorare, ma vengo a scuola solo per non fare sapere a tutti che sono ricco».
«Ma davvero?».
«Certo, ho trovato il modo di creare la materia dal nulla».
«Forse c'è un trucco?».
[tagliamo la spiegazione del trucco, tanto lo conoscono tutti — se qualcuno non lo conosce, è un buon esercizio scoprire cosa c'è che non va nel ragionamento (perché, no, non sono diventato ricchissimo)]
Suona la campana.
«Bene, ragazzi, vado, per quanto riguarda i compiti per la prossima volta…».
«Ma no, ci dà anche i compiti, noi che siamo stati a scuola dobbiamo farli e quegli altri invece che sono stati a casa…».
«DICEVO, per quanto riguarda i compiti, lascio a voi l'onere di comunicarli ai vostri compagni».
«Ma quali sono?».
«Io non so niente, pensateci voi, sentitevi liberi, fategliene fare un po'».
«Cioè, lei sta dicendo che…».
«Oh, se li vuoi fare anche tu…».
«AH OK VA BENE HO CAPITO».
«Non esagerate, però, altrimenti se ne accorgono».
«Tranquillo, prof, ci pensiamo noi».
«Buongiorno prof».
«Bé? Dove sono tutti gli altri?».
«Eh, han fatto sciopero…».
«Ma noo, ma come, ma dai, ma uffa, E ADESSO COSA FACCIO?».
«Eh?».
«Vi interrogo tutti».
«Ma no! Non è giusto, e poi noi siamo qui e…».
«Va bene, va bene, ho capito. Allora via, finisco il programma così gli altri SI ARRANGIANO QUANDO TORNANO».
«Ma come, a ottobre, finisce il programma? Dai, prof».
«Uff. E cosa facciamo?».
«Ci spiega finalmente quella faccenda del triangolo col buco?».
«Ah, va bene, via, quelli che rompevano tanto per sapere la storiella sono rimasti a casa, allora ve la spiego COSÌ IMPARANO!».
«Ehm».
«Vabbé, comunque sia la storia è questa: sono andato da un gioielliere e ho preso in prestito una lastra d'oro, ve la disegno: è la figura in basso».
«Quella col buco?».
«Sì, ma il gioielliere mi ha dato la lastra senza buco, poi io sono andato a casa e ho fatto il buco, mi sono messo in tasca il quadratino d'oro, e ho ritagliato la la lastra in quattro parti, come nella figura».
«E poi?».
«E poi le ho ricombinate come nella figura in alto. A quel punto, ho restituito la lastra al gioielliere, guadagnando un quadratino d'oro».
«Mh».
«Il giorno dopo sono tornato dal gioielliere, mi sono rifatto prestare la lastra, e ho rifatto il giochetto. Dopo essermi messo in tasca il quadratino d'oro, ho restituito la lastra».
«Ma come?».
«L'ho fatto per molto tempo, e adesso SONO RICCHISSIMO! Ho la casa piena di quadratini d'oro, ci posso fare il bagno dentro».
«Ma cosa dice, prof?».
«Oh, fai i conti, guarda la figura: con i pezzi della figura in basso riesco a ricostruire la figura intera. Ogni volta che lo faccio, guadagno un po' d'oro. Potrei anche smettere di lavorare, ma vengo a scuola solo per non fare sapere a tutti che sono ricco».
«Ma davvero?».
«Certo, ho trovato il modo di creare la materia dal nulla».
«Forse c'è un trucco?».
[tagliamo la spiegazione del trucco, tanto lo conoscono tutti — se qualcuno non lo conosce, è un buon esercizio scoprire cosa c'è che non va nel ragionamento (perché, no, non sono diventato ricchissimo)]
Suona la campana.
«Bene, ragazzi, vado, per quanto riguarda i compiti per la prossima volta…».
«Ma no, ci dà anche i compiti, noi che siamo stati a scuola dobbiamo farli e quegli altri invece che sono stati a casa…».
«DICEVO, per quanto riguarda i compiti, lascio a voi l'onere di comunicarli ai vostri compagni».
«Ma quali sono?».
«Io non so niente, pensateci voi, sentitevi liberi, fategliene fare un po'».
«Cioè, lei sta dicendo che…».
«Oh, se li vuoi fare anche tu…».
«AH OK VA BENE HO CAPITO».
«Non esagerate, però, altrimenti se ne accorgono».
«Tranquillo, prof, ci pensiamo noi».
sabato 6 ottobre 2012
mercoledì 12 settembre 2012
Considera l'aragosta
Considera l'aragosta, di David Foster Wallace, Einaudi, 14.45€ in formato cartaceo, è un'altra raccolta di saggi, o di esperienze di vita vissuta, che sto leggendo in questi giorni.
Dico che sto leggendo perché ho deciso di commentare ogni saggio subito dopo averlo finito, senza attendere di aver concluso la lettura di tutto il libro (naturalmente questo post sarà pubblicato alla fine).
Cominciamo.
Il figlio grosso e rosso
Ho un amico che è entusiasta di Las Vegas. Davvero, quando racconta degli hotel giganteschi, del vulcano finto, delle battaglie navali, della zona divertimenti per le famiglie, dei casinò e dei divertimenti un po' meno per famiglie, è sinceramente convinto della loro bellezza. Io rido, ma vabbé.
Ecco, in questo articolo si parla della visita a Las Vegas fatta da DFW in occasione degli Avn awards. Non metto link per cercare di mantenere un'aria di rispettabilità in questo blog, semmai googlate (e, se non avete il safesearch attivo, accertatevi almeno di non avere qualcuno alle vostre spalle). Bene, se anche a voi la descrizione delle bellezze di Las Vegas fatta dal mio amico vi è parsa un po' kitsch e vi ha fatto ridere, rimarrete certamente estasiati (o inorriditi, o tutte e due le cose, a seconda della vostra predisposizione d'animo) nel leggere di questo particolare aspetto di Las Vegas.
La fine di qualcosa senz'altro, verrebbe da pensare
(Su Verso la fine del tempo, di John Updike)
Nove pagine di critica abbastanza sferzante su un romanzo che non ho mai letto di un autore che non conosco. Non importa, c'è una bella descrizione del protagonista del romanzo, che si riflette in considerazioni varie sull'autore del romanzo stesso. Da leggere per poter arrivare a godere dell'ultima frase.
Alcune considerazioni sulla comicità di Kafka che forse dovranno essere tagliate ulteriormente
«Potete chiedere di immaginare che tutte le sue storie siano una specie di porta. Di immaginare noi che ci avviciniamo e battiamo a questa porta, sempre più forte, battiamo e battiamo, non solo perché vogliamo entrare, ma perché ne abbiamo bisogno; non sappiamo cosa sia ma possiamo sentirlo, questo desiderio disperato e assoluto di entrare, e battiamo e spingiamo e calciamo. Finché ecco che la porta si apre… e si apre verso l'esterno — eravamo già dove volevamo essere sin dal principio. Das ist komisch».
Autorità e uso della lingua (ovvero, politica e lingua inglese è ridondante)
Un saggio sull'uso della lingua inglese. All'inizio una pagina scritta dalla traduttrice avverte delle difficoltà incontrate durante la traduzione in italiano di un saggio riguardante l'uso dell'inglese. Segue una pagina scritta in corpo 4, immagino (65 righe e due titoli), di testo non tradotto riportante una serie enorme di errori.
Da segnalare per i non inglesi: una interessante considerazione sull'aborto e la figura dello Snobino — che tanto ricorda Tapparella.
La vista da casa della sig.ra Thompson
Come DFW ha vissuto la giornata dell'11 settembre 2001.
Come Tracy Austin mi ha spezzato il cuore
Un commento (un po' caustico) all'autobiografia della tennista Tracy Austin.
Forza, Simba
Sette giorni in Cammino con un Anticandidato
Come funzionava la campagna per la candidatura alle primarie repubblicane del 2000 di John McCain. Un lungo resoconto di come vivono i giornalisti al seguito del candidato, e una descrizione di tutto il baraccone politico americano. Interessante.
Considera l'aragosta
Il festival dell'aragosta del Maine, dove le aragoste diventano cibo comune e a buon mercato.
Il Dostoevskij di Joseph Frank
Questo l'ho sfogliato velocemente, e non l'ho letto con attenzione: dopo le prime pagine l'argomento non mi ha attirato abbastanza. DFW che parla del professor Frank che parla di Dostoevskij.
Commentatore
E anche questo l'ho solamente sfogliato: la struttura del testo, con frecce che puntano a riquadri e altre frecce che dai riquadri puntano a sottoriquadri, all'inizio è carina, ma dopo un po' diventa fastidiosa.
martedì 4 settembre 2012
Una misteriosa costante matematica — 2
«Per ottenere un metodo veloce, anche se approssimato, per calcolare la somma dei primi n termini della serie armonica, dobbiamo dare un'occhiata a questo grafico».
«Uh, e cosa si vede?».
«Allora, la funzione rossa è y = 1/x. Se osservi bene, in corrispondenza dei numeri naturali sono disegnati dei segmenti verticali che intersecano la curva».
«Vedo».
«Quindi, il primo punto sulla curva rossa avrà come y il valore 1».
«Certamente, basta sostituire a x il numero 1, e risulta 1/1».
«Bene. Il secondo punto sulla curva rossa invece avrà ordinata uguale a 1/2».
«Giusto, il terzo avrà come y il valore 1/3, il quarto 1/4, e così via».
«Bene. Ora calcola l'area di ognuno di quei rettangoli che sono disegnati, cioè quelli aventi base sull'asse delle x».
«Allora, intanto hanno tutti base uguale a 1».
«Giusto».
«Quindi l'area è data dall'altezza».
«Ancora giusto».
«Quindi il primo rettangolo avrà area 1, il secondo 1/2, il terzo 1/3, e così via».
«Perfetto. Quindi possiamo visualizzare la somma dei primi n termini della serie armonica semplicemente osservando quei rettangoli: la somma che vogliamo calcolare è uguale alla somma delle loro aree».
«Ok, ma non riusciamo a calcolarla?».
«Non direttamente. Però continuiamo l'esame del grafico: siamo in grado di calcolare l'area che sta sotto alla curva rossa».
