“Insomma, i nuovi numeri che vengono generati ogni giorno sono meno di quello che mi aspettavo”.
“Sì, è vero, esistono molti modi diversi per descrivere lo stesso numero: il teorema di semplificazione ci aiuta molto”.
“E quindi, alla fine, quanti nuovi numeri ci saranno ogni giorno? Si riesce a capire?”.
“Sì, certo. Le cose stanno così; supponi che dopo un certo numero di giorni siano stati creati m numeri:”.
x1 < x2 < … < xm
“Ok. Il giorno dopo che succede?”.
“Il giorno dopo saranno creati questi numeri:”.
{|x1}, {x1|x2}, {xm-1|xm}, {xm|}.
“Ah. Ogni altra possibile combinazione è quindi uguale a una di queste?”.
“Sì, è il teorema di semplificazione che ce lo dice. Per esempio, {x1|x3} è uguale al numero più anziano compreso tra x1 e x3”.
“Che in questo caso è x2”.
“Sì, perché c'è solo lui. In altri casi più complicati bisogna proprio controllare l'anzianità dei numeri compresi, e scegliere il più vecchio”.
“Quindi il giorno 1 abbiamo un solo numero, lo zero. Il giorno 2 abbiamo lo 0, +1 e -1, il giorno 3 abbiamo 0, +1/2, +1, +2, -1/2, -1, -2”.
“E, in generale, il giorno n abbiamo 2n-1 numeri”.
“Ho capito. Ma i nuovi numeri che vengono generati ogni giorno che forma hanno? C'è una legge che ci dice quali sono questi nuovi numeri?”.
“Sì. Ogni giorno vengono creati due nuovi numeri interi, che sono quelli che nella lista abbiamo indicato con {|x1} e {xm|}”.
“Bene, questi li avevo capiti. Per esempio, 1 = {0|}, 2 = {1|}, 3 = {2|}, e così via”.
“Esatto. Gli altri, quelli che genericamente abbiamo indicato con {xi-1|xi}, sono uguali alla media tra xi-1 e xi”.
“Ah, ecco come funziona! Quindi, per fare un esempio, {1/2|3/4} dovrebbe essere uguale a 5/8”.
“Proprio così. Riassumendo, ogni giorno vengono creati nuovi numeri interi e nuove frazioni il cui denominatore è una potenza di 2. Sono quelle che vengono chiamate frazioni diadiche”.
“Ma allora non vengono creati tutti i numeri reali. Anzi, non vengono creati nemmeno tutti i numeri razionali! Per esempio, il semplice 1/3 non fa parte di questa lista”.
“Esatto: i numeri reali non vengono creati dopo un tempo finito”.
venerdì 25 settembre 2009
sabato 19 settembre 2009
Un sistema infallibile per vincere al lotto
Signore e signori, sono qui a proporvi un metodo infallibile per vincere al lotto. Prendiamo la giocata meno rischiosa, quella che si chiama ambata: si tratta di indovinare un numero secco su una ruota. Dato che vengono estratti cinque numeri su novanta, la probabilità di vincere è 1/18.
Se noi giochiamo un euro, e indoviniamo, i signori del lotto ci pagano 11,23 euro lordi, dai quali vanno sottratte le trattenute del 6%: la vincita netta sarà di 10.56 euro. Il nostro guadagno sarà quindi pari a 9.56 euro.
Supponiamo di scegliere un numero, per esempio il 22, e una ruota, per esempio quella di Cagliari. Supponiamo anche di non vincere al primo colpo.
Allora usiamo questo trucchetto: alla successiva estrazione non giochiamo un euro soltanto, ma giochiamo 1 euro e 10 centesimi. Perché? Perché così la vincita sarà di circa 11.66 euro: in questo modo recuperiamo il primo euro giocato e perso, e guadagniamo ancora 9.56 euro. Si tratta solo di aspettare qualche giorno in più.
Cosa succede se non indoviniamo nemmeno la seconda estrazione? Bé, è facile, alla terza giochiamo 1.22 euro: la vincita sarà di circa 12,88 euro che ci ripaga delle prime due giocate e ci permette di guadagnare ancora i nostri 9.56 euro.
Ormai avete capito il metodo infallibile, no? Ogni volta aumentiamo un po' la giocata, in modo da recuperare i soldi persi nelle giocate precedenti. Dopo 18 volte la giocata sarà di soli 5.43 euro, che ci permetterà di vincere 57.3 euro (cioè tutte le 17 giocate precedenti che abbiamo perso, più i famosi 9,56 euro che volevamo vincere fin dall'inizio).
Come? Non è detto che il 22 esca sulla ruota di Cagliari ogni 18 estrazioni? Sì, è vero, in effetti è così: a volte i numeri ritardano un po'. Oh, mi accorgo solo adesso che il 22 è da un po' di tempo che non esce, e, guarda un po', proprio sulla ruota di Cagliari: non esce da 122 estrazioni. Sì, c'è da aspettare un po' di più, ma in fondo alla fine si vince sempre, no?
Volete sapere quanto si deve giocare la centoventiduesima settimana per vincere, recuperando tutte le giocate precedenti? Ecco, sono 169016.51 euro. Lo scrivo per esteso: centosessantavonemilasedici euro, e 51 centesimi. Quanti soldi sono stati giocati, in tutto? 1784804.81
Un milione e settecentoottantaquattromilaottocentoquattro euro, e 81 centesimi.
Però alla fine guadagniamo 9.56 euro, eh.
(P.S. Ho avuto molti dubbi riguardo la scrittura corretta di guadagniamo, ma pare che sia giusto così)
Se noi giochiamo un euro, e indoviniamo, i signori del lotto ci pagano 11,23 euro lordi, dai quali vanno sottratte le trattenute del 6%: la vincita netta sarà di 10.56 euro. Il nostro guadagno sarà quindi pari a 9.56 euro.
Supponiamo di scegliere un numero, per esempio il 22, e una ruota, per esempio quella di Cagliari. Supponiamo anche di non vincere al primo colpo.
Allora usiamo questo trucchetto: alla successiva estrazione non giochiamo un euro soltanto, ma giochiamo 1 euro e 10 centesimi. Perché? Perché così la vincita sarà di circa 11.66 euro: in questo modo recuperiamo il primo euro giocato e perso, e guadagniamo ancora 9.56 euro. Si tratta solo di aspettare qualche giorno in più.
Cosa succede se non indoviniamo nemmeno la seconda estrazione? Bé, è facile, alla terza giochiamo 1.22 euro: la vincita sarà di circa 12,88 euro che ci ripaga delle prime due giocate e ci permette di guadagnare ancora i nostri 9.56 euro.
Ormai avete capito il metodo infallibile, no? Ogni volta aumentiamo un po' la giocata, in modo da recuperare i soldi persi nelle giocate precedenti. Dopo 18 volte la giocata sarà di soli 5.43 euro, che ci permetterà di vincere 57.3 euro (cioè tutte le 17 giocate precedenti che abbiamo perso, più i famosi 9,56 euro che volevamo vincere fin dall'inizio).
Come? Non è detto che il 22 esca sulla ruota di Cagliari ogni 18 estrazioni? Sì, è vero, in effetti è così: a volte i numeri ritardano un po'. Oh, mi accorgo solo adesso che il 22 è da un po' di tempo che non esce, e, guarda un po', proprio sulla ruota di Cagliari: non esce da 122 estrazioni. Sì, c'è da aspettare un po' di più, ma in fondo alla fine si vince sempre, no?
Volete sapere quanto si deve giocare la centoventiduesima settimana per vincere, recuperando tutte le giocate precedenti? Ecco, sono 169016.51 euro. Lo scrivo per esteso: centosessantavonemilasedici euro, e 51 centesimi. Quanti soldi sono stati giocati, in tutto? 1784804.81
Un milione e settecentoottantaquattromilaottocentoquattro euro, e 81 centesimi.
Però alla fine guadagniamo 9.56 euro, eh.
(P.S. Ho avuto molti dubbi riguardo la scrittura corretta di guadagniamo, ma pare che sia giusto così)
domenica 13 settembre 2009
Sono già passati dieci anni
Esattamente dieci anni fa mandai questo messaggio a una lista di amici: riuscii a vedere il loro sguardo di compatimento attraverso il monitor.
Un minuto di silenzio per commemorare la più grande catastrofe che ha colpito la Terra da quando l'impatto con un meteorite ha causato l'estinzione dei dinosauri. Centinaia di persone disperse nello spazio, migliaia di morti sulla Terra, un intero continente radioattivo, non ci saranno più maree.
Addio, Luna.
sabato 12 settembre 2009
Monodialogo, ovvero: sottile è la linea che ci separa dalla follia
“Cosa fai?”.
“Preparo lo zaino”.
“Lo sai che nostra moglie ci ha detto che è meglio se non andiamo in montagna da soli”.
“Oh, senti, dobbiamo andare in montagna perché lei ha lasciato dell'insalata nel frigo?”.
“Sì”.
“E allora questo non ci consente di godere di punti-moglie illimitati, almeno per oggi?”.
“Mh, sarà. E allora perché non ci vestiamo con gli abiti che stai infilando dentro allo zaino, come se tu volessi tenerli nascosti?”.
“Perché non so bene cosa faremo: andiamo su, vuotiamo il frigo, poi vediamo che tempo fa”.
...
“Bene, ora che abbiamo disinnescato la bomba all'insalata, possiamo tornare a casa?”.
“A casa? Mi piacerebbe andare a vedere com'è il tempo al Lago Santo”.
“Come vuoi che sia? Il cielo è tutto nuvoloso, non potrà essere molto diverso da quello che c'è qui”.
“Vabbè, io vado a vedere lo stesso”.
“Non è che poi vuoi salire da qualche parte, vero? Vogliamo solo andare a vedere, no?”.
“Certamente”.
...
“Ecco, visto che nuvole? Non è proprio il caso di salire”.
“Forse è vero. Mettiamoci i vestiti da montagna”.
“E cosa ce ne facciamo?”.
“Qua ci sono molti alberi, non si vede bene il cielo; metti che dal lago vediamo che c'è bel tempo: possiamo fare un giretto”.
“Figurati”.
...
“Visto? Nuvole”.
“Vedo. Andiamo dentro al rifugio”.
“A far cosa?”.
“Non abbiamo da mangiare, io prenderei qualcosa. Un gelatino”.
“Va bene”.
...
“Andiamo?”.
“Aspetta che guardo la cartina”.
“Perché?”.
“Voglio chiedere un'informazione al rifugiaio: — Scusi? Per andare al passo Boccaia si prende il sentiero 529? Bene, grazie”.
“Non andiamo a casa, suppongo”.
“Dai, il passo Boccaia è vicino. Aspetta — Senta, cosa dicono le previsioni? Pioverà oggi? Solo se smette il vento? Bene, grazie”.
“Quindi?”.
“Senti che vento? Possiamo andare”.
...
“Ecco il passo Boccaia, bello, freddo, andiamo”.
“Andiamo”.
“No, ma, non di là”.
“Il Giovo è di là”.
“Andiamo sul Giovo?”.
“Mi piacerebbe”.
“Era la tua intenzione fin da quando siamo partiti, eh?”.
“Ehm”.
...
“Senti, quelle persone che abbiamo incrociato poco fa hanno detto che su c'è un vento fortissimo e gelido. Siamo sicuri di aver preso vestiti abbastanza pesanti?”.
“Direi di sì, mal che vada si torna giù”.
“Sì, figuriamoci. Saresti capace di salire anche con un costume da bagno. Ma non ti inquieta un po' salire da solo?”.
“Un po', sì. Ho sempre il terrore di incrociare un cinghiale”.
“Ma qui è alto, e c'è freddo, figuriamoci se ci sono cinghiali”.
“E se ce n'è uno? Che faccio? Mi ci vorrebbe la valigetta dei coltelli di Locke. Ma poi, non mi ci vedo mica tanto a usare un coltello contro a un cinghiale”.
“No, decisamente no. Soprattutto perché ci fanno paura persino le cavallette”.
“Bleah, le cavallette. Piuttosto un cinghiale”.
...
“Uno dei vantaggi a salire da soli è il silenzio. Che bello”.
“Appunto”.
“Ehm”.
...
“Il fatto che stiamo camminando inclinati non ci preoccupa?”.
“Ma no, il vento tiene lontana la pioggia, siamo tranquilli”.
“Freddino però”.
“Già. Eccoci al crinale finale”.
“E adesso? Da che parte andiamo? Dov'è la vetta?”.
“Ehm, non si vede bene”.
“Non si vede niente, siamo in mezzo alle nuvole”.
“Proviamo di qua”.
...
“Legge di Murphy?”.
