Thank you, my friend

Ero in fila al lavaggio auto quando si avvicina un signore che, in inglese, mi chiede come funziona il tutto.

Rendendomi conto che ascoltare qualcuno che parla inglese e parlare inglese sono due cose molto, molto diverse, cerco di spiegargli dove deve mettere i soldi, quale programma deve scegliere, quelle cose lì. Però ora non funziona, gli dico, perché prima deve spostare la macchina un po' più avanti, nella posizione giusta.

Lui dice ah giusto, va verso la macchina, la sposta in avanti. Io lo guardo, la macchina aveva la targa UA, Ucraina.

Va bene qui? Chiede. No, guarda le frecce, rispondo. Ah, ok, dice, e avanza ancora un po'. Le frecce segnalano che lì va bene, e scende. Gli ricordo di chiudere gli specchietti, lui dice ah, giusto, li richiude, ringrazia.

Mentre parte il lavaggio automatico, mi spiega che quella macchina è di una marca di cui non esistono officine in Italia. Credo che la marca fosse MG, ma non ne sono sicuro. Vedi, l'ho presa in Ucraina, dice. Forse avrei dovuto prendere una FIAT. Ride.

Dico, eh, ma poi avresti dovuto frequentare spesso l'officina. O almeno credo di dire così, non sono ben sicuro del mio inglese.

Eh, sono scappato dall'Ucraina, sai, c'è la guerra. You know?

Sì, la guerra, lo so. E poi non so più andare avanti.

E lui continua: sono di Kiev, sono rimasto in città per i primi giorni della guerra, poi c'erano le bombe, ho preso su qualcosa, la macchina, e sono scappato. In macchina c'era una persona con lui, forse la moglie? La figlia? Non è scesa durante il lavaggio, non l'ho vista bene. Penso che sia giovane, se è rimasta dentro l'auto, ma poi penso che anche io a volte rimango dentro e mi diverto quando le spazzole fanno BRRRRR sui vetri, io che sono solo giovane dentro. Guarda che cose si vanno a pensare.

Mi dispiace, dico. Abiti qua a Modena adesso? No, risponde, non proprio a Modena ma in un paese vicino, dice. L'Italia gli ha trovato un appartamento, dice proprio così, l'Italia. Mi hanno dato un appartamento, ripete, ci sono della associazioni che mi hanno dato tutto quello che mi serviva, sono tutti molto gentili, grazie Italia. Grazie.

Ah, bene, ti ricordi che associazione è? No, risponde, non una sola, ce ne sono tante, qualcuna mi ha portato i vestiti, qualcun altra qualcosa da mangiare. Vedi, questa felpa me l'hanno data loro. Aveva una felpa con una piccola pubblicità di una azienda italiana, ora non ricordo quale.

Poi continua: per fortuna non ho bisogno di soldi, ho un lavoro. Sono un marinaio, dice. Dice "sailor", ma da come va avanti sembra più uno che pilota le navi, non ho capito bene. Dice che guida le navi commerciali, e che quindi può lavorare anche se è in Italia. Tra un po' si imbarcherà per andare in Turchia. Per fortuna posso lavorare, ripete.

Intanto la macchina è pronta, lui se ne accorge, e allora mi saluta, mi porge entrambe le mani, e io che non davo la mano a nessuno da febbraio 2020 mi sono sentito un po' strano, poi gliele ho strette tutte e due. E lui dice "thank you my friend". E io dico "good luck". E lui sale in macchina sorridendo.

Inferno, canto IV

“Il quarto canto dell'Inferno è il tristissimo canto del limbo”.

“Tristissimo?”.

“Sì, è il canto dell'ingiustizia e della speranza che non si avvera mai. Ci sono i bambini morti prima del battesimo, i giusti che non hanno conosciuto Dio: non sono dannati, ma nemmeno possono andare in Paradiso”.

“Poveretti”.

“E Dante è consapevole di questa ingiustizia:”.

Gran duol mi prese al cor quando lo ’ntesi,
però che gente di molto valore
conobbi che ’n quel limbo eran sospesi.

“Vedo”.

“E in questo canto si parla poco di scienza ma molto di scienziati, se vogliamo continuare usare un linguaggio moderno”.

“Ti riferisci alla gente di molto valore?”.

“Sì: questo canto contiene un lungo elenco di nomi. Sono tutti i sapienti che non hanno conosciuto Dio ma che non meritano l'Inferno. Se non ho sbagliato i conti, ho trovato trentanove nomi. Anzi, trentotto espliciti e uno sottinteso”.

“Ah. Chi?”.

“Senti qua:”.

Poi ch’innalzai un poco più le ciglia,
vidi ’l maestro di color che sanno
seder tra filosofica famiglia.

Tutti lo miran, tutti onor li fanno:
quivi vid’io Socrate e Platone,
che ’nnanzi a li altri più presso li stanno[:]

“Il maestro di color che sanno”.

“Lui: Aristotele”.

“Molto bene. E oltre a Aristotele, Socrate e Platone, sono citati altri filosofi?”.

“Sì, certo, ma non solo filosofi. I sapienti, qui, non vengono divisi per discipline: non ci sono discipline nobili e discipline meno nobili, Veri Matematici e ingegneri”.

“Eccoci”.

“Le discipline hanno tutte uguale dignità: c'è Euclide, e c'è Saladino; ci sono Ettore e Cesare, e ci sono delle donne”.

“Uh, niente male”.

“Anche se sono quasi tutte figure mitologiche, nessuna vera scienziata. Comunque, se vogliamo proprio cercare un qualche riferimento matematico o scientifico, abbiamo solo la descrizione del luogo abitato da queste anime nobili:”.

Venimmo al piè d’un nobile castello,
sette volte cerchiato d’alte mura,
difeso intorno d’un bel fiumicello.

Questo passammo come terra dura;
per sette porte intrai con questi savi:
giugnemmo in prato di fresca verdura.

“Un castello”.

“Con sette cerchie di mura e sette porte”.

“Perché proprio sette?”.

“Questo non è chiaro. C'è chi ha cercato riferimenti, come per esempio le sette arti liberali, le sette virtù, le sette ripartizioni della filosofia, ma non c'è una interpretazione definitiva. Forse Dante ha usato questo numero perché è bello”.

“Ma come bello?”.

“Sì, forse le mura e le porte sono sette per lo stesso motivo per cui le arti liberali sono sette, o per cui lo sono le virtù, i giorni della settimana, i colori dell'arcobaleno, i doni dello Spirito Santo, i sacramenti, le meraviglie del mondo, e si potrebbe andare avanti tanto su questa strada: sette è un bel numero”.

“Ma cosa ha di speciale, poi?”.

“Eh, è un numero primo, ma non è l'unico, e prima di lui ne ne sono altri: eppure ci piace di più quello”.

“Chissà perché”.

“Non è troppo grande, non è troppo piccolo, non è banale come il 5, chissà. Pensa se la settimana fosse lunga 11 giorni”.

“Terribile. Avrei preferito una settimana di 5 giorni”.

“Oh, sì, sarebbe bello fare festa ogni 5 giorni e non ogni 7. Potrebbe però esserci anche un'altra ragione che rende speciale il numero 7”.

“Quale?”.

“Beh, alcuni antichi sistemi di numerazione erano in base 60…”.

“Ecco un altro numero strano”.

“No, non così tanto: 60 è un numero comodo, perché ha tanti divisori. Per questo viene usato, per esempio, anche per misurare il tempo, o gli angoli: si può dividere in tanti modi in modo esatto”.

“Questo è vero, i suoi divisori sono proprio tanti: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60”.

“Già. E il primo numero che non lo è…”.

“È proprio 7! Quindi è effettivamente speciale, da un certo punto di vista”.

“Esatto. Ma se la mettiamo su questo piano, quale numero non lo è?”.

Inferno, canto III

“Il terzo canto dell'Inferno è il canto di Caronte, ma è anche il canto della porta infernale”.

“Quella con l'iscrizione famosa”.

“Lei. Che si presenta in maniera solenne, utilizzando ancora una volta il numero tre”.

“Ah. Fammi ripassare…”.

“Eh, sì, la porta dichiara che attraverso di lei si va 1) nella città dolente, 2) ne l'etterno dolore, 3) tra la perduta gente”.

“Giusto”.

“E in più la porta dice di essere stata costruita da 1) la divina podestate, 2) la somma sapienza, 3) il primo amore”.

“Cioè dalla Trinità”.

“Esatto. Il tre è un numero bello, e poi c'è quel dualismo tra bene e male che tornerà anche più avanti”.

“A Dante piacevano le simmetrie”.

“Molto. Poi c'è un accenno all'infinito: prima di lei non fu creato nulla, se non cose eterne, e la porta stessa dura in eterno. C'è un tempo, prima della porta, in cui vengono create le cose che durano per l'eternità, e — immagino, non c'è scritto esplicitamente — un tempo dopo la porta in cui vengono costruite le cose che invece non durano per sempre. Un mondo perfetto e un mondo imperfetto, e la porta sembra segnare il passaggio da uno all'altro”.

“Ok”.

“Poi, dopo la bella descrizione di Caronte, c'è un punto che parla di fenomeni naturali”.

“Ah, e cioè?”.

“Terremoti, e venti”.

“Insieme?”.

“Sì, perché la scienza medievale pensava che i terremoti fossero causati dal vento”.

“Ah”.

“O, meglio, questa del vento era una delle tante teorie, abbracciata da Aristotele che scrive, nella sua Meteorologica, che la terra è infatti in sé secca, ma poiché contiene, a causa delle piogge, una grande quantità di umido, quando è riscaldata dal sole o dal calore in essa contenuto produce una grande quantità di soffio sia all’interno che all’esterno; ed esso o penetra interamente all’interno, o si effonde all’esterno, o si distribuisce in entrambe le direzioni”.

“Il soffio, cioè il vento”.

“Sì, il calore del sole produce quello che lui chiama vapore secco, che si insinua nella terra (cioè nell'intestino della terra), producendo i terremoti. Immagina il vento che proviene dalle viscere della terra come un vento che proviene da un vero intestino”.

“Che schifo”.

“Esattamente: e questo è il motivo per cui dopo i terremoti ci sono le pestilenze. Colpa di quel vento malsano”.

“Tutto torna, peccato che non sia vero”.

“Già. Qui si vede la mancanza del metodo scientifico, che si è sviluppato in seguito, quando i tempi erano più maturi. Questo non vuol dire che la scienza nel medioevo fosse inesistente, o inventata senza criterio. Lascio spiegare questo fatto a qualcuno che lo sa fare bene:”.

