Ho studiato al liceo scientifico, in una classe in cui la lingua straniera era il tedesco.
Dalla prima alla quarta abbiamo avuto sempre la stessa insegnante, che poi è andata in pensione. In quinta, con lo spettro dell'esame, abbiamo tutti atteso con molto timore la nuova insegnante. Dopo le prime lezioni eravamo tutti entusiasti: era brava, ci sapeva fare, era giovane, ci portava in laboratorio linguistico (dove non eravamo mai stati nei precedenti quattro anni), ci faceva lavorare tanto, faceva battute (soprattutto quando interrogava quelli che stavano dort drüben, cioè in fondo, nell'ultima fila, noto luogo popolato da gente sospetta).
Però era incinta, e a dicembre rimase a casa.
A gennaio arrivò la supplente, quella che ci avrebbe preparati per l'esame. Una delusione: era bruttina (e questo, purtroppo, non aiuta quando si va in una classe di diciottenni allupati), aveva una voce sgradevole, urlava sempre, non si faceva rispettare, e spiegava maluccio. Il fatto è che tedesco era comunque una materia d'esame, e noi ci trovavamo in bilico tra il desiderio di non fare niente e il terrore di dover portare lingua straniera all'esame. All'epoca, infatti, la parte orale dell'esame funzionava in questo modo: il ministero decideva quattro materie, il candidato ne sceglieva una, la commissione gliene assegnava una delle altre tre. In pratica si dovevano portare due materie: una scelta a piacere e l'altra assegnata dall'alto. Quindi in teoria si dovevano studiare tutte e quattro, perché l'assegnazione della seconda materia veniva fatta il giorno prima dell'orale.
In pratica, però, non funzionava così: la commissione, al momento della scelta della seconda materia, doveva valutare l'andamento dello studente e scegliere quella nella quale la valutazione era migliore. Quasi sempre andava tutto bene, ma ogni tanto la seconda materia veniva cambiata (rispetto alle aspettative dello studente, che durante tutto l'anno aveva messo in atto strategie incredibili per riuscire ad avere una valutazione alta nella materia che avrebbe voluto come seconda).
In sostanza, nessuno voleva portare tedesco come seconda materia. E quindi nessuno aveva valutazioni alte, per non rischiare di vedersela affibbiare dalla commissione. Questo non giovava certamente alle lezioni della supplente.
La quale, una volta, in un momento in cui la confusione era davvero insopportabile e in cui qualcuno ridacchiava per un suo presunto errore, sbottò: “Ma insomma, basta, io sono una discepola del grande Claudio Magris!”.
La classe, a una sola voce, gridò: “Chiii?”. E in quel momento la prof capì che non ce l'avrebbe fatta.
E noi studenti ignoranti siamo andati avanti per anni, anche dopo aver sostenuto l'esame di maturità, a ripetere la scenetta del grande Claudio Magris.
Alla fine solo due portarono tedesco all'esame: uno che era bravissimo e praticamente se lo studiava per conto proprio, e un altro a cui, ahilui, venne cambiata la materia (ma, in effetti, in tedesco aveva una valutazione più alta che nelle altre materie e quindi andava bene così).
Tutto questo, comunque, era per dire che lo spettro di Claudio Magris ogni tanto mi tormenta. E non ci ho messo molto a decidere di vendicarmi, quando ne ho avuta l'occasione…
L'occasione è capitata qualche giorno fa, quando quelli di Gravità Zero hanno proposto il gioco dell'estate 2010, dal titolo Trova la bufala e vinci! Ogni settimana viene proposto un brano preso dalla stampa tradizionale, e compito del lettore è quello di trovare gli errori scientifici presenti nel brano e segnalarli.
Il brano della settimana scorsa era intitolato Claudio Magris e la forza di Coriolis, e io mi ci sono buttato a pesce (anche perché ero fresco dell'argomento, ne aveva parlato Keplero poco tempo fa).
Se volete sapere com'è andata, leggete qua.
lunedì 26 luglio 2010
venerdì 23 luglio 2010
Il femminismo ha vinto
Essere orgoglioso per come hai pulito i fornelli, anche se il detersivo per l'acciaio ti ha rovinato un po' le mani.
martedì 6 luglio 2010
La formula più bella della matematica
Ho trovato una presentazione che spiega la formula di Eulero (la cosiddetta formula più bella della matematica) in termini di rotazioni sul piano complesso.
Riassumendola:
— un numero complesso è un vettore nel piano di Gauss,
— la moltiplicazione di due numeri complessi produce una rotazione e un aumento (o diminuzione) della lunghezza del vettore,
— da qui si può passare al concetto di potenza a esponente naturale di un numero complesso,
— il tutto è legato alla costruzione di una serie di triangoli simili, sempre sul piano complesso,
— se il vettore ha modulo unitario, i triangoli sono isosceli,
— bene, facciamo diventare questi triangoli isosceli sempre più piccoli, e leghiamo il tutto con la definizione di e.
(via Wild About Math!)
lunedì 5 luglio 2010
lunedì 28 giugno 2010
Logicomix
Logicomix è un libro a fumetti che si sviluppa su tre livelli. Nel primo, i protagonisti sono gli autori, ritratti mentre stanno lavorando alla realizzazione del libro stesso. Dunque Logicomix è un libro autoreferenziale, che parla di sé. E l'autoreferenzialità è uno dei temi cardine della storia, naturalmente.
Il protagonista del secondo livello è Bertrand Russel. Il primo settembre del 1939 Hitler invade la Polonia; il quattro settembre il Regno Unito dichiara guerra alla Germania, e Russel viene invitato da un'università americana a tenere una conferenza sul rapporto tra la logica e le vicende umane. Il matematico viene accolto da un gruppo di isolazionisti, contrari all'entrata in guerra degli Stati Uniti, che invitano Russell a rinunciare alla sua lezione per unirsi, invece, alla loro protesta. Russell ribalta la situazione, e convince gli isolazionisti a partecipare alla sua conferenza con queste parole: ma io parlerò, appunto… di ragione, e nella sua espressione più alta: la logica! Quale modo migliore per introdurre un dibattito sulla guerra?
Il terzo livello vede come protagonista la Logica: la conferenza di Russell è un lungo flashback in cui il matematico racconta la storia della sua vita, che è anche la storia della ricerca dei fondamenti della matematica, e la storia della loro crisi. In questo racconto compaiono praticamente tutti i matematici dell'epoca: Cantor, Frege, Gödel, Hilbert, Poincaré, Von Neumann, Whitehead, Wittgenstein (se vogliamo considerarlo un matematico).
Il terzo livello si conclude con le parole di Von Neumann pronunciate dopo aver assistito alla dimostrazione del teorema di incompletezza di Gödel: è la fine.
Il secondo livello si conclude invece con le parole di Russell rivolte agli isolazionsti: sentite, il mio è davvero un racconto ammonitore, una storia narrata che mette in guardia dalle soluzioni preconfezionate. Dalla semplice applicazione di formule… soprattutto per voi, che vi trovate di fronte a problemi così difficili.
Il primo livello, infine, si conclude con una rappresentazione teatrale: gli autori del libro sono invitati a teatro, ad assistere alle prove dell'Orestea. Nel finale le Furie, che voglio punire Oreste, lo inseguono fino alla città di Atene, dove egli invoca la protezione di Atena, la dea della saggezza. La quale non si comporta assolutamente come ci si aspetta da una divinità greca, perché chiama a decidere delle sorti di Oreste tutti i cittadini di Atene, dando così origine al sistema del processo giuridico democratico.
La traduzione italiana è buona; se proprio si vuole notare un difetto, questo è nella realizzazione dei fumetti: le dimensioni delle nuvolette sono identiche a quelle della versione inglese, ma la traduzione italiana è a volte un po' troppo lunga. Per fare stare l'intera frase dentro alla nuvola, a volte è stato rimpicciolito il carattere, e questo dà un po' fastidio.
Sono 352 pagine che vale la pena di leggere.
sabato 19 giugno 2010
e
“Supponiamo di depositare un euro in banca a un interesse annuale del 100%…”.
“See, buonanotte”.
“È solo un esempio, lo so che non è realistico”.
“Ah, no, certo, nella classifica degli esempi poco realistici questo si trova al posto d'onore, con menzione speciale”.
“Vabbè, io vado avanti con l'esempio. A quanto ammonterà il capitale dopo un anno?”.
“Secondo le tue assurde ipotesi, alla fine dell'anno raddoppiamo il capitale, quindi due euro”.
“Esatto. Ora, non contenti del nostro interesse, andiamo alla banca e diciamo: senti, banca, ti dispiace farmi un interesse del 50% per i primi sei mesi, poi un interesse del 50% per gli altri sei mesi?”.
“E cosa cambia?”.
“Se facciamo i conti, dopo i primi sei mesi abbiamo un euro più la sua metà, che scriviamo in questo modo:”.
“E dopo gli altri sei mesi arriviamo a due euro”.
“Eh, no, ricordati che ora in banca c'è un capitale maggiore: devi fare i calcoli aumentando del 50% il capitale attuale”.
“Ah. Quindi devo calcolare il 50% di 1.5”.
“Sì. Te lo scrivo in questo modo:”.
“Sì, capisco, uno e mezzo più la metà di uno e mezzo. Perché non vuoi fare i calcoli?”.
“Perché ho uno scopo che ti apparirà chiaro tra un po'. Solite manie da matematici…”.
“Ah, ho capito, il solito sistema di complicare le cose semplici per stupire poi col gran finale”.
“Esattamente. Comunque, posso semplificare la formula un po': dato che la parentesi contenente uno e mezzo compare due volte, la prima con coefficiente uguale a uno, la seconda con coefficiente uguale a un mezzo, posso dire che alla fine ottengo una volta e mezzo quella parentesi. In formule:”.
“Che potrei anche scrivere così, a questo punto:”.
“Esatto. Anche se abbiamo scritto tutto in formule, possiamo comunque fare i calcoli: risulta che alla fine dell'anno otteniamo 2.25 euro”.
“La banca non sarà contenta”.
“Nemmeno noi, tant'è che torniamo allo sportello e domandiamo: cara banca, dato che aspettare sei mesi non mi piace molto, potresti farmi i conti degli interessi ogni quattro mesi? Quindi mi dai un terzo degli interessi dopo i primi quattro mesi, un altro terzo dopo otto mesi, e l'ultimo terzo alla fine dell'anno”.