“Esatto. Torniamo indietro, la vetta è dall'altra parte”.
...
“Secondo me il fatto che non ci sia nessuno quassù ha un qualche significato. Perché ce ne stiamo seduti qui, sotto la croce, con il vento che ci gela la schiena, invece di scendere?”.
“Perché è bello. Quando ci ricapiterà di essere completamente soli con i nostri pensieri?”.
“Ma cosa stai facendo?”.
“Attivo fring, tramite l'interfaccia per gtalk aggiorno il mio stato su pingdotfm che automaticamente aggiorna twitter e facebook”.
“Non parlavi di solitudine?”.
“Sì, bé, questo è per tranquillizzare nostra moglie, così sa dove siamo”.
“Tranquillizzare o fare inferocire?”.
“Bello questo silenzio, vero?”.
...
“Oh, adesso che siamo scesi un po' c'è meno freddo, si sta meglio”.
“Sì, il vento si è calmato un po'”.
“Oh-oh...”.
“Sta piovendo”.
“Per fortuna manca poco”.
“E abbiamo questo giacchino impermeabile”.
“Questa pioggia mi fa venire in mente quella volta alle elementari in cui ho scritto l'unico tema decente di tutta la mia carriera scolastica”.
“Eh, ricordo. Che tristezza la nostra capacità di scrivere”.
“Mai stati capaci”.
“Eppure, quel tema... Parlava della bellezza della pioggia”.
“Più precisamente, della bellezza di uscire di casa con l'ombrello quando piove”.
“Sì, l'ombrello è come uno scudo, che ti difende dal bagnato e ti consente di camminare tra la pioggia”.
“Che bello. E pensare che fino a che non abbiamo conosciuto nostra moglie pensavamo che fosse Male uscire senza ombrello”.
“E bagnarsi? Figuriamoci. Contro natura”.
“È stata lei a farci capire la bellezza di... faccio ancora fatica a dirlo... andare sotto la pioggia senza ombrello”.
“Ma tu guarda come corre la mente quando si è completamente soli”.
“Ormai siamo arrivati: là c'è il rifugio, c'è della gente, fine del giro”.
“Peccato”.
“Già”.
Bé, insomma, sono stato a fare un giretto in montagna, in una giornata non proprio consigliabile dal punto di vista meteorologico. Qui c'è qualche foto.
“Preparo lo zaino”.
“Lo sai che nostra moglie ci ha detto che è meglio se non andiamo in montagna da soli”.
“Oh, senti, dobbiamo andare in montagna perché lei ha lasciato dell'insalata nel frigo?”.
“Sì”.
“E allora questo non ci consente di godere di punti-moglie illimitati, almeno per oggi?”.
“Mh, sarà. E allora perché non ci vestiamo con gli abiti che stai infilando dentro allo zaino, come se tu volessi tenerli nascosti?”.
“Perché non so bene cosa faremo: andiamo su, vuotiamo il frigo, poi vediamo che tempo fa”.
...
“Bene, ora che abbiamo disinnescato la bomba all'insalata, possiamo tornare a casa?”.
“A casa? Mi piacerebbe andare a vedere com'è il tempo al Lago Santo”.
“Come vuoi che sia? Il cielo è tutto nuvoloso, non potrà essere molto diverso da quello che c'è qui”.
“Vabbè, io vado a vedere lo stesso”.
“Non è che poi vuoi salire da qualche parte, vero? Vogliamo solo andare a vedere, no?”.
“Certamente”.
...
“Ecco, visto che nuvole? Non è proprio il caso di salire”.
“Forse è vero. Mettiamoci i vestiti da montagna”.
“E cosa ce ne facciamo?”.
“Qua ci sono molti alberi, non si vede bene il cielo; metti che dal lago vediamo che c'è bel tempo: possiamo fare un giretto”.
“Figurati”.
...
“Visto? Nuvole”.
“Vedo. Andiamo dentro al rifugio”.
“A far cosa?”.
“Non abbiamo da mangiare, io prenderei qualcosa. Un gelatino”.
“Va bene”.
...
“Andiamo?”.
“Aspetta che guardo la cartina”.
“Perché?”.
“Voglio chiedere un'informazione al rifugiaio: — Scusi? Per andare al passo Boccaia si prende il sentiero 529? Bene, grazie”.
“Non andiamo a casa, suppongo”.
“Dai, il passo Boccaia è vicino. Aspetta — Senta, cosa dicono le previsioni? Pioverà oggi? Solo se smette il vento? Bene, grazie”.
“Quindi?”.
“Senti che vento? Possiamo andare”.
...
“Ecco il passo Boccaia, bello, freddo, andiamo”.
“Andiamo”.
“No, ma, non di là”.
“Il Giovo è di là”.
“Andiamo sul Giovo?”.
“Mi piacerebbe”.
“Era la tua intenzione fin da quando siamo partiti, eh?”.
“Ehm”.
...
“Senti, quelle persone che abbiamo incrociato poco fa hanno detto che su c'è un vento fortissimo e gelido. Siamo sicuri di aver preso vestiti abbastanza pesanti?”.
“Direi di sì, mal che vada si torna giù”.
“Sì, figuriamoci. Saresti capace di salire anche con un costume da bagno. Ma non ti inquieta un po' salire da solo?”.
“Un po', sì. Ho sempre il terrore di incrociare un cinghiale”.
“Ma qui è alto, e c'è freddo, figuriamoci se ci sono cinghiali”.
“E se ce n'è uno? Che faccio? Mi ci vorrebbe la valigetta dei coltelli di Locke. Ma poi, non mi ci vedo mica tanto a usare un coltello contro a un cinghiale”.
“No, decisamente no. Soprattutto perché ci fanno paura persino le cavallette”.
“Bleah, le cavallette. Piuttosto un cinghiale”.
...
“Uno dei vantaggi a salire da soli è il silenzio. Che bello”.
“Appunto”.
“Ehm”.
...
“Il fatto che stiamo camminando inclinati non ci preoccupa?”.
“Ma no, il vento tiene lontana la pioggia, siamo tranquilli”.
“Freddino però”.
“Già. Eccoci al crinale finale”.
“E adesso? Da che parte andiamo? Dov'è la vetta?”.
“Ehm, non si vede bene”.
“Non si vede niente, siamo in mezzo alle nuvole”.
“Proviamo di qua”.
...
“Legge di Murphy?”.
“Esatto. Torniamo indietro, la vetta è dall'altra parte”.
...
“Secondo me il fatto che non ci sia nessuno quassù ha un qualche significato. Perché ce ne stiamo seduti qui, sotto la croce, con il vento che ci gela la schiena, invece di scendere?”.
“Perché è bello. Quando ci ricapiterà di essere completamente soli con i nostri pensieri?”.
“Ma cosa stai facendo?”.
“Attivo fring, tramite l'interfaccia per gtalk aggiorno il mio stato su pingdotfm che automaticamente aggiorna twitter e facebook”.
“Non parlavi di solitudine?”.
“Sì, bé, questo è per tranquillizzare nostra moglie, così sa dove siamo”.
“Tranquillizzare o fare inferocire?”.
“Bello questo silenzio, vero?”.
...
“Oh, adesso che siamo scesi un po' c'è meno freddo, si sta meglio”.
“Sì, il vento si è calmato un po'”.
“Oh-oh...”.
“Sta piovendo”.
“Per fortuna manca poco”.
“E abbiamo questo giacchino impermeabile”.
“Questa pioggia mi fa venire in mente quella volta alle elementari in cui ho scritto l'unico tema decente di tutta la mia carriera scolastica”.
“Eh, ricordo. Che tristezza la nostra capacità di scrivere”.
“Mai stati capaci”.
“Eppure, quel tema... Parlava della bellezza della pioggia”.
“Più precisamente, della bellezza di uscire di casa con l'ombrello quando piove”.
“Sì, l'ombrello è come uno scudo, che ti difende dal bagnato e ti consente di camminare tra la pioggia”.
“Che bello. E pensare che fino a che non abbiamo conosciuto nostra moglie pensavamo che fosse Male uscire senza ombrello”.
“E bagnarsi? Figuriamoci. Contro natura”.
“È stata lei a farci capire la bellezza di... faccio ancora fatica a dirlo... andare sotto la pioggia senza ombrello”.
“Ma tu guarda come corre la mente quando si è completamente soli”.
“Ormai siamo arrivati: là c'è il rifugio, c'è della gente, fine del giro”.
“Peccato”.
“Già”.
Bé, insomma, sono stato a fare un giretto in montagna, in una giornata non proprio consigliabile dal punto di vista meteorologico. Qui c'è qualche foto.
sabato 5 settembre 2009
Su un particolare insieme numerico - simplicity theorem
“Tornato dalle vacanze?”.
“Eh, sì, perché?”.
“È da un po' che non parli di numeri surreali”.
“Sì, è vero. Ora possiamo ripartire, anche se...”.
“Anche se?”.
“Non so bene come proseguire: se perseguire la rigorosità addormentando i miei due lettori, oppure se semplificare un po' le dimostrazioni”.
“In effetti le dimostrazioni sono noiosine, più o meno seguono sempre la stessa strada, e con la faccenda delle definizioni induttive ci si perde un po'”.
“Ecco, vedi? Quindi pensavo di riassumere un po' le cose per arrivare alla parte interessante”.
“Che sarebbe?”.
“Quella con gli infiniti e infinitesimi”.
“Uh, quella mi piace”.
“Eh, immagino. Quindi, vediamo di parlare del teorema che semplifica un po' la costruzione dei numeri, in modo da arrivare poi agli infiniti in tempi decenti”.
“Va bene, cosa semplifichiamo?”.
“Te lo spiego subito; partiamo da questa domanda: cosa rappresenta il numero {0|3}?”.
“Abbiamo detto che è un numero compreso tra 0 e 3”.
“Giusto, ma non basta”.
“Sarà 1+1/2?”.
“Questa sarebbe una risposta logica, ma è sbagliata”.
“Ahia”.
“Saltiamo la dimostrazione, ma con le nostre conoscenze è facile dimostrare che {0|3} è uguale a 1”.
“Ok, mi fido, ma non mi piace molto come risposta”.
“Perché?”.
“Perché non la capisco: come mai proprio 1?”.
“Qui entra in gioco il simplicity theorem”.
“Perché usi l'inglese?”.
“Perché non so bene come tradurre il termine: teorema di semplicità non mi piace per niente”.
“Va bene, sentiamo cosa dice questo teorema”.
“Dice questo: se tu hai un numero x = {xL|xR} tale che esiste un altro numero z strettamente compreso tra xL e xR, ma nessun elemento di z soddisfa alla stessa proprietà, allora x = z”.
“Chiamala semplicità...”.
“Eh, lo so, ma se provi a capire quello che dice, poi ti rendi conto che, effettivamente, semplifica”.
“Dai, proviamo a capire allora”.
“Come x prendiamo proprio il nostro numero {0|3}”.
“Va bene. Come z dovremmo prendere un numero compreso tra 0 e 3. Possiamo prendere 1 oppure 2?”.
“O anche la tua proposta 1+1/2”.
“Ah, giusto. Allora, per tutti e tre è vero che essi sono compresi tra 0 e 3”.
“Ok. Ora, però, bisogna verificare che questo non vale anche per gli elementi che li compongono”.
“Allora, provo con la mia proposta, 1+1/2. Abbiamo detto che è uguale a {1|2}... ah, non va bene, sia 1 che 2 sono compresi tra 0 e 3, quindi le ipotesi del tuo teorema di semplicità non si applicano”.
“Giusto. Se provi con 2={1|} ti rendi conto che quelle ipotesi non si applicano nemmeno ad esso”.
“Ah, certo, 1 è compreso tra 0 e 3. Rimane, come candidato, 1, che è uguale a {0|}. Ah! In questo caso è vero che nessun elemento di 1 è compreso strettamente tra 0 e 3”.
“Esatto, e quindi in questo caso il teorema è vero, e {0|3} è uguale a 1”.
“Ho capito. Cioè, ho capito quello che abbiamo fatto, ma non ho ben capito come possiamo applicare questo teorema ai nostri conti”.
“Pensaci bene: secondo il teorema z gode di una certa proprietà, ma i suoi componenti no; quindi z è il numero più vecchio che gode di quella proprietà”.
“Uhh, comincio a capire...”.
“Se vogliamo capire quale numero è uguale a un certo numero {a,b}, dobbiamo prendere il più vecchio numero strettamente compreso tra a e b”.
“E se quel numero non esiste?”.
“Allora siamo di fronte a un nuovo numero”.
“Ma allora, quell'elenco di numeri creati il secondo giorno può essere semplificato ancora, grazie a queste considerazioni”.