«Davvero?».
«Sì, si utilizza il calcolo integrale. Risulta che l'area che va dal punto di ascissa 1 al punto di ascissa n+1 (cioè l'area sotto ai primi n rettangoli) è uguale al logaritmo naturale di n+1. In formule, un Vero Matematico scriverebbe questo:».
«Va bene, e ora? L'area sotto la curva rossa non è uguale a quella dei rettangoli».
«No, la differenza è appunto data dalla somma delle aree grigie».
«Ed è una cosa che sappiamo calcolare?».
«Non esattamente, ma possiamo dire una cosa importante: la somma di quelle aree è limitata. In particolare, è minore di 1».
«E come facciamo a dirlo?».
«Se anche quelle aree andassero avanti all'infinito, potremmo comunque pensare di spostarle tutte a sinistra, infilandole nel primo rettangolo (che poi è un quadrato, ma non ha importanza)».
«Vero».
«E ci starebbero tutte, senza sovrapporsi».
«Anche questo è vero».
«E lascerebbero un po' di spazio libero».
«Ah, ho capito! Visto che l'area del rettangolo in cui sono contenute è uguale a 1, la loro somma è minore di quel valore».
«Perfetto: ora che sappiamo che quel valore esiste, ci basta un computer per calcolarlo. I matematici l'hanno fatto, naturalmente, e nel 2010 erano note 29844489545 cifre. Non so se il record sia stato superato ultimamente».
«Mica poche».
«Nonostante questo, ancora non si sa se sia un numero razionale o irrazionale».
«Ah».
«Intanto gli abbiamo dato un nome: si chiama costante di Eulero-Mascheroni, e vale circa 0.5772».
«Ok. E quindi possiamo usarla per il problema delle figurine?».
«Anche, sì. Ma non sarebbe quello lo scopo, insomma».
«Immagino, eh».
«Il fatto è che quella costante è legata alla funzione di Riemann, e quindi al problema dei numeri primi».
«Uno dei problemi del millennio?».
«Esattamente. Probabilmente dimostrare la sua irrazionalità potrebbe portare a fare passi avanti in quel senso, o addirittura a risolvere la congettura di Riemann. Si dice che Hardy abbia offerto la sua cattedra a Oxford a chi fosse riuscito a dimostrare l'irrazionalità della costante di Eulero-Mascheroni. Hilbert stesso considerò questo problema come inaffrontabile, un problema davanti al quale i Veri Matematici non sanno come muoversi, e se ne stanno lì sconsolati».
«Addirittura».
«Conway e Guy sono pronti a scommettere che sia trascendente, ma credono anche di non avere abbastanza tempo per riuscire a vedere la dimostrazione».
«Ma dai».
«Ed è stato dimostrato che se questa benedetta costante fosse davvero razionale, il suo denominatore dovrebbe essere maggiore di 10242080».
«Vabbé, dai, è irrazionale. Solo la mente malata dei Veri Matematici si può ostinare a cercare una dimostrazione che permetterebbe di dire qualcosa sulle cifre dopo la 29844489545esima».
«Eh».
«Alla fine, quante figurine dovremmo comprare per completare quel famoso album da 719 calciatori?».
«Allora, il calcolo esatto sarebbe dato dalla somma dei termini della serie armonica dal primo fino al 719-esimo, il tutto moltiplicato per 719:».
N = 719(1+1/2+1/3+…1/719).
«E per non fare tutto a mano, come si fa?».
«Si usa la relazione approssimata che abbiamo visto prima. Se indichiamo con γ la costante di Eulero-Mascheroni, abbiamo che».
«Vediamo un po', se n = 719 mi viene 5145.5. Argh».
«Si fanno affari con le figurine, eh?».
«Uh, e cosa si vede?».
«Allora, la funzione rossa è y = 1/x. Se osservi bene, in corrispondenza dei numeri naturali sono disegnati dei segmenti verticali che intersecano la curva».
«Vedo».
«Quindi, il primo punto sulla curva rossa avrà come y il valore 1».
«Certamente, basta sostituire a x il numero 1, e risulta 1/1».
«Bene. Il secondo punto sulla curva rossa invece avrà ordinata uguale a 1/2».
«Giusto, il terzo avrà come y il valore 1/3, il quarto 1/4, e così via».
«Bene. Ora calcola l'area di ognuno di quei rettangoli che sono disegnati, cioè quelli aventi base sull'asse delle x».
«Allora, intanto hanno tutti base uguale a 1».
«Giusto».
«Quindi l'area è data dall'altezza».
«Ancora giusto».
«Quindi il primo rettangolo avrà area 1, il secondo 1/2, il terzo 1/3, e così via».
«Perfetto. Quindi possiamo visualizzare la somma dei primi n termini della serie armonica semplicemente osservando quei rettangoli: la somma che vogliamo calcolare è uguale alla somma delle loro aree».
«Ok, ma non riusciamo a calcolarla?».
«Non direttamente. Però continuiamo l'esame del grafico: siamo in grado di calcolare l'area che sta sotto alla curva rossa».
«Davvero?».
«Sì, si utilizza il calcolo integrale. Risulta che l'area che va dal punto di ascissa 1 al punto di ascissa n+1 (cioè l'area sotto ai primi n rettangoli) è uguale al logaritmo naturale di n+1. In formule, un Vero Matematico scriverebbe questo:».
«Va bene, e ora? L'area sotto la curva rossa non è uguale a quella dei rettangoli».
«No, la differenza è appunto data dalla somma delle aree grigie».
«Ed è una cosa che sappiamo calcolare?».
«Non esattamente, ma possiamo dire una cosa importante: la somma di quelle aree è limitata. In particolare, è minore di 1».
«E come facciamo a dirlo?».
«Se anche quelle aree andassero avanti all'infinito, potremmo comunque pensare di spostarle tutte a sinistra, infilandole nel primo rettangolo (che poi è un quadrato, ma non ha importanza)».
«Vero».
«E ci starebbero tutte, senza sovrapporsi».
«Anche questo è vero».
«E lascerebbero un po' di spazio libero».
«Ah, ho capito! Visto che l'area del rettangolo in cui sono contenute è uguale a 1, la loro somma è minore di quel valore».
«Perfetto: ora che sappiamo che quel valore esiste, ci basta un computer per calcolarlo. I matematici l'hanno fatto, naturalmente, e nel 2010 erano note 29844489545 cifre. Non so se il record sia stato superato ultimamente».
«Mica poche».
«Nonostante questo, ancora non si sa se sia un numero razionale o irrazionale».
«Ah».
«Intanto gli abbiamo dato un nome: si chiama costante di Eulero-Mascheroni, e vale circa 0.5772».
«Ok. E quindi possiamo usarla per il problema delle figurine?».
«Anche, sì. Ma non sarebbe quello lo scopo, insomma».
«Immagino, eh».
«Il fatto è che quella costante è legata alla funzione di Riemann, e quindi al problema dei numeri primi».
«Uno dei problemi del millennio?».
«Esattamente. Probabilmente dimostrare la sua irrazionalità potrebbe portare a fare passi avanti in quel senso, o addirittura a risolvere la congettura di Riemann. Si dice che Hardy abbia offerto la sua cattedra a Oxford a chi fosse riuscito a dimostrare l'irrazionalità della costante di Eulero-Mascheroni. Hilbert stesso considerò questo problema come inaffrontabile, un problema davanti al quale i Veri Matematici non sanno come muoversi, e se ne stanno lì sconsolati».
«Addirittura».
«Conway e Guy sono pronti a scommettere che sia trascendente, ma credono anche di non avere abbastanza tempo per riuscire a vedere la dimostrazione».
«Ma dai».
«Ed è stato dimostrato che se questa benedetta costante fosse davvero razionale, il suo denominatore dovrebbe essere maggiore di 10242080».
«Vabbé, dai, è irrazionale. Solo la mente malata dei Veri Matematici si può ostinare a cercare una dimostrazione che permetterebbe di dire qualcosa sulle cifre dopo la 29844489545esima».
«Eh».
«Alla fine, quante figurine dovremmo comprare per completare quel famoso album da 719 calciatori?».
«Allora, il calcolo esatto sarebbe dato dalla somma dei termini della serie armonica dal primo fino al 719-esimo, il tutto moltiplicato per 719:».
N = 719(1+1/2+1/3+…1/719).
«E per non fare tutto a mano, come si fa?».
«Si usa la relazione approssimata che abbiamo visto prima. Se indichiamo con γ la costante di Eulero-Mascheroni, abbiamo che».
«Vediamo un po', se n = 719 mi viene 5145.5. Argh».
«Si fanno affari con le figurine, eh?».
lunedì 3 settembre 2012
Una misteriosa costante matematica — 1
Una nota marca di merendine per la prima colazione inserisce, in ogni scatola, una figurina di un matematico famoso. Il produttore sostiene che tutti i matematici sono distribuiti uniformemente, e che la serie completa è composta da 8 figurine (siamo solo alla prima edizione). Quante scatole ci aspettiamo di dover comprare per completare la collezione?
(Spoiler alert: se volete provare a risolverlo da soli, non andate oltre, tornate dopo)
Possiamo risolvere il quesito ragionando in questo modo: acquistando la prima scatola ci assicuriamo la prima figurina, fin qua è facile. Con la seconda scatola possiamo trovarci di fronte a due possibilità: siamo sfortunati e troviamo la figurina che abbiamo già, oppure siamo fortunati e troviamo una figurina che ci manca. Il primo caso si verifica con probabilità 1/8, il secondo invece con probabilità 7/8.
Dato che la probabilità di ottenere una nuova figurina è 7/8, dovremmo acquistare 8/7 di scatola per ottenerla.
«Certo, andiamo in negozio, prendiamo una scatola e poi seghiamo un pezzettino di un'altra scatola».
«Ma no, questo è un discorso di media, è chiaro che per avere la figurina o compri una scatola e sei fortunato, o sei meno fortunato e ne devi comprare due, o ancora meno fortunato e ne devi comprare tre, quattro, o di più».
«E allora cos'è questa faccenda degli 8/7 di scatola?».