“Vabbè, avevamo già rinunciato al realismo prima, andiamo pure avanti”.
“Se hai capito il ragionamento fatto prima, non ti è difficile seguire i calcoli adesso. Li faccio un po' più rapidamente. Dopo il primo periodo avremo in banca il seguente capitale:”.
“Sì, è come prima. Dopo il secondo dovremmo avere:”.
“Infatti. Alla fine dell'anno avremo questo risultato:”.
“Mi pare di intravedere una formula generale…”.
“Sì, esatto. Questo dovrebbe farti capire perché non ho fatto subito i calcoli, ma ho lasciato indicate le parentesi”.
“Sì, vedo. Comunque i calcoli li faccio: vediamo un po', questa volta il capitale alla fine dell'anno sarà uguale a 2.37 euro e rotti”.
“Sì, è aumentato rispetto a prima”.
“Ah, certo. Con questa faccenda dell'aumento dei periodi in cui si calcola l'interesse, possiamo diventare ricchi”.
“Siamo sicuri?”.
“Eh, bè, certo, accumuliamo denaro sempre di più, possiamo fare quello che vogliamo”.
“Facciamo una prova. Andiamo in banca ancora, e chiediamo se ci fanno il conto degli interessi ogni tre mesi, cioè quattro volte all'anno”.
“La formula dovrebbe essere questa:”.
“Sì, questa è quella finale. Se fai i conti, viene 2.44 e rotti”.
“È aumentato ancora”.
“Certo, questo è vero. Ma è aumentato di meno”.
“Insomma, o aumenta o non aumenta, no?”.
“Certo che aumenta, ma ci sono diversi modi di aumentare. Prova a chiedere alla banca se ti fa i conti una volta al mese, per esempio”.
“Sono dodici volte all'anno, dovrebbero essere tanti soldini. La formula è questa:”.
“Esatto. Risulta 2.613”.
“Uhm, mi aspettavo un aumento un po' più grosso”.
“Prova a sentire in banca se ti fanno il calcolo degli interessi una volta al giorno, allora”.
“Eh, magari. Vediamo, questo è il risultato:”.
“Bene, risulta 2.71457”.
“Comincio a capire: aumenta, ma aumenta sempre meno. Quanto ci metterà ad arrivare a 3?”.
“Forse in banca hanno tempo di farti i conti una volta ogni ora”.
“Ogni ora? Sarebbero 8760 calcoli all'anno!”.
“Che problema c'è? In banca hanno i computer, ci pensano loro a tenere il tuo conto aggiornato”.
“Ah, va bene. La formula diventa:”.
“E il risultato è 2.71813”.
“Niente, ancora non ci siamo. Faccio il calcolo una volta al minuto, allora. Ecco qua:”.
“Ancora troppo poco: risulta 2.71828”.
“Una volta al secondo! Sono preso dal sacro furore del ragioniere! Ecco qua:”.
“Purtoppo risulta 2.71828”.
“Come prima? Impossibile”.
“No, non proprio come prima: c'è stato un piccolo aumento nelle cifre che non ti ho detto, dopo la quinta decimale”.
“Ma allora quante volte devo calcolare gli interessi in un anno per avere il mio capitale triplicato?”.
“Il fatto è che non arriverai mai a 3. Il tuo capitale aumenta sempre, ma aumenta sempre di meno. Il risultato non si avvicina a 3, ma rimane minore”.
“Di quanto rimane minore? Cioè, a cosa si avvicina il risultato, alla fine?”.
“Il numero a cui si avvicina il tuo capitale, man mano che aumenti il numero di volte in cui fai il calcolo degli interessi, si avvicina a un numero irrazionale che i matematici indicano con e”.
“Una semplice e?”.
“Sì. La scrittura corretta che si usa è questa:”.
“lim?”.
“Sì, quel simbolo significa limite, ed è il modo matematico per dire quello che succede quando n diventa sempre più grande. Se tu chiedi alla banca di farti un calcolo degli interessi in ogni istante, o continuamente, il tuo capitale arriva fino a e, e non lo supera. Quindi questo non è un metodo per diventare ricchi”.
“Vabbè, già le ipotesi iniziali erano di pura fantasia, non esiste una banca che ti dà un interesse del cento per cento”.
“Non importa, io ho supposto un interesse del 100% per semplificare i calcoli, ma il numero e salta fuori anche se si fanno calcoli con dati reali”.
“Ah. Quindi è un numero molto importante?”.
“Eh, sì, ogni volta che si ha a che fare con fenomeni di accrescimento o decadimento, salta fuori e. Può trattarsi dell'accrescimento di un conto in banca, della crescita di una colonia batterica, del decadimento radioattivo, della scarica di un condensatore. Di esempi se ne possono fare tanti. Il numero e, detto anche numero di Nepero o di Eulero, è il numero più naturale che ci sia”.
“See, buonanotte”.
“È solo un esempio, lo so che non è realistico”.
“Ah, no, certo, nella classifica degli esempi poco realistici questo si trova al posto d'onore, con menzione speciale”.
“Vabbè, io vado avanti con l'esempio. A quanto ammonterà il capitale dopo un anno?”.
“Secondo le tue assurde ipotesi, alla fine dell'anno raddoppiamo il capitale, quindi due euro”.
“Esatto. Ora, non contenti del nostro interesse, andiamo alla banca e diciamo: senti, banca, ti dispiace farmi un interesse del 50% per i primi sei mesi, poi un interesse del 50% per gli altri sei mesi?”.
“E cosa cambia?”.
“Se facciamo i conti, dopo i primi sei mesi abbiamo un euro più la sua metà, che scriviamo in questo modo:”.
“E dopo gli altri sei mesi arriviamo a due euro”.
“Eh, no, ricordati che ora in banca c'è un capitale maggiore: devi fare i calcoli aumentando del 50% il capitale attuale”.
“Ah. Quindi devo calcolare il 50% di 1.5”.
“Sì. Te lo scrivo in questo modo:”.
“Sì, capisco, uno e mezzo più la metà di uno e mezzo. Perché non vuoi fare i calcoli?”.
“Perché ho uno scopo che ti apparirà chiaro tra un po'. Solite manie da matematici…”.
“Ah, ho capito, il solito sistema di complicare le cose semplici per stupire poi col gran finale”.
“Esattamente. Comunque, posso semplificare la formula un po': dato che la parentesi contenente uno e mezzo compare due volte, la prima con coefficiente uguale a uno, la seconda con coefficiente uguale a un mezzo, posso dire che alla fine ottengo una volta e mezzo quella parentesi. In formule:”.
“Che potrei anche scrivere così, a questo punto:”.
“Esatto. Anche se abbiamo scritto tutto in formule, possiamo comunque fare i calcoli: risulta che alla fine dell'anno otteniamo 2.25 euro”.
“La banca non sarà contenta”.
“Nemmeno noi, tant'è che torniamo allo sportello e domandiamo: cara banca, dato che aspettare sei mesi non mi piace molto, potresti farmi i conti degli interessi ogni quattro mesi? Quindi mi dai un terzo degli interessi dopo i primi quattro mesi, un altro terzo dopo otto mesi, e l'ultimo terzo alla fine dell'anno”.
“Vabbè, avevamo già rinunciato al realismo prima, andiamo pure avanti”.
“Se hai capito il ragionamento fatto prima, non ti è difficile seguire i calcoli adesso. Li faccio un po' più rapidamente. Dopo il primo periodo avremo in banca il seguente capitale:”.
“Sì, è come prima. Dopo il secondo dovremmo avere:”.
“Infatti. Alla fine dell'anno avremo questo risultato:”.
“Mi pare di intravedere una formula generale…”.
“Sì, esatto. Questo dovrebbe farti capire perché non ho fatto subito i calcoli, ma ho lasciato indicate le parentesi”.
“Sì, vedo. Comunque i calcoli li faccio: vediamo un po', questa volta il capitale alla fine dell'anno sarà uguale a 2.37 euro e rotti”.
“Sì, è aumentato rispetto a prima”.
“Ah, certo. Con questa faccenda dell'aumento dei periodi in cui si calcola l'interesse, possiamo diventare ricchi”.
“Siamo sicuri?”.
“Eh, bè, certo, accumuliamo denaro sempre di più, possiamo fare quello che vogliamo”.
“Facciamo una prova. Andiamo in banca ancora, e chiediamo se ci fanno il conto degli interessi ogni tre mesi, cioè quattro volte all'anno”.
“La formula dovrebbe essere questa:”.
“Sì, questa è quella finale. Se fai i conti, viene 2.44 e rotti”.
“È aumentato ancora”.
“Certo, questo è vero. Ma è aumentato di meno”.
“Insomma, o aumenta o non aumenta, no?”.
“Certo che aumenta, ma ci sono diversi modi di aumentare. Prova a chiedere alla banca se ti fa i conti una volta al mese, per esempio”.
“Sono dodici volte all'anno, dovrebbero essere tanti soldini. La formula è questa:”.
“Esatto. Risulta 2.613”.
“Uhm, mi aspettavo un aumento un po' più grosso”.
“Prova a sentire in banca se ti fanno il calcolo degli interessi una volta al giorno, allora”.
“Eh, magari. Vediamo, questo è il risultato:”.
“Bene, risulta 2.71457”.
“Comincio a capire: aumenta, ma aumenta sempre meno. Quanto ci metterà ad arrivare a 3?”.
“Forse in banca hanno tempo di farti i conti una volta ogni ora”.
“Ogni ora? Sarebbero 8760 calcoli all'anno!”.
“Che problema c'è? In banca hanno i computer, ci pensano loro a tenere il tuo conto aggiornato”.
“Ah, va bene. La formula diventa:”.
“E il risultato è 2.71813”.
“Niente, ancora non ci siamo. Faccio il calcolo una volta al minuto, allora. Ecco qua:”.
“Ancora troppo poco: risulta 2.71828”.
“Una volta al secondo! Sono preso dal sacro furore del ragioniere! Ecco qua:”.
“Purtoppo risulta 2.71828”.
“Come prima? Impossibile”.
“No, non proprio come prima: c'è stato un piccolo aumento nelle cifre che non ti ho detto, dopo la quinta decimale”.