“Esatto. Prova a farlo”.
“Ecco qua:”.
{|} = {-1|1} = {-1|} = {|1} = 0
{-1,0|} = {0|} = 1
{-1,1|} = {0,1|}= {-1,0,1|} = {1|} = 2
{|-1,1} = {|-1,0} = {|-1,0,1}= {|-1} = -2
{|0,1} = {|0} = -1
{-1|0,1} = {-1|0} = -1/2
{-1,0|1} = {0|1} = 1/2
“Perfetto: 7 numeri”.
“Senti, ma questo simplicity theorem è difficile da dimostrare?”.
“Non riesci a stare senza dimostrazioni, eh?”.
“Mah, no, ci starei anche, ma mi dispiace un po'... Mi rendo conto che è un teorema importante”.
“Te lo dimostro in una versione semplice, quella che usa solo numeri. Ne esiste anche una versione in cui x è un generico gioco, più complicata da esporre perché per i giochi l'ordinamento non è totale”.
“Va bene, accetto la semplificazione del teorema di semplicità”.
“Allora, vogliamo dimostrare che x = z, dove z è un numero con le proprietà descritte sopra. Vediamo per prima cosa che z ≤ x. Questo è vero a meno che xR non sia minore o uguale di z (no, z è minore di xR per ipotesi) oppure zL non sia maggiore o uguale di x. Questo non possiamo saperlo, ma se x ≤ zL potremmo scrivere questa catena di disuguaglianze:”.
xL < x ≤ zL < z < xR.
“Eh, ehm, allora?”.
“E allora zL sarebbe compreso tra xL e xR, contraddicendo le ipotesi che affermano che nessun componente di z gode delle stesse proprietà di cui gode z”.
“Bello”.
“Con questo possiamo capire bene come funziona la generazione dei numeri, ed arrivare all'infinito abbastanza in fretta”.
“Eh, sì, perché?”.
“È da un po' che non parli di numeri surreali”.
“Sì, è vero. Ora possiamo ripartire, anche se...”.
“Anche se?”.
“Non so bene come proseguire: se perseguire la rigorosità addormentando i miei due lettori, oppure se semplificare un po' le dimostrazioni”.
“In effetti le dimostrazioni sono noiosine, più o meno seguono sempre la stessa strada, e con la faccenda delle definizioni induttive ci si perde un po'”.
“Ecco, vedi? Quindi pensavo di riassumere un po' le cose per arrivare alla parte interessante”.
“Che sarebbe?”.
“Quella con gli infiniti e infinitesimi”.
“Uh, quella mi piace”.
“Eh, immagino. Quindi, vediamo di parlare del teorema che semplifica un po' la costruzione dei numeri, in modo da arrivare poi agli infiniti in tempi decenti”.
“Va bene, cosa semplifichiamo?”.
“Te lo spiego subito; partiamo da questa domanda: cosa rappresenta il numero {0|3}?”.
“Abbiamo detto che è un numero compreso tra 0 e 3”.
“Giusto, ma non basta”.
“Sarà 1+1/2?”.
“Questa sarebbe una risposta logica, ma è sbagliata”.
“Ahia”.
“Saltiamo la dimostrazione, ma con le nostre conoscenze è facile dimostrare che {0|3} è uguale a 1”.
“Ok, mi fido, ma non mi piace molto come risposta”.
“Perché?”.
“Perché non la capisco: come mai proprio 1?”.
“Qui entra in gioco il simplicity theorem”.
“Perché usi l'inglese?”.
“Perché non so bene come tradurre il termine: teorema di semplicità non mi piace per niente”.
“Va bene, sentiamo cosa dice questo teorema”.
“Dice questo: se tu hai un numero x = {xL|xR} tale che esiste un altro numero z strettamente compreso tra xL e xR, ma nessun elemento di z soddisfa alla stessa proprietà, allora x = z”.
“Chiamala semplicità...”.
“Eh, lo so, ma se provi a capire quello che dice, poi ti rendi conto che, effettivamente, semplifica”.
“Dai, proviamo a capire allora”.
“Come x prendiamo proprio il nostro numero {0|3}”.
“Va bene. Come z dovremmo prendere un numero compreso tra 0 e 3. Possiamo prendere 1 oppure 2?”.
“O anche la tua proposta 1+1/2”.
“Ah, giusto. Allora, per tutti e tre è vero che essi sono compresi tra 0 e 3”.
“Ok. Ora, però, bisogna verificare che questo non vale anche per gli elementi che li compongono”.
“Allora, provo con la mia proposta, 1+1/2. Abbiamo detto che è uguale a {1|2}... ah, non va bene, sia 1 che 2 sono compresi tra 0 e 3, quindi le ipotesi del tuo teorema di semplicità non si applicano”.
“Giusto. Se provi con 2={1|} ti rendi conto che quelle ipotesi non si applicano nemmeno ad esso”.
“Ah, certo, 1 è compreso tra 0 e 3. Rimane, come candidato, 1, che è uguale a {0|}. Ah! In questo caso è vero che nessun elemento di 1 è compreso strettamente tra 0 e 3”.
“Esatto, e quindi in questo caso il teorema è vero, e {0|3} è uguale a 1”.
“Ho capito. Cioè, ho capito quello che abbiamo fatto, ma non ho ben capito come possiamo applicare questo teorema ai nostri conti”.
“Pensaci bene: secondo il teorema z gode di una certa proprietà, ma i suoi componenti no; quindi z è il numero più vecchio che gode di quella proprietà”.
“Uhh, comincio a capire...”.
“Se vogliamo capire quale numero è uguale a un certo numero {a,b}, dobbiamo prendere il più vecchio numero strettamente compreso tra a e b”.
“E se quel numero non esiste?”.
“Allora siamo di fronte a un nuovo numero”.
“Ma allora, quell'elenco di numeri creati il secondo giorno può essere semplificato ancora, grazie a queste considerazioni”.
“Esatto. Prova a farlo”.
“Ecco qua:”.
{|} = {-1|1} = {-1|} = {|1} = 0
{-1,0|} = {0|} = 1
{-1,1|} = {0,1|}= {-1,0,1|} = {1|} = 2
{|-1,1} = {|-1,0} = {|-1,0,1}= {|-1} = -2
{|0,1} = {|0} = -1
{-1|0,1} = {-1|0} = -1/2
{-1,0|1} = {0|1} = 1/2
“Perfetto: 7 numeri”.
“Senti, ma questo simplicity theorem è difficile da dimostrare?”.
“Non riesci a stare senza dimostrazioni, eh?”.
“Mah, no, ci starei anche, ma mi dispiace un po'... Mi rendo conto che è un teorema importante”.
“Te lo dimostro in una versione semplice, quella che usa solo numeri. Ne esiste anche una versione in cui x è un generico gioco, più complicata da esporre perché per i giochi l'ordinamento non è totale”.
“Va bene, accetto la semplificazione del teorema di semplicità”.
“Allora, vogliamo dimostrare che x = z, dove z è un numero con le proprietà descritte sopra. Vediamo per prima cosa che z ≤ x. Questo è vero a meno che xR non sia minore o uguale di z (no, z è minore di xR per ipotesi) oppure zL non sia maggiore o uguale di x. Questo non possiamo saperlo, ma se x ≤ zL potremmo scrivere questa catena di disuguaglianze:”.
xL < x ≤ zL < z < xR.
“Eh, ehm, allora?”.
“E allora zL sarebbe compreso tra xL e xR, contraddicendo le ipotesi che affermano che nessun componente di z gode delle stesse proprietà di cui gode z”.
“Bello”.
“Con questo possiamo capire bene come funziona la generazione dei numeri, ed arrivare all'infinito abbastanza in fretta”.
lunedì 31 agosto 2009
Tuoni e fulmini!
Ho provato a fare un paio di foto a qualche fulmine. Erano fulmini tra nuvole, e quindi un po' nascosti, e il bagliore riflesso dalle nuvole non ha certo aiutato. Comunque, eccoli qua.
venerdì 28 agosto 2009
Sono una persona orribile
Quando sento qualcuno che si lamenta perché è appena stato punto da una zanzara io faccio sempre presente che le zanzare non mi pungono. Ci sono, pungono quelli che sono vicini a me, ma non me.
sabato 15 agosto 2009
Una inaspettata intersezione
L'intersezione tra gli insiemi:
(Via .mau. e friendfeed)
- ragazze saltatrici con l'asta a Berlino
- matematiche
- blogghers
(Via .mau. e friendfeed)
venerdì 14 agosto 2009
Il manifesto dei nerd
Di fatto, uno dei motivi per cui sono così attratta dai nerd è che sono tra le persone più intelligenti, stimolanti e piene di immaginazione che possa capitarvi di incontrare. Solo che in genere usano tutte queste qualità esclusivamente all'interno del loro habitat, e sono relativamente inadatti alla vita sociale.
Un anticipo di un libro che spiega perché quando ti innamori di un nerd non smetti più.
(via Kondor)
Il Male Assoluto
Forse non tutti sanno come funziona uno scrutinio di un triennio di scuola superiore.
Ci si ritrova intorno a un tavolone (o a tanti banchi messi uno accanto all'altro, in una simulazione povera di tavolone), si aspetta l'ultimo collega ritardatario, o l'ultima collega che è andata a fumarsi una sigaretta ma arriva subito, e si comincia a dare un'occhiata al tabellone dei voti. In molte scuole il tabellone è videoproiettato su uno schermo o su una parete, così tutti gli insegnanti possono vedere i voti e fare i loro commenti.
La prima occhiata è sfuocata: se ci sono molte righe rosse, allora la classe è scarsa; se le righe rosse sono poche, allora la classe è una buona classe. Qualche insegnante deve fare questa analisi ad alta voce, in modo da rompere il ghiaccio e dare l'avvio ufficiale allo scrutinio. Poi si comincia.
I vari consigli di classe possono adottare strategie diverse: fare prima gli studenti senza debiti, fare prima gli studenti sicuramente bocciati (riga molto rossa), procedere in ordine alfabetico: alla fine non cambia molto.
Prendiamo un caso facile: una riga senza insufficienze. Uno degli insegnanti legge ad alta voce i voti, gli altri controllano che non ci siano errori, si sistemano eventuali mezzi voti rimasti indecisi, si parla del voto di condotta, e poi si arriva alla discussione riguardante il credito scolastico.
Da qualche anno, infatti, sono cambiate un po' di cose. Prima di tutto, l'esame di maturità non si chiama più così: anche se i telegiornali continuano a parlare di esame di maturità, la definizione corretta è esame di stato (conclusivo del secondo ciclo scolastico). Poi, il voto massimo non è più sessanta; anzi, sessanta diventa il voto minimo, mentre il massimo è cento. Infine, quel voto comincia a prendere forma a partire dal terzo anno delle superiori. Si accumula, insomma, un punteggio che, alla fine della quinta, sarà aggiunto a un altro punteggio calcolato in sede di esame: la somma costituirà il voto finale. Il punteggio che si accumula durante il triennio si chiama credito scolastico.
Torniamo alla riga senza insufficienze: lo studente è stato bravo (che poi si dovrebbe dire che ha fatto il suo dovere, cioè essere promosso senza debiti, ma andiamo avanti), non deve recuperare niente, possiamo promuoverlo. Che media ha?
La media è il numero magico che determina il destino dello studente: a seconda della media, infatti, egli si posiziona all'interno di una banda di oscillazione (è qua: guardate la tabella A). Per esempio, uno studente che ha fatto la terza classe ed è stato promosso con una media del 6.5 si trova all'interno della banda 4-5: questo significa che il consiglio di classe può decidere se assegnarli 4 oppure 5 punti di credito scolastico. Su quali basi decide il consiglio?
Naturalmente il consiglio deve stabilire dei criteri, non basta il buon senso. All'ultimo collegio docenti a cui ho partecipato era stata proposta una griglia con quattro o cinque voci (non ricordo bene), ognuna delle quali aveva qualcosa come sei indicatori (molto bene, bene, insomma, così così, malino, tremendo): secondo quella griglia, quindi, esisterebbero ben 64 oppure 65 diverse sfumature di giudizio. Tutto ciò per assegnare un solo punto, eh (va bene, l'idea è che il consiglio di classe deve essere tutelato nel caso in cui un insegnante pazzo arrivi e decida di stravolgere tutto: se abbiamo invece i criteri scritti nero su bianco anche un primate bene addestrato non può sbagliarsi — ma non è questo il punto, quindi andiamo avanti).
Bene, siamo arrivati al nostro ragazzo promosso con una certa media: se essa è vicina all'estremo superiore della fascia (cioè, se è un 6.9, per esempio), allora si assegna il punteggio più alto e non ci si pensa più. Ma se invece la media è un 6.1? Eh, allora vediamo se il ragazzo ha presentato dei crediti formativi, così ci risolviamo il problema.