«Significa che, se prendiamo tanti collezionisti, e facciamo la media sul numero di scatole che servono per ottenere due figurine, il risultato sarà vicino a 1+8/7 (più collezionisti ci sono, migliore sarà l'approssimazione)».
«Vabbé. E quindi, se vogliamo la terza figurina, dobbiamo ragionare allo stesso modo?».
«Sì, la terza figurina sarà diversa dalle prime due con probabilità 6/8, e quindi dovrai comprare 8/6 di scatola».
«Sempre in media».
«Certo. Poi ce ne vorranno 8/5, 8/4, e così via fino a 8/1».
«Quindi per ottenere l'ultima figurina devo comprare otto scatole?».
«Sì, hai una sola possibilità su otto di trovare quella giusta, quindi ti toccherà acquistarne proprio otto».
«Ho capito. Il risultato finale allora sarà 1+8/7+8/6+…+8/2+8/1. Cioè…».
«761/35».
«Eh, fammi fare il calcolo che capisco meglio… fa 21.7, circa».
«Quindi con 22 scatole hai buone probabilità di cavertela».
«Però, risulta quasi il triplo del numero iniziale. Comincio a capire come funzionano le raccolte di figurine».
«Eh, sì, pensa a quante figurine può contenere un album di calciatori, e fai qualche conto…».
«La regola per il calcolo mi sembra semplice».
«Sì, e se modifichi un po' la formula diventa ancora più chiara. Per esempio, nella formula che abbiamo usato per le otto figurine, prova a raccogliere a fattor comune tutti quegli otto che stanno al numeratore».
«Mi viene 8(1/8+1/7+1/6+…+1/2+1). Mh, mi ricorda qualcosa».
«Se li riordini, ti accorgerai che si tratta dei primi termini della serie armonica: 8(1+1/2+1/3+…+1/7+1/8), di cui si è già parlato in passato, anche in qualche vecchio Carnevale della Matematica [1][2]».
«Uh, vedo».
«Ti faccio vedere anche cosa significa che in media bisogna acquistare 21.7 scatole: ho scritto un programma che simula duemila collezionisti di figurine. Ognuno fa i suoi acquisti fino a che non ha ottenuto le otto figurine, poi alla fine viene fatta la media tra tutti. Eccolo qua:».
«Mi pare abbastanza chiaro».
«Ho fatto anche un paio di grafici per vedere che, all'aumentare del numero dei collezionisti, il valore medio si stabilizza sempre più verso il famoso 21.7».
«E come mai sono diversi?».
«Perché ogni prova è diversa dalle altre. La cosa importante è vedere che l'andamento si stabilizza, anche se nel secondo grafico si stabilizza più lentamente».
«Probabilmente 2000 prove sono ancora poche».
«Già. Devi pensare che 21.7 scatole sono, appunto, una media, ma ci possono essere collezionisti fortunati che se la cavano con 8 scatole e altri meno fortunati che ne devono acquistare ben più di 22. Anzi, mi basta aggiungere un paio di righe al programma per vedere qual è il record negativo di acquisto scatole:».
«Ah, certo, così tieni in memoria il valore massimo di scatole da acquistare: quanto risulta?».
«Faccio girare il programma: ecco, 72».
«Però, sfortunato quel poveraccio che deve acquistare 72 scatole».
«Eh, già. E pensa a quelli che collezionano figurine di calciatori: nella collezione dell'anno scorso c'erano 690 figurine».
«Quante?!».
«Più altre 29 con un codice strano: in tutto 719».
«Santo cielo! Ma bisogna acquistarne un numero colossale».
«Quante?».
«Eh, mi tocca fare una somma lunghissima, non c'è un metodo migliore?».
«Se ti accontenti di un risultato approssimato (approssimato molto bene, eh), c'è».
(Spoiler alert: se volete provare a risolverlo da soli, non andate oltre, tornate dopo)
Possiamo risolvere il quesito ragionando in questo modo: acquistando la prima scatola ci assicuriamo la prima figurina, fin qua è facile. Con la seconda scatola possiamo trovarci di fronte a due possibilità: siamo sfortunati e troviamo la figurina che abbiamo già, oppure siamo fortunati e troviamo una figurina che ci manca. Il primo caso si verifica con probabilità 1/8, il secondo invece con probabilità 7/8.
Dato che la probabilità di ottenere una nuova figurina è 7/8, dovremmo acquistare 8/7 di scatola per ottenerla.
«Certo, andiamo in negozio, prendiamo una scatola e poi seghiamo un pezzettino di un'altra scatola».
«Ma no, questo è un discorso di media, è chiaro che per avere la figurina o compri una scatola e sei fortunato, o sei meno fortunato e ne devi comprare due, o ancora meno fortunato e ne devi comprare tre, quattro, o di più».
«E allora cos'è questa faccenda degli 8/7 di scatola?».
«Significa che, se prendiamo tanti collezionisti, e facciamo la media sul numero di scatole che servono per ottenere due figurine, il risultato sarà vicino a 1+8/7 (più collezionisti ci sono, migliore sarà l'approssimazione)».
«Vabbé. E quindi, se vogliamo la terza figurina, dobbiamo ragionare allo stesso modo?».
«Sì, la terza figurina sarà diversa dalle prime due con probabilità 6/8, e quindi dovrai comprare 8/6 di scatola».
«Sempre in media».
«Certo. Poi ce ne vorranno 8/5, 8/4, e così via fino a 8/1».
«Quindi per ottenere l'ultima figurina devo comprare otto scatole?».
«Sì, hai una sola possibilità su otto di trovare quella giusta, quindi ti toccherà acquistarne proprio otto».
«Ho capito. Il risultato finale allora sarà 1+8/7+8/6+…+8/2+8/1. Cioè…».
«761/35».
«Eh, fammi fare il calcolo che capisco meglio… fa 21.7, circa».
«Quindi con 22 scatole hai buone probabilità di cavertela».
«Però, risulta quasi il triplo del numero iniziale. Comincio a capire come funzionano le raccolte di figurine».
«Eh, sì, pensa a quante figurine può contenere un album di calciatori, e fai qualche conto…».
«La regola per il calcolo mi sembra semplice».
«Sì, e se modifichi un po' la formula diventa ancora più chiara. Per esempio, nella formula che abbiamo usato per le otto figurine, prova a raccogliere a fattor comune tutti quegli otto che stanno al numeratore».
«Mi viene 8(1/8+1/7+1/6+…+1/2+1). Mh, mi ricorda qualcosa».
«Se li riordini, ti accorgerai che si tratta dei primi termini della serie armonica: 8(1+1/2+1/3+…+1/7+1/8), di cui si è già parlato in passato, anche in qualche vecchio Carnevale della Matematica [1][2]».
«Uh, vedo».
«Ti faccio vedere anche cosa significa che in media bisogna acquistare 21.7 scatole: ho scritto un programma che simula duemila collezionisti di figurine. Ognuno fa i suoi acquisti fino a che non ha ottenuto le otto figurine, poi alla fine viene fatta la media tra tutti. Eccolo qua:».
from random import randrange
N=8
#nella lista ci vanno i numeri da 0 a 7
def colleziona():
conta=0
lista=[]
while 1:
x=randrange(N)
conta+=1
if x not in lista:
lista+=[x]
if len(lista)==8:
break
return conta
media=0
for i in xrange(2000):
media+=colleziona()
#print float(media)/(i+1)
print "Media:", float(media)/2000
«Mi pare abbastanza chiaro».
«Ho fatto anche un paio di grafici per vedere che, all'aumentare del numero dei collezionisti, il valore medio si stabilizza sempre più verso il famoso 21.7».
«E come mai sono diversi?».
«Perché ogni prova è diversa dalle altre. La cosa importante è vedere che l'andamento si stabilizza, anche se nel secondo grafico si stabilizza più lentamente».
«Probabilmente 2000 prove sono ancora poche».
«Già. Devi pensare che 21.7 scatole sono, appunto, una media, ma ci possono essere collezionisti fortunati che se la cavano con 8 scatole e altri meno fortunati che ne devono acquistare ben più di 22. Anzi, mi basta aggiungere un paio di righe al programma per vedere qual è il record negativo di acquisto scatole:».
media=0
record=0
for i in xrange(2000):
m=colleziona()
if record < m:
record = m
media+=m
print float(media)/(i+1)
print "Media:", float(media)/2000,record
«Ah, certo, così tieni in memoria il valore massimo di scatole da acquistare: quanto risulta?».
«Faccio girare il programma: ecco, 72».
«Però, sfortunato quel poveraccio che deve acquistare 72 scatole».
«Eh, già. E pensa a quelli che collezionano figurine di calciatori: nella collezione dell'anno scorso c'erano 690 figurine».
«Quante?!».
«Più altre 29 con un codice strano: in tutto 719».
«Santo cielo! Ma bisogna acquistarne un numero colossale».
«Quante?».
«Eh, mi tocca fare una somma lunghissima, non c'è un metodo migliore?».
«Se ti accontenti di un risultato approssimato (approssimato molto bene, eh), c'è».
domenica 19 agosto 2012
La scossa
Leonardo ha scritto un libro in formato digitale sul terremoto in Emilia. Costa 3 euro, e tutti i diritti d'autore verranno devoluti alla ricostruzione del comune di Cavezzo.
È un libro che si legge volentieri, perché è scritto bene, e racconta della serie di terremoti che hanno colpito l'Emilia a partire dal 20 maggio 2012 (anche qualche mese prima, in realtà). Ma non racconta solo dei terremoti: parla anche del desiderio che hanno gli uomini di trovare un colpevole, parla del concetto di emilianità, del razzismo, dei politici e della prevenzione. E di Cavezzo.
Leggetelo, perché le cose che fanno ragionare sono belle.
sabato 18 agosto 2012
Tennis, tv, trigonometria, tornado
Tennis, tv, trigonometria, tornado (e altre cose divertenti che non farò mai più), di David Foster Wallace, Minimum Fax, 10.63€ in formato cartaceo, 8.90€ in formato elettronico, è il terzo libro che leggo di DFW.
Si tratta di una raccolta di saggi di argomenti diversi e slegati tra loro, che quindi commento separatamente.