“Ma allora quante volte devo calcolare gli interessi in un anno per avere il mio capitale triplicato?”.
“Il fatto è che non arriverai mai a 3. Il tuo capitale aumenta sempre, ma aumenta sempre di meno. Il risultato non si avvicina a 3, ma rimane minore”.
“Di quanto rimane minore? Cioè, a cosa si avvicina il risultato, alla fine?”.
“Il numero a cui si avvicina il tuo capitale, man mano che aumenti il numero di volte in cui fai il calcolo degli interessi, si avvicina a un numero irrazionale che i matematici indicano con e”.
“Una semplice e?”.
“Sì. La scrittura corretta che si usa è questa:”.
“lim?”.
“Sì, quel simbolo significa limite, ed è il modo matematico per dire quello che succede quando n diventa sempre più grande. Se tu chiedi alla banca di farti un calcolo degli interessi in ogni istante, o continuamente, il tuo capitale arriva fino a e, e non lo supera. Quindi questo non è un metodo per diventare ricchi”.
“Vabbè, già le ipotesi iniziali erano di pura fantasia, non esiste una banca che ti dà un interesse del cento per cento”.
“Non importa, io ho supposto un interesse del 100% per semplificare i calcoli, ma il numero e salta fuori anche se si fanno calcoli con dati reali”.
“Ah. Quindi è un numero molto importante?”.
“Eh, sì, ogni volta che si ha a che fare con fenomeni di accrescimento o decadimento, salta fuori e. Può trattarsi dell'accrescimento di un conto in banca, della crescita di una colonia batterica, del decadimento radioattivo, della scarica di un condensatore. Di esempi se ne possono fare tanti. Il numero e, detto anche numero di Nepero o di Eulero, è il numero più naturale che ci sia”.
giovedì 10 giugno 2010
Keplero era un nerd
A volte si ha l'impressione che esistano collegamenti nascosti tra ognuno di noi, che aspettano solo di essere portati alla luce. Questa è una di quelle volte.
Modena è terra di motori, di maiali, di buona cucina, di ciliegie, di parmigiano reggiano, di aceto balsamico. Parliamo dell'aceto.
La consorteria dell'aceto balsamico tradizionale di Modena nasce nel 1967 a Spilamberto, in provincia di Modena, grazie al fratello di mia nonna (io lo chiamavo zio). L'aceto matura all'interno di botti di legno, che la traduzione vuole fabbricate con legni degli antichi domini estensi (castagno, rovere, gelso, frassino, ciliegio e ginepro).
Io insegno in una scuola superiore che ha un indirizzo chimico: da qualche anno siamo in contatto con il consorzio dell'aceto balsamico allo scopo di far fare agli studenti analisi su campioni di aceto; dovremmo avviare, prima o poi, una nostra acetaia.
Siamo in periodo di esami, e gli studenti (almeno quelli un po' responsabili) stanno scrivendo le loro tesine d'esame. Uno di loro ha scelto come argomento proprio l'aceto balsamico. Uno dei suoi prof di chimica gli ha dato un libro che parla in modo approfondito della gestione di una acetaia; così approfondito che, pur non essendo un libro di matematica, il testo riesce a citare anche il calcolo integrale, a proposito del calcolo del volume di una botte. Lo studente ha chiesto lumi al prof di chimica, il quale l'ha mandato da me.
Il libro dice che per calcolare il volume di una botte si può usare il calcolo integrale, utilizzando la formula che permette di trovare il volume di un solido di rotazione: il calcolo non è difficile, ma il libro non è stato scritto da un matematico, e alcune definizioni vanno un po' interpretate.
Il libro elenca due casi: le doghe potrebbero essere curvate secondo un profilo parabolico, e in questo caso l'integrale si risolve abbastanza facilmente. Con un po' di calcoli abbiamo ricostruito tutti i passaggi mancanti nel libro, e verificato la formula indicata. Poi siamo passati al secondo caso: le doghe potrebbero essere curvate secondo un profilo circolare. In questo caso si ottengono dei calcoli complicatissimi: ci si riesce, ma la formula risultante è lunghissima, e comunque non è quella riportata dal libro (per chi vuole provare: il problema è dovuto al fatto che il centro della circonferenza che contiene le doghe non sta sull'asse della botte).
Allora mi sono messo a cercare un po' in giro, e ho pensato che probabilmente il libro dello studente faceva un errore: chiamava circonferenza ciò che, in effetti, era un'ellisse. Se si rifanno i calcoli con un profilo ellittico (ellisse con centro sull'asse della botte, questa volta) allora risulta una formulina semplice che dovrebbe essere quella riportata dal libro (appena rivedo lo studente, verifico).
Il bello di tutto ciò, però, è la storia che sta dietro al calcolo del volume di una botte. E questa storia ci porta a Keplero. Di lui Goethe ha scritto: quando si confronta la storia della vita di Keplero con ciò che egli è diventato e con ciò che ha ottenuto, si rimane allo stesso tempo felicemente stupiti e convinti del fatto che il vero genio è in grado di superare ogni ostacolo. Il destino è stato crudele con il nostro astronomo: dovette sopportare povertà, privazioni, malattie, e la morte delle persone care. Si sposò il 27 aprile 1597 con Barbara Müller, dalla quale ebbe cinque figli, i primi due morti nella prima infanzia. Nel 1611 gli altri tre figli contrassero il vaiolo, e uno di loro morì. Poco dopo morì anche la moglie.
Trasferitosi a Linz, in Austria, conobbe quella che sarebbe presto diventata la sua seconda moglie, Susanna Reuttinger. Nell'autunno del 1613 ci fu un raccolto molto favorevole di uva, grazie al quale il vino venne venduto a prezzo modico. Keplero ne ordinò alcune botti in vista dell'imminente festa di nozze, botti che vennero subito recapitate a casa sua. Quattro giorni dopo il venditore gli fece visita, e misurò il volume di ognuna di esse. Keplero rimase sconcertato: il venditore utilizzava un regolo di rame che infilava nell'apertura superiore di ogni botte, lo faceva scendere obliquamente fino a toccare il fondo, e misurava così la capacità, senza tener conto minimamente della forma dei contenitori.
Subito dopo il matrimonio, Keplero decise di inaugurare un nuovo campo di studio: le leggi geometriche che regolano il calcolo dei volumi, allo scopo di chiarirne le basi (se queste basi esistono). E fu così che vennero gettate le fondamenta del calcolo differenziale e integrale.
Lo studio dei volumi delle botti si concretizzò poi nel libro Nova stereometria doliorum vinariorum, pubblicato nel 1615; nel teorema V della seconda parte, si legge il seguente teorema: fra tutti i cilindri aventi la stessa diagonale, quello avente capacità maggiore è quello per il quale il rapporto tra il diametro di base e l'altezza è uguale alla radice di due.
Le botti austriache non erano proprio cilindriche, ma grosso modo avevano le dimensioni giuste (al contrario di quelle tedesche, più sottili e più alte). Perciò, concluse Keplero, il venditore di vino austriaco non l'aveva imbrogliato, perché la forma delle sue botti era quasi giusta. Quel quasi non dava troppo fastidio, perché vicino a un massimo i decrementi, da ambo i lati, sono praticamente impercettibili.
Alla faccia di Newton e Leibniz.
Modena è terra di motori, di maiali, di buona cucina, di ciliegie, di parmigiano reggiano, di aceto balsamico. Parliamo dell'aceto.
La consorteria dell'aceto balsamico tradizionale di Modena nasce nel 1967 a Spilamberto, in provincia di Modena, grazie al fratello di mia nonna (io lo chiamavo zio). L'aceto matura all'interno di botti di legno, che la traduzione vuole fabbricate con legni degli antichi domini estensi (castagno, rovere, gelso, frassino, ciliegio e ginepro).
Io insegno in una scuola superiore che ha un indirizzo chimico: da qualche anno siamo in contatto con il consorzio dell'aceto balsamico allo scopo di far fare agli studenti analisi su campioni di aceto; dovremmo avviare, prima o poi, una nostra acetaia.
Siamo in periodo di esami, e gli studenti (almeno quelli un po' responsabili) stanno scrivendo le loro tesine d'esame. Uno di loro ha scelto come argomento proprio l'aceto balsamico. Uno dei suoi prof di chimica gli ha dato un libro che parla in modo approfondito della gestione di una acetaia; così approfondito che, pur non essendo un libro di matematica, il testo riesce a citare anche il calcolo integrale, a proposito del calcolo del volume di una botte. Lo studente ha chiesto lumi al prof di chimica, il quale l'ha mandato da me.
Il libro dice che per calcolare il volume di una botte si può usare il calcolo integrale, utilizzando la formula che permette di trovare il volume di un solido di rotazione: il calcolo non è difficile, ma il libro non è stato scritto da un matematico, e alcune definizioni vanno un po' interpretate.
Il libro elenca due casi: le doghe potrebbero essere curvate secondo un profilo parabolico, e in questo caso l'integrale si risolve abbastanza facilmente. Con un po' di calcoli abbiamo ricostruito tutti i passaggi mancanti nel libro, e verificato la formula indicata. Poi siamo passati al secondo caso: le doghe potrebbero essere curvate secondo un profilo circolare. In questo caso si ottengono dei calcoli complicatissimi: ci si riesce, ma la formula risultante è lunghissima, e comunque non è quella riportata dal libro (per chi vuole provare: il problema è dovuto al fatto che il centro della circonferenza che contiene le doghe non sta sull'asse della botte).
Allora mi sono messo a cercare un po' in giro, e ho pensato che probabilmente il libro dello studente faceva un errore: chiamava circonferenza ciò che, in effetti, era un'ellisse. Se si rifanno i calcoli con un profilo ellittico (ellisse con centro sull'asse della botte, questa volta) allora risulta una formulina semplice che dovrebbe essere quella riportata dal libro (appena rivedo lo studente, verifico).