Ogni oggetto materiale era considerato come la figurazione di qualcosa che gli corrispondeva su un piano più elevato e che diventava così il suo simbolo. Il simbolismo era universale, e il pensare era una continua scoperta di significati nascosti, una costante "ierofania".

“Chi l'ha scritto?”.

“Jacques Le Goff”.

Inferno, canto II

“Nel secondo canto dell'Inferno non ci sono degli evidenti riferimenti scientifici”.

“Ah, quindi passiamo al terzo?”.

“No, analizziamo questo più a fondo e troviamo qualche spunto, anche se i collegamenti sono un po' più vaghi rispetto a quelli che abbiamo incontrato nel primo canto”.

“Collegamenti, al plurale? Hai cercato più di uno spunto?”.

“Sì, e ne ho trovati tre”.

“Ah, però. Niente male per un canto senza evidenti riferimenti scientifici. Vediamo un po': qual è il primo argomento?”.

“Ecco qua:”.

"O donna di virtù, sola per cui
l’umana spezie eccede ogne contento
di quel ciel c’ha minor li cerchi sui,

“Suppongo che la donna di virtù possa essere Beatrice ma, cerchi? Di cosa parliamo?”.

“Supponi bene, è Beatrice”.

“E il resto? Cos'è che fa l'umana spezie? Di che cerchi stiamo parlando?”.

“Quei versi dicono che la specie umana supera tutto ciò che è contenuto sotto il cielo che ha la circonferenza minore di tutti gli altri”.

“Eh?”.

“La virtù di Beatrice è così grande che permette alla intera specie umana di elevarsi, di staccarsi dalle cose mondane e di avvicinarsi alle cose spirituali. Nell'universo di Dante la terra si trova al centro, e intorno a essa si trovano le sfere celesti, i cerchi. La prima, quella di raggio minore di tutte, è quella della Luna. Beatrice è così ricca di virtù che riesce a elevare tutta l'umanità al di sopra delle cose materiali, fino al cielo della Luna. Qui ci sarebbe da dire tanto sulla forma dell'universo immaginato da Dante, ma lo faremo a tempo debito (l'abbiamo poi già fatto, in passato, parlando della 3-sfera)”.

“Uh, vero”.

“Bene, qui abbiamo solo un primo accenno alle sfere celesti, e basta così”.

“E il secondo argomento che hai trovato?”.

“Ho trovato l'eliotropismo”.

“A costo di ripetermi: eh?”.

“Questa cosa qui:”.

Quali fioretti dal notturno gelo
chinati e chiusi, poi che ’l sol li ’mbianca
si drizzan tutti aperti in loro stelo

“I fiori?”.

“I fiori che si aprono, sensibili alla luce del sole”.

“Come i girasoli?”.

“Come i girasoli. Solo pochi anni fa hanno scoperto come fanno i fiori a inseguire il sole, dato che non possiedono muscoli: prima non era un fatto chiaro e spiegato bene. Ancora oggi manca qualche cosa, non si è ancora capito tutto”.

“Che roba. Però qui non c'è un gran studio scientifico, ma solo un'osservazione della natura”.

“Certo, anche se l'osservazione della natura è un passo in quella direzione. E ricordiamoci che ai tempi di Dante il metodo scientifico non esisteva ancora, anche se questo non significa che erano tutti ignoranti. Allora si pensava che il mondo lo si potesse comprendere con l'intelletto, cioè con ciò che distingue l'uomo dalle bestie. Ma questo riferimento all'eliotropismo era un po' un pretesto per poter arrivare a tre riferimenti scientifici”.

“Ah. Perché proprio tre?”.

“Perché tre è un numero importante, carico di significati, e perché tre sono le donne a cui Dante fa riferimento in questo canto. Tre donne che donano la grazia all'umanità, in parallelo con le tre persone di cui è composta la Trinità. E anche con le tre fiere incontrate nel canto precedente: la lupa, il leone e la lonza. Qui non c'è scienza da raccontare, a dir la verità, ma c'è soltanto un numero. E che numero…”.

“Uh. Chi sono queste tre donne?”.

“C'è Beatrice, naturalmente. Poi ci sono santa Lucia e Maria. Tre portatrici di grazia divina”.

“Qua si entra nella teologia”.

“Eh, sì. Ci sono vari tipi grazia, e le tre donne ne rappresentano uno ciascuna. Beatrice è la grazia operante, santa Lucia la grazia illuminante, e Maria la grazia preveniente”.

“Benissimo. E con questo terzo argomento abbiamo finito?”.

“Sì, ora possiamo entrare per lo cammino alto e silvestro”.

Carnevale della Matematica #155 — Mengentheoretische Betrachtungen über das Schachspiel

Una partita a scacchi è patta se una determinata sequenza di mosse, con i pezzi tutti nella stessa posizione, viene ripetuta per tre volte consecutive.

Machgielis Euwe, detto Max, era un matematico olandese. Nato nel 1901 a Watergraafsmeer, un polder olandese, e morto nel 1981 a Amsterdam, ha studiato matematica e giocato a scacchi, non sempre distinguendo le due attività.

Era allievo di Weitzenböck, capitano dell'esercito austro-ungarico e matematico, e di Brouwer, quel Brouwer, il matematico olandese fondatore della scuola intuizionistica. I due erano amici, tanto che Euwe pronunciò l'orazione funebre durante il funerale di Brouwer.

Euwe è stato il quinto campione mondiale di scacchi, è stato presidente della FIDE, e ha pubblicato molti articoli e libri sul gioco degli scacchi, dei quali ne ricordiamo uno, dal titolo meravigliosamente tedesco: Mengentheoretische Betrachtungen über das Schachspiel, cioè Considerazioni teorico-insiemistiche sul gioco degli scacchi.

Ma quella regola sulla patta, con la ripetizione per tre volte consecutive della stessa posizione, sarà stata formulata correttamente?, si è domandato Euwe. Quella regola ci assicura che così tutte le partite avranno durata finita? Che non si possa andare avanti per sempre?

Due giocatori di scacchi potrebbero muovere i loro pezzi avanti e indietro senza combinare niente, producendo una partita infinita, e molto noiosa. Però, dato che il numero di posizioni sulla scacchiera è finito, prima o poi succederà che si ottenga una sequenza di mosse già vista in precedenza. E poi magari la si otterrà una terza volta: a quel punto la partita termina, senza la vittoria di nessun giocatore.

Axel Thue era un matematico norvegese, che lavorava nel campo delle approssimazioni diofantee e del calcolo combinatorio. Non risultano molti suoi lavori, almeno su Wikipedia, ma c'è una curiosità interessante che possiamo riportare: lo strano linguaggio di programmazione Thue è stato chiamato così in suo onore. Il linguaggio è strano perché, e qui cito le parole di Thue, è una pozza di catrame, come dicono gli informatici inglesi (gli italiani direbbero che se lo si prova a usare ci si impantana in fretta). Anche se è un linguaggio Turing-completo, non permette di fare facilmente le operazioni più comuni. Vabbé, pazienza.

Harold Calvin Marston Morse era un matematico americano, famoso per un libro da lui scritto intitolato Calculus of variations in the large, in cui ha introdotto la tecnica di geometria differenziale che oggi si chiama Teoria di Morse, sulla quale ha lavorato quasi esclusivamente durante tutta la sua attività accademica.

Thue e Morse, però, sono anche famosi perché hanno scoperto la successione che porta il loro nome, e che si costruisce secondo le seguenti regole:

• servono due simboli, diciamo 0 e 1,
• si parte da 0,
• si prende la successione scritta al passaggio precedente, si invertono i due simboli e li si ricopiano a fianco della precedente,
• si ripete il passaggio precedente finché si vuole.

Ecco un esempio dei primi termini di questa successione:

0
01
0110
01101001
0110100110010110

Cos'ha di speciale questa successione? Se poteste chiederlo a Max Euwe, lui risponderebbe che è notevole perché gode di questa proprietà: sceglietene un pezzetto lungo quanto volete, formato da cifre contigue, come per esempio 110, e provate a scorrere la successione andando avanti. A seconda di come lo scegliete, quel pezzetto potrebbe ricomparire, eventualmente doppio (cioè seguito da una copia di sé stesso), ma mai tre volte di seguito.

Quanto Euwe è venuto a conoscenza di questa proprietà, si è detto ah-ha!, ma allora quella regola sulla patta nelle partite di scacchi forse non funziona come ci si aspetta. Forse riesco a trovare una sequenza di mosse che funzionano come gli 0 e gli 1 nella successione di Thue-Morse, e se ci riesco allora posso creare una partita a scacchi infinita, che la regola sulla patta non riesce a bloccare.

Servivano mosse ripetibili, naturalmente, e Euwe ha pensato ai cavalli. Immaginiamo di dividere in due parti la scacchiera, secondo un taglio verticale (lui l'avrà detto in termini scacchistici più rigorosi, immagino). Alle quattro colonne di "sinistra" associamo il numero 0, alle quattro colonne di "destra" associamo il numero 1. Poi creiamo una partita secondo la successione di Thue-Morse in questo modo: se nella posizione corrente c'è uno 0, il giocatore di turno muoverà il proprio cavallo che si trova nella colonna di sinistra, se invece nella posizione corrente c'è un 1, il giocatore di turno muoverà il proprio cavallo che si trova nella colonna di destra. I cavalli non devono andare in giro per la scacchiera, però: tanto per fare un esempio, il cavallo bianco di sinistra potrà occupare solo le caselle b1-c3: se si trova in b1 andrà in c3, se si trova in c3 andrà in b1. Se si segue la successione di Thue-Morse, allora si potrà creare una partita noiosissima ma per la quale nessuna sequenza di mosse, con i pezzi tutti nella stessa posizione, sarà ripetuta per tre volte consecutive.

Euwe ha pubblicato questa sua scoperta nel 1929, e ora le regole sono cambiate.

La successione di Thue-Morse può essere definita anche direttamente, e non in modo ricorsivo. Se numeriamo le posizioni delle cifre a partire da 0, allora per scoprire quale cifra occuperà la posizione n basterà contare quante cifre 1 compaiono nella rappresentazione binaria del numero n: se il numero di cifre 1 è pari, allora la cifra in questione sarà 0, se invece il numero di cifre 1 è dispari, allora la cifra sarà 1.

Conway, che in queste cose ci sguazzava (altro che pozza di catrame), ha definito odiosi i numeri la cui rappresentazione binaria contiene un numero dispari di cifre 1 — introducendo un gioco di parole intraducibile in italiano: in inglese dispari si dice odd, e odioso si dice odious. Ha anche definito malvagi i numeri la cui rappresentazione binaria contiene un numero pari di cifre 1 — introducendo di nuovo un gioco di parole: in inglese pari si dice even, e malvagio invece si dice evil.