I crediti formativi sono il Male Assoluto.
I crediti formativi sono punteggi derivati da attività extrascolastiche svolte dallo studente. Quali attività? Potrebbero essere di volontariato, per esempio, oppure di lavoro estivo, oppure, attenzione, attività sportive.
Lo studente ha lavorato per due mesi d'estate, naturalmente in regola, con tutti i documenti a posto? Bene, accettiamo il credito. Lui si posizionerebbe nella parte bassa della fascia, si meriterebbe solo 4 punti per la media, e noi gli diamo un punto in più e lo portiamo a 5 perché ha questo credito formativo. Non si può uscire dalla fascia, anche se ha quarantadue crediti noi non possiamo dargli quarantadue punti: solo uno.
Lo studente ha fatto volontariato? Ha assistito gli anziani una volta alla settimana per tutto l'anno? Benissimo. Ha fatto catechismo in parrocchia durante tutto l'anno? Bravo. Ha cominciato a donare il sangue (se è maggiorenne)? Ottimo. Un punto.
Lo studente ha fatto sport? Per un anno ha frequentato gli allenamenti della squadra di calcio tutti i pomeriggi dalle 15 alle 20? Tornando a casa stanco e senza voglia di studiare? È stato assente tutti i sabati da ottobre a maggio perché aveva la partita? Bene, bravo, un punto. Come? No? Invece sì, credito formativo per attività sportive. Capite la faccenda del Male Assoluto?
Veniamo invece allo studente che ha una media del 6.1 ma che, pollo, non ha presentato nessun credito. È un salame, e solo per questo fatto si meriterebbe il minimo della fascia. Però, dai, è uno dei pochi che non ha debiti, è sempre stato buono in classe, gli abbiamo dato anche dieci in condotta, potremmo premiarlo. Va bene, ma come si fa? Non basta dargli il punto in più e farla finita? Eh, in un mondo dove vige il buon senso, certamente sì. Ma nel mondo della scuola, in cui tutto deve essere verbalizzato, motivato, incasellato, qua siamo fuori dalla regola. E se qualcuno fa ricorso?
Ma come, qualcuno fa ricorso perché gli è stato dato un punto in più? Impossibile, no? Eppure qualcuno che sostiene che sarebbe comunque meglio inserire una motivazione salta sempre fuori. Va bene, che motivazione, però? Non ne troviamo una a prova di ricorso, come facciamo? Diciamo solo che è stato buono? Possiamo rafforzare questa affermazione con qualcos'altro?
Alza la mano l'insegnante di religione: se volete, potete anche mettere che durante l'ora di religione ha partecipato attivamente. Ah, va bene, vai, adesso abbiamo una motivazione a prova di ricorso.
Ecco, in questi giorni si sta discutendo su questo: se la motivazione dell'insegnante di religione può essere messa a verbale oppure no. Perché, per il resto, quel maledetto punticino in più non viene assegnato da un solo insegnante, ma da tutto il consiglio di classe.
I giornali che titolano “Insegnanti di religione esclusi dagli scrutini” non hanno mica ben capito come funziona. Il problema non è se gli insegnanti di religione (e quelli della materia alternativa alla religione) possano o meno partecipare a una eventuale votazione riguardante l'attribuzione del credito formativo: il problema è che l'idea stessa di credito formativo deve essere cancellata dall'esistenza.
Ci si ritrova intorno a un tavolone (o a tanti banchi messi uno accanto all'altro, in una simulazione povera di tavolone), si aspetta l'ultimo collega ritardatario, o l'ultima collega che è andata a fumarsi una sigaretta ma arriva subito, e si comincia a dare un'occhiata al tabellone dei voti. In molte scuole il tabellone è videoproiettato su uno schermo o su una parete, così tutti gli insegnanti possono vedere i voti e fare i loro commenti.
La prima occhiata è sfuocata: se ci sono molte righe rosse, allora la classe è scarsa; se le righe rosse sono poche, allora la classe è una buona classe. Qualche insegnante deve fare questa analisi ad alta voce, in modo da rompere il ghiaccio e dare l'avvio ufficiale allo scrutinio. Poi si comincia.
I vari consigli di classe possono adottare strategie diverse: fare prima gli studenti senza debiti, fare prima gli studenti sicuramente bocciati (riga molto rossa), procedere in ordine alfabetico: alla fine non cambia molto.
Prendiamo un caso facile: una riga senza insufficienze. Uno degli insegnanti legge ad alta voce i voti, gli altri controllano che non ci siano errori, si sistemano eventuali mezzi voti rimasti indecisi, si parla del voto di condotta, e poi si arriva alla discussione riguardante il credito scolastico.
Da qualche anno, infatti, sono cambiate un po' di cose. Prima di tutto, l'esame di maturità non si chiama più così: anche se i telegiornali continuano a parlare di esame di maturità, la definizione corretta è esame di stato (conclusivo del secondo ciclo scolastico). Poi, il voto massimo non è più sessanta; anzi, sessanta diventa il voto minimo, mentre il massimo è cento. Infine, quel voto comincia a prendere forma a partire dal terzo anno delle superiori. Si accumula, insomma, un punteggio che, alla fine della quinta, sarà aggiunto a un altro punteggio calcolato in sede di esame: la somma costituirà il voto finale. Il punteggio che si accumula durante il triennio si chiama credito scolastico.
Torniamo alla riga senza insufficienze: lo studente è stato bravo (che poi si dovrebbe dire che ha fatto il suo dovere, cioè essere promosso senza debiti, ma andiamo avanti), non deve recuperare niente, possiamo promuoverlo. Che media ha?
La media è il numero magico che determina il destino dello studente: a seconda della media, infatti, egli si posiziona all'interno di una banda di oscillazione (è qua: guardate la tabella A). Per esempio, uno studente che ha fatto la terza classe ed è stato promosso con una media del 6.5 si trova all'interno della banda 4-5: questo significa che il consiglio di classe può decidere se assegnarli 4 oppure 5 punti di credito scolastico. Su quali basi decide il consiglio?
Naturalmente il consiglio deve stabilire dei criteri, non basta il buon senso. All'ultimo collegio docenti a cui ho partecipato era stata proposta una griglia con quattro o cinque voci (non ricordo bene), ognuna delle quali aveva qualcosa come sei indicatori (molto bene, bene, insomma, così così, malino, tremendo): secondo quella griglia, quindi, esisterebbero ben 64 oppure 65 diverse sfumature di giudizio. Tutto ciò per assegnare un solo punto, eh (va bene, l'idea è che il consiglio di classe deve essere tutelato nel caso in cui un insegnante pazzo arrivi e decida di stravolgere tutto: se abbiamo invece i criteri scritti nero su bianco anche un primate bene addestrato non può sbagliarsi — ma non è questo il punto, quindi andiamo avanti).
Bene, siamo arrivati al nostro ragazzo promosso con una certa media: se essa è vicina all'estremo superiore della fascia (cioè, se è un 6.9, per esempio), allora si assegna il punteggio più alto e non ci si pensa più. Ma se invece la media è un 6.1? Eh, allora vediamo se il ragazzo ha presentato dei crediti formativi, così ci risolviamo il problema.
I crediti formativi sono il Male Assoluto.
I crediti formativi sono punteggi derivati da attività extrascolastiche svolte dallo studente. Quali attività? Potrebbero essere di volontariato, per esempio, oppure di lavoro estivo, oppure, attenzione, attività sportive.
Lo studente ha lavorato per due mesi d'estate, naturalmente in regola, con tutti i documenti a posto? Bene, accettiamo il credito. Lui si posizionerebbe nella parte bassa della fascia, si meriterebbe solo 4 punti per la media, e noi gli diamo un punto in più e lo portiamo a 5 perché ha questo credito formativo. Non si può uscire dalla fascia, anche se ha quarantadue crediti noi non possiamo dargli quarantadue punti: solo uno.
Lo studente ha fatto volontariato? Ha assistito gli anziani una volta alla settimana per tutto l'anno? Benissimo. Ha fatto catechismo in parrocchia durante tutto l'anno? Bravo. Ha cominciato a donare il sangue (se è maggiorenne)? Ottimo. Un punto.
Lo studente ha fatto sport? Per un anno ha frequentato gli allenamenti della squadra di calcio tutti i pomeriggi dalle 15 alle 20? Tornando a casa stanco e senza voglia di studiare? È stato assente tutti i sabati da ottobre a maggio perché aveva la partita? Bene, bravo, un punto. Come? No? Invece sì, credito formativo per attività sportive. Capite la faccenda del Male Assoluto?
Veniamo invece allo studente che ha una media del 6.1 ma che, pollo, non ha presentato nessun credito. È un salame, e solo per questo fatto si meriterebbe il minimo della fascia. Però, dai, è uno dei pochi che non ha debiti, è sempre stato buono in classe, gli abbiamo dato anche dieci in condotta, potremmo premiarlo. Va bene, ma come si fa? Non basta dargli il punto in più e farla finita? Eh, in un mondo dove vige il buon senso, certamente sì. Ma nel mondo della scuola, in cui tutto deve essere verbalizzato, motivato, incasellato, qua siamo fuori dalla regola. E se qualcuno fa ricorso?
Ma come, qualcuno fa ricorso perché gli è stato dato un punto in più? Impossibile, no? Eppure qualcuno che sostiene che sarebbe comunque meglio inserire una motivazione salta sempre fuori. Va bene, che motivazione, però? Non ne troviamo una a prova di ricorso, come facciamo? Diciamo solo che è stato buono? Possiamo rafforzare questa affermazione con qualcos'altro?
Alza la mano l'insegnante di religione: se volete, potete anche mettere che durante l'ora di religione ha partecipato attivamente. Ah, va bene, vai, adesso abbiamo una motivazione a prova di ricorso.
Ecco, in questi giorni si sta discutendo su questo: se la motivazione dell'insegnante di religione può essere messa a verbale oppure no. Perché, per il resto, quel maledetto punticino in più non viene assegnato da un solo insegnante, ma da tutto il consiglio di classe.
I giornali che titolano “Insegnanti di religione esclusi dagli scrutini” non hanno mica ben capito come funziona. Il problema non è se gli insegnanti di religione (e quelli della materia alternativa alla religione) possano o meno partecipare a una eventuale votazione riguardante l'attribuzione del credito formativo: il problema è che l'idea stessa di credito formativo deve essere cancellata dall'esistenza.
sabato 8 agosto 2009
Su un particolare insieme numerico - la somma
x + y = {xL + y, x + yL | xR + y, x + yR}
“Questa sarebbe la definizione di somma di due numeri surreali?”.
“Esattamente”.
“Vedo che si basa su sé stessa”.
“Esatto, per fare una somma devi fare una somma”.
“Lapalissiano”.
“Naturalmente, funziona grazie all'induzione, a destra dell'uguale si fanno somme tra elementi più semplici, cioè nati prima. A un certo punto ci si ferma, quando si arriva all'insieme vuoto”.
“Facciamo una prova?”.
“Certo. Cominciamo da una facile: 1 0”.
“Ah, forse è la più facile. Bé, no, ci sarebbe 0+0, ma visto che in quel caso gli insiemi sono tutti vuoti, si capisce subito che il risultato è ancora 0”.
“Già. Prova invece a calcolare 1+0, cioè {0|} + {|}”.
“Vediamo... Mh, non capisco bene come devo fare quando devo sommare un numero all'insieme vuoto”.
“In quel caso, non risulta nulla: se devi sommare un numero a un elemento dell'insieme vuoto, non puoi farlo, dato che l'insieme vuoto non ha elementi”.
“Allora, scrivo tutto poi vedo come semplificare: secondo la definizione, viene {0+0|}. Ah, il calcolo di 0+0 è facile, l'abbiamo detto prima, fa 0. Quindi 1+0 = {0|} = 1. Bene, risulta quello che mi aspettavo”.
“A questo punto puoi dimostrare che 0 è l'elemento neutro della somma”.
“Cioè che x+0 = x?”.
“Sì. Prova a calcolare x+0 = {xL|xR} + {|}”.
“Viene {xL+0|xR+0}. Uh, e quanto fa? Dovrei calcolare xR+0 e xL+0, prima”.
“Certo, ma questa è l'induzione, ricordi? xL e xR sono stati creati prima di x, e puoi andare indietro fino al punto di partenza. A un certo punto quella somma diventerà 0+0, che fa 0. Quindi, per induzione, puoi supporre che xL+0 = xR, e xR+0 = xR”.
“E quindi x+0 = x”.
“Sì. Ora prova a calcolare 1+1”.