Il bello di tutto ciò, però, è la storia che sta dietro al calcolo del volume di una botte. E questa storia ci porta a Keplero. Di lui Goethe ha scritto: quando si confronta la storia della vita di Keplero con ciò che egli è diventato e con ciò che ha ottenuto, si rimane allo stesso tempo felicemente stupiti e convinti del fatto che il vero genio è in grado di superare ogni ostacolo. Il destino è stato crudele con il nostro astronomo: dovette sopportare povertà, privazioni, malattie, e la morte delle persone care. Si sposò il 27 aprile 1597 con Barbara Müller, dalla quale ebbe cinque figli, i primi due morti nella prima infanzia. Nel 1611 gli altri tre figli contrassero il vaiolo, e uno di loro morì. Poco dopo morì anche la moglie.
Trasferitosi a Linz, in Austria, conobbe quella che sarebbe presto diventata la sua seconda moglie, Susanna Reuttinger. Nell'autunno del 1613 ci fu un raccolto molto favorevole di uva, grazie al quale il vino venne venduto a prezzo modico. Keplero ne ordinò alcune botti in vista dell'imminente festa di nozze, botti che vennero subito recapitate a casa sua. Quattro giorni dopo il venditore gli fece visita, e misurò il volume di ognuna di esse. Keplero rimase sconcertato: il venditore utilizzava un regolo di rame che infilava nell'apertura superiore di ogni botte, lo faceva scendere obliquamente fino a toccare il fondo, e misurava così la capacità, senza tener conto minimamente della forma dei contenitori.
Subito dopo il matrimonio, Keplero decise di inaugurare un nuovo campo di studio: le leggi geometriche che regolano il calcolo dei volumi, allo scopo di chiarirne le basi (se queste basi esistono). E fu così che vennero gettate le fondamenta del calcolo differenziale e integrale.
Lo studio dei volumi delle botti si concretizzò poi nel libro Nova stereometria doliorum vinariorum, pubblicato nel 1615; nel teorema V della seconda parte, si legge il seguente teorema: fra tutti i cilindri aventi la stessa diagonale, quello avente capacità maggiore è quello per il quale il rapporto tra il diametro di base e l'altezza è uguale alla radice di due.
Le botti austriache non erano proprio cilindriche, ma grosso modo avevano le dimensioni giuste (al contrario di quelle tedesche, più sottili e più alte). Perciò, concluse Keplero, il venditore di vino austriaco non l'aveva imbrogliato, perché la forma delle sue botti era quasi giusta. Quel quasi non dava troppo fastidio, perché vicino a un massimo i decrementi, da ambo i lati, sono praticamente impercettibili.
Alla faccia di Newton e Leibniz.
lunedì 7 giugno 2010
Dalla mela agli spaghetti
Un pomeriggio di tanti anni fa il signor Newton se ne stava tranquillo sotto a un melo a farsi una pennichella. A un certo punto una mela gli cadde sulla testa, svegliandolo di soprassalto.
“Ma tu guarda”, si disse Isacco un po' contrariato, “la mela si è diretta verso la mia testa, ma anche la terra si è diretta verso la mela. E io ci sono proprio in mezzo”. Questa, in termini non del tutto rigorosi, è stata la prima formulazione della legge di gravitazione universale, che afferma che tra due corpi si manifesta sempre una forza proporzionale alle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
“Mo'c lavòr”, pensò Newton, che era di origine modenese da parte di madre, “questa faccenda dell'inverso del quadrato mi pare singolare. Chissà perché proprio il quadrato. E se fosse un due virgola qualcosina? O un uno e novantanove e rotti?”. Ma dato che i fisici son fisici, e non possono dimostrare niente, Newton si limitò a congetturare che le cose stessero così e provò a tirare qualche conseguenza.
“Vemmò, Galileo non è stato mica tanto preciso”, capì ben presto Isacco, “lui pensava che i corpi in caduta libera descrivessero delle parabole, invece no, sono ellissi”. Isacco però era uno onesto, e non voleva mica denigrare Galileo. Aveva capito che la descrizione del moto parabolico di Galileo era una approssimazione, dovuta all'aver immaginato la terra piatta e la forza di gravità perpendicolare al terreno. In effetti distinguere una parabola da un'ellisse non è mica tanto facile, bisognerebbe poter vedere fino all'infinito: l'ellisse prima o poi si chiude, la parabola non si chiude mai (neanche l'iperbole, ma lasciamo stare).
“Ma allora”, continuò ragionando Isacco, “se io, per dire, mi metto a correre molto veloce, ma molto molto veloce, potrei a un certo punto raggiungere una velocità che mi permette di orbitare intorno alla terra. E in quel caso disegnerei una bella ellisse. O, come caso particolare, una circonferenza. Se vado fortissimo, a un certo punto la mia ellisse non si chiuderà più, e avrò una parabola. Se vado a canna, una iperbole”. Newton era uno preciso.
“E in questo mio orbitare intorno alla terra, io sarei come in una continua caduta libera, e non sentirei più il mio peso. Togo!”. Si faceva anche molti viaggi mentali, bisogna dire.
“Però, un momento… Questa faccenda dell'inverso del quadrato non mi convince. Cioè, mettiamo che io corra veloce e mi metta in orbita intorno alla terra. Mettiamo anche che i miei piedi siano diretti verso il centro della terra, e la linea che congiunge la mia testa coi miei piedi passi sempre per quel centro. Io non sono mica un oggetto puntiforme, come dicono sempre i filosofi naturali”. Che erano poi i fisici, ma si facevano belli chiamandosi così.
Newton si mise allora a fare dei calcoli. Una persona che orbita intorno alla terra si trova sì in continua caduta libera, e non sente la forza di gravità, però i suoi piedi e la sua testa sono a distanze diverse dal centro della terra. Quindi, volendo essere pignoli, la forza esercitata sui piedi è diversa da quella esercitata sulla testa. Volendo essere molto pignoli, quella persona dovrebbe sentire questa differenza tra le due forze come un leggero allungamento.
Facciamo un po' di conti.
Supponiamo che la persona orbiti a una distanza dal centro della terra pari a quella a cui si trova la stazione spaziale internazionale: circa 6700 chilometri (distanza pari al raggio della terra più 350 chilometri). Supponiamo che questa persona sia alta 165 centimetri e pesi 65 chilogrammi (ogni battuta sui diversamente alti sarà cestinata senza pietà).
La differenza tra la forza applicata ai suoi piedi e quella applicata alla sua testa sarà dell'ordine di pochi decimillesimi di Newton. Naturalmente Newton non chiamava Newton l'unità di misura della forza, ma capiva anche lui che questa differenza era trascurabile.
“Bene”, concluse Isacco, “possiamo classificare queste pignolerie con il termine tecnico che noi filosofi naturali modenesi utilizziamo di solito in questi casi: menate. Andiamo avanti”. E passò a calcolare lo stesso tipo di forza utilizzando due corpi diversi: la terra e il sole. E scoprì così la forza di marea.
Lasciamo passare un po' di tempo, e arriviamo al 1976, dove incontriamo un altro scienziato: anche lui di nome Isaac, ma di cognome faceva Asimov. Asimov è stato un professore universitario di biochimica, ed è quindi corretto considerarlo un uomo di scienza. Tutti però lo conoscono come scrittore di fantascienza.
King Armstrong, editor della rivista Bell Telephone, durante un pranzo di lavoro gli domandò di scrivere un racconto di fantascienza che parlasse del futuro delle telecomunicazioni. Asimov rispose che avrebbe trovato una trama adatta prima della fine del pasto, e così fu. La storia si intitola Old Fashioned (Sistema antiquato, in italiano) e racconta di due minatori spaziali che si trovano ad orbitare intorno ad un buco nero non segnato sulle carte. Il vero protagonista della storia è l'effetto marea che, questa volta, non è trascurabile come nel caso del sistema astronauta-terra.
Già, questa volta l'effetto marea è notevole, dato che un buco nero è un oggetto molto diverso dalla terra: la sua densità è molto più alta. Ora, dato che un buco nero nessuno l'ha mai visto, proviamo a fare i calcoli con un oggetto un po' meno esotico: una stella di neutroni. Queste stelle hanno un diametro dell'ordine della decina di chilometri, ma una massa simile a quella del Sole. Questo significa che una ipotetica astronave (che supponiamo schermata da ogni tipo di radiazione letale) può orbitarle molto vicino, più di quanto potrebbe fare con il Sole, per esempio. E in questo caso l'inverso del quadrato si fa sentire: mentre nel caso della stazione spaziale internazionale orbitante intorno alla terra le distanze erano dell'ordine delle migliaia di chilometri, qua parliamo di decine o centinaia di chilometri. Elevando al quadrato, le differenze si amplificano ulteriormente (se la distanza si dimezza, la forza di marea diventa otto volte più grande). Se proviamo a fare i calcoli, scopriamo che ora la forza di marea esercitata sull'astronauta potrebbe facilmente arrivare alle centinaia di migliaia di Newton. Gli astronauti del bel racconto di Asimov sono ancora a distanza di sicurezza, nel senso che sono ancora vivi, ma l'astronave è danneggiata; non vado oltre per non rovinare la lettura; se avete voglia di leggere il racconto, si trova nell'Antologia del Bicentenario.
Arriviamo infine a un altro scienzato, l'ultimo della nostra storia: Stephen Hawking. Nel suo libro del 1988, A Brief History of Time, descrivendo la triste sorte di un astronauta che si avvicina troppo all'orizzonte degli eventi di un buco nero conia un nuovo termine, che è molto chiaro ed evocativo: spaghettification.
I fisici saranno anche un po' approssimativi in matematica, ma nessuno li supera quando si tratta di trovare nomi appropriati.
“Ma tu guarda”, si disse Isacco un po' contrariato, “la mela si è diretta verso la mia testa, ma anche la terra si è diretta verso la mela. E io ci sono proprio in mezzo”. Questa, in termini non del tutto rigorosi, è stata la prima formulazione della legge di gravitazione universale, che afferma che tra due corpi si manifesta sempre una forza proporzionale alle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
“Mo'c lavòr”, pensò Newton, che era di origine modenese da parte di madre, “questa faccenda dell'inverso del quadrato mi pare singolare. Chissà perché proprio il quadrato. E se fosse un due virgola qualcosina? O un uno e novantanove e rotti?”. Ma dato che i fisici son fisici, e non possono dimostrare niente, Newton si limitò a congetturare che le cose stessero così e provò a tirare qualche conseguenza.