Tennis, trigonometria e tornado racconta di quando l'autore faceva il tennista, da ragazzino, in Illinois, terra di grandi pianure e di tornado. Ogni tanto ci sono termini matematici infilati a caso (come in «...dove n è una funzione iperbolica limitata dal seno della bravura dell'avversario e dal coseno del numero di colpi scambiati fino a qual momento (approssimativamente)»), ma è molto piacevole da leggere.
E Unibus Pluram: Gli scrittori americani e la televisione. Ecco, questo non l'ho letto tutto: parla di programmi televisivi americani che io non ho mai visto, e fa riferimenti a saggi di autori americani che io non ho mai letto, e quindi per comprendere quello che stavo leggendo avrei dovuto studiare un po' di cultura pop americana. Ho deciso di soprassedere.
Invadenti evasioni è il resoconto di una visita, durata più giorni, alla Fiera Statale dell'Illinois. Una delle parti più belle del libro, con maiali, giovenche, majorette e cibi di tutti i tipi fritti.
Che esagerazione è un articoletto di 9 pagine che comincia così: «Negli anni '60 sono arrivati i metacritici poststrutturalisti, hanno capovolto gli assunti dell'estetica letteraria, quegli assunti che i suoi maestri avevano considerato come autoevidenti e, fondendo teorie del discorso creativo e posizioni metafisiche radicali, hanno reso l'interpretazione dei testi molto più complicata». Non avendo capito assolutamente nulla di questo primo periodo, ho saltato le 9 pagine seguenti e sono andato oltre. Credo che si parli di critica letteraria, ma non ne sono del tutto sicuro.
David Lynch non perde la testa racconta di una visita di David Foster Wallace al set del film Strade perdute. Ed è anche una lunga analisi delle opere di Lynch, molto bella e approfondita. Di David Lynch io ho visto soltanto Twin Peaks (e la mia malata sindrome da continuity mi ha costretto a vedere entrambe le serie, fino alla fine), e ho deciso che non avrei visto più nulla. Questo saggio mi ha spiegato il perché.
L'abilità professionistica del tennista Michal Joyce come paradigma di una serie di cose tipo la scelta, la libertà, i limiti, la gioia, l'assurdità e la completezza dell'essere umano è il saggio finale, che ci porta all'interno di un torneo di tennis. Scritto bene, come al solito, si legge molto volentieri; le descrizioni dei tennisti, degli scambi, delle partite sono così realistiche che non ti fanno rimpiangere il fatto che, effettivamente, non sei là anche tu.
Insomma, mi è piaciuto.
mercoledì 15 agosto 2012
La classifica definitiva
«Che poi, non esistono soltanto gli ordinamenti totali, eh».
«Ma cosa dici?».
«La gente vuole mettere tutto in ordine e trovare per forza un primo, un secondo, e così via. Non è mica sempre possibile».
«Che cosa stai dicendo?».
«Cbi l'ha deciso che dieci medaglie d'argento valgono meno di una d'oro?».
«Ah, ricominciamo con quella faccenda delle olimpiadi? [1,2,3]».
«Sì, questa mania di ordinare tutto… che criterio bisogna usare?».
«Si potrebbe dare un punteggio alle varie medaglie e poi sommare tutti i punti…».
«Ah, certo, ma che punteggio? Hai un'infinità di scelte».
«Eh, son problemi».
«Perché, vedi, immagina di avere una macchina con tre manopole».
«Ossignore».
«Ogni manopola regola il valore che decidiamo di attribuire a ogni tipo di medaglia: una manopola per le medaglie d'oro, una per quelle d'argento e la terza per quelle di bronzo».
«E noi, regolando le manopole, attribuiamo i valori?».
«Esatto, da 1 a infinito».
«Eh? In che senso?».
«Supponi di regolare tutte e tre le manopole a 1: questo significa che le medaglie hanno tutte lo stesso valore. In pratica stili una classifica basata solo sul numero di medaglie guadagnate».
«Eh, ma non va mica bene».
«Se non ti piace, decidi tu che valori utilizzare. Per esempio, sul sito ufficiale delle olimpiadi le squadre vengono ordinate in base al numero di medaglie d'oro, in caso di parità vengono considerate le medaglie d'argento, e in caso di ulteriore parità quelle di bronzo».
«Quindi non viene assegnato un valore numerico ad ogni medaglia, no?».
«Bé, non un numero reale, ma in realtà puoi pensarla in questo modo: alle medaglie di bronzo assegni valore 1, a quelle di argento un valore infinito…».
«Infinito?».
«Eh, sì, questo significa che una medaglia d'argento batte qualunque numero di medaglie di bronzo. Un Vero Matematico direbbe che in questo caso non vale più la proprietà archimedea».
«Brr».
«E alle medaglie d'oro assegni un infinito di ordine superiore a quello assegnato alle medaglie d'argento».
«Eh?».
«Un infinito che rimane infinito anche se rapportato al valore delle medaglie d'argento. In questo modo una medaglia d'oro batte qualunque numero di medaglie d'argento (e quindi di bronzo)».
«Interessante, ma forse anche questo non è tanto giusto. Una squadra che ha vinto una sola medaglia d'oro è meglio di un'altra squadra che ha vinto dieci medaglie d'argento?».
«Eh, lo so, non si troverà mai una regolazione delle manopole soddisfacente».
«E allora come facciamo? Rinunciamo a fare classifiche?».
«Possiamo rinunciare a un ordinamento totale, ma esistono anche gli ordinamenti parziali, eh».
«Cioè?».
«Supponiamo di avere due squadre. Se la prima ha un numero di medaglie d'oro minore o uguale a quello della seconda, un numero di medaglie d'argento minore o uguale a quello della seconda, e anche un numero di medaglie di bronzo minore o uguale a quello della seconda, sei d'accordo sul fatto che essa debba trovarsi in una posizione più bassa in classifica rispetto alla seconda?».
«Sì, certo».
«A meno che, naturalmente, l'uguaglianza non valga in tutti e tre i casi».
«Giusto: in quel caso le due squadre hanno lo stesso numero di medaglie, dovrebbero trovarsi nella stessa posizione».
«Perfetto: questo criterio ci permette di stabilire un ordinamento, che però non è totale».
«Cosa significa?».
«Significa che valgono le proprietà a cui siamo abituati (per esempio, se una squadra A si trova al di sotto di una squadra B, e la squadra B si trova al di sotto di C, allora anche A si trova al di sotto di C), ma non tutte le squadre sono confrontabili tra loro».
«Vero, se una squadra ha una sola medaglia d'oro e una seconda squadra ha una sola medaglia di bronzo, non sapremmo come ordinarle. Anche se io direi che la prima squadra dovrebbe trovarsi al di sopra della seconda».
«Ma perché stai automaticamente assegnando un valore diverso ai due tipi di medaglie. Nella classifica basata soltanto sulla somma delle medaglie (quando cioè le tre manopole della macchina si trovano tutte sul numero 1), le due squadre sarebbero allo stesso posto».
«Ok, giusto».
«Quindi noi possiamo immaginare una struttura complicata che collega le varie squadre che hanno partecipato alle olimpiadi: una struttura che mostra un certo ordine, anche se non mette in fila una per una le varie squadre. Una struttura articolata, composta da diverse connessioni, che collassa in una struttura semplice e lineare ogni volta che tu regoli le manopole della macchinetta».
«Bello».
«Le varie strutture semplici e lineari che ottieni non sono sempre uguali. A seconda di come regoli le manopole, potrai avere classifiche diverse. La struttura che sta al di sotto, però, quella che regola tutto, e che è solo un ordinamento parziale, quella non varia».
«Mi piacerebbe vederla, questa struttura».
«Eccola qua:».
«Ma cosa dici?».
«La gente vuole mettere tutto in ordine e trovare per forza un primo, un secondo, e così via. Non è mica sempre possibile».
«Che cosa stai dicendo?».
«Cbi l'ha deciso che dieci medaglie d'argento valgono meno di una d'oro?».
«Ah, ricominciamo con quella faccenda delle olimpiadi? [1,2,3]».
«Sì, questa mania di ordinare tutto… che criterio bisogna usare?».
«Si potrebbe dare un punteggio alle varie medaglie e poi sommare tutti i punti…».
«Ah, certo, ma che punteggio? Hai un'infinità di scelte».
«Eh, son problemi».
«Perché, vedi, immagina di avere una macchina con tre manopole».
«Ossignore».
«Ogni manopola regola il valore che decidiamo di attribuire a ogni tipo di medaglia: una manopola per le medaglie d'oro, una per quelle d'argento e la terza per quelle di bronzo».
«E noi, regolando le manopole, attribuiamo i valori?».
«Esatto, da 1 a infinito».
«Eh? In che senso?».
«Supponi di regolare tutte e tre le manopole a 1: questo significa che le medaglie hanno tutte lo stesso valore. In pratica stili una classifica basata solo sul numero di medaglie guadagnate».
«Eh, ma non va mica bene».
«Se non ti piace, decidi tu che valori utilizzare. Per esempio, sul sito ufficiale delle olimpiadi le squadre vengono ordinate in base al numero di medaglie d'oro, in caso di parità vengono considerate le medaglie d'argento, e in caso di ulteriore parità quelle di bronzo».
«Quindi non viene assegnato un valore numerico ad ogni medaglia, no?».
«Bé, non un numero reale, ma in realtà puoi pensarla in questo modo: alle medaglie di bronzo assegni valore 1, a quelle di argento un valore infinito…».
«Infinito?».
«Eh, sì, questo significa che una medaglia d'argento batte qualunque numero di medaglie di bronzo. Un Vero Matematico direbbe che in questo caso non vale più la proprietà archimedea».
«Brr».
«E alle medaglie d'oro assegni un infinito di ordine superiore a quello assegnato alle medaglie d'argento».
«Eh?».
«Un infinito che rimane infinito anche se rapportato al valore delle medaglie d'argento. In questo modo una medaglia d'oro batte qualunque numero di medaglie d'argento (e quindi di bronzo)».
«Interessante, ma forse anche questo non è tanto giusto. Una squadra che ha vinto una sola medaglia d'oro è meglio di un'altra squadra che ha vinto dieci medaglie d'argento?».