“Ah, vediamo se fa 2! Il calcolo è questo: {0|} + {0|}. Il risultato è {0+1, 1+0|} = {1,1|} = {1|}”.
“E {1|} è proprio il numero che avevamo indicato con 2”.
“Sì, mi ricordo. Mh, ora mi viene in mente una cosa: avevo pensato che il numero {0|1} potesse essere uguale a 1/2, dato che si trova a metà tra 0 e 1”.
“Sì, in effetti è così, anche se non è sempre vero che {a|b} si trova a metà tra a e b. Ma di questo ne parleremo”.
“Però in questo caso è vero? Avevo pensato di dimostrarlo calcolando 1/2 + 1/2”.
“Bene, se risulta 1 sei a posto, prova”.
“Allora, voglio calcolare 1/2 + 1/2 = {0|1} + {0|1}. Se applico la definizione, ottengo {0+1/2, 1/2+0 | 1+1/2, 1/2+1} = {1/2 | 1+1/2}. Mh, non è facile come mi aspettavo”.
“Sì, è vero. Come puoi fare per dire che {1/2 | 1+1/2} è uguale a 1, come ti aspetteresti?”.
“Eh, l'unico modo che mi viene in mente è la definizione: due numeri sono uguali se il primo è minore o uguale del secondo, e viceversa”.
“Perfetto. Prova a vedere se {1/2 | 1+1/2} ≤ 1”.
“Allora, è vero a meno che 1/2 non sia maggiore o uguale di 1 (no) oppure... (no, mi fermo perché l'insieme di destra di 1 è vuoto). Bè, questa è stata facile”.
“Ora prova a dimostrare che 1 ≤ {1/2 | 1+1/2}”.
“La disuguaglianza è vera a meno che 0 non sia maggiore o uguale di {1/2 | 1+1/2} oppure che 1+1/2 non sia minore o uguale di 1. Queste due disuguaglianze non sono ovvie, però”.
“Comincia dalla prima: è possibile che 0 sia maggiore o uguale di {1/2 | 1+1/2}? Sai che {1/2 | 1+1/2} è un numero maggiore del suo elemento di sinistra”.
“Ah, è vero! Allora certamente 0 non è maggiore di {1/2 | 1+1/2}, questa è fatta”.
“Ora l'altra: è possibile che 1+1/2 sia minore o uguale di 1?”.
“Dovrei sapere come è fatto 1+1/2. Allora, il calcolo sarebbe questo: 1+1/2 = {0|} + {0|1}. Applicando la definizione di somma ho {0+1/2, 1+0 | 1+1} = {1|2}. Adesso? Mi sono perso...”.
“Ti stavi chiedendo se 1+1/2, che hai scoperto essere uguale a {1|2}, può essere minore o uguale di 1”.
“Ah, certo che no, deve essere maggiore di 1”.
“Bene, quindi sei a posto, hai dimostrato che 1 ≤ {1/2 | 1+1/2}”.
“Prima avevo dimostrato la disuguaglianza contraria, quindi posso dire che 1 = {1/2 | 1+1/2}”.
“E quindi 1/2+1/2 fa proprio 1”.
“Questa sarebbe la definizione di somma di due numeri surreali?”.
“Esattamente”.
“Vedo che si basa su sé stessa”.
“Esatto, per fare una somma devi fare una somma”.
“Lapalissiano”.
“Naturalmente, funziona grazie all'induzione, a destra dell'uguale si fanno somme tra elementi più semplici, cioè nati prima. A un certo punto ci si ferma, quando si arriva all'insieme vuoto”.
“Facciamo una prova?”.
“Certo. Cominciamo da una facile: 1 0”.
“Ah, forse è la più facile. Bé, no, ci sarebbe 0+0, ma visto che in quel caso gli insiemi sono tutti vuoti, si capisce subito che il risultato è ancora 0”.
“Già. Prova invece a calcolare 1+0, cioè {0|} + {|}”.
“Vediamo... Mh, non capisco bene come devo fare quando devo sommare un numero all'insieme vuoto”.
“In quel caso, non risulta nulla: se devi sommare un numero a un elemento dell'insieme vuoto, non puoi farlo, dato che l'insieme vuoto non ha elementi”.
“Allora, scrivo tutto poi vedo come semplificare: secondo la definizione, viene {0+0|}. Ah, il calcolo di 0+0 è facile, l'abbiamo detto prima, fa 0. Quindi 1+0 = {0|} = 1. Bene, risulta quello che mi aspettavo”.
“A questo punto puoi dimostrare che 0 è l'elemento neutro della somma”.
“Cioè che x+0 = x?”.
“Sì. Prova a calcolare x+0 = {xL|xR} + {|}”.
“Viene {xL+0|xR+0}. Uh, e quanto fa? Dovrei calcolare xR+0 e xL+0, prima”.
“Certo, ma questa è l'induzione, ricordi? xL e xR sono stati creati prima di x, e puoi andare indietro fino al punto di partenza. A un certo punto quella somma diventerà 0+0, che fa 0. Quindi, per induzione, puoi supporre che xL+0 = xR, e xR+0 = xR”.
“E quindi x+0 = x”.
“Sì. Ora prova a calcolare 1+1”.
“Ah, vediamo se fa 2! Il calcolo è questo: {0|} + {0|}. Il risultato è {0+1, 1+0|} = {1,1|} = {1|}”.
“E {1|} è proprio il numero che avevamo indicato con 2”.
“Sì, mi ricordo. Mh, ora mi viene in mente una cosa: avevo pensato che il numero {0|1} potesse essere uguale a 1/2, dato che si trova a metà tra 0 e 1”.
“Sì, in effetti è così, anche se non è sempre vero che {a|b} si trova a metà tra a e b. Ma di questo ne parleremo”.
“Però in questo caso è vero? Avevo pensato di dimostrarlo calcolando 1/2 + 1/2”.
“Bene, se risulta 1 sei a posto, prova”.
“Allora, voglio calcolare 1/2 + 1/2 = {0|1} + {0|1}. Se applico la definizione, ottengo {0+1/2, 1/2+0 | 1+1/2, 1/2+1} = {1/2 | 1+1/2}. Mh, non è facile come mi aspettavo”.
“Sì, è vero. Come puoi fare per dire che {1/2 | 1+1/2} è uguale a 1, come ti aspetteresti?”.
“Eh, l'unico modo che mi viene in mente è la definizione: due numeri sono uguali se il primo è minore o uguale del secondo, e viceversa”.
“Perfetto. Prova a vedere se {1/2 | 1+1/2} ≤ 1”.
“Allora, è vero a meno che 1/2 non sia maggiore o uguale di 1 (no) oppure... (no, mi fermo perché l'insieme di destra di 1 è vuoto). Bè, questa è stata facile”.
“Ora prova a dimostrare che 1 ≤ {1/2 | 1+1/2}”.
“La disuguaglianza è vera a meno che 0 non sia maggiore o uguale di {1/2 | 1+1/2} oppure che 1+1/2 non sia minore o uguale di 1. Queste due disuguaglianze non sono ovvie, però”.
“Comincia dalla prima: è possibile che 0 sia maggiore o uguale di {1/2 | 1+1/2}? Sai che {1/2 | 1+1/2} è un numero maggiore del suo elemento di sinistra”.
“Ah, è vero! Allora certamente 0 non è maggiore di {1/2 | 1+1/2}, questa è fatta”.
“Ora l'altra: è possibile che 1+1/2 sia minore o uguale di 1?”.
“Dovrei sapere come è fatto 1+1/2. Allora, il calcolo sarebbe questo: 1+1/2 = {0|} + {0|1}. Applicando la definizione di somma ho {0+1/2, 1+0 | 1+1} = {1|2}. Adesso? Mi sono perso...”.
“Ti stavi chiedendo se 1+1/2, che hai scoperto essere uguale a {1|2}, può essere minore o uguale di 1”.
“Ah, certo che no, deve essere maggiore di 1”.
“Bene, quindi sei a posto, hai dimostrato che 1 ≤ {1/2 | 1+1/2}”.
“Prima avevo dimostrato la disuguaglianza contraria, quindi posso dire che 1 = {1/2 | 1+1/2}”.
“E quindi 1/2+1/2 fa proprio 1”.
martedì 4 agosto 2009
Su un particolare insieme numerico - semplifichiamo
“Grazie all'induzione, di cui abbiamo parlato la volta scorsa, possiamo dimostrare qualche semplice proprietà:”.
Per ogni gioco, si ha che:
Per ogni numero, si ha che:
“Perché dici gioco?”.
“Perché sono proprietà che valgono in generale per tutti i giochi, cioè non fanno uso del fatto che xL non è maggiore o uguale di xR”.
“Ah. E le dimostriamo?”.
“Pensavo di lasciarle come esercizio al lettore volonteroso: si basano sul concetto di induzione”.
“Ok”.
“Ora invece vediamo di rispondere a un'altra domanda: quand'è che un numero x = {xL|xR} è uguale a un numero X = {y, xL|xR}?”.
“Eh?”.
“Traducendo: quand'è che possiamo aggiungere un numero a sinistra senza cambiare il valore di x?”.
“Ah, ora ho capito. Avevamo dimostrato che {0,1|} e {1|} sono uguali, per esempio. Quindi quello 0 a sinistra era inutile”.
“Esatto: ora troviamo una regola generale. Consideriamo i due numeri x e X che abbiamo appena definito e chiediamoci quando x ≤ X”.
“Uhm, dovrei saperlo dire, ormai. Vediamo: x è minore o uguale di X a meno che qualche elemento dell'insieme di sinistra di x, cioè xL, non sia maggiore o uguale di X (no, è impossibile, perché ogni xL è anche un XL, che non può essere maggiore o uguale di X), oppure a meno che qualche elemento dell'insieme di destra del secondo numero, cioè XR, non sia minore o uguale di x (no, impossibile, perché ogni XR è anche un xR)”.
“Perfetto, ottima analisi. Dunque x ≤ X. Puoi fare la stessa analisi anche per X ≤ x?”.
“Ormai non mi ferma più nessuno. Allora, X è minore o uguale di x, a meno che qualche elemento dell'insieme di sinistra del primo numero, cioè {y, xL}, sia maggiore o uguale di x — uhm, tutti gli xL non sono maggiori o uguali di x, ma di y non so niente. Quindi devo imporre che anche y non sia maggiore o uguale di x”.
“Perfetto, vai avanti, manca la seconda condizione”.
“Ah, già. La seconda condizione dice che X è minore o uguale di x, a meno che qualche elemento dell'insieme di destra del secondo numero non sia minore o uguale di X — questo non può succedere perché ogni xR è anche un XR. Quindi siamo a posto, l'unica condizione che devo imporre è quella su y”.
“Ottimo. Riassumendo, {y, xL|xR} = {xL|xR} purché y non sia maggiore o uguale di x”.
“Ah, finalmente un bel risultato. A questo punto possiamo accorciare quella lista di venti numeri che avevamo fatto tempo fa?”.
“Sì, prova a semplificarla, ricordandoti che puoi eliminare un numero dalla parte sinistra dell'insieme se, sempre nella parte sinistra, ne esiste un altro maggiore di quello”.
“Eh, però mi piacerebbe sapere come fare a semplificare quei numeri che hanno più elementi nella parte destra”.
“Hai ragione: puoi usare evidenti ragioni di simmetria per dedurre che, nella parte destra, puoi eliminare un numero se ne esiste un altro minore di quello”.
“Uhm, non faccio commenti sulle ragioni di simmetria... Quindi posso dire che ogni numero x è uguale a quel numero che si ottiene prendendo il più grande elemento di xL e il più piccolo elemento di xR?”.
“Esatto, ammesso che, naturalmente, esista il più grande elemento dell'insieme di sinistra o il più piccolo di quello di destra”.
“Naturalmente”.
“Questa proprietà è valida per i nostri venti numeri, quindi possiamo andare avanti tranquilli”.
“Ok, allora, vediamo. L'elenco dei nuovi numeri dovrebbe ridursi così:”.
{|} = 0
{-1|}
{-1,0|} = {0|} = 1
{-1,1|} = {0,1|}= {-1,0,1|} = {1|}
{|-1,1} = {|-1,0} = {|-1,0,1}= {|-1}
{|0,1} = {|0} = -1
{|1}
{-1|0,1} = {-1|0}
{-1|1}
{-1,0|1} = {0|1}
“Giusto. Per ora ci fermiamo qua, poi vedremo come ridurlo ancora”.