“Vemmò, Galileo non è stato mica tanto preciso”, capì ben presto Isacco, “lui pensava che i corpi in caduta libera descrivessero delle parabole, invece no, sono ellissi”. Isacco però era uno onesto, e non voleva mica denigrare Galileo. Aveva capito che la descrizione del moto parabolico di Galileo era una approssimazione, dovuta all'aver immaginato la terra piatta e la forza di gravità perpendicolare al terreno. In effetti distinguere una parabola da un'ellisse non è mica tanto facile, bisognerebbe poter vedere fino all'infinito: l'ellisse prima o poi si chiude, la parabola non si chiude mai (neanche l'iperbole, ma lasciamo stare).
“Ma allora”, continuò ragionando Isacco, “se io, per dire, mi metto a correre molto veloce, ma molto molto veloce, potrei a un certo punto raggiungere una velocità che mi permette di orbitare intorno alla terra. E in quel caso disegnerei una bella ellisse. O, come caso particolare, una circonferenza. Se vado fortissimo, a un certo punto la mia ellisse non si chiuderà più, e avrò una parabola. Se vado a canna, una iperbole”. Newton era uno preciso.
“E in questo mio orbitare intorno alla terra, io sarei come in una continua caduta libera, e non sentirei più il mio peso. Togo!”. Si faceva anche molti viaggi mentali, bisogna dire.
“Però, un momento… Questa faccenda dell'inverso del quadrato non mi convince. Cioè, mettiamo che io corra veloce e mi metta in orbita intorno alla terra. Mettiamo anche che i miei piedi siano diretti verso il centro della terra, e la linea che congiunge la mia testa coi miei piedi passi sempre per quel centro. Io non sono mica un oggetto puntiforme, come dicono sempre i filosofi naturali”. Che erano poi i fisici, ma si facevano belli chiamandosi così.
Newton si mise allora a fare dei calcoli. Una persona che orbita intorno alla terra si trova sì in continua caduta libera, e non sente la forza di gravità, però i suoi piedi e la sua testa sono a distanze diverse dal centro della terra. Quindi, volendo essere pignoli, la forza esercitata sui piedi è diversa da quella esercitata sulla testa. Volendo essere molto pignoli, quella persona dovrebbe sentire questa differenza tra le due forze come un leggero allungamento.
Facciamo un po' di conti.
Supponiamo che la persona orbiti a una distanza dal centro della terra pari a quella a cui si trova la stazione spaziale internazionale: circa 6700 chilometri (distanza pari al raggio della terra più 350 chilometri). Supponiamo che questa persona sia alta 165 centimetri e pesi 65 chilogrammi (ogni battuta sui diversamente alti sarà cestinata senza pietà).
La differenza tra la forza applicata ai suoi piedi e quella applicata alla sua testa sarà dell'ordine di pochi decimillesimi di Newton. Naturalmente Newton non chiamava Newton l'unità di misura della forza, ma capiva anche lui che questa differenza era trascurabile.
“Bene”, concluse Isacco, “possiamo classificare queste pignolerie con il termine tecnico che noi filosofi naturali modenesi utilizziamo di solito in questi casi: menate. Andiamo avanti”. E passò a calcolare lo stesso tipo di forza utilizzando due corpi diversi: la terra e il sole. E scoprì così la forza di marea.
Lasciamo passare un po' di tempo, e arriviamo al 1976, dove incontriamo un altro scienziato: anche lui di nome Isaac, ma di cognome faceva Asimov. Asimov è stato un professore universitario di biochimica, ed è quindi corretto considerarlo un uomo di scienza. Tutti però lo conoscono come scrittore di fantascienza.
King Armstrong, editor della rivista Bell Telephone, durante un pranzo di lavoro gli domandò di scrivere un racconto di fantascienza che parlasse del futuro delle telecomunicazioni. Asimov rispose che avrebbe trovato una trama adatta prima della fine del pasto, e così fu. La storia si intitola Old Fashioned (Sistema antiquato, in italiano) e racconta di due minatori spaziali che si trovano ad orbitare intorno ad un buco nero non segnato sulle carte. Il vero protagonista della storia è l'effetto marea che, questa volta, non è trascurabile come nel caso del sistema astronauta-terra.
Già, questa volta l'effetto marea è notevole, dato che un buco nero è un oggetto molto diverso dalla terra: la sua densità è molto più alta. Ora, dato che un buco nero nessuno l'ha mai visto, proviamo a fare i calcoli con un oggetto un po' meno esotico: una stella di neutroni. Queste stelle hanno un diametro dell'ordine della decina di chilometri, ma una massa simile a quella del Sole. Questo significa che una ipotetica astronave (che supponiamo schermata da ogni tipo di radiazione letale) può orbitarle molto vicino, più di quanto potrebbe fare con il Sole, per esempio. E in questo caso l'inverso del quadrato si fa sentire: mentre nel caso della stazione spaziale internazionale orbitante intorno alla terra le distanze erano dell'ordine delle migliaia di chilometri, qua parliamo di decine o centinaia di chilometri. Elevando al quadrato, le differenze si amplificano ulteriormente (se la distanza si dimezza, la forza di marea diventa otto volte più grande). Se proviamo a fare i calcoli, scopriamo che ora la forza di marea esercitata sull'astronauta potrebbe facilmente arrivare alle centinaia di migliaia di Newton. Gli astronauti del bel racconto di Asimov sono ancora a distanza di sicurezza, nel senso che sono ancora vivi, ma l'astronave è danneggiata; non vado oltre per non rovinare la lettura; se avete voglia di leggere il racconto, si trova nell'Antologia del Bicentenario.
Arriviamo infine a un altro scienzato, l'ultimo della nostra storia: Stephen Hawking. Nel suo libro del 1988, A Brief History of Time, descrivendo la triste sorte di un astronauta che si avvicina troppo all'orizzonte degli eventi di un buco nero conia un nuovo termine, che è molto chiaro ed evocativo: spaghettification.
I fisici saranno anche un po' approssimativi in matematica, ma nessuno li supera quando si tratta di trovare nomi appropriati.
sabato 5 giugno 2010
venerdì 4 giugno 2010
Arnold
È morto Vladimir Igorevič Arnol'd, per gli amici Arnold. I non matematici probabilmente non l'hanno mai sentito nominare, ma era un matematico d'eccezione.
All'età di diciannove anni ha risolto il tredicesimo problema di Hilbert, a ventidue anni si è laureato e ha iniziato a lavorare presso l'università statale di Mosca, e da allora non ha mai smesso di fare il matematico.
Chi ha odiato l'esame di meccanica razionale, all'università, probabilmente non ha avuto la fortuna di avere un insegnante che seguiva il testo di Arnold: un testo stranissimo, con poche formule, tantissimi legami con la geometria, facile e difficile allo stesso tempo — il linguaggio molto chiaro e discorsivo lasciava spesso al lettore il compito di formalizzare e mettere in forma rigorosa alcuni passaggi. Io ho odiato l'insegnante, ho odiato il libro, ma quando è stata ora di prepararmi all'esame ho cambiato idea, e mi sono appassionato tanto che, come ultimo esame del corso di laurea, ho scelto meccanica superiore. Il programma di quell'esame si poteva riassumere in un solo, breve, titolo: il teorema KAM.
Eravamo in quattro o cinque a seguire il corso. Abbiamo passato circa sei-sette mesi di studio, di preparazione, di sviluppo della teoria necessaria per arrivare a capire il testo e la dimostrazione di un unico teorema, chiamato KAM dalle iniziali dei tre matematici che lo hanno scoperto inizialmente: Kolmogorov, Arnold e Moser. Bellissimo.
Il 10 settembre 1991 l'università di Bologna gli ha conferito la laurea honoris causa in matematica: io c'ero. Non ricordo assolutamente quale fosse l'argomento del suo discorso di ringraziamento, ma ricordo che fece cenno a una mappa caotica da lui scoperta: una funzione sul toro bidimensionale invertibile, che preserva l'area, con un insieme denso di punti periodici, ergodica, mixing, strutturalmente stabile, detta la mappa del gatto di Arnold. Sì, per spiegare il funzionamento di questo oggetto matematico Arnold metteva, nei suoi libri, il disegnino di un gatto (che veniva stirato, allungato, arrotolato su una ciambella, e strapazzato in tanti altri modi che non farebbero piacere agli amanti dei gatti).
All'età di diciannove anni ha risolto il tredicesimo problema di Hilbert, a ventidue anni si è laureato e ha iniziato a lavorare presso l'università statale di Mosca, e da allora non ha mai smesso di fare il matematico.
Chi ha odiato l'esame di meccanica razionale, all'università, probabilmente non ha avuto la fortuna di avere un insegnante che seguiva il testo di Arnold: un testo stranissimo, con poche formule, tantissimi legami con la geometria, facile e difficile allo stesso tempo — il linguaggio molto chiaro e discorsivo lasciava spesso al lettore il compito di formalizzare e mettere in forma rigorosa alcuni passaggi. Io ho odiato l'insegnante, ho odiato il libro, ma quando è stata ora di prepararmi all'esame ho cambiato idea, e mi sono appassionato tanto che, come ultimo esame del corso di laurea, ho scelto meccanica superiore. Il programma di quell'esame si poteva riassumere in un solo, breve, titolo: il teorema KAM.
Eravamo in quattro o cinque a seguire il corso. Abbiamo passato circa sei-sette mesi di studio, di preparazione, di sviluppo della teoria necessaria per arrivare a capire il testo e la dimostrazione di un unico teorema, chiamato KAM dalle iniziali dei tre matematici che lo hanno scoperto inizialmente: Kolmogorov, Arnold e Moser. Bellissimo.
