«Applichiamo il principio di inclusione-esclusione alla soluzione di questo quesito: sapendo che ci sono 168 numeri primi minori di 1000, quanti sono i numeri primi da ingegnere minori di 1000? Con numero primo da ingegnere intendiamo ogni numero composito non divisibile per 2, per 3 e per 5».
«Poveri ingegneri…».
«Ma no, hanno le spalle robuste. Poi, con le calcolatrici si sbagliano anche meno, adesso».
«MA DAI!».
«Ok, ok, la smetto. Risolviamo il quesito, allora?».
«Forse è meglio. Da dove cominciamo?».
«Cominciamo a contare: quanti sono i numeri divisibili per 2 minori di 1000?».
«Facile, 500».
«Sbagliato! Minori di 1000, non minori o uguali!».
«Ah. Allora, ci sono 999 numeri minori di 1000, quelli pari sono 499».
«Oh, andiamo meglio. Bisogna prendere la parte intera inferiore di 999/2, cioè bisogna buttare via i decimali senza approssimare».
«Ho capito».
«Quanti sono, allora, i numeri divisibili per 3 minori di 1000?».
«Sono la parte intera inferiore di 999/3, cioè 333».
«E quelli divisibili per 5?».
«Sono la parte intera inferiore di 999/5, cioè 199».
«Perfetto. È come se avessimo tre insiemi A, B e C, tali che |A| = 499, |B| = 333 e |C| = 199».
«Ah, ho capito: per trovare i numeri divisibili per 2, 3 oppure 5 non possiamo semplicemente sommare questi valori, perché alcuni numeri verrebbero contati due volte. Per esempio 6 sta sia in A che in B».
«Proprio così, dobbiamo quindi sottrarre |A∩B|, |A∩C| e |B∩C|».
«Vediamo, i numeri che stanno sia in A che in B sono quelli divisibili sia per 2 che per 3».
«Cioè sono quelli divisibili per 6».
«Giusto: sono la parte intera inferiore di 999/6, cioè 166».
«Poi ci sono quelli divisibili per 2 e per 5».
«Sono quelli divisibili per 10, e sono quindi la parte intera inferiore di 999/10, cioè 99».
«E infine ci sono quelli divisibili per 3 e per 5».
«Che sono la parte intera inferiore di 999/15, cioè 66».
«Ma ancora non basta: se sottraiamo questi valori, togliamo troppo. Cosa dobbiamo riaggiungere?».
«Tutti i numeri divisibili per 2, 3 e 5, cioè quelli divisibili per 30. Sono la parte intera inferiore di 999/30, cioè 33».
«Quindi il calcolo finale che risultato ti dà?».
«Allora, vediamo: ho calcolato che ci sono 499 + 333 + 199 - 166 - 99 - 66 + 33 = 733 numeri divisibili per 2, per 3 oppure per 5».
«Quindi quanti sono i numeri primi da ingegnere?».
«Ho 999 numeri che vanno da 1 a 999; escludo 1 che non è primo e non è composito, e questo dovrebbe saperlo anche un ingegnere».
«Ah, ti metti a fare battute anche tu!».
«Ehm, mi è scappata. Dicevo, escludo 1 e mi rimangono 998 numeri. Sottraggo i numeri divisibili per 2, 3 oppure 5, che sono 733, e mi rimangono 265 numeri. Sottraggo anche i 168 numeri primi compresi tra 1 e 100…».
«Attenzione!».
«Cosa succede?».
«Tra i 168 numeri primi che stai sottraendo ci sono anche 2, 3 e 5».
«Ah, cavolo!».
«Non li puoi sottrarre due volte».
«Giusto, quindi da 265 non devo sottrarre 168, ma 165: mi rimane 100».
«Che è la soluzione giusta: ci sono 100 numeri primi da ingegnere minori di 1000».
«Sono tanti! Poveri ingegneri, chissà quanti errori faranno… Per fortuna hanno le calcolatrici».
«Per fortuna».
4 commenti:
Bello!
...e se invece che quattro insiemi ne avessimo una collezione in cui a ogni insieme faccio corrispondere un punto dell'intervallo [0,1]?
Lì le cose si fanno interessanti :)
Marco
eh...
I numeri divisibili per 2 inferiori di 1000 sono infiniti, se non si specifica di che insieme si parla. ;)
Tutti i numeri negativi sono inferiori di 1000! ;)
L'obiezione + ovvia è che si parli di numeri da ingenere, quindi se i numeri negativi non lo sono, cosa che non so. Parla di un insieme specifico in ogni caso i numeri >1 e <1000
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