Sono una persona orribile

«Buongiorno».

«Buongiorno prof».

«Bé? Dove sono tutti gli altri?».

«Eh, han fatto sciopero…».

«Ma noo, ma come, ma dai, ma uffa, E ADESSO COSA FACCIO?».

«Eh?».

«Vi interrogo tutti».

«Ma no! Non è giusto, e poi noi siamo qui e…».

«Va bene, va bene, ho capito. Allora via, finisco il programma così gli altri SI ARRANGIANO QUANDO TORNANO».

«Ma come, a ottobre, finisce il programma? Dai, prof».

«Uff. E cosa facciamo?».

«Ci spiega finalmente quella faccenda del triangolo col buco?».

«Ah, va bene, via, quelli che rompevano tanto per sapere la storiella sono rimasti a casa, allora ve la spiego COSÌ IMPARANO!».

«Ehm».

«Vabbé, comunque sia la storia è questa: sono andato da un gioielliere e ho preso in prestito una lastra d'oro, ve la disegno: è la figura in basso».

«Quella col buco?».

«Sì, ma il gioielliere mi ha dato la lastra senza buco, poi io sono andato a casa e ho fatto il buco, mi sono messo in tasca il quadratino d'oro, e ho ritagliato la la lastra in quattro parti, come nella figura».

«E poi?».

«E poi le ho ricombinate come nella figura in alto. A quel punto, ho restituito la lastra al gioielliere, guadagnando un quadratino d'oro».

«Mh».

«Il giorno dopo sono tornato dal gioielliere, mi sono rifatto prestare la lastra, e ho rifatto il giochetto. Dopo essermi messo in tasca il quadratino d'oro, ho restituito la lastra».

«Ma come?».

«L'ho fatto per molto tempo, e adesso SONO RICCHISSIMO! Ho la casa piena di quadratini d'oro, ci posso fare il bagno dentro».

«Ma cosa dice, prof?».

«Oh, fai i conti, guarda la figura: con i pezzi della figura in basso riesco a ricostruire la figura intera. Ogni volta che lo faccio, guadagno un po' d'oro. Potrei anche smettere di lavorare, ma vengo a scuola solo per non fare sapere a tutti che sono ricco».

«Ma davvero?».

«Certo, ho trovato il modo di creare la materia dal nulla».

«Forse c'è un trucco?».

[tagliamo la spiegazione del trucco, tanto lo conoscono tutti — se qualcuno non lo conosce, è un buon esercizio scoprire cosa c'è che non va nel ragionamento (perché, no, non sono diventato ricchissimo)]

Suona la campana.

«Bene, ragazzi, vado, per quanto riguarda i compiti per la prossima volta…».

«Ma no, ci dà anche i compiti, noi che siamo stati a scuola dobbiamo farli e quegli altri invece che sono stati a casa…».

«DICEVO, per quanto riguarda i compiti, lascio a voi l'onere di comunicarli ai vostri compagni».

«Ma quali sono?».

«Io non so niente, pensateci voi, sentitevi liberi, fategliene fare un po'».

«Cioè, lei sta dicendo che…».

«Oh, se li vuoi fare anche tu…».

«AH OK VA BENE HO CAPITO».

«Non esagerate, però, altrimenti se ne accorgono».

«Tranquillo, prof, ci pensiamo noi».

Somme di cubi senza parole

1³+2³+…+n³ = (1+2+…+n)².

Considera l'aragosta

Considera l'aragosta, di David Foster Wallace, Einaudi, 14.45€ in formato cartaceo, è un'altra raccolta di saggi, o di esperienze di vita vissuta, che sto leggendo in questi giorni.

Dico che sto leggendo perché ho deciso di commentare ogni saggio subito dopo averlo finito, senza attendere di aver concluso la lettura di tutto il libro (naturalmente questo post sarà pubblicato alla fine).

Cominciamo.


Il figlio grosso e rosso

Ho un amico che è entusiasta di Las Vegas. Davvero, quando racconta degli hotel giganteschi, del vulcano finto, delle battaglie navali, della zona divertimenti per le famiglie, dei casinò e dei divertimenti un po' meno per famiglie, è sinceramente convinto della loro bellezza. Io rido, ma vabbé.

Ecco, in questo articolo si parla della visita a Las Vegas fatta da DFW in occasione degli Avn awards. Non metto link per cercare di mantenere un'aria di rispettabilità in questo blog, semmai googlate (e, se non avete il safesearch attivo, accertatevi almeno di non avere qualcuno alle vostre spalle). Bene, se anche a voi la descrizione delle bellezze di Las Vegas fatta dal mio amico vi è parsa un po' kitsch e vi ha fatto ridere, rimarrete certamente estasiati (o inorriditi, o tutte e due le cose, a seconda della vostra predisposizione d'animo) nel leggere di questo particolare aspetto di Las Vegas.


La fine di qualcosa senz'altro, verrebbe da pensare
(Su Verso la fine del tempo, di John Updike)

Nove pagine di critica abbastanza sferzante su un romanzo che non ho mai letto di un autore che non conosco. Non importa, c'è una bella descrizione del protagonista del romanzo, che si riflette in considerazioni varie sull'autore del romanzo stesso. Da leggere per poter arrivare a godere dell'ultima frase.


Alcune considerazioni sulla comicità di Kafka che forse dovranno essere tagliate ulteriormente

«Potete chiedere di immaginare che tutte le sue storie siano una specie di porta. Di immaginare noi che ci avviciniamo e battiamo a questa porta, sempre più forte, battiamo e battiamo, non solo perché vogliamo entrare, ma perché ne abbiamo bisogno; non sappiamo cosa sia ma possiamo sentirlo, questo desiderio disperato e assoluto di entrare, e battiamo e spingiamo e calciamo. Finché ecco che la porta si apre… e si apre verso l'esterno — eravamo già dove volevamo essere sin dal principio. Das ist komisch».


Autorità e uso della lingua (ovvero, politica e lingua inglese è ridondante)

Un saggio sull'uso della lingua inglese. All'inizio una pagina scritta dalla traduttrice avverte delle difficoltà incontrate durante la traduzione in italiano di un saggio riguardante l'uso dell'inglese. Segue una pagina scritta in corpo 4, immagino (65 righe e due titoli), di testo non tradotto riportante una serie enorme di errori.

Da segnalare per i non inglesi: una interessante considerazione sull'aborto e la figura dello Snobino — che tanto ricorda Tapparella.