«Eh, lo so, non si troverà mai una regolazione delle manopole soddisfacente».
«E allora come facciamo? Rinunciamo a fare classifiche?».
«Possiamo rinunciare a un ordinamento totale, ma esistono anche gli ordinamenti parziali, eh».
«Cioè?».
«Supponiamo di avere due squadre. Se la prima ha un numero di medaglie d'oro minore o uguale a quello della seconda, un numero di medaglie d'argento minore o uguale a quello della seconda, e anche un numero di medaglie di bronzo minore o uguale a quello della seconda, sei d'accordo sul fatto che essa debba trovarsi in una posizione più bassa in classifica rispetto alla seconda?».
«Sì, certo».
«A meno che, naturalmente, l'uguaglianza non valga in tutti e tre i casi».
«Giusto: in quel caso le due squadre hanno lo stesso numero di medaglie, dovrebbero trovarsi nella stessa posizione».
«Perfetto: questo criterio ci permette di stabilire un ordinamento, che però non è totale».
«Cosa significa?».
«Significa che valgono le proprietà a cui siamo abituati (per esempio, se una squadra A si trova al di sotto di una squadra B, e la squadra B si trova al di sotto di C, allora anche A si trova al di sotto di C), ma non tutte le squadre sono confrontabili tra loro».
«Vero, se una squadra ha una sola medaglia d'oro e una seconda squadra ha una sola medaglia di bronzo, non sapremmo come ordinarle. Anche se io direi che la prima squadra dovrebbe trovarsi al di sopra della seconda».
«Ma perché stai automaticamente assegnando un valore diverso ai due tipi di medaglie. Nella classifica basata soltanto sulla somma delle medaglie (quando cioè le tre manopole della macchina si trovano tutte sul numero 1), le due squadre sarebbero allo stesso posto».
«Ok, giusto».
«Quindi noi possiamo immaginare una struttura complicata che collega le varie squadre che hanno partecipato alle olimpiadi: una struttura che mostra un certo ordine, anche se non mette in fila una per una le varie squadre. Una struttura articolata, composta da diverse connessioni, che collassa in una struttura semplice e lineare ogni volta che tu regoli le manopole della macchinetta».
«Bello».
«Le varie strutture semplici e lineari che ottieni non sono sempre uguali. A seconda di come regoli le manopole, potrai avere classifiche diverse. La struttura che sta al di sotto, però, quella che regola tutto, e che è solo un ordinamento parziale, quella non varia».
«Mi piacerebbe vederla, questa struttura».
«Eccola qua:».
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| (se clicchi si ingrandisce) |
mercoledì 25 luglio 2012
Neanche gli dei
Oh, ma come mai questa macchinetta tagliacapelli si inceppa sempre? Aspetta che la spengo, tolgo questo Pettinino Regolatore Della Lunghezza Dei Capelli, apro le lame, faccio pulizia, richiudo le lame, la riaccendo, oh senti adesso come va benOH!
Il candidato costruisca un diagramma di flusso che rappresenti le azioni elencate nel brano precedente, e faccia un commento sull'idiozia del protagonista.
martedì 24 luglio 2012
Il professor Apotema insegna: il calcolo delle somme e il calcolo integrale
Ormai sta diventando un appuntamento fisso: Giorgio Goldoni scrive un altro libro in cui raccoglie le sue lezioni su un determinato argomento, e io lo recensisco.
Questa volta si tratta del volume numero 4 (qui i volumi 1, 2, 3), dedicato al calcolo delle somme e al calcolo integrale, utilizzando l'approccio iperreale.
Somme e integrali vengono definiti e studiati in modo parallelo (per quanto riguarda le somme, ho scoperto cosa sono i numeri di Stirling, ad esempio), oltre alla teoria vengono presentate varie applicazioni interessanti, come il calcolo dei volumi, i baricentri, superfici e volumi di rotazione, l'integrazione numerica (compreso il metodo per ricavare la formula di Simpson, che di solito si trova scritta senza dimostrazione nei testi scolastici), densità di probabilità e metodi per generare distribuzioni di numeri pseudocasuali con densità assegnata.
Io, come al solito, lo consiglio.
Giorgio Goldoni, Il professor Apotema insegna: il calcolo delle somme e il calcolo integrale, ilmiolibro.it, 18€.
Questa volta si tratta del volume numero 4 (qui i volumi 1, 2, 3), dedicato al calcolo delle somme e al calcolo integrale, utilizzando l'approccio iperreale.
Somme e integrali vengono definiti e studiati in modo parallelo (per quanto riguarda le somme, ho scoperto cosa sono i numeri di Stirling, ad esempio), oltre alla teoria vengono presentate varie applicazioni interessanti, come il calcolo dei volumi, i baricentri, superfici e volumi di rotazione, l'integrazione numerica (compreso il metodo per ricavare la formula di Simpson, che di solito si trova scritta senza dimostrazione nei testi scolastici), densità di probabilità e metodi per generare distribuzioni di numeri pseudocasuali con densità assegnata.
Io, come al solito, lo consiglio.
Giorgio Goldoni, Il professor Apotema insegna: il calcolo delle somme e il calcolo integrale, ilmiolibro.it, 18€.
lunedì 23 luglio 2012
Tutto, e di più
Il vostro autore è un tizio con un interesse amatoriale di livello medio-alto per la matematica e i sistemi formali. Ha sempre detestato (con gli scarsi risultati che ne conseguono) qualsiasi corso di matematica seguito nella sua vita, con una sola eccezione, peraltro estranea al suo curriculum universitario: un corso tenuto da uno di quei rari specialisti che sanno dare vita e necessità ai concetti astratti, che quando tengono una lezione parlano veramente con te e di cui tutto quanto vi è di buono in questo libro e una pallida e benintenzionata imitazione.
Ho letto Tutto, e di più. Storia compatta dell'∞, di David Foster Wallace (Amazon lo vende a 21.25 euro, io ho letto l'edizione de La Biblioteca delle Scienze).
Pregi: dà una visione d'insieme dello sviluppo della matematica ai tempi di Cantor (lo scopo del libro è quello di mostrare il percorso fatto dai matematici per costruire una teoria coerente dell'infinito, percorso che giocoforza passa attraverso Cantor, ma non solo).
Difetti: se uno le cose le sa già, se le trova bene ordinate e prova gusto a leggerle nella prosa di DFW (prosa che, comunque, non è così perfetta e godibile e esaltante come quella dell'unico altro libro che ho letto, finora, dell'autore). Se uno le cose non le sa, secondo me fa fatica ad impararle leggendo questo libro. Deve fermarsi, pensare, consultare magari altri testi: gli argomenti sono, secondo me, troppo compressi. L'alternativa sarebbe stata quella di scrivere un libro con un numero doppio di pagine, comunque.
Che dire? Diciamo che forse non serve per imparare la matematica, ma è utile per mettere in fila un po' di concetti che magari ci girano per la testa senza trovare una collocazione definita.
sabato 21 luglio 2012
È una questione di equilibrio
Qualche giorno fa si è parlato, nel cyberspazio (ehm), di quanto faccia 00. Sono state fatte alcune analisi e sono state date delle risposte: si parte dalla domanda di Juhan, si passa alle risposte di .mau. e di Gianluigi Filipelli, e si arriva alla conclusione, ancora di Juhan.
Ecco, in un commento che ho scritto mentre ero via ho aggiunto un paio di righe alla discussione, e ho detto che, una volta tornato a casa, avrei provato a spiegarmi meglio. Eccomi qua.
Parliamo di forme indeterminate.
Le forme indeterminate sono tante, ma potremmo anche dire che di forme indeterminate ce n'è solo una, e in più aggiungiamo anche che non sono quello che sembrano.
Per esempio, prendiamone una:
Si tratta di una operazione che non si può fare: non si può dividere per zero, zero diviso zero non esiste, fine della discussione. È da quando abbiamo imparato la divisione alle elementari che sappiamo che non si può dividere per zero, non è che adesso le cose cambiano. Non si può dividere per zero, punto.
Qualcuno dice che l'operazione 0/0 è indeterminata, ma a me questa è una affermazione che piace poco, perché non spiega (e nemmeno fa intuire) il problema delle forme indeterminate, che sono un'altra cosa.
Le forme indeterminate sono un gioco di equilibrio, come in una bilancia a bracci uguali. Abbiamo due oggetti sui due piatti della bilancia, oggetti generalmente diversi, ognuno dei quali tenta di squilibrare la bilancia dalla sua parte. E abbiamo tre possibilità: i due oggetti sono in equilibrio, oppure il primo è più pesante, oppure è il secondo a esserlo.
Prima cosa da fissare: i due oggetti non sono numeri. Se lo fossero, faremmo direttamente il calcolo. Nel caso della forma 0/0, ad esempio, i due oggetti sono il numeratore e il denominatore. Se fossero numeri, fine del discorso: cosa dobbiamo dire di 3/2? Niente, è una frazione, fine. E di 0/3? Ancora niente di speciale, è un'altra frazione, equivalente a 0. E 3/0? Non si può fare. E 0/0? Secondo le regole della divisione, nemmeno questo si può fare.
I due oggetti, allora, non sono numeri. Cosa sono, quindi? Sono funzioni, sono oggetti dinamici che cambiano, si muovono, e cercano di tirare la bilancia dalla loro parte. Nel caso di 0/0, sono funzioni che in un punto diventano uguali a 0 (ma vicino a quel punto non lo sono, o, almeno, non lo è quella che sta al denominatore). Non chiedete cosa vuol dire vicino: la risposta può essere data in almeno due modi diversi, e entrambi richiedono di sviluppare una teoria adeguata. Lasciamo il concetto all'intuizione: se mi avvicino sempre di più a un certo punto, quelle due funzioni si avvicinano sempre di più a zero.
Che cosa succede, in una frazione, quando il numeratore si avvicina sempre di più a zero (e il denominatore sta fermo, invece — poniamolo per comodità uguale a 42)? Succede che tutta la frazione si avvicina sempre di più a zero:
42/42, 3/42, 1/42, 0.1/42, 0.00000000001/42, …
Direi che sia chiaro quello che succede. Potremmo usare questo linguaggio: se il numeratore diventa infinitesimo (e il denominatore rimane finito non infinitesimo), la frazione diventa infinitesima.