Ora, se andiamo a leggere le caratteristiche del numero 155 su Wikipedia, oltre alle solite proprietà che non interessano a nessuno troviamo anche elencato il fatto che è un numero odioso, perché in binario si scrive come 10011011, rappresentazione che contiene un numero dispari di cifre 1. Dunque, la cifra in posizione 155 della successione di Thue-Morse è un 1. Il fatto che 155 sia il numero ordinale del Carnevale della Matematica di questo mese non è un fatto puramente casuale, naturalmente.

“E tu hai raccontato tutta questa storia solo per nominare i numeri odiosi?”.

“Certo”.

“Ma roba da matti”.

“Ora non potrai più dimenticare i meravigliosi numeri odiosi e malvagi. E sai anche quando una partita di scacchi termina in parità”.

“Veramente no, hai parlato solo della regola vecchia”.

“Ah, ops, già. Ma la regola nuova ha un sacco di codicilli, secondo me nemmeno i giocatori la conoscono alla perfezione. Comunque la si può trovare sul sito della FIDE. Ma la possiamo leggere in un altro momento: adesso, per iniziare il Carnevale della Matematica, ti propongo un quesito scacchistico. Proviene direttamente dai Rudi Mathematici, che con questo contributo possono con ragione affermare di aver rispettato il tema del Carnevale, come del resto fanno sempre”.

“Ma come, il bianco vince? Con così pochi pezzi?”.

“Prova, e vedrai. Ma è ora di iniziare il Carnevale, ricordando un'altra proprietà di 155: si fattorizza come 5×31, e dunque il verso corrispondente della poesia Gaussiana è nero tra i cespugli”.

“Anche questa cosa della poesia Gaussiana, mah”.

“Cosa ci vuoi fare, i matematici sono così, un po' artisti, un po' poeti, un po' giocatori. Abbiamo anche la cellula melodica”.

“A tema scacchistico?”.

“Beh, naturalmente puoi interpretare l'intervallo di un semitono con il movimento di un pedone…”.

“Ma dai… Cominciamo, vah, che è meglio”.

E cominciamo da Leonardo Petrillo, che ha scritto Navillera: quando la passione oltrepassa le difficoltà della vita, i tabù e la normalità. Si tratta della recensione di un'intensa serie tv sudcoreana del 2021 intitolata Navillera. Nel mezzo della recensione vengono compiute riflessioni su importanti temi sociali, ma nell'analisi ci si riferisce anche al mondo della matematica e della scienza. Si parla anche di Squid Game, e quindi di giochi, e quindi siamo quasi in tema con il Carnevale (che, come avrete notato, parlerà di scacchi — oppure no, il Carnevale della Matematica è famoso per aver un tema che nessuno rispetta). Poi, magari nella prossima stagione di Squid Game si giocherà a scacchi, e quindi questo Carnevale potrebbe essere visto come un'anticipazione. Chissà.

Ora tocca ai Rudi Mathematici, e dato che l'ordine di pubblicazione qui coincide con l'ordine di arrivo, possiamo dire che non sono stati gli ultimi. E non perché io sappia in anticipo che qualcun altro manderà qualcosa prima della scadenza, ma perché questa volta sono stati proprio i primi, mandando il quesito scacchistico di apertura. Primi, e in tema. Che roba.

Ma per essere sicuri, come prima cosa propongono un post di cinque anni fa: 24 Dicembre 1868 – Buon compleanno Emmanuel!; in realtà, come sempre, il post sul blog è un derivato dell’articolo già pubblicato sulla Prestigiosa Rivista: Il re del gioco dei re, in RM168, dicembre 2012. L’articoletto discetta un po’ su coloro che hanno portato nel tempo la corona del regno scacchistico, giusto per poter bassamente insinuare che il più grande di tutti, GOAT insomma, non sia altro che un matematico. Non prendiamo in considerazione il ragazzotto norvegese che, sicuramente, quando il Carnevale uscirà avrà ribadito urbi et orbi che quella corona è sempre più saldamente incastrata sulla sua capoccia, ma a noi (sono i RM che parlano, naturalmente, non ho ancora iniziato a usare il plurale maiestatis, e hanno previsto correttamente la vittoria del giovane norvegese) che ce ne importa? Siamo faziosi come majorette, in casi come questi.

Vediamo altri post, meno scacchistici dei precedenti:

• Magnifico Eulero è un Paraphernalia, come tale scritto direttamente dal GC, che parte da una foto satellitare molto sgranata relativa al terremoto in Emilia Romagna per finire a parlare prima di Eulero e poi di Fourier.
• Il mistero di Ravensdene Park se ne sta bello bello a rappresentare il nuovo capitolo della rivisitazione che, ormai da un bel po’, i RM fanno dei problemi di Dudeney. In questo caso specifico, il problema proposto è pure un giallo, perché c’è un morto ammazzato e bisogna trovare l’assassino, manco i lettori fossero tutte Jessica Fletcher o il Tenente (Frank) Columbo.
• Come ogni fine mese (ritardi a parte) parte sul blog il post dedicato alla risoluzione del problema pubblicato su “Le Scienze”. Questa volta è toccato a “Ricordi in cantina”, che però non è per niente la cantina buia dove noi respiravamo piano. È solo una cantina piena di cianfrusaglie, polvere, ragni e probabilmente ratti. E sì, anche di un malridotto mazzo di carte, che genera un problemino non troppo complicato.
• Il titolo originale di questo “Buon compleanno Leopold!” era in realtà “Aramis”, perché – che ci si creda o meno – Leopold Kronecker riesce abbastanza bene a fare la parte di quel moschettiere. E sì, certo, che domande… ci sono anche gli altri, di moschettieri.
• A questo punto mancherebbe solo “…e per Queneau?”, notevole Paraphernalia Mathematica uscito dalla tastiera del GC che si è lasciato andare su afflati poetici quando ha visto lo spiraglio che gli consentiva di mettere insieme due sue grandi amori: la matematica e i troubadours. Il condizionale usato all’inizio dipende solo dal fatto che l’uscita del suddetto PM è prevista proprio per il 14, data di uscita del Carnevale, e il link è ancora muto e pericolosamente pieno di puntini di sospensione. Speriamo funzioni tutto.
• Di solito l’elenco dei contributi dei Rudi Mathematici si chiude dicendo cose del tipo “ci sarebbe poi il numero di RM, ma ancora non è pronto, e…) ma stavolta possiamo invece evitare la solita solfa. RM275 è incredibilmente uscito, anche se monco della parte più significativa, le “Soluzioni&Note”. Colpa del povero Piotr, che ci ha messo troppo a scrivere il compleanno di Novembre, e poi ha accelerato a Dicembre, togliendo ai lettori la possibilità di risolvere i quesiti novembrini. Ed è sempre colpa sua (o merito suo?) se questa volta l'elenco dei contributi dei RM non è l'ultimo. Dunque, bene così.

Veniamo a .mau., che sul Post ha scritto No, l’Ipotesi di Riemann non è ancora stata risolta dove ha commentato il lancio di agenzia poi ritirato sulla presunta "soluzione" di uno dei problemi irrisolti più importanti della matematica, e Vaccinarsi aumenta la probabilità di contagiare?, dove racconta cosa si potrebbe fare per vedere davvero se quell'affermazione è vera o falsa.

Sulle Notiziole i quizzini: Contro la parascevidecatriafobia, Pentacolo e triangoli, Il calciatore insaziabile, Da che parte gira il disco?, Chi volete aiutare?.

Per le recensioni, Giochi di ingegno per esercitare il cervello di Jaume Sués Caula, problemi classici con un'ambientazione però spesso nuova (e purtroppo alcuni errori di traduzione); Il grande libro degli enigmi matematici di Sylvain Lhullier, ottimo per ragazzi (l'ha persino apprezzato Cecilia che snobba queste cose e, soprattutto, contiene una scacchiera); AI Assistants dell'amico (di .mau.) Roberto Pieraccini, con la matematica che spunta spesso per spiegare come funzionano Alexa e amici; 24 ore con un matematico di Giovanni Sebastiani (che però è laureato in fisica…) che mostra come un matematico non è poi così alieno rispetto a quello che succede.

Nella sezione "matematica light" c'è Fibonacci Day, che parla appunto del giorno dedicato al matematico pisano.

Infine sugli Archivi di .mau. c'è [TESTI] I numeri nella Bibbia dove riporta il testo che ha scritto come ausilio agli insegnanti per il concorso omonimo dell'associazione Biblia.org.

Ora è il turno dei MaddMaths! Sembrerebbe difficile trovare almeno un post legato agli scacchi, ma non è così. Troverete un articolo sulla differenza di genere in matematica, che porta a farsi un po' di domande (e anche a cercare delle risposte, per quanto possibile): perché le ragazze hanno risultati migliori in ambito scolastico ma risultati peggiori nelle prove INVALSI? Perché nelle gare di giochi matematici troviamo poche ragazze, tanto che per incentivarne la partecipazione l'UMI organizza gare femminili? Sapevate che la FIDE, oltre al campionato mondiale, organizza anche un campionato mondiale femminile, che si disputerà tra poco?