La vista da casa della sig.ra Thompson

Come DFW ha vissuto la giornata dell'11 settembre 2001.


Come Tracy Austin mi ha spezzato il cuore

Un commento (un po' caustico) all'autobiografia della tennista Tracy Austin.


Forza, Simba
Sette giorni in Cammino con un Anticandidato

Come funzionava la campagna per la candidatura alle primarie repubblicane del 2000 di John McCain. Un lungo resoconto di come vivono i giornalisti al seguito del candidato, e una descrizione di tutto il baraccone politico americano. Interessante.


Considera l'aragosta

Il festival dell'aragosta del Maine, dove le aragoste diventano cibo comune e a buon mercato.


Il Dostoevskij di Joseph Frank

Questo l'ho sfogliato velocemente, e non l'ho letto con attenzione: dopo le prime pagine l'argomento non mi ha attirato abbastanza. DFW che parla del professor Frank che parla di Dostoevskij.


Commentatore

E anche questo l'ho solamente sfogliato: la struttura del testo, con frecce che puntano a riquadri e altre frecce che dai riquadri puntano a sottoriquadri, all'inizio è carina, ma dopo un po' diventa fastidiosa.

Una misteriosa costante matematica — 2

«Per ottenere un metodo veloce, anche se approssimato, per calcolare la somma dei primi n termini della serie armonica, dobbiamo dare un'occhiata a questo grafico».

«Uh, e cosa si vede?».

«Allora, la funzione rossa è y = 1/x. Se osservi bene, in corrispondenza dei numeri naturali sono disegnati dei segmenti verticali che intersecano la curva».

«Vedo».

«Quindi, il primo punto sulla curva rossa avrà come y il valore 1».

«Certamente, basta sostituire a x il numero 1, e risulta 1/1».

«Bene. Il secondo punto sulla curva rossa invece avrà ordinata uguale a 1/2».

«Giusto, il terzo avrà come y il valore 1/3, il quarto 1/4, e così via».

«Bene. Ora calcola l'area di ognuno di quei rettangoli che sono disegnati, cioè quelli aventi base sull'asse delle x».

«Allora, intanto hanno tutti base uguale a 1».

«Giusto».

«Quindi l'area è data dall'altezza».

«Ancora giusto».

«Quindi il primo rettangolo avrà area 1, il secondo 1/2, il terzo 1/3, e così via».

«Perfetto. Quindi possiamo visualizzare la somma dei primi n termini della serie armonica semplicemente osservando quei rettangoli: la somma che vogliamo calcolare è uguale alla somma delle loro aree».

«Ok, ma non riusciamo a calcolarla?».

«Non direttamente. Però continuiamo l'esame del grafico: siamo in grado di calcolare l'area che sta sotto alla curva rossa».

«Davvero?».

«Sì, si utilizza il calcolo integrale. Risulta che l'area che va dal punto di ascissa 1 al punto di ascissa n+1 (cioè l'area sotto ai primi n rettangoli) è uguale al logaritmo naturale di n+1. In formule, un Vero Matematico scriverebbe questo:».

«Va bene, e ora? L'area sotto la curva rossa non è uguale a quella dei rettangoli».

«No, la differenza è appunto data dalla somma delle aree grigie».

«Ed è una cosa che sappiamo calcolare?».

«Non esattamente, ma possiamo dire una cosa importante: la somma di quelle aree è limitata. In particolare, è minore di 1».

«E come facciamo a dirlo?».

«Se anche quelle aree andassero avanti all'infinito, potremmo comunque pensare di spostarle tutte a sinistra, infilandole nel primo rettangolo (che poi è un quadrato, ma non ha importanza)».

«Vero».

«E ci starebbero tutte, senza sovrapporsi».

«Anche questo è vero».

«E lascerebbero un po' di spazio libero».

«Ah, ho capito! Visto che l'area del rettangolo in cui sono contenute è uguale a 1, la loro somma è minore di quel valore».

«Perfetto: ora che sappiamo che quel valore esiste, ci basta un computer per calcolarlo. I matematici l'hanno fatto, naturalmente, e nel 2010 erano note 29844489545 cifre. Non so se il record sia stato superato ultimamente».

«Mica poche».

«Nonostante questo, ancora non si sa se sia un numero razionale o irrazionale».

«Ah».

«Intanto gli abbiamo dato un nome: si chiama costante di Eulero-Mascheroni, e vale circa 0.5772».

«Ok. E quindi possiamo usarla per il problema delle figurine?».

«Anche, sì. Ma non sarebbe quello lo scopo, insomma».

«Immagino, eh».

«Il fatto è che quella costante è legata alla funzione di Riemann, e quindi al problema dei numeri primi».

«Uno dei problemi del millennio?».

«Esattamente. Probabilmente dimostrare la sua irrazionalità potrebbe portare a fare passi avanti in quel senso, o addirittura a risolvere la congettura di Riemann. Si dice che Hardy abbia offerto la sua cattedra a Oxford a chi fosse riuscito a dimostrare l'irrazionalità della costante di Eulero-Mascheroni. Hilbert stesso considerò questo problema come inaffrontabile, un problema davanti al quale i Veri Matematici non sanno come muoversi, e se ne stanno lì sconsolati».

«Addirittura».

«Conway e Guy sono pronti a scommettere che sia trascendente, ma credono anche di non avere abbastanza tempo per riuscire a vedere la dimostrazione».

«Ma dai».

«Ed è stato dimostrato che se questa benedetta costante fosse davvero razionale, il suo denominatore dovrebbe essere maggiore di 10²⁴²⁰⁸⁰».

«Vabbé, dai, è irrazionale. Solo la mente malata dei Veri Matematici si può ostinare a cercare una dimostrazione che permetterebbe di dire qualcosa sulle cifre dopo la 29844489545esima».

«Eh».

«Alla fine, quante figurine dovremmo comprare per completare quel famoso album da 719 calciatori?».

«Allora, il calcolo esatto sarebbe dato dalla somma dei termini della serie armonica dal primo fino al 719-esimo, il tutto moltiplicato per 719:».

N = 719(1+1/2+1/3+…1/719).

«E per non fare tutto a mano, come si fa?».

«Si usa la relazione approssimata che abbiamo visto prima. Se indichiamo con γ la costante di Eulero-Mascheroni, abbiamo che».

«Vediamo un po', se n = 719 mi viene 5145.5. Argh».

«Si fanno affari con le figurine, eh?».