E se invece è il denominatore a diventare infinitesimo?
42/42, 42/3, 42/1, 42/0.1, 42/0.00000000001, …
Qua vediamo che la frazione diventa sempre più grande: se il denominatore diventa infinitesimo (e il numeratore rimane finito non infinitesimo), la frazione diventa infinita.
Nel primo caso abbiamo un infinitesimo al numeratore che fa pendere la bilancia a suo favore, nel secondo caso ne abbiamo uno al denominatore che fa la stessa cosa, e in entrambi i casi possiamo dire quello che succederà senza sapere nulla dei particolari infinitesimi in gioco: succede sempre la stessa cosa. Sappiamo chi vince in anticipo.
Siamo invece di fronte a una forma indeterminata quando sia il numeratore che il denominatore sono infinitesimi: in questo caso non possiamo sapere chi vince senza sapere come sono fatti i particolari infinitesimi in gioco. Potrebbe essere più pesante (cioè più veloce a diventare zero, più dotato di infinitesimalità) il numeratore, e in questo caso saremmo di fronte a una frazione che diventa infinitesima. Oppure potrebbe essere più pesante il denominatore, e allora la frazione diventerebbe infinitamente grande (positivamente o negativamente), oppure i due pesi potrebbero essere paragonabili, e in questo terzo caso la frazione si avvicinerebbe a un numero finito diverso da 0.
Esempio del terzo tipo: al numeratore abbiamo la funzione y = sin(x), la funzione seno. Al denominatore abbiamo y = x, la retta passante per l'origine e inclinata di 45 gradi.
Eccole:
Noi dobbiamo concentrarci su quello che succede quando ci si avvicina a zero, cioè all'origine degli assi cartesiani. Quello che osserviamo è che le due funzioni vanno a zero nello stesso modo: se ingrandiamo sempre di più la figura, esse diventano indistinguibili:
Chiaro, no?
Quello che succede è che il rapporto sin(x)/x, quando x diventa infinitesimo, è una frazione che ha al numeratore un infinitesimo, e al denominatore un altro infinitesimo (per gli amici, è una forma indeterminata 0/0): dato che i due infinitesimi pesano allo stesso modo sulla bilancia, il loro rapporto rimane un numero finito (e non infinitesimo). In questo caso, il rapporto si avvicina proprio a 1. Provate con un foglio elettronico se non vi fidate (come? vi viene 0.017? avete impostato x in radianti?).
Ecco, le forme indeterminate funzionano così: c'è una gara tra due funzioni che cercano di portare la bilancia dalla loro parte. Se vince una delle due, la gara avrà come risultato 0. Se vince l'altra, la gara avrà come risultato un infinito. Se sono alla pari, la gara avrà come risultato un numero che non è né 0 né infinito: un numero finito diverso da 0. In questo esempio, 1 (o 0.017, a seconda di come avete impostato la calcolatrice).
Le altre forme indeterminate, che ora vediamo velocemente, hanno alla base la stessa idea. Eccone un'altra:
Possiamo ragionare come prima, ma questa volta la gara è effettuata tra infiniti: quando vince il numeratore, la frazione diventa infinita, quando vince il denominatore, diventa infinitesima. Quando sono alla pari, la frazione diventa un numero finito diverso da zero. Vince l'infinito più grosso.
Ma potremmo anche non preoccuparci di questa nuova forma indeterminata, e osservare semplicemente che la frazione a/b è uguale a (1/b)/(1/a). Se a e b sono infiniti, (1/b) e (1/a) sono infinitesimi, e ricadiamo nel caso della forma 0/0.
Andiamo avanti:
Questa volta la bilancia non è data dall'operazione di divisione, ma dalla sottrazione tra due quantità che vogliono diventare sempre più grandi. Se vince la prima, il risultato è un infinito positivo. Se vince la seconda, un infinito negativo. Se sono in equilibrio, un numero finito (positivo, negativo o anche zero).
(Anche questa forma si può trasformare in quella iniziale, ma l'espressione fa un po' schifo. Se la volete, eccola: a-b = ln(e-b/e-a); nell'argomento del logaritmo c'è 0/0. L'avevo detto)
Ancora:
Qui abbiamo un prodotto tra una funzione infinitesima (e che vorrebbe, quindi, portare a 0 il risultato) e una funzione infinita (che vorrebbe fare diventare tutto infinito). Può vincere la prima, oppure la seconda, oppure potrebbero essere in equilibrio. In quest'ultimo caso si ottiene un numero finito diverso da 0. Possiamo fare ricadere questa espressione nel primo caso notando che ab = a/(1/b).
E con le quattro operazioni abbiamo finito. Passiamo alle potenze.
Qui è un po' più difficile capire quello che succede. Possiamo ragionare in questo modo: se abbiamo una potenza del tipo a42, il fatto che a voglia avvicinarsi sempre di più a 1 comporta il fatto che il risultato della potenza si avvicini anche esso a 1. Insomma, a cerca di tirare verso il basso il risultato (non troppo in basso, cioè non fino a 0, gli basta 1).
D'altra parte, se abbiamo un'esponenziale del tipo 42b, se b diventa sempre più grande allora tutto diventerà sempre più grande: b cerca di tirare verso l'alto (verso l'infinito) il risultato.
Cosa può succedere? Come al solito, di tutto. Notate che se prendo 0.42 al posto di 42 le cose cambiano un po': in quel caso b infinito cerca di fare diventare 0.42b infinitesimo, quindi b cerca di tirare verso il basso. Mentre a vorrebbe sempre andare verso 1. Dunque abbiamo tutti i possibili risultati, da 0 a infinito (non quelli negativi, perché l'esponenziale non è definita per basi negative). Una forma notevole di questo tipo è quella che dà come risultato e. Possiamo ricondurci al solito 0/0 ricordandoci che ab = e(ln a)/(1/b) (lo so).
E ora passiamo a
Si tratta di una base che vorrebbe portare a infinito il risultato, e che combatte contro un esponente che vorrebbe portare a 1 il risultato. Possiamo aspettarci di tutto anche qui (basta mettere un segno negativo all'esponente per ottenere numeri compresi tra 0 e 1). E anche in questo caso possiamo ricondurci alla prima forma indeterminata notando che ab = eb/(1/ln a).
E, infine, eccoci alla famosa
Qui siamo di fronte a una base che vorrebbe portare a 0 il tutto, e a un esponente che vorrebbe portare tutto a 1: anche qui può succedere di tutto e (con un cambio di segno all'esponente, tanto +0 e -0 sono la stessa cosa (storia lunga: posso avvicinarmi a 0 sia da valori negativi che da valori positivi; in altre parole, gli infinitesimi possono essere positivi o negativi)) si possono ottenere anche numeri maggiori di 1, fino a infinito.
E anche qui possiamo ricondurci alla prima forma, sempre utilizzando la trasformazione del caso precedente.
Dato che questa forma indeterminata è quella che ha dato l'origine a tutta la discussione, aggiungo un'altra considerazione. Invece di parlare di questioni di equilibrio, potremmo vedere le cose sotto un punto di vista diverso.
Abbiamo a che fare con la funzione in due variabili f(x,y) = xy, e vogliamo capire cosa succede quando sia x che y si avvicinano a 0. Il grafico di questa funzione (una superficie) è questo (preso da wikipedia):
Ecco, qui si vede bene che il risultato può cambiare, dipende solo da come ci si avvicina a 0 alla 0: sono possibili tutti i valori da 0 a infinito. Se base e esponente si avvicinano allo stesso modo (come in xx), allora effettivamente il risultato si avvicina a 1.
[La parola infinitesimalità non esiste, nemmeno in matematica]
[No, non ne manca una, 0∞ non è una forma indeterminata. Se l'esponente è un infinito positivo, risulta 0, se invece è un infinito negativo, risulta infinito, non ci sono altre possibilità]
Ecco, in un commento che ho scritto mentre ero via ho aggiunto un paio di righe alla discussione, e ho detto che, una volta tornato a casa, avrei provato a spiegarmi meglio. Eccomi qua.
Parliamo di forme indeterminate.
Le forme indeterminate sono tante, ma potremmo anche dire che di forme indeterminate ce n'è solo una, e in più aggiungiamo anche che non sono quello che sembrano.
Per esempio, prendiamone una:
0/0
Si tratta di una operazione che non si può fare: non si può dividere per zero, zero diviso zero non esiste, fine della discussione. È da quando abbiamo imparato la divisione alle elementari che sappiamo che non si può dividere per zero, non è che adesso le cose cambiano. Non si può dividere per zero, punto.
Qualcuno dice che l'operazione 0/0 è indeterminata, ma a me questa è una affermazione che piace poco, perché non spiega (e nemmeno fa intuire) il problema delle forme indeterminate, che sono un'altra cosa.
Le forme indeterminate sono un gioco di equilibrio, come in una bilancia a bracci uguali. Abbiamo due oggetti sui due piatti della bilancia, oggetti generalmente diversi, ognuno dei quali tenta di squilibrare la bilancia dalla sua parte. E abbiamo tre possibilità: i due oggetti sono in equilibrio, oppure il primo è più pesante, oppure è il secondo a esserlo.
Prima cosa da fissare: i due oggetti non sono numeri. Se lo fossero, faremmo direttamente il calcolo. Nel caso della forma 0/0, ad esempio, i due oggetti sono il numeratore e il denominatore. Se fossero numeri, fine del discorso: cosa dobbiamo dire di 3/2? Niente, è una frazione, fine. E di 0/3? Ancora niente di speciale, è un'altra frazione, equivalente a 0. E 3/0? Non si può fare. E 0/0? Secondo le regole della divisione, nemmeno questo si può fare.
I due oggetti, allora, non sono numeri. Cosa sono, quindi? Sono funzioni, sono oggetti dinamici che cambiano, si muovono, e cercano di tirare la bilancia dalla loro parte. Nel caso di 0/0, sono funzioni che in un punto diventano uguali a 0 (ma vicino a quel punto non lo sono, o, almeno, non lo è quella che sta al denominatore). Non chiedete cosa vuol dire vicino: la risposta può essere data in almeno due modi diversi, e entrambi richiedono di sviluppare una teoria adeguata. Lasciamo il concetto all'intuizione: se mi avvicino sempre di più a un certo punto, quelle due funzioni si avvicinano sempre di più a zero.