Il 10 settembre 1991 l'università di Bologna gli ha conferito la laurea honoris causa in matematica: io c'ero. Non ricordo assolutamente quale fosse l'argomento del suo discorso di ringraziamento, ma ricordo che fece cenno a una mappa caotica da lui scoperta: una funzione sul toro bidimensionale invertibile, che preserva l'area, con un insieme denso di punti periodici, ergodica, mixing, strutturalmente stabile, detta la mappa del gatto di Arnold. Sì, per spiegare il funzionamento di questo oggetto matematico Arnold metteva, nei suoi libri, il disegnino di un gatto (che veniva stirato, allungato, arrotolato su una ciambella, e strapazzato in tanti altri modi che non farebbero piacere agli amanti dei gatti).
giovedì 27 maggio 2010
Intelligenza artificiale
Sulla sinistra, una macchina che si auto-istruisce e impara a giocare esapedone, appena uscita di fabbrica. In alto le scatole di giochi saccheggiate per raccogliere gli elementi necessari.
domenica 23 maggio 2010
sabato 22 maggio 2010
Speriamo che porti bene
Il 24 novembre 1948 venne pubblicata una storia di Carl Barks dal titolo The Sunken Yacht (L'eredità di Paperino in italiano). Paperino e i nipotini hanno una impresa di recuperi marini, e propongono allo zio Paperone di recuperare un suo yacht. Sembra una impresa impossibile, ma i nipotini hanno la geniale idea di riempire la nave di palline da ping-pong per farla tornare a galla.
Nel dicembre del 1964 un inventore danese, di nome Karl Krøyer, utilizzò lo stesso principio per recuperare una nave affondata vicino al porto del Kuwait utilizzando schiuma di polistirolo espanso al posto delle palline da ping-pong. Si dice che Kroyer non sia riuscito a brevettare questo sistema perché secondo l'ufficio brevetti esisteva già una descrizione preliminare della sua tecnica: proprio in questa storia di Barks.
Il 17 marzo 1974 venne pubblicata, su Topolino, la prima parte di una storia in due puntate (la seconda sarebbe stata pubblicata la settimana dopo, il 24 marzo) dal titolo Zio Paperone e la raffineria galleggiante, scritta da Giorgio Pezzin e disegnata da Giorgio Cavazzano. Zio Paperone costruisce una nave gigantesca in grado di aspirare il petrolio disperso in mare e raffinarlo immediatamente.
Il petrolio raffinato viene immagazzinato all'interno di un serbatoio galleggiante.
Naturalmente Rockerduck non ci sta, e si accorda con i Bassotti per sabotare la nave. La nave affonda, i paperi trovano rifugio sul serbatoio galleggiante, il quale è però in balia delle correnti, e viene trasportato verso nord, in zone sempre più fredde. Dopo alcuni giorni, i paperi vengono salvati da un eschimese, che li riscalda con un fuoco alimentato da uno strano ghiaccio. Ecco una delle ultime pagine della storia:
Ecco, non so, con le palline da ping-pong è andata bene, magari qualche inventore dei giorni nostri può farsi venire l'ispirazione per rimediare a quello che sta succedendo in questo periodo.
[Update: ecco qualche tavola dell'edizione italiana della storia di Barks, grazie a Corax]
Nel dicembre del 1964 un inventore danese, di nome Karl Krøyer, utilizzò lo stesso principio per recuperare una nave affondata vicino al porto del Kuwait utilizzando schiuma di polistirolo espanso al posto delle palline da ping-pong. Si dice che Kroyer non sia riuscito a brevettare questo sistema perché secondo l'ufficio brevetti esisteva già una descrizione preliminare della sua tecnica: proprio in questa storia di Barks.
Il 17 marzo 1974 venne pubblicata, su Topolino, la prima parte di una storia in due puntate (la seconda sarebbe stata pubblicata la settimana dopo, il 24 marzo) dal titolo Zio Paperone e la raffineria galleggiante, scritta da Giorgio Pezzin e disegnata da Giorgio Cavazzano. Zio Paperone costruisce una nave gigantesca in grado di aspirare il petrolio disperso in mare e raffinarlo immediatamente.
Il petrolio raffinato viene immagazzinato all'interno di un serbatoio galleggiante.
Naturalmente Rockerduck non ci sta, e si accorda con i Bassotti per sabotare la nave. La nave affonda, i paperi trovano rifugio sul serbatoio galleggiante, il quale è però in balia delle correnti, e viene trasportato verso nord, in zone sempre più fredde. Dopo alcuni giorni, i paperi vengono salvati da un eschimese, che li riscalda con un fuoco alimentato da uno strano ghiaccio. Ecco una delle ultime pagine della storia:
Ecco, non so, con le palline da ping-pong è andata bene, magari qualche inventore dei giorni nostri può farsi venire l'ispirazione per rimediare a quello che sta succedendo in questo periodo.
[Update: ecco qualche tavola dell'edizione italiana della storia di Barks, grazie a Corax]
Femmina cercasi
Una prof. di lettere collega di mia moglie vorrebbe preparare un percorso di lettura per i suoi studenti, incentrato sulla donna (non so bene i termini della questione, quindi perdonate il pressapochismo). Le piacerebbe proporre anche qualcosa di fantascienza, ma sull'argomento non è molto preparata.
Dunque la domanda è: quale romanzo o racconto di fantascienza, con protagonista femminile, pensate sia adatto a studenti di scuola superiore?
Io non ne conosco molti, ecco quelli che mi sono venuti in mente.
Operazione domani, di Heinlein. La quarta di copertina di Urania descrive così il romanzo:
È uno dei romanzi dell'ultimo periodo di Heinlein, uno di quelli in cui il sesso entra dappertutto (oops, scusate, il gioco di parolenon era voluto). L'ho letto tempo fa e me lo ricordo poco, ricordo che non mi piacque un gran che. Secondo me uno studente medio non lo leggerà mai fino in fondo, magari si guarda il riassunto sulla pagina di wikipedia (occhio agli spoiler, non andateci se volete leggere il libro) e tutto finisce lì. Heinlein ha scritto storie migliori.
Non temerò alcun male, di Heinlein. Copio un commento da aNobii:
Commento sul quale sono d'accordo: il libro è eccessivamente lungo (542 pagine nell'edizione che ho segnalato) e, facendo parte dell'ultima produzione di Heinlein, morboso fino all'eccesso. Eunice è bellissima, intelligentissima, giovanissima, freschissima, piena di curve, emancipatissima, praticamente una dea e, mentre la sua mente comunica con quella del novantacinquenne, fa sesso una pagina sì e una no. Probabilmente gli studenti leggerebbero il testo una pagina sì e una no. Non consiglierei nemmeno questo.
La luna è una severa maestra, ancora di Heinlein. La quarta di copertina di Classici Urania dice:
In questo romanzo non c'è una vera e propria protagonista femminile (anche se uno dei personaggi principali è una donna), però lo consiglierei ugualmente per come viene presentata la figura della donna: siamo sulla Luna, che è diventata una colonia penale della terra. La vita è difficile, gli uomini vivono in gallerie, nulla è dovuto (è in questo romanzo che nasce l'acronimo TANSTAAFL — There ain't no such thing as a free lunch, cioè non esistono cose come i pasti gratis). Non vengono fatti molti controlli: se sopravvivi, bene, altrimenti muori perché non sei in grado di cavartela. Dopo alcune generazioni nasce, nei lunari, una coscienza nazionale: essi vogliono dichiararsi indipendenti e non sottostare più al controllo terrestre.
La legge lunare è molto individualista, ognuno è responsabile delle proprie azioni, ma su un punto tutti i lunari sono d'accordo: uno dei crimini più grandi, punibile con la morte, è fare del male a una donna. All'inizio della colonizzazione della Luna, il rapporto uomini/donne era 10 a 1. Nel periodo in cui è ambientato il romanzo è sceso a 2 a 1: in ogni caso le donne sono molto poche. Per questo nella società lunare sono permesse relazioni poliandriche; anzi, direi che sono praticamente la norma. Le famiglie sono molto allargate, una donna ha molti mariti, ma i mariti possono avere altre mogli. Quando si accetta un nuovo elemento nella famiglia, tutti devono essere d'accordo: mogli e mariti votano se accettare o meno una nuova moglie, o un nuovo marito.
Provate a pensare a una società in cui toccare una donna senza il suo consenso può portare alla morte (e in cui tutti gli uomini si danno da fare per cercare, e uccidere senza troppi processi, chi ha toccato una donna senza chiederle il permesso).
Questo romanzo è stato pubblicato tra il 1965 e il 1966, ed ha fruttato all'autore accuse di comunismo. Nel 1956 aveva pubblicato Fanteria dello spazio, romanzo che gli fruttò accuse di fascismo. Quelli sì che erano romanzi di fantascienza.
Io questo lo consiglierei agli studenti: se anche qualcuno si legge il riassunto su wikipedia, pazienza. Il libro è comunque molto lungo, non tutti arriveranno in fondo, comunque. Ma vale la pena.
I racconti dei robot, di Asimov. Qui sto pensando a Susan Calvin, la robopsicologa della US Robots and Mechanical Men, Inc., l'azienda terrestre che produce robot. Una donna completamente diversa dalle protagoniste femminili di Heinlein: quelle sprizzano femminilità da tutti i pori e si accoppiano in continuazione, questa invece ama più i robot del genere umano. Il personaggio, però, non è analizzato a fondo: è "solo" un co-protagonista di molti racconti. Ma è molto amato da Asimov che, in Tutti i miei Robot, la descrive così:
Una citazione da La prova, che fa capire che tipo è la dottoressa:
— […] Siete la dottoressa Susan Calvin o mi sbaglio?
— Non vi sbagliate, signor Byerley.
— Siete la psicologa della U.S. Robots, vero?
— Non psicologa, ma robopsicologa.
— Oh, perché, i robot sono così diversi dagli uomini, dal punto di vista mentale?
— Diversissimi. — La Calvin si concesse un sorriso gelido. — I robot sono fondamentalmente onesti.
Il rischio, a parlare di Susan Calvin, è che gli studenti si guardino il film Io, Robot. Bisogna proibirglielo con ogni mezzo, lecito o illecito.
Ma la mia protagonista femminile preferita, o temuta, è Janet, che compare in un breve racconto di circa quattordici pagine di Shekley, intitolato La settima vittima. Non so se dire di più, rischiando di rovinare la lettura a chi non conoscesse ancora il racconto che compare nella antologia di fantascienza Le meraviglie del possibile (consigliatissima, da leggere assolutamente). In un mondo in cui sono state combattute quattro guerre mondiali (sei secondo alcuni storici) e in cui tutti si sono resi conto che una nuova guerra sarebbe stata l'ultima, perché avrebbe sicuramente cancellato l'uomo dall'esistenza, la pace deve durare per sempre. Ma come incanalare la naturale violenza dell'uomo? La competizione, la lotta, il coraggio di fronte all'imprevisto, sono garanzie di perpetuazione della specie, non possono essere eliminate: è per questo che l'assassinio viene legalizzato, su basi strettamente individuali e per coloro che lo richiedono. Ogni individuo può commettere tutti gli omicidi che desidera, ma tra uno e l'altro deve fare la parte della Vittima. Su queste basi si sviluppa un racconto del quale non dico altro.