Una misteriosa costante matematica — 1

Una nota marca di merendine per la prima colazione inserisce, in ogni scatola, una figurina di un matematico famoso. Il produttore sostiene che tutti i matematici sono distribuiti uniformemente, e che la serie completa è composta da 8 figurine (siamo solo alla prima edizione). Quante scatole ci aspettiamo di dover comprare per completare la collezione?

(Spoiler alert: se volete provare a risolverlo da soli, non andate oltre, tornate dopo)

Possiamo risolvere il quesito ragionando in questo modo: acquistando la prima scatola ci assicuriamo la prima figurina, fin qua è facile. Con la seconda scatola possiamo trovarci di fronte a due possibilità: siamo sfortunati e troviamo la figurina che abbiamo già, oppure siamo fortunati e troviamo una figurina che ci manca. Il primo caso si verifica con probabilità 1/8, il secondo invece con probabilità 7/8.

Dato che la probabilità di ottenere una nuova figurina è 7/8, dovremmo acquistare 8/7 di scatola per ottenerla.

«Certo, andiamo in negozio, prendiamo una scatola e poi seghiamo un pezzettino di un'altra scatola».

«Ma no, questo è un discorso di media, è chiaro che per avere la figurina o compri una scatola e sei fortunato, o sei meno fortunato e ne devi comprare due, o ancora meno fortunato e ne devi comprare tre, quattro, o di più».

«E allora cos'è questa faccenda degli 8/7 di scatola?».

«Significa che, se prendiamo tanti collezionisti, e facciamo la media sul numero di scatole che servono per ottenere due figurine, il risultato sarà vicino a 1+8/7 (più collezionisti ci sono, migliore sarà l'approssimazione)».

«Vabbé. E quindi, se vogliamo la terza figurina, dobbiamo ragionare allo stesso modo?».

«Sì, la terza figurina sarà diversa dalle prime due con probabilità 6/8, e quindi dovrai comprare 8/6 di scatola».

«Sempre in media».

«Certo. Poi ce ne vorranno 8/5, 8/4, e così via fino a 8/1».

«Quindi per ottenere l'ultima figurina devo comprare otto scatole?».

«Sì, hai una sola possibilità su otto di trovare quella giusta, quindi ti toccherà acquistarne proprio otto».

«Ho capito. Il risultato finale allora sarà 1+8/7+8/6+…+8/2+8/1. Cioè…».

«761/35».

«Eh, fammi fare il calcolo che capisco meglio… fa 21.7, circa».

«Quindi con 22 scatole hai buone probabilità di cavertela».

«Però, risulta quasi il triplo del numero iniziale. Comincio a capire come funzionano le raccolte di figurine».

«Eh, sì, pensa a quante figurine può contenere un album di calciatori, e fai qualche conto…».

«La regola per il calcolo mi sembra semplice».

«Sì, e se modifichi un po' la formula diventa ancora più chiara. Per esempio, nella formula che abbiamo usato per le otto figurine, prova a raccogliere a fattor comune tutti quegli otto che stanno al numeratore».

«Mi viene 8(1/8+1/7+1/6+…+1/2+1). Mh, mi ricorda qualcosa».

«Se li riordini, ti accorgerai che si tratta dei primi termini della serie armonica: 8(1+1/2+1/3+…+1/7+1/8), di cui si è già parlato in passato, anche in qualche vecchio Carnevale della Matematica [1][2]».

«Uh, vedo».

«Ti faccio vedere anche cosa significa che in media bisogna acquistare 21.7 scatole: ho scritto un programma che simula duemila collezionisti di figurine. Ognuno fa i suoi acquisti fino a che non ha ottenuto le otto figurine, poi alla fine viene fatta la media tra tutti. Eccolo qua:».

from random import randrange

N=8

#nella lista ci vanno i numeri da 0 a 7

def colleziona():

  conta=0
  lista=[]
  while 1:
    x=randrange(N)
    conta+=1
    if x not in lista:
      lista+=[x]
    if len(lista)==8:
      break

  return conta


media=0
for i in xrange(2000):
  media+=colleziona()
  #print float(media)/(i+1)

print "Media:", float(media)/2000

«Mi pare abbastanza chiaro».

«Ho fatto anche un paio di grafici per vedere che, all'aumentare del numero dei collezionisti, il valore medio si stabilizza sempre più verso il famoso 21.7».

«E come mai sono diversi?».

«Perché ogni prova è diversa dalle altre. La cosa importante è vedere che l'andamento si stabilizza, anche se nel secondo grafico si stabilizza più lentamente».

«Probabilmente 2000 prove sono ancora poche».

«Già. Devi pensare che 21.7 scatole sono, appunto, una media, ma ci possono essere collezionisti fortunati che se la cavano con 8 scatole e altri meno fortunati che ne devono acquistare ben più di 22. Anzi, mi basta aggiungere un paio di righe al programma per vedere qual è il record negativo di acquisto scatole:».

media=0
record=0
for i in xrange(2000):
  m=colleziona()
  if record < m:
    record = m
  media+=m
  print float(media)/(i+1)

print "Media:", float(media)/2000,record

«Ah, certo, così tieni in memoria il valore massimo di scatole da acquistare: quanto risulta?».

«Faccio girare il programma: ecco, 72».

«Però, sfortunato quel poveraccio che deve acquistare 72 scatole».

«Eh, già. E pensa a quelli che collezionano figurine di calciatori: nella collezione dell'anno scorso c'erano 690 figurine».

«Quante?!».

«Più altre 29 con un codice strano: in tutto 719».

«Santo cielo! Ma bisogna acquistarne un numero colossale».

«Quante?».

«Eh, mi tocca fare una somma lunghissima, non c'è un metodo migliore?».

«Se ti accontenti di un risultato approssimato (approssimato molto bene, eh), c'è».

La scossa

Leonardo ha scritto un libro in formato digitale sul terremoto in Emilia. Costa 3 euro, e tutti i diritti d'autore verranno devoluti alla ricostruzione del comune di Cavezzo.

È un libro che si legge volentieri, perché è scritto bene, e racconta della serie di terremoti che hanno colpito l'Emilia a partire dal 20 maggio 2012 (anche qualche mese prima, in realtà). Ma non racconta solo dei terremoti: parla anche del desiderio che hanno gli uomini di trovare un colpevole, parla del concetto di emilianità, del razzismo, dei politici e della prevenzione. E di Cavezzo.

Leggetelo, perché le cose che fanno ragionare sono belle.