Per ogni gioco, si ha che:
- x non è maggiore o uguale di xR
- x non è minore o uguale di xL
- x ≤ x
- x = x
- se x ≥ y e y ≥ z, allora x ≥ z (proprietà transitiva)
Per ogni numero, si ha che:
- xL < x < xR
- x ≤ y oppure y ≤ x (l'ordinamento è totale)
“Perché dici gioco?”.
“Perché sono proprietà che valgono in generale per tutti i giochi, cioè non fanno uso del fatto che xL non è maggiore o uguale di xR”.
“Ah. E le dimostriamo?”.
“Pensavo di lasciarle come esercizio al lettore volonteroso: si basano sul concetto di induzione”.
“Ok”.
“Ora invece vediamo di rispondere a un'altra domanda: quand'è che un numero x = {xL|xR} è uguale a un numero X = {y, xL|xR}?”.
“Eh?”.
“Traducendo: quand'è che possiamo aggiungere un numero a sinistra senza cambiare il valore di x?”.
“Ah, ora ho capito. Avevamo dimostrato che {0,1|} e {1|} sono uguali, per esempio. Quindi quello 0 a sinistra era inutile”.
“Esatto: ora troviamo una regola generale. Consideriamo i due numeri x e X che abbiamo appena definito e chiediamoci quando x ≤ X”.
“Uhm, dovrei saperlo dire, ormai. Vediamo: x è minore o uguale di X a meno che qualche elemento dell'insieme di sinistra di x, cioè xL, non sia maggiore o uguale di X (no, è impossibile, perché ogni xL è anche un XL, che non può essere maggiore o uguale di X), oppure a meno che qualche elemento dell'insieme di destra del secondo numero, cioè XR, non sia minore o uguale di x (no, impossibile, perché ogni XR è anche un xR)”.
“Perfetto, ottima analisi. Dunque x ≤ X. Puoi fare la stessa analisi anche per X ≤ x?”.
“Ormai non mi ferma più nessuno. Allora, X è minore o uguale di x, a meno che qualche elemento dell'insieme di sinistra del primo numero, cioè {y, xL}, sia maggiore o uguale di x — uhm, tutti gli xL non sono maggiori o uguali di x, ma di y non so niente. Quindi devo imporre che anche y non sia maggiore o uguale di x”.
“Perfetto, vai avanti, manca la seconda condizione”.
“Ah, già. La seconda condizione dice che X è minore o uguale di x, a meno che qualche elemento dell'insieme di destra del secondo numero non sia minore o uguale di X — questo non può succedere perché ogni xR è anche un XR. Quindi siamo a posto, l'unica condizione che devo imporre è quella su y”.
“Ottimo. Riassumendo, {y, xL|xR} = {xL|xR} purché y non sia maggiore o uguale di x”.
“Ah, finalmente un bel risultato. A questo punto possiamo accorciare quella lista di venti numeri che avevamo fatto tempo fa?”.
“Sì, prova a semplificarla, ricordandoti che puoi eliminare un numero dalla parte sinistra dell'insieme se, sempre nella parte sinistra, ne esiste un altro maggiore di quello”.
“Eh, però mi piacerebbe sapere come fare a semplificare quei numeri che hanno più elementi nella parte destra”.
“Hai ragione: puoi usare evidenti ragioni di simmetria per dedurre che, nella parte destra, puoi eliminare un numero se ne esiste un altro minore di quello”.
“Uhm, non faccio commenti sulle ragioni di simmetria... Quindi posso dire che ogni numero x è uguale a quel numero che si ottiene prendendo il più grande elemento di xL e il più piccolo elemento di xR?”.
“Esatto, ammesso che, naturalmente, esista il più grande elemento dell'insieme di sinistra o il più piccolo di quello di destra”.
“Naturalmente”.
“Questa proprietà è valida per i nostri venti numeri, quindi possiamo andare avanti tranquilli”.
“Ok, allora, vediamo. L'elenco dei nuovi numeri dovrebbe ridursi così:”.
{|} = 0
{-1|}
{-1,0|} = {0|} = 1
{-1,1|} = {0,1|}= {-1,0,1|} = {1|}
{|-1,1} = {|-1,0} = {|-1,0,1}= {|-1}
{|0,1} = {|0} = -1
{|1}
{-1|0,1} = {-1|0}
{-1|1}
{-1,0|1} = {0|1}
“Giusto. Per ora ci fermiamo qua, poi vedremo come ridurlo ancora”.
sabato 1 agosto 2009
Naturale
Non ho assolutamente idea di cosa sia la scala pentatonica, ma questo video mi ha affascinato.
(via)
(via)
giovedì 30 luglio 2009
Su un particolare insieme numerico - induzione
“Allora, hai visto come funzionano le dimostrazioni riguardanti l'ordinamento tra due numeri?”.
“Sì, ho visto: una cosa complicatissima, abbiamo impiegato un sacco di tempo solo per verificare che 1 è minore di 2”.
“Sì, è vero, ma ora vorrei farti notare questo: ti sei accorto che la definizione di ordinamento è ricorsiva?”.
“Cioè?”.
“Cioè richiama sé stessa: per dimostrare che x è minore di y devi dimostrare che xL non è maggiore o uguale di y, e poi che yR non è minore o uguale di x”.
“Ah, hai ragione. Ora che ci penso, è poi il metodo che abbiamo usato per dimostrare che 1 è minore di 2: abbiamo sospeso la dimostrazione per verificare altre disuguaglianze”.
“Infatti, è così. Ogni dimostrazione fa riferimento su una dimostrazione precedente, è su questo che si basa il principio di induzione”.
“Siamo sicuri che sia sempre precedente?”.
“In che senso?”.
“Voglio dire: per dimostrare che a è minore di b devo prima aver dimostrato altre due disuguaglianze. Siamo sicuri che queste facciano riferimento a disuguaglianze che ho già dimostrato prima? Non può succedere che, per dimostrare che a è minore di b, devo prima dimostrare che c è minore di d, e quando vado a dimostrare che c è minore di d devo dimostrare che a è minore di b? Non ci possono essere riferimenti circolari?”.
“Ah, bene, ottima domanda. No, non possono esserci riferimenti circolari, ed è facile vederlo se pensi alla genesi dei numeri”.
“Uhm, quella storia per cui ogni giorno vengono creati nuovi numeri?”.
“Esatto. Ogni numero ha il suo compleanno, anche se la parola inglese rende meglio”.
“Birthday?”.
“Sì: letteralmente significa giorno di nascita. Ad ogni numero possiamo associare il giorno in cui è stato creato”.
“Va bene, ma questo come ci aiuta?”.
“Immagina di dover dimostrare che x ≤ y. Sia x che y hanno i loro giorni di nascita”.
“Ok. Non è che potremmo continuare a chiamarli compleanni? Mi pare che suoni meglio”.
“Va bene. Allora, per dimostrare che x ≤ y devi dimostrare che xL non è maggiore o uguale di y, e poi che yR non è minore o uguale di x. Cosa puoi dire sul compleanno di xL?”.
“Ah, non so”.
“Ricorda che xL ti è servito per costruire il numero x”.
“Ah, vuoi dire che i numeri contenuti in xL devono essere stati creati prima di x?”.
“Esatto”.
“Forse comincio a capire: le due disuguaglianze xL ≥ y e yR ≤ x prendono in considerazione numeri creati precedentemente”.
“È così: ogni disuguaglianza è più semplice della precedente, perché ogni volta consideri dei numeri creati precedentemente. Ora, questo procedimento di andare indietro a un certo punto termina”.
“Quando arrivo al primo giorno?”.
“Sì. Anzi, no, quando arrivi al zeresimo giorno. E qual è l'unico numero nato in quel giorno?”.
“Zero! Che è composto, nelle sue due parti, dall'insieme vuoto”.
“E quali sono le proprietà che non sono valide per l'insieme vuoto?”.
“Nessuna, mi hai detto che gli elementi dell'insieme vuoto godono di qualunque proprietà, dato che non esistono”.
“Infatti. Quindi questo procedimento di induzione non ha bisogno di un punto di partenza. O meglio, il punto di partenza è sottinteso, perché riguarda sempre l'insieme vuoto”.
“Bè, questo sì che è elegante”.
“E funziona anche se abbiamo a che fare con insiemi infiniti, modificandolo un po'”.
“Oh, è vero che ci saranno prima o poi anche gli insiemi infiniti...”.
“L'induzione funziona così: P(x) è vera se lo sono P(xL) e P(xR)”.
“Tutto qua?”.
“Tutto qua”.
“Sì, ho visto: una cosa complicatissima, abbiamo impiegato un sacco di tempo solo per verificare che 1 è minore di 2”.
“Sì, è vero, ma ora vorrei farti notare questo: ti sei accorto che la definizione di ordinamento è ricorsiva?”.
“Cioè?”.
“Cioè richiama sé stessa: per dimostrare che x è minore di y devi dimostrare che xL non è maggiore o uguale di y, e poi che yR non è minore o uguale di x”.
“Ah, hai ragione. Ora che ci penso, è poi il metodo che abbiamo usato per dimostrare che 1 è minore di 2: abbiamo sospeso la dimostrazione per verificare altre disuguaglianze”.
“Infatti, è così. Ogni dimostrazione fa riferimento su una dimostrazione precedente, è su questo che si basa il principio di induzione”.
“Siamo sicuri che sia sempre precedente?”.
“In che senso?”.
“Voglio dire: per dimostrare che a è minore di b devo prima aver dimostrato altre due disuguaglianze. Siamo sicuri che queste facciano riferimento a disuguaglianze che ho già dimostrato prima? Non può succedere che, per dimostrare che a è minore di b, devo prima dimostrare che c è minore di d, e quando vado a dimostrare che c è minore di d devo dimostrare che a è minore di b? Non ci possono essere riferimenti circolari?”.
“Ah, bene, ottima domanda. No, non possono esserci riferimenti circolari, ed è facile vederlo se pensi alla genesi dei numeri”.
“Uhm, quella storia per cui ogni giorno vengono creati nuovi numeri?”.
“Esatto. Ogni numero ha il suo compleanno, anche se la parola inglese rende meglio”.
“Birthday?”.
“Sì: letteralmente significa giorno di nascita. Ad ogni numero possiamo associare il giorno in cui è stato creato”.
“Va bene, ma questo come ci aiuta?”.
“Immagina di dover dimostrare che x ≤ y. Sia x che y hanno i loro giorni di nascita”.
“Ok. Non è che potremmo continuare a chiamarli compleanni? Mi pare che suoni meglio”.
“Va bene. Allora, per dimostrare che x ≤ y devi dimostrare che xL non è maggiore o uguale di y, e poi che yR non è minore o uguale di x. Cosa puoi dire sul compleanno di xL?”.
“Ah, non so”.
“Ricorda che xL ti è servito per costruire il numero x”.
“Ah, vuoi dire che i numeri contenuti in xL devono essere stati creati prima di x?”.
“Esatto”.
“Forse comincio a capire: le due disuguaglianze xL ≥ y e yR ≤ x prendono in considerazione numeri creati precedentemente”.
“È così: ogni disuguaglianza è più semplice della precedente, perché ogni volta consideri dei numeri creati precedentemente. Ora, questo procedimento di andare indietro a un certo punto termina”.
“Quando arrivo al primo giorno?”.
“Sì. Anzi, no, quando arrivi al zeresimo giorno. E qual è l'unico numero nato in quel giorno?”.
“Zero! Che è composto, nelle sue due parti, dall'insieme vuoto”.
“E quali sono le proprietà che non sono valide per l'insieme vuoto?”.
“Nessuna, mi hai detto che gli elementi dell'insieme vuoto godono di qualunque proprietà, dato che non esistono”.
“Infatti. Quindi questo procedimento di induzione non ha bisogno di un punto di partenza. O meglio, il punto di partenza è sottinteso, perché riguarda sempre l'insieme vuoto”.
“Bè, questo sì che è elegante”.
“E funziona anche se abbiamo a che fare con insiemi infiniti, modificandolo un po'”.
“Oh, è vero che ci saranno prima o poi anche gli insiemi infiniti...”.
“L'induzione funziona così: P(x) è vera se lo sono P(xL) e P(xR)”.
“Tutto qua?”.
“Tutto qua”.
mercoledì 29 luglio 2009
Su un particolare insieme numerico - come funziona l'ordinamento
“Cosa rappresenta questa immagine?”.
“Un trucchetto per capire come funziona l'ordinamento tra i numeri surreali”.
“Mi piacciono i trucchetti, forse riuscirò a capire qualcosa”.
“Ricorderai la definizione di numero surreale, suppongo”.
“Sì, ogni numero corrisponde a due insiemi di numeri creati precedentemente, in modo tale che nessun elemento dell'insieme di sinistra sia maggiore o uguale di qualche elemento dell'insieme di destra”.