• Lettera (accorata) alla Ministra dell'Università e al Ministro dell’Istruzione sulla formazione insegnanti. Pietro Di Martino, didattico della matematica, rivolge un appello ai ministri Messa e Bianchi sulla necessità di fornire un percorso adeguato di formazione agli insegnanti di scuola secondaria, che da troppi anni è assente nel nostro paese. Abbiamo anche attivato una petizione per sostenere questo appello.
• Un altro passo verso l'ipotesi di Riemann (che no, non è stata dimostrata). Una delle più grandi sfide della matematica è senza dubbio la cosiddetta ipotesi di Riemann. Il “sacro Graal” della matematica, che, più realisticamente, è ritenuto il più importante problema aperto della matematica, impegna studiosi di tutto il mondo da 150 anni, ossia da quando, nel 1859, Bernhard Riemann ne formulò la prima versione. Qualche giorno fa i media hanno riportato che un articolo recentemente pubblicato avrebbe "risolto" questo problema. Ovviamente le cose non stavano così e potete leggere il commento di Alessandro Zaccagnini che pochi giorni dopo ha pubblicato un approfondimento, spiegando in dettaglio di cosa si trattava: Una passeggiata aleatoria ci porterà sulla vetta della Congettura di Riemann?
• INVALSI e differenze di genere. Chiara de Fabritiis, coordinatrice del comitato pari opportunità dell’UMI, intervista il dottor Roberto Ricci, statistico bolognese e presidente dell’INVALSI, che ci parla delle differenze di genere, soprattutto in ambito STEM. Di particolare interesse il fatto che le ragazze nelle prove INVALSI ottengono risultati peggiori, ma a scuola hanno voti migliori, una questione su cui vale la pena di interrogarsi.
• La matematica del colore - la serie di MaddMaths!. La sensazione di colore è frutto di una lunga evoluzione e la sua modellizzazione matematica, completa o parziale, rimane ancora un problema aperto. Edoardo Provenzi, professore all’Université de Bordeaux, ci guida in un sorprendente percorso, lungo più di tre secoli, ricostruendo le tappe fondamentali dello studio matematico del colore, terminando con un racconto del suo particolare cammino scientifico. Tutte le puntate della serie le trovate su questa pagina.
• Intervista con Lorenzo Pareschi. Lorenzo Pareschi è professore ordinario di analisi numerica presso l’Università degli Studi di Ferrara. Marco Menale lo ha intervistato per parlare di modelli matematici, aspetti computazionali e sfide future.
• È online la piattaforma gratuita del progetto “MaMa – Matematica per la scuola elementare”. È ora online la piattaforma gratuita del progetto del Canton Ticino “MaMa – Matematica per la scuola elementare” di cui è responsabile Silvia Sbaragli.
• 23 novembre: Fibonacci Day 2021. Da qualche anno il 23 novembre si festeggia il Fibonacci Day (che, ricordiamo per i più distratti, nei paesi anglosassoni si scrive come 11/23, ossia i primi 4 termini della successione di Fibonacci). Luca Balletti matematico e divulgatore dell’Unità Comunicazione e Relazioni con il Pubblico del Cnr ci presenta alcuni spunti per possibili animazioni scolastiche dedicate a questo grande matematico italiano.
• Stand-up Maths: matematica e comicità. Dopo 3blue1brown e il math-segnale, Alberto Saracco ci racconta un altro canale YouTube che trova particolarmente interessante e divertente: Stand-up Maths.
• La ballata del cambio di base (ovvero come raccontare/insegnare la matematica giocando con le canzoni). La matematica per molte persone rimane una “bestia nera”: sembra fredda e spietata, difficile e astrusa… Molti ammettono di non essere in grado di comprenderla, o addirittura se ne vantano. Paura della difficoltà tecnica? Blocco psicologico? In ogni caso, scherzarci o cantarci sopra può essere un bel modo per esorcizzare queste reazioni! Ce ne parla Francesco Malaspina.
• Mathematical Graffiti # 13 – La casa di Orlicz. Władysław Orlicz (1903-1990) è stato un matematico polacco del ventesimo secolo appartenente alla scuola di Lwów e attivo nei campi dell'analisi funzionale e della topologia. Stefano Pisani ci racconta un episodio della sua vita.

Per la categoria LETTURE MATEMATICHE:

• Molly e i misteri matematici. Brevi consigli per letture matematiche. "Molly e i Misteri Matematici" di Eugenia Cheng, illustrato da Aleksandra Artymowska, consigliato da Roberto Natalini.
• In Pursuit of the Traveling Salesman, William J. Cook. Continuiamo con la serie delle Letture Matematiche. Dopo l’articolo di qualche giorno fa sul Traveling Salesman Problem a cura di Marco Menale, oggi vi proponiamo una recensione di “In Pursuit of the Traveling Salesman”, un libro interamente incentrato proprio sul problema del commesso viaggiatore, a cura di Alice Raffaele.
• 123 della felicità, Patricia Hegarty (#ioleggoperché). In occasione dell’iniziativa #ioleggoperché, Alice Raffaele suggerisce “123 della felicità” di Patricia Hegarty, una lettura matematica per piccolissimi.
• In un volo di storni, Le meraviglie dei sistemi complessi, Giorgio Parisi. È stato pubblicato dall’editore Rizzoli un libro a carattere divulgativo del fisico Giorgio Parisi. Lo ha letto per noi Marco Menale.

Abbiamo infine LA LENTE MATEMATICA, una rubrica di Marco Menale

• Selezione avversa: un problema per gli algoritmi. Il problema della selezione avversa può compromettere i risultati di un algoritmo basato sul machine learning.
• Problemi matematici: il commesso viaggiatore. il problema del commesso viaggiatore interessa da anni la comunità matematica. La semplice formulazione nasconde delle enormi difficoltà computazionali.

Annalisa Santi propone La matematica e la libertà di negare, in cui, citando il filosofo e matematico Imre Toth, si parla delle geometrie non euclidee e delle possibilità, per il matematico, di indagare strani e nuovi mondi. La matematica è l’espressione di una libertà umana che si manifesta nella creazione di mondi, e non dimentichiamo che oltre alle geometrie non euclidee classiche esiste anche la geometria di Manhattan (o di Torino, per gli italiani).

Abbiamo poi Alberto Saracco, a cui ho chiesto un paio di video in cui ha parlato di scacchi (e di Zio Paperone, e di Sissa Nassir). Eccoli qua:

• Un matematico prestato alla Disney 1.
• Un matematico prestato alla Disney 25.

Chiude il Carnevale Gianluigi Filippelli, con il Ritratto dedicato ad Ada Lovelace, collaboratrice di Charles Babbage nonché colei che è oggi ritenuta come la prima programmatrice della storia!

Proseguiamo, quindi, con la serie dei Rompicapi di Alice:

• Generatore di labirinti, dove si occupa di un particolare algoritmo di generazione dei labirinti.
• Conquiste a colori, una puntata un po' particolare della serie in cui si è dedicato ad alcuni giochi particolari di genere strategico.

Nella serie dei Paralipomeni presenta poi le soluzioni di alcuni dei rompicapi proposti nella serie dei Rompicapi!. Ecco gli ultimi due Paralipomeni usciti:

• Un incontro sul fiume, dedicato a un problema di un fiume e due battelli che lo attraversano.
• L'orologio di Kruskal, dedicato a un particolare rompicapo variazione del Kruskal count.

Tra le recensioni un giallo, I delitti del labirinto cinese di Robert Van Gulik, interessante per la presenza di un paio di labirinti nella trama.

Ne Le grandi domande della vita ecco Un Mercurio sorprendente, in cui la parte più vicina alla matematica è quella iniziale dedicata alla questione su quale sia il pianeta più vicino alla Terra.

Infine, alcuni articoli non appartenenti a nessuna categoria (o appartenenti alla categoria della mancanza di categoria):

• Una indistinguibile decima sinfonia, dove racconta qualcosa sul completamento della decima sinfonia di Beethoven da parte di un'intelligenza artificiale a partire dagli appunti sparsi lasciati dal maestro.
• Per fortuna non è venerdì, un articoletto sul numero 17.
• Dante divulgatore, articoletto di presentazione del podcast CosmoBrain dedicato a Dante Alighieri in cui si è parlato anche di matematica e geometria. E non dimentichiamo il fatto che Dante ha citato, nella Divina Commedia, la leggenda relativa al gioco degli scacchi.

Bene, il Carnevale finisce qua. Non mi rimane che ricordare che il Carnevale di gennaio verrà ospitato da Leonardo Petrillo, sul blog Scienza e Musica, con tema "Matematica della vita e vita nella matematica" (tema che, naturalmente, nessuno rispetterà).

Inferno, canto I

“La Divina Commedia?”.

“Già. Sto per imbarcarmi in una impresa titanica”.

“Uh, quale?”.

“Cercare tutti i riferimenti scientifici che fa Dante all'interno della Divina Commedia”.

“Oh, molto bene. Quindi, che cosa hai trovato?”.

“Eh, già nel primo canto dell'Inferno, prima ancora di iniziare tutto, ci sono già dei problemi”.

“Immagino. La tua non è impresa da pigliare a gabbo”.

“Ecco”.

“Cosa hai scoperto?”.

“Questa roba qua:”.

Temp' era dal principio del mattino,
e 'l sol montava 'n sù con quelle stelle
ch'eran con lui quando l'amor divino
mosse di prima quelle cose belle;

“Di cosa parla?”.

“Dante ci sta dicendo, a modo suo, la data”.

“Il giorno in cui è iniziato tutto? Quando si trovò nella selva oscura?”.

“Esatto. Era l'alba, il sole stava sorgendo, e assieme al sole stavano sorgendo quelle stelle che già erano sorte assieme al sole al momento della creazione del mondo”.

“Un modo un po' arzigogolato per comunicare una data”.

“Già, soprattutto per i problemi scientifici che pone”.

“Ah, sì?”.

“Sì. Qui non c'è scritto, ma siamo nel 1300”.

“Siamo sicuri?”.

“Non siamo sicuri di niente, ma più avanti Dante farà riferimento al Giubileo del 1300, quindi siamo abbastanza sicuri, anche se c'è chi non è d'accordo e propone il 1301”.

“Ma è così importante? In fondo è solo…”.

“Non dirlo. Non è mai solo qualcosa con Dante, c'è sempre qualcos'altro, qualcosa sotto, qualcosa nascosto. E non bisogna trascurare gli aspetti scientifici: non siamo ai giorni nostri in cui molti umanisti si vantano di non sapere la matematica, o la fisica”.

“Ok, non lo dico”.

“Ma non commentiamo tutta la Divina Commedia adesso, non ne sono nemmeno capace. Provo più umilmente a cercare di capire i riferimenti scientifici in questi versi del primo canto dell'Inferno, lasciando agli esperti la visione d'insieme”.

“Ok. Quale scienza abbiamo in questi versi?”.

“La nobile scienza dell'astrologia”.

“Eh?”.

“Astrologia, astronomia, ai tempi non erano molto diverse.”.

“Mh”.

“Insomma, in quei versi Dante ci sta dicendo che il sole sta per sorgere, e fin qua è facile. Assieme al sole stanno sorgendo delle stelle”.

“Se le vediamo, il sole non è ancora alto nel cielo”.

“Esatto, sono le stelle che precedono il sole. Quindi Dante sa che non solo il sole si muove nel cielo, ma lo fanno anche le stelle. Del resto, basta osservare il cielo notturno per accorgersene, non è una gran conoscenza scientifica”.

“E va bene”.

“In questo momento non ci dice quali stelle siano, ma lo dirà più avanti. Qui dice soltanto che le stelle che osserva in quel momento sono le stesse stelle che al momento della creazione hanno preceduto il sorgere del sole per la prima volta”.

“E questo è importante?”.

“Beh, non sono sempre le stesse stelle quelle che sorgono prima del sole: ogni giorno cambiano un pochino, si osserva un movimento delle costellazioni rispetto al sole”.

“Ah, ecco. Quindi se solo Dante ci avesse detto quale costellazione stava sorgendo in quel momento, noi potremmo stabilire il giorno in cui tutto ha avuto inizio”.