Che cosa succede, in una frazione, quando il numeratore si avvicina sempre di più a zero (e il denominatore sta fermo, invece — poniamolo per comodità uguale a 42)? Succede che tutta la frazione si avvicina sempre di più a zero:
42/42, 3/42, 1/42, 0.1/42, 0.00000000001/42, …
Direi che sia chiaro quello che succede. Potremmo usare questo linguaggio: se il numeratore diventa infinitesimo (e il denominatore rimane finito non infinitesimo), la frazione diventa infinitesima.
E se invece è il denominatore a diventare infinitesimo?
42/42, 42/3, 42/1, 42/0.1, 42/0.00000000001, …
Qua vediamo che la frazione diventa sempre più grande: se il denominatore diventa infinitesimo (e il numeratore rimane finito non infinitesimo), la frazione diventa infinita.
Nel primo caso abbiamo un infinitesimo al numeratore che fa pendere la bilancia a suo favore, nel secondo caso ne abbiamo uno al denominatore che fa la stessa cosa, e in entrambi i casi possiamo dire quello che succederà senza sapere nulla dei particolari infinitesimi in gioco: succede sempre la stessa cosa. Sappiamo chi vince in anticipo.
Siamo invece di fronte a una forma indeterminata quando sia il numeratore che il denominatore sono infinitesimi: in questo caso non possiamo sapere chi vince senza sapere come sono fatti i particolari infinitesimi in gioco. Potrebbe essere più pesante (cioè più veloce a diventare zero, più dotato di infinitesimalità) il numeratore, e in questo caso saremmo di fronte a una frazione che diventa infinitesima. Oppure potrebbe essere più pesante il denominatore, e allora la frazione diventerebbe infinitamente grande (positivamente o negativamente), oppure i due pesi potrebbero essere paragonabili, e in questo terzo caso la frazione si avvicinerebbe a un numero finito diverso da 0.
Esempio del terzo tipo: al numeratore abbiamo la funzione y = sin(x), la funzione seno. Al denominatore abbiamo y = x, la retta passante per l'origine e inclinata di 45 gradi.
Eccole:
Noi dobbiamo concentrarci su quello che succede quando ci si avvicina a zero, cioè all'origine degli assi cartesiani. Quello che osserviamo è che le due funzioni vanno a zero nello stesso modo: se ingrandiamo sempre di più la figura, esse diventano indistinguibili:
Chiaro, no?
Quello che succede è che il rapporto sin(x)/x, quando x diventa infinitesimo, è una frazione che ha al numeratore un infinitesimo, e al denominatore un altro infinitesimo (per gli amici, è una forma indeterminata 0/0): dato che i due infinitesimi pesano allo stesso modo sulla bilancia, il loro rapporto rimane un numero finito (e non infinitesimo). In questo caso, il rapporto si avvicina proprio a 1. Provate con un foglio elettronico se non vi fidate (come? vi viene 0.017? avete impostato x in radianti?).
Ecco, le forme indeterminate funzionano così: c'è una gara tra due funzioni che cercano di portare la bilancia dalla loro parte. Se vince una delle due, la gara avrà come risultato 0. Se vince l'altra, la gara avrà come risultato un infinito. Se sono alla pari, la gara avrà come risultato un numero che non è né 0 né infinito: un numero finito diverso da 0. In questo esempio, 1 (o 0.017, a seconda di come avete impostato la calcolatrice).
Le altre forme indeterminate, che ora vediamo velocemente, hanno alla base la stessa idea. Eccone un'altra:
∞/∞
Possiamo ragionare come prima, ma questa volta la gara è effettuata tra infiniti: quando vince il numeratore, la frazione diventa infinita, quando vince il denominatore, diventa infinitesima. Quando sono alla pari, la frazione diventa un numero finito diverso da zero. Vince l'infinito più grosso.
Ma potremmo anche non preoccuparci di questa nuova forma indeterminata, e osservare semplicemente che la frazione a/b è uguale a (1/b)/(1/a). Se a e b sono infiniti, (1/b) e (1/a) sono infinitesimi, e ricadiamo nel caso della forma 0/0.
Andiamo avanti:
+∞-∞
Questa volta la bilancia non è data dall'operazione di divisione, ma dalla sottrazione tra due quantità che vogliono diventare sempre più grandi. Se vince la prima, il risultato è un infinito positivo. Se vince la seconda, un infinito negativo. Se sono in equilibrio, un numero finito (positivo, negativo o anche zero).
(Anche questa forma si può trasformare in quella iniziale, ma l'espressione fa un po' schifo. Se la volete, eccola: a-b = ln(e-b/e-a); nell'argomento del logaritmo c'è 0/0. L'avevo detto)
Ancora:
0·∞
Qui abbiamo un prodotto tra una funzione infinitesima (e che vorrebbe, quindi, portare a 0 il risultato) e una funzione infinita (che vorrebbe fare diventare tutto infinito). Può vincere la prima, oppure la seconda, oppure potrebbero essere in equilibrio. In quest'ultimo caso si ottiene un numero finito diverso da 0. Possiamo fare ricadere questa espressione nel primo caso notando che ab = a/(1/b).
E con le quattro operazioni abbiamo finito. Passiamo alle potenze.
1∞
Qui è un po' più difficile capire quello che succede. Possiamo ragionare in questo modo: se abbiamo una potenza del tipo a42, il fatto che a voglia avvicinarsi sempre di più a 1 comporta il fatto che il risultato della potenza si avvicini anche esso a 1. Insomma, a cerca di tirare verso il basso il risultato (non troppo in basso, cioè non fino a 0, gli basta 1).
D'altra parte, se abbiamo un'esponenziale del tipo 42b, se b diventa sempre più grande allora tutto diventerà sempre più grande: b cerca di tirare verso l'alto (verso l'infinito) il risultato.
Cosa può succedere? Come al solito, di tutto. Notate che se prendo 0.42 al posto di 42 le cose cambiano un po': in quel caso b infinito cerca di fare diventare 0.42b infinitesimo, quindi b cerca di tirare verso il basso. Mentre a vorrebbe sempre andare verso 1. Dunque abbiamo tutti i possibili risultati, da 0 a infinito (non quelli negativi, perché l'esponenziale non è definita per basi negative). Una forma notevole di questo tipo è quella che dà come risultato e. Possiamo ricondurci al solito 0/0 ricordandoci che ab = e(ln a)/(1/b) (lo so).
E ora passiamo a
∞0
Si tratta di una base che vorrebbe portare a infinito il risultato, e che combatte contro un esponente che vorrebbe portare a 1 il risultato. Possiamo aspettarci di tutto anche qui (basta mettere un segno negativo all'esponente per ottenere numeri compresi tra 0 e 1). E anche in questo caso possiamo ricondurci alla prima forma indeterminata notando che ab = eb/(1/ln a).
E, infine, eccoci alla famosa
00
Qui siamo di fronte a una base che vorrebbe portare a 0 il tutto, e a un esponente che vorrebbe portare tutto a 1: anche qui può succedere di tutto e (con un cambio di segno all'esponente, tanto +0 e -0 sono la stessa cosa (storia lunga: posso avvicinarmi a 0 sia da valori negativi che da valori positivi; in altre parole, gli infinitesimi possono essere positivi o negativi)) si possono ottenere anche numeri maggiori di 1, fino a infinito.
E anche qui possiamo ricondurci alla prima forma, sempre utilizzando la trasformazione del caso precedente.
Dato che questa forma indeterminata è quella che ha dato l'origine a tutta la discussione, aggiungo un'altra considerazione. Invece di parlare di questioni di equilibrio, potremmo vedere le cose sotto un punto di vista diverso.
Abbiamo a che fare con la funzione in due variabili f(x,y) = xy, e vogliamo capire cosa succede quando sia x che y si avvicinano a 0. Il grafico di questa funzione (una superficie) è questo (preso da wikipedia):
Ecco, qui si vede bene che il risultato può cambiare, dipende solo da come ci si avvicina a 0 alla 0: sono possibili tutti i valori da 0 a infinito. Se base e esponente si avvicinano allo stesso modo (come in xx), allora effettivamente il risultato si avvicina a 1.
[La parola infinitesimalità non esiste, nemmeno in matematica]
[No, non ne manca una, 0∞ non è una forma indeterminata. Se l'esponente è un infinito positivo, risulta 0, se invece è un infinito negativo, risulta infinito, non ci sono altre possibilità]
lunedì 25 giugno 2012
sabato 23 giugno 2012
Erone in corsa
Uno dei quesiti assegnati quest'anno all'esame di stato agli studenti del liceo scientifico riguardava il problema di Erone, che ora enuncio dandogli un'ambientazione sportiva (ehm).
Si tratta di un problema di corsa, per cui il nostro protagonista sarà, ovviamente, il piè veloce Achille. Egli dovrà percorrere, nel minor tempo possibile, la distanza tra un punto A e un punto B, e dovrà anche toccare con una mano un qualunque punto del muro rettilineo che corre a fianco della zona in cui si svolgerà la prova.
Il problema è il seguente: dove dovrà essere posizionato il punto C in modo tale che Achille perda il minor tempo possibile?
Se C si trova troppo vicino ad A, ad esempio, spostandolo un po' verso B otteniamo due risultati: la lunghezza di CB diminuisce, e quella di AC aumenta. Il fatto è che la diminuzione e l'aumento non si compensano: AC varia meno rispetto a CB, dato che CB forma un angolo piccolo col muro, mentre AC ne forma uno più grande. Ecco un disegno:
La differenza tra AC e AD (ciò che perdiamo) è minore rispetto alla differenza tra CB e DB (ciò che guadagniamo), quindi D risulta una posizione migliore rispetto a C: se Achille tocca il muro in D, invece che in C, guadagna un po' di strada.
Se invece C si trova troppo vicino a B, il problema si ribalta (ma rimane un problema):
Quello che succede in questo caso è che la differenza tra AC e AD è maggiore di quella tra BD e BC. Anche in questo caso ad Achille conviene toccare il punto D invece del punto C.