“Bene. Questa definizione ricorda vagamente quella di sezione di Dedekind”.
“Ah”.
“Anche il modo di scrivere un numero surreale ricorda le sezioni di Dedekind: abbiamo un insieme di numeri, un elemento di separazione (quello che abbiamo indicato con la barra verticale), e un altro insieme di numeri: {A|B}”.
“Capisco. Dunque il numero surreale {A|B} dovrebbe essere compreso tra A e B?”.
“Sì”.
“Ma se A e B sono insiemi di più numeri?”.
“Vedremo che succede in quel caso”.
“E poi A e B possono anche essere insiemi vuoti, però”.
“Sì, in quel caso il numero rappresentato da {A|} è il successivo di A, mentre quello rappresentato da {|B} è quello che precede B. In un certo senso che vedremo poi”.
“Uhm, ci sono ancora molti misteri”.
“Sì, cominciamo a capirne uno: la definizione di ordinamento. La figura qua sopra ci può aiutare: essa rappresenta due numeri x e y, con x che precede y. Le due semirette che vedi rappresentano i due insiemi, di sinistra e di destra, relativi ai due numeri”.
“Vuoi dire, in pratica, che x = {xL|xR} e che y = {yL|yR}?”.
“Esattamente. Ho usato la notazione inglese perché tutti i libri fanno così”.
“Bene, fin qua è chiaro”.
“Ora analizziamo la definizione: cosa significa che x ≤ y?”.
“Significa che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero è maggiore o uguale del secondo, e che nessun elemento dell'insieme di destra del secondo numero è minore o uguale del primo”.
“Bene. Ora osserva la figura: noterai che l'insieme di sinistra del primo numero, cioè xL, si trova tutto a sinistra di y”.
“Vero”.
“E quindi nessun suo elemento è maggiore o uguale di y”.
“Ah, ho capito! Questa è la prima parte della definizione! Ora ho capito anche la seconda parte: l'insieme di destra del secondo numero, cioè yR, si trova tutto a destra rispetto a x, e perciò nessun suo elemento è minore o uguale di x”.
“Perfetto, questo è il trucco. L'ordinamento fra i numeri surreali funziona così”.
“Ma perché usare tutti quei non? Invece di dire che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero è maggiore o uguale del secondo numero, non si poteva dire che tutti gli elementi dell'insieme di sinistra del primo numero sono minori del secondo?”.
“Bé, ci sono due motivi per cui si usano i non. Il primo è per una questione di eleganza (sulla quale tu avrai sicuramente da obiettare): in questo modo si usa solo il concetto di minore o uguale (assieme al suo reciproco di maggiore o uguale) e non si tira in ballo il concetto di essere diversi”.
“In che senso?”.
“Nel senso che minore in senso stretto significa minore e non uguale. Quindi per verificare che un numero è minore di un altro dovresti verificare che prima è minore o uguale, e poi che non è uguale”.
“Ah, ho capito. L'abbiamo fatto quando abbiamo dimostrato che 1 è minore di 2, per esempio”.
“Esatto. Il secondo motivo per cui si usano i non è per avere una induzione che non ha bisogno di base”.
“Cosa?”.
“Ne parliamo la prossima volta”.
lunedì 27 luglio 2009
Su un particolare insieme numerico - disuguaglianze
“Abbiamo chiamato 0 il numero {|}, poi abbiamo chiamato 1 il numero {0|}, viene naturale chiamare 2 il numero {1|}”.
“Ti ho già detto che quello che tu consideri naturale potrebbe risultare oscuro al resto del mondo?”.
“Sì, infatti vedremo poi che 1+1 dà proprio 2 come risultato, ma non vorrei ancora parlare di somme”.
“Va bene, per ora mi fido, poi vedremo come si sommano questi numeri”.
“Sì, lasciamo le somme a dopo: ora prova però a dimostrare che 1 è minore di 2”.
“Come si fa? Noi sappiamo solo verificare se un numero è minore o uguale di un altro”.
“Ma sappiamo anche che due numeri sono uguali se il primo è minore o uguale del secondo, e viceversa”.
“E quindi?”.
“E quindi se noi dimostriamo che 1 è minore o uguale di 2, ma che 2 non è minore o uguale di 1, siamo a posto”.
“Ah, ho capito. Va bene, allora provo a dimostrare che 1 ≤ 2”.
“E cioè che {0|} ≤ {1|}”.
“Allora, questo vorrebbe dire che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0) è maggiore o uguale di 2, e che nessun elemento dell'insieme di destra del secondo numero è minore o uguale del primo (vero, non ci sono elementi nell'insieme di destra del secondo numero)”.
“Bene”.
“Ma come faccio a dimostrare che 0 non è maggiore o uguale di 2?”.
“Conosci la definizione di 0, conosci quella di 2, fai la prova”.
“Ah, devo lasciare in sospeso la prima dimostrazione per verificare questa seconda affermazione?.
“Esatto”.
“Allora, 2 ≤ 0 significherebbe che {1|} ≤ {|}. Questo è vero se nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 1) è maggiore o uguale di 0... no, non va bene, 1 è maggiore o uguale di 0”.
“Benissimo, quindi 0 non è maggiore o uguale di 2”.
“Ho capito”.
“Bene. Ora prendiamo in considerazione il numero {0,1|}”.
“Uhm, il primo esempio di numero in cui sono presenti due elementi in una delle sue parti”.
“Sì, infatti. Vogliamo dimostrare che questo numero, che per ora indichiamo con x, è maggiore di 1”.
“Va bene, allora, cominciamo a dimostrare che 1 ≤ x. Provo io?”.
“Vai”.
“Dovrei dimostrare quindi che 1 ≤ {0,1|}”.
“E cioè, tenendo presente la definizione di 1, che {0|} ≤ {0,1|}”.
“Questo è vero se nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0, c'è solo lui) è maggiore o uguale di x, e nessun membro dell'insieme di destra del secondo numero è..., bé, qua mi fermo perché l'insieme di destra del secondo numero è vuoto. Ora però devo dimostrare che 0 non è maggiore o uguale di x”.
“Sì: come prima, conosci la definizione di 0, conosci quella di x, quindi provi”.
“Quindi devo dimostrare che non è vero che {0,1|} ≤ {|}”.
“Sì”.
“Quella disuguaglianza vorrebbe dire che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0 e 1) è maggiore o uguale di 0 e che... un momento, già questa prima parte è falsa: 0 è maggiore o uguale di 0, e anche 1”.
“Giusto. Quindi questa seconda dimostrazione è vera, puoi tornare a quella che avevi lasciato in sospeso”.
“Che quindi risulta vera pure lei”.
“Esatto. Hai dimostrato che 1 ≤ x”.
“Ora dovrei dimostrare che x non è minore o uguale di 1”.
“Sì. Devi quindi far vedere che è falsa la disuguaglianza {0,1|} ≤ {0|}”.
“Questa volta la disuguaglianza vorrebbe dire che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0 e 1) è maggiore o uguale di 1... questo è già falso: 1 è maggiore o uguale di 1”.
“Perfetto, quindi hai dimostrato che 1 è minore o uguale di x e che x non è minore o uguale di 1”.
“Quindi 1 è minore di x”.
“Anche se non sappiamo ancora quanto vale x”.
“Ora possiamo saperlo: prova a dimostrare che x è uguale a 2”.
“Allora, per prima cosa dovrei far vedere che 2 ≤ x, e poi che x ≤ 2”.
“Giusto. Comincia dalla prima disuguaglianza”.
“Voglio dimostrare che {1|} ≤ {0,1|}. Questo è vero, a meno che qualche elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 1) sia maggiore o uguale di x (no, l'abbiamo appena dimostrato, 1 è minore di x), o che qualche elemento dell'insieme di destra del secondo numero... no, mi fermo, l'insieme di destra è vuoto. Bene, è vero”.
“Ora la seconda disuguaglianza”.
“Questa volta voglio dimostrare che {0,1|} ≤ {1|}. Allora, è vero a meno che qualche elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0 oppure 1) sia maggiore o uguale di 2 (no, abbiamo dimostrato che 1 è minore di 2, e quindi anche 0 lo è) oppure che qualche elemento dell'insieme di destra del secondo numero... (no, è vuoto). È vero anche questo”.
“Ecco fatto: dato che 2 ≤ x e che x ≤ 2, hai dimostrato che x è uguale a 2”.
“E quindi questi due insiemi, {0,1|} e {1|}, pur essendo diversi, rappresentano lo stesso numero”.
“Proprio così”.
“Ora però cerchiamo una regola generale, vero?”.
“Già”.
“Ti ho già detto che quello che tu consideri naturale potrebbe risultare oscuro al resto del mondo?”.
“Sì, infatti vedremo poi che 1+1 dà proprio 2 come risultato, ma non vorrei ancora parlare di somme”.
“Va bene, per ora mi fido, poi vedremo come si sommano questi numeri”.
“Sì, lasciamo le somme a dopo: ora prova però a dimostrare che 1 è minore di 2”.
“Come si fa? Noi sappiamo solo verificare se un numero è minore o uguale di un altro”.
“Ma sappiamo anche che due numeri sono uguali se il primo è minore o uguale del secondo, e viceversa”.
“E quindi?”.
“E quindi se noi dimostriamo che 1 è minore o uguale di 2, ma che 2 non è minore o uguale di 1, siamo a posto”.
“Ah, ho capito. Va bene, allora provo a dimostrare che 1 ≤ 2”.
“E cioè che {0|} ≤ {1|}”.
“Allora, questo vorrebbe dire che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0) è maggiore o uguale di 2, e che nessun elemento dell'insieme di destra del secondo numero è minore o uguale del primo (vero, non ci sono elementi nell'insieme di destra del secondo numero)”.
“Bene”.
“Ma come faccio a dimostrare che 0 non è maggiore o uguale di 2?”.
“Conosci la definizione di 0, conosci quella di 2, fai la prova”.
“Ah, devo lasciare in sospeso la prima dimostrazione per verificare questa seconda affermazione?.
“Esatto”.
“Allora, 2 ≤ 0 significherebbe che {1|} ≤ {|}. Questo è vero se nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 1) è maggiore o uguale di 0... no, non va bene, 1 è maggiore o uguale di 0”.
“Benissimo, quindi 0 non è maggiore o uguale di 2”.
“Ho capito”.
“Bene. Ora prendiamo in considerazione il numero {0,1|}”.
“Uhm, il primo esempio di numero in cui sono presenti due elementi in una delle sue parti”.
“Sì, infatti. Vogliamo dimostrare che questo numero, che per ora indichiamo con x, è maggiore di 1”.
“Va bene, allora, cominciamo a dimostrare che 1 ≤ x. Provo io?”.
“Vai”.
“Dovrei dimostrare quindi che 1 ≤ {0,1|}”.
“E cioè, tenendo presente la definizione di 1, che {0|} ≤ {0,1|}”.
“Questo è vero se nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0, c'è solo lui) è maggiore o uguale di x, e nessun membro dell'insieme di destra del secondo numero è..., bé, qua mi fermo perché l'insieme di destra del secondo numero è vuoto. Ora però devo dimostrare che 0 non è maggiore o uguale di x”.
“Sì: come prima, conosci la definizione di 0, conosci quella di x, quindi provi”.
“Quindi devo dimostrare che non è vero che {0,1|} ≤ {|}”.
“Sì”.
“Quella disuguaglianza vorrebbe dire che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0 e 1) è maggiore o uguale di 0 e che... un momento, già questa prima parte è falsa: 0 è maggiore o uguale di 0, e anche 1”.
“Giusto. Quindi questa seconda dimostrazione è vera, puoi tornare a quella che avevi lasciato in sospeso”.
“Che quindi risulta vera pure lei”.
“Esatto. Hai dimostrato che 1 ≤ x”.
“Ora dovrei dimostrare che x non è minore o uguale di 1”.
“Sì. Devi quindi far vedere che è falsa la disuguaglianza {0,1|} ≤ {0|}”.
“Questa volta la disuguaglianza vorrebbe dire che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0 e 1) è maggiore o uguale di 1... questo è già falso: 1 è maggiore o uguale di 1”.
“Perfetto, quindi hai dimostrato che 1 è minore o uguale di x e che x non è minore o uguale di 1”.
“Quindi 1 è minore di x”.
“Anche se non sappiamo ancora quanto vale x”.
“Ora possiamo saperlo: prova a dimostrare che x è uguale a 2”.
“Allora, per prima cosa dovrei far vedere che 2 ≤ x, e poi che x ≤ 2”.
“Giusto. Comincia dalla prima disuguaglianza”.