Tennis, tv, trigonometria, tornado

Tennis, tv, trigonometria, tornado (e altre cose divertenti che non farò mai più), di David Foster Wallace, Minimum Fax, 10.63€ in formato cartaceo, 8.90€ in formato elettronico, è il terzo libro che leggo di DFW.

Si tratta di una raccolta di saggi di argomenti diversi e slegati tra loro, che quindi commento separatamente.

Tennis, trigonometria e tornado racconta di quando l'autore faceva il tennista, da ragazzino, in Illinois, terra di grandi pianure e di tornado. Ogni tanto ci sono termini matematici infilati a caso (come in «...dove n è una funzione iperbolica limitata dal seno della bravura dell'avversario e dal coseno del numero di colpi scambiati fino a qual momento (approssimativamente)»), ma è molto piacevole da leggere.

E Unibus Pluram: Gli scrittori americani e la televisione. Ecco, questo non l'ho letto tutto: parla di programmi televisivi americani che io non ho mai visto, e fa riferimenti a saggi di autori americani che io non ho mai letto, e quindi per comprendere quello che stavo leggendo avrei dovuto studiare un po' di cultura pop americana. Ho deciso di soprassedere.

Invadenti evasioni è il resoconto di una visita, durata più giorni, alla Fiera Statale dell'Illinois. Una delle parti più belle del libro, con maiali, giovenche, majorette e cibi di tutti i tipi fritti.

Che esagerazione è un articoletto di 9 pagine che comincia così: «Negli anni '60 sono arrivati i metacritici poststrutturalisti, hanno capovolto gli assunti dell'estetica letteraria, quegli assunti che i suoi maestri avevano considerato come autoevidenti e, fondendo teorie del discorso creativo e posizioni metafisiche radicali, hanno reso l'interpretazione dei testi molto più complicata». Non avendo capito assolutamente nulla di questo primo periodo, ho saltato le 9 pagine seguenti e sono andato oltre. Credo che si parli di critica letteraria, ma non ne sono del tutto sicuro.

David Lynch non perde la testa racconta di una visita di David Foster Wallace al set del film Strade perdute. Ed è anche una lunga analisi delle opere di Lynch, molto bella e approfondita. Di David Lynch io ho visto soltanto Twin Peaks (e la mia malata sindrome da continuity mi ha costretto a vedere entrambe le serie, fino alla fine), e ho deciso che non avrei visto più nulla. Questo saggio mi ha spiegato il perché.

L'abilità professionistica del tennista Michal Joyce come paradigma di una serie di cose tipo la scelta, la libertà, i limiti, la gioia, l'assurdità e la completezza dell'essere umano è il saggio finale, che ci porta all'interno di un torneo di tennis. Scritto bene, come al solito, si legge molto volentieri; le descrizioni dei tennisti, degli scambi, delle partite sono così realistiche che non ti fanno rimpiangere il fatto che, effettivamente, non sei là anche tu.


Insomma, mi è piaciuto.

La classifica definitiva

«Che poi, non esistono soltanto gli ordinamenti totali, eh».

«Ma cosa dici?».

«La gente vuole mettere tutto in ordine e trovare per forza un primo, un secondo, e così via. Non è mica sempre possibile».

«Che cosa stai dicendo?».

«Cbi l'ha deciso che dieci medaglie d'argento valgono meno di una d'oro?».

«Ah, ricominciamo con quella faccenda delle olimpiadi? [1,2,3]».

«Sì, questa mania di ordinare tutto… che criterio bisogna usare?».

«Si potrebbe dare un punteggio alle varie medaglie e poi sommare tutti i punti…».

«Ah, certo, ma che punteggio? Hai un'infinità di scelte».

«Eh, son problemi».

«Perché, vedi, immagina di avere una macchina con tre manopole».

«Ossignore».

«Ogni manopola regola il valore che decidiamo di attribuire a ogni tipo di medaglia: una manopola per le medaglie d'oro, una per quelle d'argento e la terza per quelle di bronzo».

«E noi, regolando le manopole, attribuiamo i valori?».

«Esatto, da 1 a infinito».

«Eh? In che senso?».

«Supponi di regolare tutte e tre le manopole a 1: questo significa che le medaglie hanno tutte lo stesso valore. In pratica stili una classifica basata solo sul numero di medaglie guadagnate».

«Eh, ma non va mica bene».

«Se non ti piace, decidi tu che valori utilizzare. Per esempio, sul sito ufficiale delle olimpiadi le squadre vengono ordinate in base al numero di medaglie d'oro, in caso di parità vengono considerate le medaglie d'argento, e in caso di ulteriore parità quelle di bronzo».

«Quindi non viene assegnato un valore numerico ad ogni medaglia, no?».

«Bé, non un numero reale, ma in realtà puoi pensarla in questo modo: alle medaglie di bronzo assegni valore 1, a quelle di argento un valore infinito…».

«Infinito?».

«Eh, sì, questo significa che una medaglia d'argento batte qualunque numero di medaglie di bronzo. Un Vero Matematico direbbe che in questo caso non vale più la proprietà archimedea».

«Brr».

«E alle medaglie d'oro assegni un infinito di ordine superiore a quello assegnato alle medaglie d'argento».

«Eh?».

«Un infinito che rimane infinito anche se rapportato al valore delle medaglie d'argento. In questo modo una medaglia d'oro batte qualunque numero di medaglie d'argento (e quindi di bronzo)».

«Interessante, ma forse anche questo non è tanto giusto. Una squadra che ha vinto una sola medaglia d'oro è meglio di un'altra squadra che ha vinto dieci medaglie d'argento?».

«Eh, lo so, non si troverà mai una regolazione delle manopole soddisfacente».

«E allora come facciamo? Rinunciamo a fare classifiche?».

«Possiamo rinunciare a un ordinamento totale, ma esistono anche gli ordinamenti parziali, eh».

«Cioè?».

«Supponiamo di avere due squadre. Se la prima ha un numero di medaglie d'oro minore o uguale a quello della seconda, un numero di medaglie d'argento minore o uguale a quello della seconda, e anche un numero di medaglie di bronzo minore o uguale a quello della seconda, sei d'accordo sul fatto che essa debba trovarsi in una posizione più bassa in classifica rispetto alla seconda?».

«Sì, certo».

«A meno che, naturalmente, l'uguaglianza non valga in tutti e tre i casi».

«Giusto: in quel caso le due squadre hanno lo stesso numero di medaglie, dovrebbero trovarsi nella stessa posizione».

«Perfetto: questo criterio ci permette di stabilire un ordinamento, che però non è totale».

