lunedì 28 ottobre 2013

Inclusione—esclusione, parte 4: la soluzione del quesito

«Applichiamo il principio di inclusione-esclusione alla soluzione di questo quesito: sapendo che ci sono 168 numeri primi minori di 1000, quanti sono i numeri primi da ingegnere minori di 1000? Con numero primo da ingegnere intendiamo ogni numero composito non divisibile per 2, per 3 e per 5».

«Poveri ingegneri…».

«Ma no, hanno le spalle robuste. Poi, con le calcolatrici si sbagliano anche meno, adesso».

«MA DAI!».

«Ok, ok, la smetto. Risolviamo il quesito, allora?».

«Forse è meglio. Da dove cominciamo?».

«Cominciamo a contare: quanti sono i numeri divisibili per 2 minori di 1000?».

«Facile, 500».

«Sbagliato! Minori di 1000, non minori o uguali!».

«Ah. Allora, ci sono 999 numeri minori di 1000, quelli pari sono 499».

«Oh, andiamo meglio. Bisogna prendere la parte intera inferiore di 999/2, cioè bisogna buttare via i decimali senza approssimare».

«Ho capito».

«Quanti sono, allora, i numeri divisibili per 3 minori di 1000?».

«Sono la parte intera inferiore di 999/3, cioè 333».

«E quelli divisibili per 5?».

«Sono la parte intera inferiore di 999/5, cioè 199».

«Perfetto. È come se avessimo tre insiemi A, B e C, tali che |A| = 499, |B| = 333 e |C| = 199».

«Ah, ho capito: per trovare i numeri divisibili per 2, 3 oppure 5 non possiamo semplicemente sommare questi valori, perché alcuni numeri verrebbero contati due volte. Per esempio 6 sta sia in A che in B».

«Proprio così, dobbiamo quindi sottrarre |AB|, |AC| e |BC|».

«Vediamo, i numeri che stanno sia in A che in B sono quelli divisibili sia per 2 che per 3».

«Cioè sono quelli divisibili per 6».

«Giusto: sono la parte intera inferiore di 999/6, cioè 166».

«Poi ci sono quelli divisibili per 2 e per 5».

«Sono quelli divisibili per 10, e sono quindi la parte intera inferiore di 999/10, cioè 99».

«E infine ci sono quelli divisibili per 3 e per 5».

«Che sono la parte intera inferiore di 999/15, cioè 66».

«Ma ancora non basta: se sottraiamo questi valori, togliamo troppo. Cosa dobbiamo riaggiungere?».

«Tutti i numeri divisibili per 2, 3 e 5, cioè quelli divisibili per 30. Sono la parte intera inferiore di 999/30, cioè 33».

«Quindi il calcolo finale che risultato ti dà?».

«Allora, vediamo: ho calcolato che ci sono 499 + 333 + 199 - 166 - 99 - 66 + 33 = 733 numeri divisibili per 2, per 3 oppure per 5».

«Quindi quanti sono i numeri primi da ingegnere?».

«Ho 999 numeri che vanno da 1 a 999; escludo 1 che non è primo e non è composito, e questo dovrebbe saperlo anche un ingegnere».

«Ah, ti metti a fare battute anche tu!».

«Ehm, mi è scappata. Dicevo, escludo 1 e mi rimangono 998 numeri. Sottraggo i numeri divisibili per 2, 3 oppure 5, che sono 733, e mi rimangono 265 numeri. Sottraggo anche i 168 numeri primi compresi tra 1 e 100…».

«Attenzione!».

«Cosa succede?».

«Tra i 168 numeri primi che stai sottraendo ci sono anche 2, 3 e 5».

«Ah, cavolo!».

«Non li puoi sottrarre due volte».

«Giusto, quindi da 265 non devo sottrarre 168, ma 165: mi rimane 100».

«Che è la soluzione giusta: ci sono 100 numeri primi da ingegnere minori di 1000».

«Sono tanti! Poveri ingegneri, chissà quanti errori faranno… Per fortuna hanno le calcolatrici».

«Per fortuna».

4 commenti:

Anonimo ha detto...

Bello!
...e se invece che quattro insiemi ne avessimo una collezione in cui a ogni insieme faccio corrispondere un punto dell'intervallo [0,1]?
Lì le cose si fanno interessanti :)

Marco

zar ha detto...

eh...

Anonimo ha detto...

I numeri divisibili per 2 inferiori di 1000 sono infiniti, se non si specifica di che insieme si parla. ;)
Tutti i numeri negativi sono inferiori di 1000! ;)

Anonimo ha detto...

L'obiezione + ovvia è che si parli di numeri da ingenere, quindi se i numeri negativi non lo sono, cosa che non so. Parla di un insieme specifico in ogni caso i numeri >1 e <1000