“Voglio dimostrare che {1|} ≤ {0,1|}. Questo è vero, a meno che qualche elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 1) sia maggiore o uguale di x (no, l'abbiamo appena dimostrato, 1 è minore di x), o che qualche elemento dell'insieme di destra del secondo numero... no, mi fermo, l'insieme di destra è vuoto. Bene, è vero”.
“Ora la seconda disuguaglianza”.
“Questa volta voglio dimostrare che {0,1|} ≤ {1|}. Allora, è vero a meno che qualche elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0 oppure 1) sia maggiore o uguale di 2 (no, abbiamo dimostrato che 1 è minore di 2, e quindi anche 0 lo è) oppure che qualche elemento dell'insieme di destra del secondo numero... (no, è vuoto). È vero anche questo”.
“Ecco fatto: dato che 2 ≤ x e che x ≤ 2, hai dimostrato che x è uguale a 2”.
“E quindi questi due insiemi, {0,1|} e {1|}, pur essendo diversi, rappresentano lo stesso numero”.
“Proprio così”.
“Ora però cerchiamo una regola generale, vero?”.
“Già”.
venerdì 24 luglio 2009
C'è un mondo intorno a te
Ci son certe persone che, quando parlano di vacanze, dicono per esempio che quest'anno hanno fatto la Sardegna, l'anno scorso hanno fatto Parigi, il prossimo anno faranno il Mar Rosso; ecco, secondo me queste persone qui non usano mica tanto bene il verbo fare, forse un verbo più appropriato sarebbe visitare. Visitare è un verbo più rispettoso, delicato, che tiene conto del fatto che nei posti che si fanno c'era già altra gente prima, e ci sarà altra gente anche dopo; quei luoghi, insomma, non li hanno creati solo per quelle persone là e non diventeranno inutili quando per loro saranno solo luoghi fatti.
Giusto per capirci, se una di quelle persone là dice che si è fatta quella tale gentile fanciulla, e la fanciulla in questione sente, forse dopo non è più tanto gentile.
Giusto per capirci, se una di quelle persone là dice che si è fatta quella tale gentile fanciulla, e la fanciulla in questione sente, forse dopo non è più tanto gentile.
giovedì 23 luglio 2009
Sette giorni a Barcellona
La curva rappresentata qua sopra è una catenaria: ha l'andamento di una catena, appunto, o di una fune omogenea, sospesa a due punti. È quindi una curva naturale, e guarda caso (leggi: proprio per questo) la sua equazione contiene la funzione esponenziale con base e (qualche Vero Matematico la chiama anche coseno iperbolico).
Se la ribaltiamo rispetto a un asse orizzontale otteniamo un arco catenario: un arco perfetto, che non ha bisogno di contrafforti per stare in equilibrio. L'arco prediletto da Gaudì nelle sue architetture. Guarda un po', ne hanno parlato poco tempo fa i Rudi Matematici (quelli senz'acca: quelli con l'acca ne avevano parlato prima).
Ora, Barcellona è una città che non mi ha detto molto, ma vale la pena andarci anche solo per vedere le opere di Gaudì.
I Rudi Mathematici hanno trovato il pretesto, parlando di catenarie, di inserire una foto di Monica Bellucci. Qui non siamo da meno, e concludiamo con le labbra di Mae West, opera di Dalì, ammirate a Figueres.
(Tutte le foto, per chi ha voglia di guardarle, sono qui)
Su un particolare insieme numerico - Genesi
“Ho sb”.
“Come, scusa?”.
“Ho sbb... ho sbbb”.
“Non capisco”.
“Ho dato un'informazione che, seppur corretta, poteva portare a cattive interpretazioni”.
“Ah, hai sbagliato”.
“Ehm”.
“E quale sarebbe, questa informazione?”.
“Ecco, avevo detto che per essere sicuri che i numeri che abbiamo indicato con +1 e -1 siano davvero quei numeri, avremmo avuto bisogno della somma”.
“E non è vero?”.
“Bé, è vero che ci serve la somma per verificare che sono opposti (e in questo, quindi, la mia informazione è corretta), però per controllare che +1 sia proprio l'unità, ci serve la definizione di moltiplicazione. In sostanza, +1 è l'elemento neutro della moltiplicazione”.
“Ah. E quindi adesso definiamo somma e moltiplicazione?”.
“No, no, è ancora presto: prima ci serve qualche altro numero, per prendere confidenza con un concetto molto importante”.
“Costruiamo quindi altri numeri? A partire da quelli vecchi, immagino”.
“Certo, ogni giorno ne vengono costruiti dei nuovi a partire da quelli vecchi”.
“Giorno?”.
“Sì, quelli che studiano i numeri surreali parlano di giorni. Vedi, in principio c'era solo l'insieme vuoto. Conway definì la regola per costruire numeri, e creò lo zero, cioè {|}. Conway vide che era cosa buona. E fu sera e fu mattina, zeresimo giorno”.
“Voi siete malati”.
“Conway costruì {0|} e {|0}, e li chiamò +1 e -1, e vide che erano cosa buona. Conway separò le coppie che rispettavano la sua regola dalle coppie che non la rispettavano, come {0|0}, e chiamò le coppie del primo tipo numeri, e quelle del secondo tipo giochi. E fu sera e fu mattina, primo giorno”.
“Ci mancavano anche i giochi”.
“Conway disse: tutti i numeri sono costruiti in questo modo, e creò l'induzione, risolvendo il problema del contare fino a ℵ senza annoiarsi”.
“Sono senza parole”.
“Quindi ogni giorno vengono creati nuovi numeri, a partire da quelli vecchi. Noi siamo arrivati al primo giorno, ora proviamo a vedere cosa succede nel secondo”.
“Va bene, anche se tremo all'idea di quello che succederà al giorno ℵ”.
“Non ti preoccupare, c'è tempo”.
“Un tempo infinito, immagino...”.
“Bé, poi l'induzione ci aiuta, ma andiamo per gradi. Ora proviamo a vedere quali numeri vengono creati il secondo giorno”.
“Va bene, proviamo. Allora, abbiamo a disposizione i numeri -1, 0 e +1. Posso evitare di mettere sempre quel segno positivo davanti al +1?”.
“Certo, certo. Ricordati anche che li abbiamo ordinati, sappiamo che -1 è minore degli altri due, 0 è compreso tra -1 e 1, mentre 1 è maggiore degli altri due”.
“Uhm, perché mi stai ricordando questo?”.
“Perché, secondo la definizione di numero, nessun numero dell'insieme di sinistra deve essere maggiore o uguale di qualche numero dell'insieme di destra”.
“Ah, giusto! Allora, avendo a disposizione questi tre simboli potrei creare queste coppie:”.
{|} = 0
{-1|}
{0|} = 1
{1|}
{|-1}
{|0} = -1
{|1}
{-1|0}
{-1|1}
{0|1}
{-1,0|}
{-1,1|}
{0,1|}
{-1,0,1|}
{|-1,0}
{|-1,1}
{|0,1}
{|-1,0,1}
{-1,0|1}
{-1|0,1}
“Ottimo”.
“Sono venti, non me ne aspettavo così tante!”.
“Bè, alcune coppie potrebbero essere uguali”.
“Ma no, sono tutte composte da numeri diversi!”.
“Intendevo dire che potrebbero rappresentare lo stesso numero”.
“Ah. Uhm. No, non ho ben capito. Come è possibile?”.
“Allora, distinguiamo due concetti: due numeri si dicono identici se i loro insiemi di sinistra e di destra contengono gli stessi elementi”.
“E, in questa lista, di numeri identici non ce ne sono, vero?”.
“Perfetto”.
“E quand'è che due numeri si dicono uguali?”.
“Due numeri x e y sono uguali se x ≤ y e y ≤ x”.
“Ah! Ora ho capito: potrebbero esistere modi diversi per scrivere lo stesso numero”.
“Esatto”.
“E dobbiamo provare tutte le possibili combinazioni? Mi sembra un po' noioso, soprattutto pensando a quello che può succedere durante il terzo giorno”.
“Hai ragione: per questo faremo una prova, e poi cercheremo di ricavare una regola generale”.
“Come, scusa?”.
“Ho sbb... ho sbbb”.
“Non capisco”.
“Ho dato un'informazione che, seppur corretta, poteva portare a cattive interpretazioni”.
“Ah, hai sbagliato”.
“Ehm”.
“E quale sarebbe, questa informazione?”.
“Ecco, avevo detto che per essere sicuri che i numeri che abbiamo indicato con +1 e -1 siano davvero quei numeri, avremmo avuto bisogno della somma”.
“E non è vero?”.
“Bé, è vero che ci serve la somma per verificare che sono opposti (e in questo, quindi, la mia informazione è corretta), però per controllare che +1 sia proprio l'unità, ci serve la definizione di moltiplicazione. In sostanza, +1 è l'elemento neutro della moltiplicazione”.
“Ah. E quindi adesso definiamo somma e moltiplicazione?”.
“No, no, è ancora presto: prima ci serve qualche altro numero, per prendere confidenza con un concetto molto importante”.
“Costruiamo quindi altri numeri? A partire da quelli vecchi, immagino”.
“Certo, ogni giorno ne vengono costruiti dei nuovi a partire da quelli vecchi”.
“Giorno?”.
“Sì, quelli che studiano i numeri surreali parlano di giorni. Vedi, in principio c'era solo l'insieme vuoto. Conway definì la regola per costruire numeri, e creò lo zero, cioè {|}. Conway vide che era cosa buona. E fu sera e fu mattina, zeresimo giorno”.
“Voi siete malati”.
“Conway costruì {0|} e {|0}, e li chiamò +1 e -1, e vide che erano cosa buona. Conway separò le coppie che rispettavano la sua regola dalle coppie che non la rispettavano, come {0|0}, e chiamò le coppie del primo tipo numeri, e quelle del secondo tipo giochi. E fu sera e fu mattina, primo giorno”.
“Ci mancavano anche i giochi”.
“Conway disse: tutti i numeri sono costruiti in questo modo, e creò l'induzione, risolvendo il problema del contare fino a ℵ senza annoiarsi”.
“Sono senza parole”.
“Quindi ogni giorno vengono creati nuovi numeri, a partire da quelli vecchi. Noi siamo arrivati al primo giorno, ora proviamo a vedere cosa succede nel secondo”.
“Va bene, anche se tremo all'idea di quello che succederà al giorno ℵ”.
“Non ti preoccupare, c'è tempo”.
“Un tempo infinito, immagino...”.
“Bé, poi l'induzione ci aiuta, ma andiamo per gradi. Ora proviamo a vedere quali numeri vengono creati il secondo giorno”.
“Va bene, proviamo. Allora, abbiamo a disposizione i numeri -1, 0 e +1. Posso evitare di mettere sempre quel segno positivo davanti al +1?”.
“Certo, certo. Ricordati anche che li abbiamo ordinati, sappiamo che -1 è minore degli altri due, 0 è compreso tra -1 e 1, mentre 1 è maggiore degli altri due”.
“Uhm, perché mi stai ricordando questo?”.
“Perché, secondo la definizione di numero, nessun numero dell'insieme di sinistra deve essere maggiore o uguale di qualche numero dell'insieme di destra”.
“Ah, giusto! Allora, avendo a disposizione questi tre simboli potrei creare queste coppie:”.
{|} = 0
{-1|}
{0|} = 1
{1|}
{|-1}
{|0} = -1
{|1}
{-1|0}
{-1|1}
{0|1}
{-1,0|}
{-1,1|}
{0,1|}
{-1,0,1|}
{|-1,0}
{|-1,1}
{|0,1}
{|-1,0,1}
{-1,0|1}
{-1|0,1}
“Ottimo”.
“Sono venti, non me ne aspettavo così tante!”.
“Bè, alcune coppie potrebbero essere uguali”.
“Ma no, sono tutte composte da numeri diversi!”.
“Intendevo dire che potrebbero rappresentare lo stesso numero”.
“Ah. Uhm. No, non ho ben capito. Come è possibile?”.
“Allora, distinguiamo due concetti: due numeri si dicono identici se i loro insiemi di sinistra e di destra contengono gli stessi elementi”.
“E, in questa lista, di numeri identici non ce ne sono, vero?”.
“Perfetto”.
“E quand'è che due numeri si dicono uguali?”.
“Due numeri x e y sono uguali se x ≤ y e y ≤ x”.
“Ah! Ora ho capito: potrebbero esistere modi diversi per scrivere lo stesso numero”.
“Esatto”.
“E dobbiamo provare tutte le possibili combinazioni? Mi sembra un po' noioso, soprattutto pensando a quello che può succedere durante il terzo giorno”.
“Hai ragione: per questo faremo una prova, e poi cercheremo di ricavare una regola generale”.
Iscriviti a:
Post (Atom)