Se qualcuno ha altre idee, ogni commento è bene accetto, grazie.
Dunque la domanda è: quale romanzo o racconto di fantascienza, con protagonista femminile, pensate sia adatto a studenti di scuola superiore?
Io non ne conosco molti, ecco quelli che mi sono venuti in mente.
Operazione domani, di Heinlein. La quarta di copertina di Urania descrive così il romanzo:
Friday è una splendida figliola, moderna e disponibile, ma possiede due caratteristiche peculiari: è un corriere segreto ed è anche una PA, ossia una Persona Artificiale, uguale in tutto e per tutto a un comune essere umano salvo per il fatto di essere stata creata in laboratorio. Il suo capo, Boss, l'ha reclutata e addestrata quando per lei la vita non era certo facile ma ora Friday è un agente in grado di sopportare all'occasione stupri multipli e torture.
Ma la sua vita non manca di lati piacevoli e distensivi, almeno fino al giorno che sarà ricordato dai libri di storia come il Giovedì Rosso.
Chi si nasconde dietro l'ondata di delitti politici e di sabotaggio che dilagano sulla terra e nello spazio, minacciando il tranquillo caos che da secoli regna sull'Umanità?
È uno dei romanzi dell'ultimo periodo di Heinlein, uno di quelli in cui il sesso entra dappertutto (oops, scusate, il gioco di parole
Non temerò alcun male, di Heinlein. Copio un commento da aNobii:
Grande libro che di fantascientifico non ha nulla salvo l'idea iniziale: il cervello di un ricco 95enne trapiantato nel corpo di una giovane e bellissima donna che, da viva, era la sua segretaria. Ma - sorpresa! - nel corpo della donna persiste la sua mente e le due entità possono comunicare. Da qui Heinlein prende lo spunto per considerazioni sull'essere uomini, l'essere donne e l'essere entrambi, sulla vita e sulla morale. Uno splendido romanzo in cui l'autore denota una grande sensibilità nei lunghi dialoghi tra l'uomo e la donna. Un libro crudo e delicato che ha il solo difetto di una eccessiva verbosità.
Commento sul quale sono d'accordo: il libro è eccessivamente lungo (542 pagine nell'edizione che ho segnalato) e, facendo parte dell'ultima produzione di Heinlein, morboso fino all'eccesso. Eunice è bellissima, intelligentissima, giovanissima, freschissima, piena di curve, emancipatissima, praticamente una dea e, mentre la sua mente comunica con quella del novantacinquenne, fa sesso una pagina sì e una no. Probabilmente gli studenti leggerebbero il testo una pagina sì e una no. Non consiglierei nemmeno questo.
La luna è una severa maestra, ancora di Heinlein. La quarta di copertina di Classici Urania dice:
Le colonie della Luna lottano per la loro indipendenza contro lo strapotere del governo terrestre: gli uomini che hanno attraversato lo spazio per aprire una nuova frontiera non sono disposti a tollerare il dispotismo di un giogo sempre più opprimente. Su questo tema classico, di grande respiro avventuroso, Heinlein costruisce uno dei suoi romanzi più memorabili, una trama di lotte e libertà che riscrive in chiave fantascientifica l'epopea della Rivoluzione americana.
In questo romanzo non c'è una vera e propria protagonista femminile (anche se uno dei personaggi principali è una donna), però lo consiglierei ugualmente per come viene presentata la figura della donna: siamo sulla Luna, che è diventata una colonia penale della terra. La vita è difficile, gli uomini vivono in gallerie, nulla è dovuto (è in questo romanzo che nasce l'acronimo TANSTAAFL — There ain't no such thing as a free lunch, cioè non esistono cose come i pasti gratis). Non vengono fatti molti controlli: se sopravvivi, bene, altrimenti muori perché non sei in grado di cavartela. Dopo alcune generazioni nasce, nei lunari, una coscienza nazionale: essi vogliono dichiararsi indipendenti e non sottostare più al controllo terrestre.
La legge lunare è molto individualista, ognuno è responsabile delle proprie azioni, ma su un punto tutti i lunari sono d'accordo: uno dei crimini più grandi, punibile con la morte, è fare del male a una donna. All'inizio della colonizzazione della Luna, il rapporto uomini/donne era 10 a 1. Nel periodo in cui è ambientato il romanzo è sceso a 2 a 1: in ogni caso le donne sono molto poche. Per questo nella società lunare sono permesse relazioni poliandriche; anzi, direi che sono praticamente la norma. Le famiglie sono molto allargate, una donna ha molti mariti, ma i mariti possono avere altre mogli. Quando si accetta un nuovo elemento nella famiglia, tutti devono essere d'accordo: mogli e mariti votano se accettare o meno una nuova moglie, o un nuovo marito.
Provate a pensare a una società in cui toccare una donna senza il suo consenso può portare alla morte (e in cui tutti gli uomini si danno da fare per cercare, e uccidere senza troppi processi, chi ha toccato una donna senza chiederle il permesso).
Questo romanzo è stato pubblicato tra il 1965 e il 1966, ed ha fruttato all'autore accuse di comunismo. Nel 1956 aveva pubblicato Fanteria dello spazio, romanzo che gli fruttò accuse di fascismo. Quelli sì che erano romanzi di fantascienza.
Io questo lo consiglierei agli studenti: se anche qualcuno si legge il riassunto su wikipedia, pazienza. Il libro è comunque molto lungo, non tutti arriveranno in fondo, comunque. Ma vale la pena.
I racconti dei robot, di Asimov. Qui sto pensando a Susan Calvin, la robopsicologa della US Robots and Mechanical Men, Inc., l'azienda terrestre che produce robot. Una donna completamente diversa dalle protagoniste femminili di Heinlein: quelle sprizzano femminilità da tutti i pori e si accoppiano in continuazione, questa invece ama più i robot del genere umano. Il personaggio, però, non è analizzato a fondo: è "solo" un co-protagonista di molti racconti. Ma è molto amato da Asimov che, in Tutti i miei Robot, la descrive così:
In Bugiardo!, la terza storia di robot che ho scritto, introducevo il personaggio di Susan Calvin, un personaggio di cui mi innamorai immediatamente. Da allora in poi Susan dominò a tal punto i miei pensieri, che a poco a poco spodestò del tutto Powell e Donovan. Questi ultimi apparvero solo nei tre racconti inclusi nella sezione precedente, e anche in un quarto, Evasione, in cui li affiancavo a Susan Calvin.
Ripensando alla mia carriera di autore ho in qualche modo l'impressione di avere incluso la cara Susan in innumerevoli storie, ma in realtà i racconti in cui compare sono solo dieci, tutti quanti compresi in questa sezione. Nel decimo, Intuito femminile, è una vecchia signora già da tempo in pensione, che però non ha perso un grammo del suo fascino acido.
A proposito, noterete che se anche la maggior parte dei racconti che hanno a protagonista Susan Calvin fu scritta in un'epoca in cui lo sciovinismo maschile era la regola nella letteratura fantascientifica, Susan non chiede mai favori e batte gli uomini sul loro stesso terreno. Certo, resta una donna sessualmente insoddisfatta, ma non si può avere tutto.
Una citazione da La prova, che fa capire che tipo è la dottoressa:
— […] Siete la dottoressa Susan Calvin o mi sbaglio?
— Non vi sbagliate, signor Byerley.
— Siete la psicologa della U.S. Robots, vero?
— Non psicologa, ma robopsicologa.
— Oh, perché, i robot sono così diversi dagli uomini, dal punto di vista mentale?
— Diversissimi. — La Calvin si concesse un sorriso gelido. — I robot sono fondamentalmente onesti.
Il rischio, a parlare di Susan Calvin, è che gli studenti si guardino il film Io, Robot. Bisogna proibirglielo con ogni mezzo, lecito o illecito.
Ma la mia protagonista femminile preferita, o temuta, è Janet, che compare in un breve racconto di circa quattordici pagine di Shekley, intitolato La settima vittima. Non so se dire di più, rischiando di rovinare la lettura a chi non conoscesse ancora il racconto che compare nella antologia di fantascienza Le meraviglie del possibile (consigliatissima, da leggere assolutamente). In un mondo in cui sono state combattute quattro guerre mondiali (sei secondo alcuni storici) e in cui tutti si sono resi conto che una nuova guerra sarebbe stata l'ultima, perché avrebbe sicuramente cancellato l'uomo dall'esistenza, la pace deve durare per sempre. Ma come incanalare la naturale violenza dell'uomo? La competizione, la lotta, il coraggio di fronte all'imprevisto, sono garanzie di perpetuazione della specie, non possono essere eliminate: è per questo che l'assassinio viene legalizzato, su basi strettamente individuali e per coloro che lo richiedono. Ogni individuo può commettere tutti gli omicidi che desidera, ma tra uno e l'altro deve fare la parte della Vittima. Su queste basi si sviluppa un racconto del quale non dico altro.
Se qualcuno ha altre idee, ogni commento è bene accetto, grazie.
venerdì 21 maggio 2010
Omaggio a Bertrand Russell
(E a Aristotele, e a Hofstadter)
Tutti i sillogismi non validi non rispettano almeno una regola.
Questo sillogismo non rispetta almeno una regola.
Quindi questo sillogismo non è valido.
Tutti i sillogismi non validi non rispettano almeno una regola.
Questo sillogismo non rispetta almeno una regola.
Quindi questo sillogismo non è valido.
domenica 16 maggio 2010
venerdì 14 maggio 2010
martedì 11 maggio 2010
Fisica Sognante
Sono appena tornato da una due-giorni a Cervia e Mirabilandia, dove ho accompagnato uno studente alla finale dei giochi matematici del Kangourou.
La premiazione è stata preceduta da una lezione, o da una conferenza, o da uno spettacolo…
Ricomincio. È stato invitato a parlare un professore di matematica e fisica di Bologna. Il quale è anche un giocoliere professionista: mentre gioca, spiega la fisica.