“Il fatto è che lo sappiamo: l'universo è stato creato il primo giorno di primavera, quando il sole era nella costellazione dell'Ariete”.

“Come dice anche l'oroscopo”.

“Esatto. Immagina Dante che guarda a oriente, in attesa dell'alba, vede le ultime stelle del cielo notturno, prima che la luce del sole le nasconda”.

“E vede la costellazione dell'Ariete”.

“Eh, no, vede i Pesci. Lo dice anche più avanti esplicitamente”.

“Ma come?”.

“Magari all'inizio della creazione il sole era preceduto dall'Ariete, ma ai tempi di Dante no. Nemmeno ai tempi nostri. Anzi, a maggior ragione oggi non è nell'Ariete”.

“E perché?”.

“Perché esiste un fenomeno fisico che si chiama precessione degli equinozi”.

“Ma figurati se Dante conosceva la precessione degli equinozi. Io l'ho sentita nominare ma non saprei descriverla”.

“Ecco cosa sapeva Dante della precessione degli equinozi: nota che sta parlando del sole, e lo scrive nel Convivio, II, xiv, 11-13”.

E per lo movimento quasi insensibile che fa da occidente in oriente per uno grado in cento anni, significa le cose incorruttibili, le quali ebbero da Dio cominciamento di creazione e non averanno fine.

“Oh. Ed è vero? Un grado ogni cento anni?”.

“Le misurazioni di oggi dicono un grado ogni 71.6 anni: nel medioevo hanno un po' approssimato, ma sono stati bravini”.

“Alla faccia dei secoli bui”.

“Già. Quindi siamo di fronte a un problema: se al momento della creazione il sole è sorto per la prima volta preceduto dalla costellazione dell'Ariete, non è possibile che anche nel 1300 sia successa la stessa cosa. O, meglio, non è possibile che nello stesso giorno del 1300 sia successa la stessa cosa”.

“Quindi come risolviamo questo problema?”.

“Beh, a un certo punto, più avanti, Dante dice che era appena passata la luna piena. Sappiamo che la luna piena di primavera è quella che poi decide la data della Pasqua, e quindi alcuni commentatori hanno pensato che il giorno in cui Dante si perde per la selva oscura non è il primo giorno di primavera, il 25 marzo, ma l'8 aprile, il venerdì santo”.

“Beh, il venerdì santo mi sembra un'ottima data per l'inizio di tutto. E in quel giorno il sole è sorto nei Pesci?”.

“Precisamente”.

“Allora non c'è nemmeno da discutere, no?”.

“Mah, c'è chi non è d'accordo. Per esempio, il Dantedì si celebra il 25 marzo”.

“Ah, addirittura una data ufficiale. Ma poi non si spiega la faccenda del sole in Acquario”.

“La si potrebbe spiegare facendo riferimento a una teoria ormai superata, quella della Trepidazione, secondo la quale la precessione degli equinozi ha un andamento alternato: quindi magari il sole è tornato in Ariete nel 1300”.

“Ma nel 1300 Dante avrebbe potuto dare un'occhiata alla finestra per notare l'errore, no?”.

“Infatti. C'è poi la faccenda di Malacoda, il diavolo che Dante incontra il giorno dopo e che fa riferimento a un terremoto causato dalla morte di Cristo: facendo i conti, si arriva a dire che l'anniversario della morte di Cristo, cioè il venerdì santo, era il giorno precedente a quello dell'incontro col diavolo, cioè il giorno in cui Dante è partito”.

“E quindi si conferma l'ipotesi dell'8 aprile”.

“A meno che non si intenda, come morte di Cristo, l'anniversario storico, cioè il 25 marzo”.

“Ho capito: non se ne esce”.

“No. Non bisogna dimenticare che Malacoda era pure bugiardo. Ma poi c'è anche chi propone date ancora diverse, in modo da fare arrivare Dante in Paradiso proprio il giorno di Pasqua, mentre se si suppone che sia partito di venerdì, il giorno di Pasqua lo vede arrivare in Purgatorio”.

“Beh, non è male arrivare in Purgatorio il giorno di Pasqua, secondo me”.

“Anche secondo me. Comunque sia, se non ci fosse la precessione degli equinozi sarebbe tutto più facile”.

“Ma cos'è, poi, questa precessione?”.

“É un fenomeno che si vede bene giocando con una trottola. Chissà se esistono ancora… Beh, comunque sia, è un fenomeno legato alla conservazione del momento angolare”.

“Ah, beh, chiarissimo”.

“Per niente. Il prof. Lewin, quello che era una star della didattica della fisica prima di andare in disgrazia, lo descrive come uno degli argomenti meno intuitivi della fisica (classica, suppongo, non è che la fisica quantistica sia così cristallina, oserei dire)”.

“In disgrazia?”.

“Sì, una storia triste. Augurandoci che abbia, come Dante, intrapreso un cammino di redenzione, non lo condanniamo alla damnatio memoriae e guardiamo quello che ha fatto come fisico. Questo video, di una sua lezione, ci mostra cosa sia la precessione. Lo faccio partire al momento della dimostrazione pratica, ma confesso che, non appena l'ho trovato, me lo sono guardato tutto dall'inizio alla fine”.

Baricentro

 

“Cos'è 'sta roba?”.

“Le mediane di un triangolo si intersecano tutte in uno stesso punto che si chiama baricentro e che le divide in due parti, una il doppio dell'altra”.

“Ehhh?”.

“Il famoso teorema sul baricentro, no?”.

“Famosissimo. Però il baricentro l'ho già sentito nominare, ma in fisica”.

“Beh, la fisica è una parte della matematica che ha qualche applicazione a volte utile”.

“Andiamo bene”.

“Però, sì, anche in fisica esiste il baricentro”.

“Che ha qualcosa a che fare con la forza di gravità, mi pare”.

“E infatti in questi disegni abbiamo un solido pesante”.

“Io vedo un triangolo”.

“Non vedere un triangolo, ma un solido formato da tre masse uguali, poste nei vertici del triangolo”.

“E questo lo vediamo grazie a quei numeri 1 che ogni tanto compaiono?”.

“Esatto. Compaiono quando servono. All'inizio poniamo l'attenzione solo su due delle tre masse”.

“Quelle in basso”.

“Quelle in basso nella figura, sì. Possiamo pensare alla base del triangolo come a un'asta alle cui estremità sono fissate due masse”.

“Ok”.

“Ora, al posto di quelle due masse possiamo sostituire una massa doppia messa al centro del lato”.

“Perché al centro?”.

“Se vogliamo che quell'asta sia in equilibrio, la massa dovrà stare al centro. Se fosse spostata verso destra o verso sinistra sarebbe sbilanciata”.

“Come un'altalena?”.

“Esattamente. O come una bilancia antica, a due piattelli: il fulcro sta al centro e il braccio è in equilibrio se sul piattello di destra e su quello di sinistra ci sono gli stessi pesi”.

“Ok”.

“Nella terza figura, mettiamo in gioco anche il terzo vertice”.

“Vedo anche una nuova asta”.

“Sì, che collega il terzo vertice alla massa doppia che abbiamo usato prima”.

“E ora dobbiamo mettere in equilibrio questa nuova asta”.

“Esatto”.

“Dove va il fulcro? Non al centro, no?”.

“No: ricordi cosa diceva Archimede?”.

“Eureka?”.

“Anche. La leggenda racconta che pronunciò anche questa frase: datemi un punto d'appoggio e solleverò il mondo”.

“E cosa significa?”.

“Aveva scoperto il principio di funzionamento delle leve: se sposti il fulcro puoi sollevare grossi pesi facendo poca fatica”.

“Mh, e come?”.

“Il fulcro divide l'asta in due parti: l'asta sarà in equilibrio se il prodotto fra la distanza massa-fulcro e la massa è costante per entrambe le masse”.

“Eh?”.

“Se hai una massa uguale a 2 e una seconda massa uguale a 1, allora il fulcro divide l'asta in due parti che saranno una doppio dell'altra. La parte più corta sta dalla parte della massa maggiore, la parte più lunga dalla parte della massa minore”.

“Ah, ecco perché 1/3 e 2/3”.

“Esatto: l'asta viene divisa in tre parti, il fulcro ne tiene una da un lato e due dall'altro. In questo modo i prodotti massa-distanza sono costanti”.

“Vedo”.

“E quindi abbiamo trovato il baricentro, cioè il punto in cui possono essere concentrate le tre masse. E anche il punto che divide le mediane in due parti, una doppia dell'altra”.

“Molto bene. Ma questa è una vera dimostrazione?”.

“Perché no? La dimostrazione geometrica è diversa, usa le proprietà delle rette parallele e dei parallelogrammi, ma questa è più efficace, almeno dal punto di vista mnemonico”.

“Ok”.

“Poi, volendo, da qui si potrebbe partire per sviluppare strumenti notevoli per risolvere problemi difficili”.

“Aiuto”.

Paralimpiadi Tokyo 2020

Dopo la classifica olimpica, ecco anche la classifica paralimpica.

Tokyo 2020

Come ormai di consueto, ecco la classifica olimpica che non dipende dal valore che vogliamo assegnare alle tre medaglie, purché naturalmente si considerino le medaglie d'oro superiori a quelle d'argento, e queste ultime superiori a quelle di bronzo.

Qui le altre classifiche che ho fatto in passato.

Capacità — 14. L'algoritmo di Shannon-Fano

“L'altra volta avevo detto che sappiamo quale sia il massimo teorico che possiamo raggiungere comprimendo dei dati, ma non sappiamo come raggiungerlo”.

“Sì”.

“Beh, non è proprio così”.

“Ma come?”.

“Eh, bisogna capire bene di cosa stiamo parlando”.

“Come al solito”.

“Esatto. C'è un teorema che dice quale sarà la massima entropia che puoi ottenere, ma non ti dice quale codifica devi usare per ottenerla”.

“Ok”.

“Poi esistono dei metodi, degli algoritmi, che ti permettono di analizzare un flusso di dati e creare una codifica che possa cercare di avvicinarsi il più possibile a quel punto”.

“Quando un Vero Matematico comincia a usare frasi del genere, c'è da preoccuparsi”.

“Eh, lo so. Bisogna vedere il contesto: stiamo approssimando un flusso di dati in tempo reale, o possiamo dare un'occhiata a tutti i dati in anticipo? Dobbiamo tenere conto del fatto che ci possono essere errori che vanno corretti, oppure no? Insomma, come al solito ci sono tante sottigliezze che fanno la differenza”.

“Sgrunt”.

“Quindi, prendiamo un caso molto semplice, presentato anche da Shannon in due modi leggermente diversi. Uno ideato da lui, il secondo ideato indipendentemente da Fano (Shannon ha gentilmente specificato quell'indipendentemente, rendendo onore a Fano)”.