«Cosa significa?».

«Significa che valgono le proprietà a cui siamo abituati (per esempio, se una squadra A si trova al di sotto di una squadra B, e la squadra B si trova al di sotto di C, allora anche A si trova al di sotto di C), ma non tutte le squadre sono confrontabili tra loro».

«Vero, se una squadra ha una sola medaglia d'oro e una seconda squadra ha una sola medaglia di bronzo, non sapremmo come ordinarle. Anche se io direi che la prima squadra dovrebbe trovarsi al di sopra della seconda».

«Ma perché stai automaticamente assegnando un valore diverso ai due tipi di medaglie. Nella classifica basata soltanto sulla somma delle medaglie (quando cioè le tre manopole della macchina si trovano tutte sul numero 1), le due squadre sarebbero allo stesso posto».

«Ok, giusto».

«Quindi noi possiamo immaginare una struttura complicata che collega le varie squadre che hanno partecipato alle olimpiadi: una struttura che mostra un certo ordine, anche se non mette in fila una per una le varie squadre. Una struttura articolata, composta da diverse connessioni, che collassa in una struttura semplice e lineare ogni volta che tu regoli le manopole della macchinetta».

«Bello».

«Le varie strutture semplici e lineari che ottieni non sono sempre uguali. A seconda di come regoli le manopole, potrai avere classifiche diverse. La struttura che sta al di sotto, però, quella che regola tutto, e che è solo un ordinamento parziale, quella non varia».

«Mi piacerebbe vederla, questa struttura».

«Eccola qua:».

(se clicchi si ingrandisce)

Neanche gli dei

Oh, ma come mai questa macchinetta tagliacapelli si inceppa sempre? Aspetta che la spengo, tolgo questo Pettinino Regolatore Della Lunghezza Dei Capelli, apro le lame, faccio pulizia, richiudo le lame, la riaccendo, oh senti adesso come va benOH!

Il candidato costruisca un diagramma di flusso che rappresenti le azioni elencate nel brano precedente, e faccia un commento sull'idiozia del protagonista.

Il professor Apotema insegna: il calcolo delle somme e il calcolo integrale

Ormai sta diventando un appuntamento fisso: Giorgio Goldoni scrive un altro libro in cui raccoglie le sue lezioni su un determinato argomento, e io lo recensisco.

Questa volta si tratta del volume numero 4 (qui i volumi 1, 2, 3), dedicato al calcolo delle somme e al calcolo integrale, utilizzando l'approccio iperreale.

Somme e integrali vengono definiti e studiati in modo parallelo (per quanto riguarda le somme, ho scoperto cosa sono i numeri di Stirling, ad esempio), oltre alla teoria vengono presentate varie applicazioni interessanti, come il calcolo dei volumi, i baricentri, superfici e volumi di rotazione, l'integrazione numerica (compreso il metodo per ricavare la formula di Simpson, che di solito si trova scritta senza dimostrazione nei testi scolastici), densità di probabilità e metodi per generare distribuzioni di numeri pseudocasuali con densità assegnata.

Io, come al solito, lo consiglio.

Giorgio Goldoni, Il professor Apotema insegna: il calcolo delle somme e il calcolo integrale, ilmiolibro.it, 18€.

Tutto, e di più

Il vostro autore è un tizio con un interesse amatoriale di livello medio-alto per la matematica e i sistemi formali. Ha sempre detestato (con gli scarsi risultati che ne conseguono) qualsiasi corso di matematica seguito nella sua vita, con una sola eccezione, peraltro estranea al suo curriculum universitario: un corso tenuto da uno di quei rari specialisti che sanno dare vita e necessità ai concetti astratti, che quando tengono una lezione parlano veramente con te e di cui tutto quanto vi è di buono in questo libro e una pallida e benintenzionata imitazione.

Ho letto Tutto, e di più. Storia compatta dell'∞, di David Foster Wallace (Amazon lo vende a 21.25 euro, io ho letto l'edizione de La Biblioteca delle Scienze).

Pregi: dà una visione d'insieme dello sviluppo della matematica ai tempi di Cantor (lo scopo del libro è quello di mostrare il percorso fatto dai matematici per costruire una teoria coerente dell'infinito, percorso che giocoforza passa attraverso Cantor, ma non solo).

Difetti: se uno le cose le sa già, se le trova bene ordinate e prova gusto a leggerle nella prosa di DFW (prosa che, comunque, non è così perfetta e godibile e esaltante come quella dell'unico altro libro che ho letto, finora, dell'autore). Se uno le cose non le sa, secondo me fa fatica ad impararle leggendo questo libro. Deve fermarsi, pensare, consultare magari altri testi: gli argomenti sono, secondo me, troppo compressi. L'alternativa sarebbe stata quella di scrivere un libro con un numero doppio di pagine, comunque.

Che dire? Diciamo che forse non serve per imparare la matematica, ma è utile per mettere in fila un po' di concetti che magari ci girano per la testa senza trovare una collocazione definita.

È una questione di equilibrio

Qualche giorno fa si è parlato, nel cyberspazio (ehm), di quanto faccia 0⁰. Sono state fatte alcune analisi e sono state date delle risposte: si parte dalla domanda di Juhan, si passa alle risposte di .mau. e di Gianluigi Filipelli, e si arriva alla conclusione, ancora di Juhan.

Ecco, in un commento che ho scritto mentre ero via ho aggiunto un paio di righe alla discussione, e ho detto che, una volta tornato a casa, avrei provato a spiegarmi meglio. Eccomi qua.

Parliamo di forme indeterminate.

Le forme indeterminate sono tante, ma potremmo anche dire che di forme indeterminate ce n'è solo una, e in più aggiungiamo anche che non sono quello che sembrano.

Per esempio, prendiamone una:

0/0

Si tratta di una operazione che non si può fare: non si può dividere per zero, zero diviso zero non esiste, fine della discussione. È da quando abbiamo imparato la divisione alle elementari che sappiamo che non si può dividere per zero, non è che adesso le cose cambiano. Non si può dividere per zero, punto.

Qualcuno dice che l'operazione 0/0 è indeterminata, ma a me questa è una affermazione che piace poco, perché non spiega (e nemmeno fa intuire) il problema delle forme indeterminate, che sono un'altra cosa.

Le forme indeterminate sono un gioco di equilibrio, come in una bilancia a bracci uguali. Abbiamo due oggetti sui due piatti della bilancia, oggetti generalmente diversi, ognuno dei quali tenta di squilibrare la bilancia dalla sua parte. E abbiamo tre possibilità: i due oggetti sono in equilibrio, oppure il primo è più pesante, oppure è il secondo a esserlo.