È quel soggetto qua:
Si chiama Federico Benuzzi, il suo sito è Fisica Sognante, dategli un'occhiata. C'è anche un filmato, tratto da un telegiornale, in cui si vede una parte del suo show.
Durante le parti buffe e le gag dello spettacolo, i bambini ridevano come dei matti. Nel momento in cui ha parlato della sua attività, dell'impegno che ci mette, della soddisfazione che si prova quando si riesce a fare una cosa per la quale si è lavorato duramente, i professori gongolavano e annuivano. Alla fine, c'è stato un gigantesco applauso con tutto il pubblico in piedi.
Bravo.
La premiazione è stata preceduta da una lezione, o da una conferenza, o da uno spettacolo…
Ricomincio. È stato invitato a parlare un professore di matematica e fisica di Bologna. Il quale è anche un giocoliere professionista: mentre gioca, spiega la fisica.
È quel soggetto qua:
Si chiama Federico Benuzzi, il suo sito è Fisica Sognante, dategli un'occhiata. C'è anche un filmato, tratto da un telegiornale, in cui si vede una parte del suo show.
Durante le parti buffe e le gag dello spettacolo, i bambini ridevano come dei matti. Nel momento in cui ha parlato della sua attività, dell'impegno che ci mette, della soddisfazione che si prova quando si riesce a fare una cosa per la quale si è lavorato duramente, i professori gongolavano e annuivano. Alla fine, c'è stato un gigantesco applauso con tutto il pubblico in piedi.
Bravo.
Alice, Bob e Eva — Come si può giocare a mental poker
“Ora che abbiamo dimostrato matematicamente l'impossibilità di giocare a mental poker, vediamo come si può negare l'evidenza, dire che la matematica sbaglia, e giocare”.
“Voglio proprio vedere”.
“Una premessa: anche se noi abbiamo sempre visto RSA come sistema di crittografia a chiave pubblica, esso può essere usato anche come sistema classico, in cui io mi tengo segrete entrambe le chiavi, quella pubblica e quella privata, e ne uso una per crittare e l'altra per decrittare”.
“Ah, sì, questo è vero: una chiave chiude e l'altra apre. Mi avevi fatto l'esempio dei lucchetti”.
“Esatto. Inoltre l'esempio dei lucchetti è particolarmente adatto, perché consente di capire un'altra proprietà che useremo per giocare: la proprietà commutativa”.
“Cioè?”.
“Cioè io posso applicare al mio messaggio prima il lucchetto 1, poi il lucchetto 2, in sequenza, poi togliere il lucchetto 1 e, solo alla fine, il 2”.
“Non capisco cosa c'entri la proprietà commutativa”.
“Immagina che io prenda il messaggio, lo inserisca in una busta sigillata, numerata con 1. Poi prendo quella busta e la inserisco in una seconda busta, numerata con 2. Cosa devo fare per leggere il messaggio?”.
“Devi aprire la busta 2 e, poi, la 1”.
“Ecco, grazie alla proprietà commutativa io posso anche aprire prima la 1 e poi la 2. L'esempio delle buste non funziona, ma quello dei lucchetti sì: io metto il mio messaggio in una scatola, e sulla serratura posso applicare quanti lucchetti voglio. Poco importa se applico prima il numero 1 e poi il 2, o viceversa. Allo stesso modo non importa l'ordine che seguo per aprirli”.
“Ah, ho capito. E RSA funziona così?”.
“Sì, perché la codifica tramite RSA prevede che tu elevi il tuo messaggio a un certo esponente. Se vuoi codificare due volte con due chiavi diverse, devi elevare due volte. Questo significa che devi moltiplicare gli esponenti, e la moltiplicazione gode della proprietà commutativa”.
“Giusto”.
“Allora vado con il protocollo per giocare. Prima di tutto Bob prende il mazzo di carte, composto da 52 messaggi e li critta tutti utilizzando la sua chiave B”.
“Una sola chiave?”.
“Sì, non facciamo distinzione tra chiave pubblica e privata: Bob tiene la sua coppia di chiavi segreta, una parte viene usata per crittare e l'altra per decrittare. Invece di parlare di coppia di chiavi, chiamiamo il tutto chiave e rendiamo più lineare tutto il discorso”.
“Ok”.
“Poi, naturalmente, Bob mescola il mazzo, cioè permuta tutti i messaggi come vuole”.
“Ma così non sbircia?”.
“Sì, lui sa l'ordine delle carte, ma vedrai che non importa. Dopo aver mescolato il mazzo, lo invia ad Alice”.
“Quindi a questo punto Alice si trova con 52 messaggi che non riesce a decodificare, mentre Bob sa tutto”.
“Esatto. Ora Alice seleziona cinque carte a caso e le trasmette a Bob. Bob le decritta e ottiene la sua mano”.
“Ah, ok. Alice non può decrittare le carte, quindi non sa cosa ha in mano Bob”.
“Proprio così. Ora Alice seleziona altre cinque carte a caso, e le critta con la sua chiave A, poi le invia a Bob”.
“E Bob non può leggerle, perché Alice le ha crittate!”.
“Esatto. Bob può però togliere il suo lucchetto, grazie alla proprietà commutativa del sistema RSA. Lui decodifica i cinque messaggi inviatigli da Alice, ma non può leggerli perché Alice ha messo su di essi anche la sua chiave”.
“E cosa se ne fa di questi cinque messaggi mezzi decrittati?”.
“Li rispedisce ad Alice, la quale può ora togliere la sua chiave e, finalmente, leggerli: ecco la mano di Alice”.
“Ma è geniale”.
“Se è necessario distribuire altre carte, si ripete la procedura. Alla fine della mano i due giocatori rivelano le loro chiavi, in modo che entrambi possano controllare che l'altro non abbia barato”.
“Bellissimo. Ma, allora, com'è la storia? La dimostrazione di impossibilità è sbagliata?”.
“Ti faccio rispondere dai tre matematici:”.
“Voglio proprio vedere”.
“Una premessa: anche se noi abbiamo sempre visto RSA come sistema di crittografia a chiave pubblica, esso può essere usato anche come sistema classico, in cui io mi tengo segrete entrambe le chiavi, quella pubblica e quella privata, e ne uso una per crittare e l'altra per decrittare”.
“Ah, sì, questo è vero: una chiave chiude e l'altra apre. Mi avevi fatto l'esempio dei lucchetti”.
“Esatto. Inoltre l'esempio dei lucchetti è particolarmente adatto, perché consente di capire un'altra proprietà che useremo per giocare: la proprietà commutativa”.
“Cioè?”.
“Cioè io posso applicare al mio messaggio prima il lucchetto 1, poi il lucchetto 2, in sequenza, poi togliere il lucchetto 1 e, solo alla fine, il 2”.
“Non capisco cosa c'entri la proprietà commutativa”.
“Immagina che io prenda il messaggio, lo inserisca in una busta sigillata, numerata con 1. Poi prendo quella busta e la inserisco in una seconda busta, numerata con 2. Cosa devo fare per leggere il messaggio?”.
“Devi aprire la busta 2 e, poi, la 1”.
“Ecco, grazie alla proprietà commutativa io posso anche aprire prima la 1 e poi la 2. L'esempio delle buste non funziona, ma quello dei lucchetti sì: io metto il mio messaggio in una scatola, e sulla serratura posso applicare quanti lucchetti voglio. Poco importa se applico prima il numero 1 e poi il 2, o viceversa. Allo stesso modo non importa l'ordine che seguo per aprirli”.
“Ah, ho capito. E RSA funziona così?”.
“Sì, perché la codifica tramite RSA prevede che tu elevi il tuo messaggio a un certo esponente. Se vuoi codificare due volte con due chiavi diverse, devi elevare due volte. Questo significa che devi moltiplicare gli esponenti, e la moltiplicazione gode della proprietà commutativa”.
“Giusto”.
“Allora vado con il protocollo per giocare. Prima di tutto Bob prende il mazzo di carte, composto da 52 messaggi e li critta tutti utilizzando la sua chiave B”.
“Una sola chiave?”.
“Sì, non facciamo distinzione tra chiave pubblica e privata: Bob tiene la sua coppia di chiavi segreta, una parte viene usata per crittare e l'altra per decrittare. Invece di parlare di coppia di chiavi, chiamiamo il tutto chiave e rendiamo più lineare tutto il discorso”.
“Ok”.
“Poi, naturalmente, Bob mescola il mazzo, cioè permuta tutti i messaggi come vuole”.
“Ma così non sbircia?”.
“Sì, lui sa l'ordine delle carte, ma vedrai che non importa. Dopo aver mescolato il mazzo, lo invia ad Alice”.
“Quindi a questo punto Alice si trova con 52 messaggi che non riesce a decodificare, mentre Bob sa tutto”.
“Esatto. Ora Alice seleziona cinque carte a caso e le trasmette a Bob. Bob le decritta e ottiene la sua mano”.
“Ah, ok. Alice non può decrittare le carte, quindi non sa cosa ha in mano Bob”.
“Proprio così. Ora Alice seleziona altre cinque carte a caso, e le critta con la sua chiave A, poi le invia a Bob”.
“E Bob non può leggerle, perché Alice le ha crittate!”.
“Esatto. Bob può però togliere il suo lucchetto, grazie alla proprietà commutativa del sistema RSA. Lui decodifica i cinque messaggi inviatigli da Alice, ma non può leggerli perché Alice ha messo su di essi anche la sua chiave”.
“E cosa se ne fa di questi cinque messaggi mezzi decrittati?”.
“Li rispedisce ad Alice, la quale può ora togliere la sua chiave e, finalmente, leggerli: ecco la mano di Alice”.
“Ma è geniale”.
“Se è necessario distribuire altre carte, si ripete la procedura. Alla fine della mano i due giocatori rivelano le loro chiavi, in modo che entrambi possano controllare che l'altro non abbia barato”.
“Bellissimo. Ma, allora, com'è la storia? La dimostrazione di impossibilità è sbagliata?”.
“Ti faccio rispondere dai tre matematici:”.
Initially we proved that the card-dealing problem is insoluble, and then we presented a working solution to the problem. We leave it to you, the reader, the puzzle of reconciling these results. (Hint: each player would in fact be able to determine the other player's hand from the available information, if it were not for the enormous computational difficulty of doing so by “breaking” the code.)
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