“Fair Play Matematico”.

“Già. Questo metodo ha bisogno di conoscere in anticipo le probabilità di ogni simbolo trasmesso”.

“E non è sempre così?”.

“Beh, no. Immagina di dover comprimere la Divina Commedia: possiedi il testo, lo analizzi, vedi le frequenze delle singole lettere. Immagina invece di dover comprimere un discorso trascritto in tempo reale: non puoi analizzare il testo, perché non è ancora stato scritto. Puoi però utilizzare le tabelle di frequenza relative alla lingua in cui è pronunciato quel discorso. Immagina infine di dover comprimere le cifre di pi greco che ti vengono calcolate al volo da un computer: come si fa a fare delle previsioni?”.

“Eh, mi sa che in quel caso sia un problema non da poco”.

“Infatti. Parliamo quindi del caso semplice: conosciamo le frequenze dei vari caratteri. Ti faccio un esempio super facile che abbiamo già visto tempo fa”.

“Benissimo”.

“Supponiamo che ci siano quattro caratteri, A, B, C e D. Supponiamo che le probabilità, cioè le frequenze relative, siano le seguenti:”.

A: 1/2
B: 1/4
C: 1/8
D: 1/8

“Ok, finora è chiaro, pare semplice”.

“Bene. I caratteri devono essere ordinati dal più probabile al meno probabile, come ho fatto”.

“Ok, lo sono”.

“Ora bisogna dividerli in due gruppi, in modo tale che la somma delle probabilità del primo gruppo sia uguale a quella del secondo”.

“Beh, qui è facile: i due gruppi sono {A} e {B, C, D}”.

“Esatto. Associamo il numero 0 al primo gruppo e il numero 1 al secondo”.

A:       0
B, C, D: 1

“Fin qui ci sono”.

“Bene, l'algoritmo è questo: si ripete di nuovo lo stesso procedimento per tutti i gruppi che non siano composti da un unico elemento”.

“Ah. Allora dovrei spezzare il secondo gruppo”.

“Sì”.

“Direi che si debba spezzare dopo B, dato che B ha probabilità 1/4 e {C, D} ha la stessa probabilità. Ora come faccio con l'associazione con 0 e 1?”.

“Aggiungi il nuovo numero al vecchio, così:”.

A:    0
B:    10
C, D: 11

“Ah, ecco. Ora devo spezzare il gruppo {C, D} e aggiungere un'altra cifra?”.

“Esatto. Vedi che le codifiche più lunghe sono associate ai simboli meno probabili, e le codifiche più corte a quelli più probabili”.

“Concludo, allora. Dovrei avere una tabella del genere:”.

A: 0
B: 10
C: 110
D: 111

“Ottimo”.

“E quindi è finito? Mi basta sostituire ai simboli quelle codifiche?”.

“Esatto”.

“Ma così risulta una codifica più lunga di quella precedente, come facciamo a dire che abbiamo compresso i dati?”.

“No, in realtà no, quella codifica che abbiamo creato è in bit, in cifre binarie, mentre i simboli A, B, C e D vanno pure loro codificati in questo modo”.

“Uhm, non mi è ben chiaro”.

“Immagina di voler codificare la stringa AAAABBCD in binario, come fai?”.

“Ah, devo usare il codice ASCII?”.

“Se usi quello, allora è evidente che stiamo comprimendo: quella stringa è formata da 8 caratteri, ogni carattere sta in un byte, totale 64 bit. Con l'algoritmo di Shannon-Fano invece diventa 00001010110111, solo 14 bit”.

“Uh, comincio a capire. Beh, la codifica ASCII è esagerata per solo quattro simboli, in effetti”.

“Esattamente. Ma se usi una codifica a lunghezza costante, analoga alla codifica ASCII, per quei quattro simboli, potresti fare una cosa del genere:”.

A: 00
B: 01
C: 10
D: 11

“Giusto, fammi fare i conti: la stringa AAAABBCD diventerebbe 0000000001011011, 16 bit”.

“Esatto: di 2 bit più lunga”.

“E non si può fare di meglio della codifica di Shannon-Fano?”.

“Facciamo i conti: quanto è la sua entropia?”.

“Oh, uhm. Per ogni lettera devo moltiplicare la probabilità per il logaritmo del suo reciproco, e sommare tutto”.

“Sì, la formula dice quello. Ecco il conto:”.

(1/2) log₂(2) + (1/4) log₂(4) + (1/8) log₂(8) + (1/8) log₂(8) = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 3/8 = 7/4

“E questo risultato come lo interpreto?”.

“Ci dice che hai bisogno di 7/4 di bit per ogni carattere, e dato che tu hai trasmesso 8 caratteri…”.

“Ho bisogno di 14 bit! E in effetti ne ho usati proprio 14, bello. Non potevo fare di meglio”.

“Sì, questo era un esempio facile facile, con dei numeri belli, senza approssimazioni, ma ci fa capire come funziona l'idea”.

“Molto bene. Però, ho un dubbio”.

“Quale?”.

“Nella codifica simil-ASCII con due bit per carattere, io so dove finisce la codifica di un carattere e dove inizia quella del successivo, ma nella codifica di Shannon-Fano, che è a lunghezza variabile, come faccio?”.

“Ottima domanda. L'idea geniale di quel tipo di codifica è che essa è un codice prefisso, come dicono gli esperti”.

“Cosa significa?”.

“Significa che nessuna stringa di bit è anche prefisso di qualche altra stringa”.

“Ripeto la domanda: cosa significa?”.

“Guarda la tabella: A è associata a 0. C'è qualche altra lettera che ha un codice che incomincia con 0?”.

“No”.

“Quindi se in una stringa incontri uno 0, sai che hai trovato una A e che da quel punto comincia un altro simbolo”.

“Ah”.

“Invece, se trovi un 1 sai che devi andare avanti. Se trovi 10, sai che lì finisce il simbolo, perché 10 non compare da nessuna parte se non nella codifica di B”.

“Ma è davvero geniale! Se trovo 11, so che devo andare avanti e vedere se ho 110 oppure 111”.

“Proprio così. Questa codifica non è solo un'idea teorica usata per dimostrare qualcosa, ma viene usata davvero nella realtà. Nel metodo IMPLODE della compressione ZIP, per la precisione”.

“Ah, ma guarda, una parte di matematica che serve davvero a qualcosa”.

“Incredibile, eh?”.

La nonna Giulia

Cento anni fa, il 22 maggio 1921, giorno di Santa Rita, come lei amava sempre ricordare, nasceva mia nonna, la persona nota a tutti come la nonna Giulia.

Ha vissuto la guerra, è stata sfollata, ha visto l'aeroplano Pippo sganciare bombe, una delle quali è caduta, inesplosa, nel cortile del gruppo di case in cui abitavano lei e alcuni fratelli. Suo marito, mio nonno, ha fatto la campagna di Russia, le ha raccontato come è sopravvissuto e come è riuscito a tornare a casa, concludendo: Giulia, se non sono morto là, non muoio più. Purtroppo non è stato così: pochi anni dopo, quando mia mamma faceva la terza media, forse il giorno prima dell'esame, non ricordo bene, il nonno è morto sul lavoro. Faceva il ferroviere, lavorava sui binari, conosceva gli orari dei treni a memoria, ha sentito il rumore del treno che doveva arrivare e si è spostato su un altro binario: purtroppo non ha sentito il rumore dell'altro treno che, fuori orario, stava passando su quel binario dove lui si era appena messo.

Dunque mia nonna non ha avuto una vita facile. Gliel'hanno resa meno pesante i nipoti, e io sono stato il primo, e per lei avevo un ruolo speciale. Mi ha fatto da mamma quando mia mamma non poteva esserci, perché aveva trovato da lavorare in un'altra città (alla banca d'Italia, quanto era orgogliosa mia nonna del fatto che sua figlia avesse vinto il concorso in un posto così prestigioso).

Mi salutava sempre allo stesso modo, anche quando ero ormai un distinto e rispettabile adulto al quale non si addiceva un saluto del genere: ciao, bella creatura! Nonna, dai, davanti a tutti. Beh, cosa c'è?

Andava tutte le domeniche in cimitero, a trovare suo marito. Una volta l'ho accompagnata (non mi piaceva molto visitare i cimiteri, quindi quella prima volta è stato un evento un po' speciale) e lei si è fermata davanti alla tomba e gli ha parlato, come se fosse lì. Guarda chi t'ho portato, ha detto.

Quando è diventata bisnonna è rinata. Quando è nato il mio primo figlio ha chiesto insistentemente di avere una foto con lei che lo teneva in braccio. Poi si è scusata della sua insistenza, e ci ha raccontato che voleva una foto che testimoniasse al primo bisnipote che lei c'era e l'aveva tenuto in braccio, dato che pensava che non sarebbe rimasta viva a lungo per poterlo vedere crescere e sentirlo parlare. E invece l'ha visto crescere per ventiquattro anni, e ne ha visti molti altri.

Si muoveva in bicicletta, sempre. Intorno ai novantaquattro anni è caduta, e mia mamma voleva impedirle di usarla ancora: lei l'ha presa malissimo, sembrava una condanna a morte. Allora è andata dal meccanico, gli ha detto oh, io devo andare in bicicletta ma qua non ci riesco più, è troppo alta e rischio di cadere, cum'a fàmia? Il meccanico ha capito, ha detto ci penso io, ha preso il flessibile e ha tagliato un pezzo di telaio, in modo da abbassare il seggiolino. Lei è tornata a casa ridendo come una bambina, e pedalando.

Spesso comandava, e per questo spesso litigava con mia mamma. Era una donna che ha vissuto da sola per la maggior parte della sua vita, la più grande di dodici fratelli, e che aveva la responsabilità di una figlia da educare e mantenere: non aveva un carattere facile, si doveva fare come diceva lei. Ma mi adorava.

Il regalo più grande che potevo farle era andarla a trovare e stare un po' con lei, e naturalmente ora penso che avrei potuto fare di più. Perché adesso la nonna non c'è più, è morta l'anno scorso poco prima di compiere novantanove anni, in piena pandemia, il cinque maggio. Ha avuto una polmonite, batterica, da cui si era ripresa, ma che l'aveva lasciata molto debilitata. Tanto che, una notte, ancora in ospedale, si è addormentata e non si è più svegliata.