Prima cosa da fissare: i due oggetti non sono numeri. Se lo fossero, faremmo direttamente il calcolo. Nel caso della forma 0/0, ad esempio, i due oggetti sono il numeratore e il denominatore. Se fossero numeri, fine del discorso: cosa dobbiamo dire di 3/2? Niente, è una frazione, fine. E di 0/3? Ancora niente di speciale, è un'altra frazione, equivalente a 0. E 3/0? Non si può fare. E 0/0? Secondo le regole della divisione, nemmeno questo si può fare.

I due oggetti, allora, non sono numeri. Cosa sono, quindi? Sono funzioni, sono oggetti dinamici che cambiano, si muovono, e cercano di tirare la bilancia dalla loro parte. Nel caso di 0/0, sono funzioni che in un punto diventano uguali a 0 (ma vicino a quel punto non lo sono, o, almeno, non lo è quella che sta al denominatore). Non chiedete cosa vuol dire vicino: la risposta può essere data in almeno due modi diversi, e entrambi richiedono di sviluppare una teoria adeguata. Lasciamo il concetto all'intuizione: se mi avvicino sempre di più a un certo punto, quelle due funzioni si avvicinano sempre di più a zero.

Che cosa succede, in una frazione, quando il numeratore si avvicina sempre di più a zero (e il denominatore sta fermo, invece — poniamolo per comodità uguale a 42)? Succede che tutta la frazione si avvicina sempre di più a zero:

42/42, 3/42, 1/42, 0.1/42, 0.00000000001/42, …

Direi che sia chiaro quello che succede. Potremmo usare questo linguaggio: se il numeratore diventa infinitesimo (e il denominatore rimane finito non infinitesimo), la frazione diventa infinitesima.

E se invece è il denominatore a diventare infinitesimo?

42/42, 42/3, 42/1, 42/0.1, 42/0.00000000001, …

Qua vediamo che la frazione diventa sempre più grande: se il denominatore diventa infinitesimo (e il numeratore rimane finito non infinitesimo), la frazione diventa infinita.

Nel primo caso abbiamo un infinitesimo al numeratore che fa pendere la bilancia a suo favore, nel secondo caso ne abbiamo uno al denominatore che fa la stessa cosa, e in entrambi i casi possiamo dire quello che succederà senza sapere nulla dei particolari infinitesimi in gioco: succede sempre la stessa cosa. Sappiamo chi vince in anticipo.

Siamo invece di fronte a una forma indeterminata quando sia il numeratore che il denominatore sono infinitesimi: in questo caso non possiamo sapere chi vince senza sapere come sono fatti i particolari infinitesimi in gioco. Potrebbe essere più pesante (cioè più veloce a diventare zero, più dotato di infinitesimalità) il numeratore, e in questo caso saremmo di fronte a una frazione che diventa infinitesima. Oppure potrebbe essere più pesante il denominatore, e allora la frazione diventerebbe infinitamente grande (positivamente o negativamente), oppure i due pesi potrebbero essere paragonabili, e in questo terzo caso la frazione si avvicinerebbe a un numero finito diverso da 0.

Esempio del terzo tipo: al numeratore abbiamo la funzione y = sin(x), la funzione seno. Al denominatore abbiamo y = x, la retta passante per l'origine e inclinata di 45 gradi.

Eccole:

Noi dobbiamo concentrarci su quello che succede quando ci si avvicina a zero, cioè all'origine degli assi cartesiani. Quello che osserviamo è che le due funzioni vanno a zero nello stesso modo: se ingrandiamo sempre di più la figura, esse diventano indistinguibili:

Chiaro, no?

Quello che succede è che il rapporto sin(x)/x, quando x diventa infinitesimo, è una frazione che ha al numeratore un infinitesimo, e al denominatore un altro infinitesimo (per gli amici, è una forma indeterminata 0/0): dato che i due infinitesimi pesano allo stesso modo sulla bilancia, il loro rapporto rimane un numero finito (e non infinitesimo). In questo caso, il rapporto si avvicina proprio a 1. Provate con un foglio elettronico se non vi fidate (come? vi viene 0.017? avete impostato x in radianti?).

Ecco, le forme indeterminate funzionano così: c'è una gara tra due funzioni che cercano di portare la bilancia dalla loro parte. Se vince una delle due, la gara avrà come risultato 0. Se vince l'altra, la gara avrà come risultato un infinito. Se sono alla pari, la gara avrà come risultato un numero che non è né 0 né infinito: un numero finito diverso da 0. In questo esempio, 1 (o 0.017, a seconda di come avete impostato la calcolatrice).

Le altre forme indeterminate, che ora vediamo velocemente, hanno alla base la stessa idea. Eccone un'altra:

∞/∞

Possiamo ragionare come prima, ma questa volta la gara è effettuata tra infiniti: quando vince il numeratore, la frazione diventa infinita, quando vince il denominatore, diventa infinitesima. Quando sono alla pari, la frazione diventa un numero finito diverso da zero. Vince l'infinito più grosso.

Ma potremmo anche non preoccuparci di questa nuova forma indeterminata, e osservare semplicemente che la frazione a/b è uguale a (1/b)/(1/a). Se a e b sono infiniti, (1/b) e (1/a) sono infinitesimi, e ricadiamo nel caso della forma 0/0.

Andiamo avanti:

+∞-∞

Questa volta la bilancia non è data dall'operazione di divisione, ma dalla sottrazione tra due quantità che vogliono diventare sempre più grandi. Se vince la prima, il risultato è un infinito positivo. Se vince la seconda, un infinito negativo. Se sono in equilibrio, un numero finito (positivo, negativo o anche zero).

(Anche questa forma si può trasformare in quella iniziale, ma l'espressione fa un po' schifo. Se la volete, eccola: a-b = ln(e^-b/e^-a); nell'argomento del logaritmo c'è 0/0. L'avevo detto)

Ancora:

0·∞

Qui abbiamo un prodotto tra una funzione infinitesima (e che vorrebbe, quindi, portare a 0 il risultato) e una funzione infinita (che vorrebbe fare diventare tutto infinito). Può vincere la prima, oppure la seconda, oppure potrebbero essere in equilibrio. In quest'ultimo caso si ottiene un numero finito diverso da 0. Possiamo fare ricadere questa espressione nel primo caso notando che ab = a/(1/b).

