Su un particolare insieme numerico - la somma

x + y = {x_L + y, x + y_L | x_R + y, x + y_R}

“Questa sarebbe la definizione di somma di due numeri surreali?”.

“Esattamente”.

“Vedo che si basa su sé stessa”.

“Esatto, per fare una somma devi fare una somma”.

“Lapalissiano”.

“Naturalmente, funziona grazie all'induzione, a destra dell'uguale si fanno somme tra elementi più semplici, cioè nati prima. A un certo punto ci si ferma, quando si arriva all'insieme vuoto”.

“Facciamo una prova?”.

“Certo. Cominciamo da una facile: 1 0”.

“Ah, forse è la più facile. Bé, no, ci sarebbe 0+0, ma visto che in quel caso gli insiemi sono tutti vuoti, si capisce subito che il risultato è ancora 0”.

“Già. Prova invece a calcolare 1+0, cioè {0|} + {|}”.

“Vediamo... Mh, non capisco bene come devo fare quando devo sommare un numero all'insieme vuoto”.

“In quel caso, non risulta nulla: se devi sommare un numero a un elemento dell'insieme vuoto, non puoi farlo, dato che l'insieme vuoto non ha elementi”.

“Allora, scrivo tutto poi vedo come semplificare: secondo la definizione, viene {0+0|}. Ah, il calcolo di 0+0 è facile, l'abbiamo detto prima, fa 0. Quindi 1+0 = {0|} = 1. Bene, risulta quello che mi aspettavo”.

“A questo punto puoi dimostrare che 0 è l'elemento neutro della somma”.

“Cioè che x+0 = x?”.

“Sì. Prova a calcolare x+0 = {x_L|x_R} + {|}”.

“Viene {x_L+0|x_R+0}. Uh, e quanto fa? Dovrei calcolare x_R+0 e x_L+0, prima”.

“Certo, ma questa è l'induzione, ricordi? x_L e x_R sono stati creati prima di x, e puoi andare indietro fino al punto di partenza. A un certo punto quella somma diventerà 0+0, che fa 0. Quindi, per induzione, puoi supporre che x_L+0 = x_R, e x_R+0 = x_R”.

“E quindi x+0 = x”.

“Sì. Ora prova a calcolare 1+1”.

“Ah, vediamo se fa 2! Il calcolo è questo: {0|} + {0|}. Il risultato è {0+1, 1+0|} = {1,1|} = {1|}”.

“E {1|} è proprio il numero che avevamo indicato con 2”.

“Sì, mi ricordo. Mh, ora mi viene in mente una cosa: avevo pensato che il numero {0|1} potesse essere uguale a 1/2, dato che si trova a metà tra 0 e 1”.

“Sì, in effetti è così, anche se non è sempre vero che {a|b} si trova a metà tra a e b. Ma di questo ne parleremo”.

“Però in questo caso è vero? Avevo pensato di dimostrarlo calcolando 1/2 + 1/2”.

“Bene, se risulta 1 sei a posto, prova”.

“Allora, voglio calcolare 1/2 + 1/2 = {0|1} + {0|1}. Se applico la definizione, ottengo {0+1/2, 1/2+0 | 1+1/2, 1/2+1} = {1/2 | 1+1/2}. Mh, non è facile come mi aspettavo”.

“Sì, è vero. Come puoi fare per dire che {1/2 | 1+1/2} è uguale a 1, come ti aspetteresti?”.

“Eh, l'unico modo che mi viene in mente è la definizione: due numeri sono uguali se il primo è minore o uguale del secondo, e viceversa”.

“Perfetto. Prova a vedere se {1/2 | 1+1/2} ≤ 1”.

“Allora, è vero a meno che 1/2 non sia maggiore o uguale di 1 (no) oppure... (no, mi fermo perché l'insieme di destra di 1 è vuoto). Bè, questa è stata facile”.

“Ora prova a dimostrare che 1 ≤ {1/2 | 1+1/2}”.

“La disuguaglianza è vera a meno che 0 non sia maggiore o uguale di {1/2 | 1+1/2} oppure che 1+1/2 non sia minore o uguale di 1. Queste due disuguaglianze non sono ovvie, però”.

“Comincia dalla prima: è possibile che 0 sia maggiore o uguale di {1/2 | 1+1/2}? Sai che {1/2 | 1+1/2} è un numero maggiore del suo elemento di sinistra”.

“Ah, è vero! Allora certamente 0 non è maggiore di {1/2 | 1+1/2}, questa è fatta”.

“Ora l'altra: è possibile che 1+1/2 sia minore o uguale di 1?”.

“Dovrei sapere come è fatto 1+1/2. Allora, il calcolo sarebbe questo: 1+1/2 = {0|} + {0|1}. Applicando la definizione di somma ho {0+1/2, 1+0 | 1+1} = {1|2}. Adesso? Mi sono perso...”.

“Ti stavi chiedendo se 1+1/2, che hai scoperto essere uguale a {1|2}, può essere minore o uguale di 1”.

“Ah, certo che no, deve essere maggiore di 1”.

“Bene, quindi sei a posto, hai dimostrato che 1 ≤ {1/2 | 1+1/2}”.

“Prima avevo dimostrato la disuguaglianza contraria, quindi posso dire che 1 = {1/2 | 1+1/2}”.

“E quindi 1/2+1/2 fa proprio 1”.