Non è stato possibile celebrare il funerale: c'è stata solo una breve benedizione nel cortile davanti all'ospedale, con i nipoti e i bisnipoti. Il pomeriggio prima ero stato in visita alle camere ardenti: era tutto deserto, poteva entrare una sola persona alla volta, e mi sono trovato davanti all'ingresso assieme a un altro, evidentemente anche lui in visita. In attesa, ci siamo messi a leggere i mille cartelli che erano appesi all'entrata: uno di questi parlava delle "visite ai pazienti", e ci siamo messi a ridere di fronte alla definizione di "pazienti".

Qualche giorno fa l'ho finalmente sognata. Tutto, in quel sogno, era un simbolo che per me aveva un significato. Era a casa sua, seduta per terra tra la sala e la camera da letto. Questo mi ha ricordato quella volta in cui si è seduta per terra in mezzo ai bisnipotini, e noi le abbiamo detto nonna, cosa fai, adesso come fai a rialzarti? E lei, con un sorrisone, ha detto guarda, faccio così: ha piegato una gamba, appoggiato una mano, e si è alzata in un attimo. Me l'hanno insegnato a ginnastica, ha detto.

Era quindi tra la sala, dove stava sempre e dove tante volte ha fatto da mangiare per me, e la camera da letto, dove teneva la foto di suo marito. Tra le due stanze c'era un telo, un velo semitrasparente, e se vi viene in mente la scena della morte di Sirius Black, beh, era quel velo lì. Al di là del velo si vedeva in trasparenza il televisore, che era sempre acceso. Mi fa compagnia, diceva sempre.

Mi guardava, lì seduta per terra, e sorrideva. Mi sono svegliato, e sorridevo anche io.

Capacità — 13. Compressione

“La volta scorsa abbiamo visto cosa significa raggiungere il punto di massima entropia”.

“Sì, è quando tutto è inaspettato, equiprobabile, non puoi scommettere su niente”.

“Esatto, sì. Ma nei sistemi reali non sempre si raggiunge la massima entropia, a volte c'è qualche informazione più probabile”.

“Certo”.

“Per esempio, quando lanci due dadi e ne fai la somma”.

“Vero: non tutti i risultati sono equiprobabili. È più difficile fare 2 o 12 che non 7”.

“E quindi l'informazione sull'uscita del 7 porta con sé meno informazione rispetto a quella che ti dice che è uscito 12”.

“Se vogliamo metterla in questi termini, sì. Ma ancora non mi è del tutto chiaro il significato di questa affermazione”.

“Questo perché il concetto di entropia è difficile da digerire. Ma analizziamo l'esempio dei dadi: lanciando una coppia di dadi si possono avere 36 possibili risultati”.

“Questo se distingui il primo dal secondo, però”.

“Certo. Per ora distinguiamo tutto, poi mettiamo insieme. Per esempio, la somma 2 la puoi ottenere in un solo modo”.

“Quando il primo dado mi dà 1 e il secondo dado anche”.

“Sì. Invece 7 lo puoi ottenere in molti modi”.

“Già. Faccio uno schema:”.

 2: (1,1)
 3: (1,2), (2,1)
 4: (1,3), (2,2), (3,1)
 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)
 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)
 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)
 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3)
10: (4,6), (5,5), (6,4)
11: (5,6), (6,5)
12: (6,6)

“Ottimo, guarda come si vede bene la struttura”.

“Vedo. Una volta su 36 ottengo 2, 6 volte su 36 ottengo 7”.

“E quindi l'uscita di un 7 ti stupirebbe di meno dell'uscita di un 2”.

“Sì, il 7 me l'aspetto di più.”.

“Questa è la tabella delle frequenze, e delle probabilità di uscita di ogni valore”.

 2: 1 — 0.028
 3: 2 — 0.056
 4: 3 — 0.083
 5: 4 — 0.111
 6: 5 — 0.139
 7: 6 — 0.167
 8: 5 — 0.139
 9: 4 — 0.111
10: 3 — 0.083
11: 2 — 0.056
12: 1 — 0.028

“Molto bene. E adesso?”.

“Adesso calcoliamo l'entropia: ricordi che per ogni valore bisogna calcolare il prodotto tra la probabilità di uscita e il logaritmo in base 2 del reciproco”.

“plog₂(1/p), ricordo. Faccio la tabella:”.

 2: 0.144
 3: 0.232
 4: 0.299
 5: 0.352
 6: 0.396
 7: 0.431
 8: 0.396
 9: 0.352
10: 0.299
11: 0.232
12: 0.144

“Bene, ora somma tutto”.

“Risulta 3.274. Cosa significa?”.

“Significa che, alla lunga, ti bastano 2^3.274 domande per sapere quale valore è uscito. O, in alternativa, la somma di due dadi può rappresentare 2^3.274 = 9.676 valori equiprobabili”.

“Uhm, vabbé”.

“Mettiamola così: i possibili valori che può assumere la somma di due dadi sono 11, ma sono troppi. Possiamo usarne meno, ma non per indovinare che valore è uscito una volta. Immagina di avere una sequenza molto lunga di lanci, diciamo un milione, e di doverla trasmettere. Come potresti fare?”.

“Beh, faccio un elenco e li trasmetto, no?”.

“Vorrei una descrizione più precisa: come è fatto l'elenco?”.

“Una roba del genere: 2, 5, 6, 12, 9, eccetera”.

“Così c'è un gran spreco di roba, però”.

“In che senso?”.

“Hai usato una virgola per separare ogni numero, e anche uno spazio”.

“Ah”.

“Puoi risparmiare spazio, poi la codifica decimale è esagerata”.

“Mh. Ho undici simboli, in qualche modo li devo scrivere”.

“Già, ma te ne bastano 11, non ne servono di più. Per esempio, potresti usare la base 11, e usare questi simboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A”.

“Risparmio un carattere per il 10, l'11 e il 12”.

“Non solo, risparmi anche le virgole e gli spazi. Se scrivi una cosa tipo questa, 71264A03191A26A, non hai bisogno di separare le cifre”.

“Giusto. Ma allora potrei fare di meglio: questi caratteri vengono memorizzati dal computer in modo da sprecare spazio, perché uso un byte per ognuno di essi”.

“Forse anche di più, dipende dalla codifica. Una volta si usava la codifica ASCII a 7 bit, poi siamo passati a 8, poi con l'UNICODE possiamo arrivare a 32 bit”.

“Che spreco. Potrei allora creare una codifica apposta, e rimanere sui 7 bit”.

“Ma sono ancora tanti, no? Con 7 bit si possono codificare 128 simboli, a te ne bastano molti meno”.

“Fino a quanto posso scendere, quindi?”.

“Fino a una codifica di massima entropia”.

“Ah”.

“Qui sta il bello: la codifica migliore è quella che usa soltanto 9.676 simboli, e la puoi ottenere con 3.274 bit. Ovviamente questo è un valore teorico, ma più lunga è la sequenza che vuoi codificare, più vicino puoi arrivare a questo numero”.

“Oh, bello. Ma questo discorso c'entra forse qualcosa con la compressione dei dati?”.

“Certo: ti dice qual è il massimo teorico che puoi raggiungere comprimendo quei dati”.

“Ah. E come si fa a raggiungerlo, in generale? Prendendo una sequenza qualsiasi, voglio dire, non solo la sequenza dei lanci di due dadi”.

“Ah, boh. Il teorema di Shannon ti dice solo che si può fare, non ti dice mica come”.

Capacità — 12. Punto di massima entropia

“Possiamo quindi concludere”.

“Lo studio dell'entropia di un sistema?”.

“O, almeno, di questa prima parte”.

“Ah”.

“Siamo finalmente arrivati alla formula H(p₁, …,p_n) = p₁log₂(1/p₁) + … + p_nlog₂(1/p_n)”.

“Eh, ricordo”.

“Ora prendiamo in considerazione un caso particolare, quello di una sola variabile aleatoria”.

“Eh?”.

“Prendiamo una moneta”.

“Meglio”.

“Non equa: diciamo che la probabilità che esca una faccia sia p”.

“E quindi la probabilità che esca l'altra faccia sarà 1 − p”.

“Esatto, e la formula relativa all'entropia diventa molto semplice: H = plog₂(1/p) + (1 − p)log₂(1/(1 − p))”.

“Ok”.

“Formula di cui possiamo disegnare un grafico”.

“Ah”.

“Eccolo qua”.

“Una parabola?”.

“Assolutamente no: ci sono dei logaritmi, non dei polinomi di secondo grado”.

“Però sembra una parabola”.

“Sembra. Ma non è prolungabile verso il basso come una parabola: questa curva finisce lì, ha un dominio limitato”.

“Ah. E cosa ci dice, questo grafico?”.

“Ci mostra una cosa che avevamo già intuito: l'entropia massima si ha quando p = 1/2”.

“L'avevamo già intuito?”.

“Eh, sì: la moneta più imprevedibile è quella equa, quella per la quale la probabilità di uscita delle due facce è la stessa. Se la moneta fosse sbilanciata, l'entropia sarebbe minore, perché una moneta non equa trasporta meno informazione di una moneta equa. Se 9 volte su 10 esce Testa, sai già cosa aspettarti quando lanci la moneta”.

“Ah, vedo: se la moneta avesse due Teste, l'entropia sarebbe uguale a zero perché non avremmo nemmeno bisogno di lanciarla per sapere quale faccia uscirà”.

“Esatto. La situazione più incerta, quella con maggiore entropia, è quella in cui p = 1/2. Tutte le altre sono più prevedibili”.

“E abbiamo fatto tutto questo per dimostrare una cosa che sapevamo già?”.

“Ehm, beh. Un conto è intuire, un conto è matematizzare”.

“Non ci posso credere”.

Capacità — 11. Entropia

“Abbiamo visto un esempio che aveva lo scopo di calcolare quanta informazione può contenere una moneta truccata”.

“Ricordo: il trucco è stato quello di trasformare il problema della moneta truccata nel problema di un'urna contenente un certo numero di palline, alcune con la scritta Testa e altre con la scritta Croce, in modo da rispettare le probabilità di uscita delle due facce della moneta”.

“Esatto. E ci siamo detti che avremmo potuto generalizzare il discorso”.

“Capirai”.

“Mettiamo in ordine le cose, via. Abbiamo n messaggi diversi, che indichiamo con s₁, s₂, …, s_n, ognuno dei quali ha probabilità p₁, p₂, … p_n”.

“E va bene”.

“Approssimiamo le varie probabilità con delle frazioni: p₁ = k₁/N, p₂ = k₂/N, e così via”.

“Ok. Usiamo le frazioni per ricondurci all'esempio dell'urna con le palline, vero?”.

“Esatto. Costruiamo un'urna che contenga N palline, in modo tale che l'estrazione di una di esse rispetti le probabilità dei singoli messaggi”.

“Perfetto”.