Dunque, nel primo caso conviene spostare D verso l'alto, nel secondo caso invece conviene spostarlo verso il basso. Esisterà dunque un punto giusto in cui tutto è in equilibrio e non conviene più spostarsi.
Come facciamo a trovarlo?
Facciamolo alla Newton, o alla Leibniz — insomma, senza gli strumenti standard dell'analisi.
Il punto C ideale sarà un punto tale per cui, se mi sposto di una quantità infinitesima verso l'alto o verso il basso, non trovo convenienza. Questo succede quando ciò che perdo nella variazione di una delle due lunghezze è uguale a ciò che guadagno nella variazione dell'altra: quando, insomma, c'è equilibrio.
Ora, per visualizzare uno spostamento infinitesimo, abbiamo bisogno di una lente di ingrandimento molto potente. Supponiamo quindi di disporre di un microscopio capace di infiniti ingrandimenti, e andiamo a vedere come stanno le cose intorno a questo misterioso punto di equilibrio.
Ecco, cosa vediamo in questa figura? Ci sono due punti C1 e C2 che, non dimentichiamo, sono infinitamente vicini. Riusciamo a risolverli perché stiamo utilizzando un microscopio capace di ingrandire all'infinito. I due segmenti che congiungono questi punti con A ci appaiono infinitamente lunghi (e perciò sono delle semirette), e ci appaiono anche paralleli, dato che il punto A si trova a distanza infinita. Stessa cosa per le due semirette blu che sono parallele e convergenti in B (convergenze parallele, roba da matti).
Se la posizione di C è quella giusta (come, quale delle due? Vanno bene tutte e due, sono a distanza infinitesima…), allora il passare da C1 a C2 farà aumentare un po' la lunghezza del segmento rosso, e farà diminuire della stessa lunghezza il segmento blu. Vediamo di mettere in evidenza queste due differenze.
Ecco, la differenza tra AC2 e AC1 è uguale alla lunghezza del segmento HC2, mentre la differenza tra BC1 e BC2 è pari alla lunghezza del segmento KC1. E noi abbiamo detto che questi due segmenti devono avere la stessa lunghezza. Ma allora siamo di fronte a due triangoli rettangoli aventi la stessa ipotenusa C1C2 e aventi anche due cateti di uguale misura: si tratta quindi di due triangoli rettangoli congruenti, e saranno congruenti anche i loro angoli acuti. In particolare, l'angolo che la semiretta rossa forma con il muro dovrà essere uguale all'angolo che la semiretta blu forma con il muro.
Il punto ideale, quello che farà perdere ad Achille la minor quantità di tempo possibile, sarà quel punto C del muro tale per cui AC e CB formano due angoli congruenti con il muro stesso.
Ed ecco fatto.
«Eppure, signor Achille, tutta questa fatica…».
«Ah, signorina Tartaruga, buonasera! Perché mi dice così?».
«Bé, perché ha fatto un sacco di calcoli, di figure, e poi ha usato dei concetti un po' strani».
«Dice?».
«Mah, parla di distanze infinitesime, di microscopi infiniti? Ma cosa sono questi infinitesimi? Mi paiono fantasmi di quantità defunte».
«Eh, ma allora come…».
«Ma proprio lei, un atleta, mi chiede come?».
«Mi scusi, ma cosa c'entra adesso il fatto che io sia un atleta?».
«So che voi atleti, nelle palestre, avete sempre degli specchi in cui ammirarvi, no?».
«In effetti».
«E, del resto, lei ha appena dimostrato, per così dire, che per correre il più veloce possibile dovrebbe arrivare verso il muro formando un angolo identico a quello che dovrà poi formare quando si dirigerà verso l'arrivo».
«Esattamente».
«Detto in altri termini, l'angolo di incidenza deve essere uguale all'angolo di riflessione».
«Ah, ma lei mi sta parlando del modo in cui gli specchi riflettono la luce».
«Proprio così. Se lei mettesse uno specchio sul muro, prima di partire per la corsa, avrebbe a disposizione un modo semplicissimo per trovare il suo famoso punto C».
«E quale sarebbe, questo modo?».
«Bé, le basterebbe dirigersi verso l'immagine riflessa del traguardo».
«Signorina Tartaruga, devo ammettere che lei è sempre un passo avanti rispetto a me».
«Signor Achille, lei ha la memoria corta: questo lo avevamo già stabilito ai tempi della nostra famosa corsa».
Si tratta di un problema di corsa, per cui il nostro protagonista sarà, ovviamente, il piè veloce Achille. Egli dovrà percorrere, nel minor tempo possibile, la distanza tra un punto A e un punto B, e dovrà anche toccare con una mano un qualunque punto del muro rettilineo che corre a fianco della zona in cui si svolgerà la prova.
Il problema è il seguente: dove dovrà essere posizionato il punto C in modo tale che Achille perda il minor tempo possibile?
Se C si trova troppo vicino ad A, ad esempio, spostandolo un po' verso B otteniamo due risultati: la lunghezza di CB diminuisce, e quella di AC aumenta. Il fatto è che la diminuzione e l'aumento non si compensano: AC varia meno rispetto a CB, dato che CB forma un angolo piccolo col muro, mentre AC ne forma uno più grande. Ecco un disegno:
La differenza tra AC e AD (ciò che perdiamo) è minore rispetto alla differenza tra CB e DB (ciò che guadagniamo), quindi D risulta una posizione migliore rispetto a C: se Achille tocca il muro in D, invece che in C, guadagna un po' di strada.
Se invece C si trova troppo vicino a B, il problema si ribalta (ma rimane un problema):
Quello che succede in questo caso è che la differenza tra AC e AD è maggiore di quella tra BD e BC. Anche in questo caso ad Achille conviene toccare il punto D invece del punto C.
Dunque, nel primo caso conviene spostare D verso l'alto, nel secondo caso invece conviene spostarlo verso il basso. Esisterà dunque un punto giusto in cui tutto è in equilibrio e non conviene più spostarsi.
Come facciamo a trovarlo?
Facciamolo alla Newton, o alla Leibniz — insomma, senza gli strumenti standard dell'analisi.
Il punto C ideale sarà un punto tale per cui, se mi sposto di una quantità infinitesima verso l'alto o verso il basso, non trovo convenienza. Questo succede quando ciò che perdo nella variazione di una delle due lunghezze è uguale a ciò che guadagno nella variazione dell'altra: quando, insomma, c'è equilibrio.
Ora, per visualizzare uno spostamento infinitesimo, abbiamo bisogno di una lente di ingrandimento molto potente. Supponiamo quindi di disporre di un microscopio capace di infiniti ingrandimenti, e andiamo a vedere come stanno le cose intorno a questo misterioso punto di equilibrio.
Ecco, cosa vediamo in questa figura? Ci sono due punti C1 e C2 che, non dimentichiamo, sono infinitamente vicini. Riusciamo a risolverli perché stiamo utilizzando un microscopio capace di ingrandire all'infinito. I due segmenti che congiungono questi punti con A ci appaiono infinitamente lunghi (e perciò sono delle semirette), e ci appaiono anche paralleli, dato che il punto A si trova a distanza infinita. Stessa cosa per le due semirette blu che sono parallele e convergenti in B (convergenze parallele, roba da matti).
Se la posizione di C è quella giusta (come, quale delle due? Vanno bene tutte e due, sono a distanza infinitesima…), allora il passare da C1 a C2 farà aumentare un po' la lunghezza del segmento rosso, e farà diminuire della stessa lunghezza il segmento blu. Vediamo di mettere in evidenza queste due differenze.
Ecco, la differenza tra AC2 e AC1 è uguale alla lunghezza del segmento HC2, mentre la differenza tra BC1 e BC2 è pari alla lunghezza del segmento KC1. E noi abbiamo detto che questi due segmenti devono avere la stessa lunghezza. Ma allora siamo di fronte a due triangoli rettangoli aventi la stessa ipotenusa C1C2 e aventi anche due cateti di uguale misura: si tratta quindi di due triangoli rettangoli congruenti, e saranno congruenti anche i loro angoli acuti. In particolare, l'angolo che la semiretta rossa forma con il muro dovrà essere uguale all'angolo che la semiretta blu forma con il muro.
Il punto ideale, quello che farà perdere ad Achille la minor quantità di tempo possibile, sarà quel punto C del muro tale per cui AC e CB formano due angoli congruenti con il muro stesso.
Ed ecco fatto.
«Eppure, signor Achille, tutta questa fatica…».
«Ah, signorina Tartaruga, buonasera! Perché mi dice così?».
«Bé, perché ha fatto un sacco di calcoli, di figure, e poi ha usato dei concetti un po' strani».
«Dice?».
«Mah, parla di distanze infinitesime, di microscopi infiniti? Ma cosa sono questi infinitesimi? Mi paiono fantasmi di quantità defunte».
«Eh, ma allora come…».
«Ma proprio lei, un atleta, mi chiede come?».
«Mi scusi, ma cosa c'entra adesso il fatto che io sia un atleta?».
«So che voi atleti, nelle palestre, avete sempre degli specchi in cui ammirarvi, no?».
«In effetti».
«E, del resto, lei ha appena dimostrato, per così dire, che per correre il più veloce possibile dovrebbe arrivare verso il muro formando un angolo identico a quello che dovrà poi formare quando si dirigerà verso l'arrivo».
«Esattamente».
«Detto in altri termini, l'angolo di incidenza deve essere uguale all'angolo di riflessione».
«Ah, ma lei mi sta parlando del modo in cui gli specchi riflettono la luce».
«Proprio così. Se lei mettesse uno specchio sul muro, prima di partire per la corsa, avrebbe a disposizione un modo semplicissimo per trovare il suo famoso punto C».
«E quale sarebbe, questo modo?».
«Bé, le basterebbe dirigersi verso l'immagine riflessa del traguardo».
«Signorina Tartaruga, devo ammettere che lei è sempre un passo avanti rispetto a me».
«Signor Achille, lei ha la memoria corta: questo lo avevamo già stabilito ai tempi della nostra famosa corsa».
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