E con le quattro operazioni abbiamo finito. Passiamo alle potenze.

1^∞

Qui è un po' più difficile capire quello che succede. Possiamo ragionare in questo modo: se abbiamo una potenza del tipo a⁴², il fatto che a voglia avvicinarsi sempre di più a 1 comporta il fatto che il risultato della potenza si avvicini anche esso a 1. Insomma, a cerca di tirare verso il basso il risultato (non troppo in basso, cioè non fino a 0, gli basta 1).

D'altra parte, se abbiamo un'esponenziale del tipo 42^b, se b diventa sempre più grande allora tutto diventerà sempre più grande: b cerca di tirare verso l'alto (verso l'infinito) il risultato.

Cosa può succedere? Come al solito, di tutto. Notate che se prendo 0.42 al posto di 42 le cose cambiano un po': in quel caso b infinito cerca di fare diventare 0.42^b infinitesimo, quindi b cerca di tirare verso il basso. Mentre a vorrebbe sempre andare verso 1. Dunque abbiamo tutti i possibili risultati, da 0 a infinito (non quelli negativi, perché l'esponenziale non è definita per basi negative). Una forma notevole di questo tipo è quella che dà come risultato e. Possiamo ricondurci al solito 0/0 ricordandoci che a^b = e^{(ln a)/(1/b)} (lo so).

E ora passiamo a

∞⁰

Si tratta di una base che vorrebbe portare a infinito il risultato, e che combatte contro un esponente che vorrebbe portare a 1 il risultato. Possiamo aspettarci di tutto anche qui (basta mettere un segno negativo all'esponente per ottenere numeri compresi tra 0 e 1). E anche in questo caso possiamo ricondurci alla prima forma indeterminata notando che a^b = e^{b/(1/ln a)}.

E, infine, eccoci alla famosa

0⁰

Qui siamo di fronte a una base che vorrebbe portare a 0 il tutto, e a un esponente che vorrebbe portare tutto a 1: anche qui può succedere di tutto e (con un cambio di segno all'esponente, tanto +0 e -0 sono la stessa cosa (storia lunga: posso avvicinarmi a 0 sia da valori negativi che da valori positivi; in altre parole, gli infinitesimi possono essere positivi o negativi)) si possono ottenere anche numeri maggiori di 1, fino a infinito.

E anche qui possiamo ricondurci alla prima forma, sempre utilizzando la trasformazione del caso precedente.

Dato che questa forma indeterminata è quella che ha dato l'origine a tutta la discussione, aggiungo un'altra considerazione. Invece di parlare di questioni di equilibrio, potremmo vedere le cose sotto un punto di vista diverso.

Abbiamo a che fare con la funzione in due variabili f(x,y) = x^y, e vogliamo capire cosa succede quando sia x che y si avvicinano a 0. Il grafico di questa funzione (una superficie) è questo (preso da wikipedia):

Ecco, qui si vede bene che il risultato può cambiare, dipende solo da come ci si avvicina a 0 alla 0: sono possibili tutti i valori da 0 a infinito. Se base e esponente si avvicinano allo stesso modo (come in x^x), allora effettivamente il risultato si avvicina a 1.

[La parola infinitesimalità non esiste, nemmeno in matematica]

[No, non ne manca una, 0^∞ non è una forma indeterminata. Se l'esponente è un infinito positivo, risulta 0, se invece è un infinito negativo, risulta infinito, non ci sono altre possibilità]

Una approssimazione di π senza parole

(Via)

Erone in corsa

Uno dei quesiti assegnati quest'anno all'esame di stato agli studenti del liceo scientifico riguardava il problema di Erone, che ora enuncio dandogli un'ambientazione sportiva (ehm).

Si tratta di un problema di corsa, per cui il nostro protagonista sarà, ovviamente, il piè veloce Achille. Egli dovrà percorrere, nel minor tempo possibile, la distanza tra un punto A e un punto B, e dovrà anche toccare con una mano un qualunque punto del muro rettilineo che corre a fianco della zona in cui si svolgerà la prova.

Il problema è il seguente: dove dovrà essere posizionato il punto C in modo tale che Achille perda il minor tempo possibile?

Se C si trova troppo vicino ad A, ad esempio, spostandolo un po' verso B otteniamo due risultati: la lunghezza di CB diminuisce, e quella di AC aumenta. Il fatto è che la diminuzione e l'aumento non si compensano: AC varia meno rispetto a CB, dato che CB forma un angolo piccolo col muro, mentre AC ne forma uno più grande. Ecco un disegno:

La differenza tra AC e AD (ciò che perdiamo) è minore rispetto alla differenza tra CB e DB (ciò che guadagniamo), quindi D risulta una posizione migliore rispetto a C: se Achille tocca il muro in D, invece che in C, guadagna un po' di strada.

Se invece C si trova troppo vicino a B, il problema si ribalta (ma rimane un problema):

Quello che succede in questo caso è che la differenza tra AC e AD è maggiore di quella tra BD e BC. Anche in questo caso ad Achille conviene toccare il punto D invece del punto C.

Dunque, nel primo caso conviene spostare D verso l'alto, nel secondo caso invece conviene spostarlo verso il basso. Esisterà dunque un punto giusto in cui tutto è in equilibrio e non conviene più spostarsi.

Come facciamo a trovarlo?

Facciamolo alla Newton, o alla Leibniz — insomma, senza gli strumenti standard dell'analisi.

Il punto C ideale sarà un punto tale per cui, se mi sposto di una quantità infinitesima verso l'alto o verso il basso, non trovo convenienza. Questo succede quando ciò che perdo nella variazione di una delle due lunghezze è uguale a ciò che guadagno nella variazione dell'altra: quando, insomma, c'è equilibrio.

Ora, per visualizzare uno spostamento infinitesimo, abbiamo bisogno di una lente di ingrandimento molto potente. Supponiamo quindi di disporre di un microscopio capace di infiniti ingrandimenti, e andiamo a vedere come stanno le cose intorno a questo misterioso punto di equilibrio.

Ecco, cosa vediamo in questa figura? Ci sono due punti C₁ e C₂ che, non dimentichiamo, sono infinitamente vicini. Riusciamo a risolverli perché stiamo utilizzando un microscopio capace di ingrandire all'infinito. I due segmenti che congiungono questi punti con A ci appaiono infinitamente lunghi (e perciò sono delle semirette), e ci appaiono anche paralleli, dato che il punto A si trova a distanza infinita. Stessa cosa per le due semirette blu che sono parallele e convergenti in B (convergenze parallele, roba da matti).