“Ora abbiamo due modi per calcolare il numero di domande che ci servono per individuare una singola pallina. Il primo è quello di dire che ci serve un numero di domande pari al log₂N”.

“E questo era facile. L'altro modo suppongo che sia la generalizzazione di quello che abbiamo visto l'ultima volta”.

“Già. L'altro modo consiste prima di tutto nel calcolare il numero medio di domande per sapere se abbiamo estratto una pallina contenente il messaggio s₁, oppure s₂, eccetera; questo numero lo indichiamo con H(k₁/N, …, k_n/N). A questo valore dobbiamo aggiungere il numero medio di domande per capire quale tra le palline etichettate con s₁ è uscita, quale tra quelle etichettate con s₂, e così via. Questi numeri sono uguali a (k₁/N) log₂k₁, (k₂/N) log₂k₂, eccetera”.

“Fammi provare a scrivere l'uguaglianza”.

“Prego”.

“Allora, ecco:”.

log₂N = H(k₁/N, …,k_n/N) + (k₁/N) log₂k₁ + … + (k_n/N) log₂k_n.

“Ottimo. Ora, spezzando il logaritmo in base 2 di N che hai sinistra, come abbiamo fatto l'altra volta, e ridistribuendolo nei logaritmi di destra, puoi arrivare a questa bella formula:”.

H(k₁/N) = (k₁/N) log₂(N/k₁) + … + (k_n/N) log_2(N/k_n).

“Bella, insomma”.

“E se, al posto di quelle frazioni, rimettiamo le probabilità, ecco questa bellissima formula:”.

H(p₁, …,p_n) = p₁log₂(1/p₁) + … + p_nlog₂(1/p_n).

“Che roba”.

“Per esempio, supponiamo che le statistiche di un certo esame ci dicano che metà degli studenti ha come giudizio Non sai niente torna più avanti, un quarto degli studenti ha come giudizio Te la sei cavata perché non posso bocciare tutti, un ottavo degli studenti ha Forse hai capito qualcosa, e l'ultimo ottavo ha Bene, hai capito, allora l'entropia di informazione di questo sistema-esame che può emettere quattro diversi messaggi è uguale a:”.

H(1/2, 1/4, 1/8, 1/8) = 1/2 log₂2 + 1/4 log₂4 + 1/8 log₂8 + 1/8 log₂8 = 7/4 = 1.75 bit.

“Quindi alla lunga mi servono 1.75 domande per sapere che voto ho preso”.

“Esatto, ma per sapere se l'esame è stato superato te ne basta una sola”.

“Meglio abbreviare le sofferenze”.

“Già”. 

Capacità — 10. Monete truccate

“Rieccoci, pronti per parlare di trasmissioni, canali, capacità”.

“È passato molto tempo”.

“Sì, facciamo un riassuntino. Abbiamo visto come si può calcolare la capacità di un canale che trasmette informazioni, semplificando all'osso il significato di informazione. In pratica, ci siamo ricondotti all'idea che per ottenere informazioni io posso fare domande e ottenere, come risposte, un sì o un no. Con tanti sì e no posso ottenere risposte anche a domande complicate, basta farne abbastanza”.

“Alla fine, abbiamo visto che le domande che servono, in media, sono uguali al logaritmo in base 2… uhm, il logaritmo in base 2 di che cosa?”.

“Del numero di domande che devo fare per capire quale dei tanti messaggi è stato trasmesso, il tutto diviso per la lunghezza dei messaggi in questione”.

“Uhm, ok, devo ripassare”.

“Dopo facciamo un altro esempio, dovrebbe tornare tutto alla mente”.

“Speriamo”.

“Chiamiamo entropia di informazione, quindi, il numero medio minimo di domande che, alla lunga, mi servono per individuare quale messaggio viene trasmesso”.

“Numero medio minimo di domande alla lunga. Non esisteva una definizione più complicata?”.

“Eh. Allora: medio si riferisce al fatto che vogliamo capire, in media, quante domande ci servono per individuare un messaggio. Devo ragionare sulle medie perché in alcuni casi può servire un certo numero di domande, in altri casi un numero di domande maggiore, o minore. Il numero di domande è costante quando il numero di messaggi è una potenza di 2, altrimenti in alcuni casi potrebbero servire meno o più domande rispetto ad altri casi”.

“Va bene, questo lo ricordo”.

“Parliamo di minimo perché voglio fare il minor numero di domande possibile, in media, senza perdere tempo”.

“E questo mi pare logico”.

“E diciamo alla lunga perché più si allungano i messaggi, migliore è il calcolo teorico. Insomma, se per un messaggio abbiamo tre casi da esaminare e possiamo ottenere risposte binarie, in alcuni casi serve una domanda e in altri casi ne servono due. Se però cominciamo ad accumulare messaggi, allora il calcolo che facciamo si avvicina sempre di più al logaritmo”.

“Vero, ricordo anche questo esempio”.

“Se, per esempio, abbiamo una moneta non truccata, in cui cioè le due facce hanno entrambe probabilità pari a 1/2 di presentarsi, allora indichiamo con H(1/2, 1/2) l'entropia di informazione della moneta”.

“Mi serve una domanda sola per scoprire cos'è uscito, no?”.

“Certo. Una domanda con una moneta, due domande con due monete, tre domande con tre monete, e così via. Alla lunga, ma anche alla corta, ti serve una domanda per moneta”.

“Quindi l'entropia vale 1. Uno cosa, poi?”.

“Un bit: l'avevamo chiamata così, l'unità di misura”.

“Giusto”.

“Ora prendiamo una moneta truccata. Una moneta leggermente sbilanciata, in cui Testa ha probabilità di uscita pari a 2/5, e Croce ha probabilità 3/5. Vogliamo calcolare l'entropia di questa moneta, cioè H(2/5, 3/5). Ti aspetti che sia maggiore o minore di 1?”.

“Uhm, non saprei”.

“Ti è più facile conoscere il risultato del lancio di questa moneta, o di quella equilibrata?”.

“Ah, se la metti così… quella equilibrata è imprevedibile, non posso assolutamente prevedere cosa uscirà”.

“Mentre l'altra?”.

“Bè, l'altra è leggermente sbilanciata, se dovessi scommettere, alla lunga direi che è più conveniente scommettere su Croce”.

“Quindi sai qualcosa di più: quella moneta è più prevedibile”.

“Allora l'entropia dovrebbe essere minore di 1: se l'imprevedibilità totale la risolvo con una domanda, questa dovrei risolverla con un po' meno fatica. Ma come la calcoliamo?”.

“Simuliamo la moneta con un'urna contenente cinque palline: due sono contrassegnate con la T e tre, invece, con la C”.

“Ok”.

“Ora calcoliamo, prima di tutto, l'entropia di quest'urna, supponendo che essa contenga 5 palline distinguibili”.

“Ah, quindi non ci interessa soltanto sapere se esce T o C?”.

“Per ora no, vogliamo più dettaglio”.

“Allora, è come se ci fossero 5 scelte e io dovessi scoprire quale di queste è stata fatta. Da tutto quello che abbiamo detto, oserei dire che l'entropia è il logaritmo in base 2 di 5”.

“Esatto, abbiamo fatto tutta la fatica che abbiamo fatto per poter, ora, rispondere velocemente a questa domanda. Alla lunga ti servono, in media, log₂5 domande”.

“Bene. Quindi?”.

“Quindi ora possiamo rifare lo stesso calcolo in un altro modo. Per sapere quale pallina è uscita, prima di tutto devi sapere se è uscito T o C, e poi quale T o quale C”.

“Oserei dire che è ovvio, ma non capisco come mi possa aiutare”.

“Il numero medio di domande che devi fare per sapere se è uscito T o C è proprio H(2/5, 3/5)”.

“Grazie, ma non lo conosco!”.

“Non importa, è quello, teniamolo indicato”.

“Ah, vabbé”.

“Poi, per sapere quale T…”.

“Mi serve ancora una domanda, perché le T sono due!”.

“Esatto. Attenzione: 2 volte su 5 ti basta una domanda, perché la T esce 2 volte su 5. Permettimi però di indicare il numero di domande (che è pari a 1, in questo caso) come log₂2”.

“Ok, complichiamoci la vita. Se invece è uscita C… so che di C ce ne sono 3, uhm”.

“Quante domande devi fare per distinguere un oggetto tra 3?”.

“Ah, ma è il solito problema: il logaritmo in base 2 di 3”.

“Esatto. Quindi 3 volte su 5 ti serve un numero di domande pari a log₂3”.

“Come metto insieme tutto questo?”.

“Da un lato hai visto che per scoprire quale pallina è uscita dall'urna ti servono log₂5 domande, dall'altro hai visto che puoi arrivare allo stesso risultato prima chiedendoti prima solo se è uscito T o C, e poi quale T o quale C, e cioè H(2/5, 3/5) + 2/5 log₂2 + 3/5 log₂3”.

“Mi stai dicendo che abbiamo trovato che log₂5 = H(2/5, 3/5) + 2/5 log₂2 + 3/5 log₂3?

“Esatto”.

“Ma allora posso ricavare H(2/5, 3/5)!”.

“Certo, abbiamo fatto tutta questa fatica per questo motivo. Avanti, arriva alla fine”.

“Ecco qua: H(2/5, 3/5) = log₂5 − 2/5 log₂2 − 3/5 log₂3”.

“Permettimi di giocare un po' con le proprietà dei logaritmi, per scrivere questa formula in un modo più carino e generalizzabile”.

“Va bene”.

“Spezzo in due parti il log₂5: dico che è uguale a 2/5 log₂5 + 3/5 log₂5”.

“Giusto. Vedo che hai usato gli stessi coefficienti dell'altra parte”.

“Esatto. Al momento l'uguaglianza è diventata così: H(2/5,3/5) = 2/5 log₂5 + 3/5 log₂5 − 2/5 log₂2 − 3/5 log₂3”.

“Va bene. Suppongo che metterai insieme i pezzi con gli stessi coefficienti, giusto?”.

“Sì, scrivo in questo modo: H(2/5, 3/5) = 2/5 (log₂5 − log₂2) + 3/5 (log₂5 − log₂3)”.

“E ora?”.

“Trasformo le differenze tra logaritmi in logaritmi di rapporti: H(2/5, 3/5) = 2/5 log₂(5/2) + 3/5 log₂(5/3)”.

“Ah, carino”.

“Bè, puoi fare il calcolo adesso. Viene minore di 1 come ti aspettavi?”.

“Vediamo… viene 0.971. Un po' meno, sì: bella roba”.

“E naturalmente tutto questo si può generalizzare”.

“Non potremmo certo privare un Vero Matematico del piacere di una generalizzazione”.

“Eh, già”.