«Beati loro».
«Chi?».
«Tutti! Gli studenti, i professori…».
«Eh, vero. Comunque: quanti studenti ci sono?».
«Venti, naturalmente, che domanda è?».
«Era una domanda di riscaldamento».
«Vai con le domande serie, allora».
«In una classe ci sono sei studenti che hanno avuto il debito in matematica e cinque che l'hanno avuto in italiano. Quanti studenti hanno avuto almeno un debito in italiano o in matematica?».
«Mh, non devo fare sei più cinque, ci sono anche i somari che hanno avuto il debito sia in italiano che in matematica!».
«Quindi?».
«Quindi devi dirmi quanti sono questi somari».
«Sono due».
«Ok, allora ci sono nove studenti indebitati».
«Bene, possiamo visualizzare la situazione con un disegnino:».
«Uh, gli insiemi».
«Sì, loro. Ci sono 6 elementi nell'insieme di sinistra…».
«…compresa la parte in comune con quello di destra».
«Esatto; e ci sono cinque elementi in quello di destra, compresa la parte in comune con quello di sinistra».
«E 2 nella parte in comune».
«Quindi qual è l'operazione da fare per calcolare il totale degli studenti?».
«Dobbiamo fare 6 + 5 - 2».
«Giusto. Sai spiegare in modo convincente perché si toglie 2?».
«Perché quando calcoliamo 6 + 5 teniamo conto della zona in comune per due volte, mentre dovremmo contarla una volta sola: la zona in comune non deve contare doppio, o la inseriamo nell'insieme di sinistra, o la inseriamo in quello di destra, ma non in entrambi».
«Molto bene. È come se noi segnassimo con un gettone le parti degli insiemi che stiamo contando: quando utilizziamo il 6, teniamo conto di queste due zone:».
«Ah, ho capito: quando utilizziamo il 5 teniamo conto della zona di destra e, nuovamente, della zona centrale. In questo modo la zona centrale ha due gettoni:».
«Proprio così: ecco che si capisce il motivo per cui dobbiamo sottrarre la parte centrale».
«Perché l'abbiamo contata due volte!».
«Già. Ora, se chiamiamo A e B i due insiemi, riusciamo a scrivere una formula per il calcolo del numero totale degli elementi contenuti nella loro unione?».
«Aspetta, dunque: unione è tutto ciò che contengono gli insiemi, senza distinzione, vero?».
«Sì, è la parte colorata, non importa di quale colore. I Veri Matematici dicono che l'unione dei due insiemi (che si scrive A∪B) contiene gli elementi che stanno in A oppure in B (dove oppure non è da intendersi in senso esclusivo, va bene qualsiasi elemento appartenga ad almeno uno dei due insiemi)».
«Vero, mi ricordo. Invece l'intersezione è la parte in comune, giusto?».
«Esatto. L'intersezione A∩B tra due insiemi contiene gli elementi che appartengono all'insieme A e all'insieme B».
«Ok, allora direi che la formula sia… uhm, come indico il numero di elementi di un insieme?».
«Puoi usare questo simbolo: |A|. Ricordi che abbiamo parlato per tanto tempo di cardinalità di un insieme, vero?».
«Come potrei dimenticare?».
«Ecco, bene. Allora, come scrivi la formula?».
«|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|».
«Perfetto».
«E adesso?».
«Adesso lo facciamo con tre insiemi».
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