Se la posizione di C è quella giusta (come, quale delle due? Vanno bene tutte e due, sono a distanza infinitesima…), allora il passare da C₁ a C₂ farà aumentare un po' la lunghezza del segmento rosso, e farà diminuire della stessa lunghezza il segmento blu. Vediamo di mettere in evidenza queste due differenze.

Ecco, la differenza tra AC₂ e AC₁ è uguale alla lunghezza del segmento HC₂, mentre la differenza tra BC₁ e BC₂ è pari alla lunghezza del segmento KC₁. E noi abbiamo detto che questi due segmenti devono avere la stessa lunghezza. Ma allora siamo di fronte a due triangoli rettangoli aventi la stessa ipotenusa C₁C₂ e aventi anche due cateti di uguale misura: si tratta quindi di due triangoli rettangoli congruenti, e saranno congruenti anche i loro angoli acuti. In particolare, l'angolo che la semiretta rossa forma con il muro dovrà essere uguale all'angolo che la semiretta blu forma con il muro.

Il punto ideale, quello che farà perdere ad Achille la minor quantità di tempo possibile, sarà quel punto C del muro tale per cui AC e CB formano due angoli congruenti con il muro stesso.

Ed ecco fatto.


«Eppure, signor Achille, tutta questa fatica…».

«Ah, signorina Tartaruga, buonasera! Perché mi dice così?».

«Bé, perché ha fatto un sacco di calcoli, di figure, e poi ha usato dei concetti un po' strani».

«Dice?».

«Mah, parla di distanze infinitesime, di microscopi infiniti? Ma cosa sono questi infinitesimi? Mi paiono fantasmi di quantità defunte».

«Eh, ma allora come…».

«Ma proprio lei, un atleta, mi chiede come?».

«Mi scusi, ma cosa c'entra adesso il fatto che io sia un atleta?».

«So che voi atleti, nelle palestre, avete sempre degli specchi in cui ammirarvi, no?».

«In effetti».

«E, del resto, lei ha appena dimostrato, per così dire, che per correre il più veloce possibile dovrebbe arrivare verso il muro formando un angolo identico a quello che dovrà poi formare quando si dirigerà verso l'arrivo».

«Esattamente».

«Detto in altri termini, l'angolo di incidenza deve essere uguale all'angolo di riflessione».

«Ah, ma lei mi sta parlando del modo in cui gli specchi riflettono la luce».

«Proprio così. Se lei mettesse uno specchio sul muro, prima di partire per la corsa, avrebbe a disposizione un modo semplicissimo per trovare il suo famoso punto C».

«E quale sarebbe, questo modo?».

«Bé, le basterebbe dirigersi verso l'immagine riflessa del traguardo».

«Signorina Tartaruga, devo ammettere che lei è sempre un passo avanti rispetto a me».

«Signor Achille, lei ha la memoria corta: questo lo avevamo già stabilito ai tempi della nostra famosa corsa».

Ho visto cose

Queste vengono dalle prove INVALSI di quest'anno. Seconda superiore.

 

Brave maestre1

Sono stato assieme ai miei figli soltanto durante quattro delle varie scosse grosse di terremoto che sono capitate da queste parti.

La prima è capitata nel cuore della notte, e vabbé, io mi sono fiondato nella loro camera mentre stavano svegliandosi, ma durante le altre ho notato una assoluta lucidità nel loro comportamento. Mentre io sono ancora lì a chiedermi eh, ma questa è un'altra scossa o è solo un'impressione? Aspetta che cerco un lampadario. Ma sarà di quelle forti? O passa subito? Vediamo di capire che succede, loro sono già sotto al tavolo più vicino. Senza domande, senza storie, senza urla, via, la prima cosa da fare è ripararsi, al resto ci pensiamo dopo. E questo è merito delle maestre.

Ieri, dato che a Modena sono state dichiarate concluse le attività didattiche, le maestre della classe del mio figlio piccolo hanno invitato alunni e genitori al parco per un saluto. E lì mi hanno spiegato che loro fanno spesso esercitazioni, anche a sorpresa, in maniera seria. E se, fra qualche anno, anche alle superiori avremo ragazzi che imparano a mettere la testa sotto al banco senza storie, senza vergogna, senza ma prof come faccio che non ci sto?, senza quell'aria di superiorità che si trasforma in folle terrore e irrazionalità quando capita una scossa vera, bé, sapremo chi ringraziare.



¹Anche bravi maestri, via (ma secondo me le maestre sono più brave, son più precise).

Il problema dei corsi universitari di matematica

Il problema dei corsi universitari di matematica — che consistono quasi per intero di un processo ritmico di ingestione/rigurgito di informazioni astratte e sono strutturati in modo da massimizzare questo flusso di dati reciproco — è che la loro estrema difficoltà superficiale può indurci a pensare di sapere veramente qualcosa quando tutto ciò che davvero "sappiamo" sono formule astratte e regole per il loro utilizzo. Di rado i corsi di matematica ci dicono se una data formula è davvero significativa, o perché, o da dove è arrivata, o cosa c'era in gioco.

David Foster Wallace, Tutto, e di più. Storia compatta dell'∞.

Di proporzionalità, logaritmi e argomenti affini

Succede che, a un certo punto, l'insegnante di matematica delle medie ti spiega la proporzionalità, e da quel momento in poi il tuo modo di pensare cambia. Se devi fare qualche calcolo, qualche stima, qualche analogia, appena puoi ci piazzi in mezzo una proporzione. E non ti rendi conto che non tutto il mondo funziona così.

Prendiamo per esempio un argomento molto attuale, almeno da queste parti: la scala Richter (prima di cominciare: i numerini che leggiamo con tanta apprensione in questi giorni e che misurano l'intensità dei terremoti non sono valori della scala Richter. Quella scala non esiste praticamente più, è stata modificata in modo da essere più precisa e ora si chiama scala di magnitudo del momento sismico, ma ai fini del discorso sulle proporzioni questo fatto non è importante).

La scala Richter funziona così: si prende un particolare strumento sensibile ai terremoti, con una lancetta mobile, ci si mette a 100 km dall'epicentro, e si guarda se la lancetta si sposta. Se si sposta di un micrometro (quindi di pochissimo), diciamo che abbiamo misurato una magnitudo di valore 0. In questo caso, i nostri piedi non sentono assolutamente nulla, il terreno ci pare bello stabile e solido. In realtà, nemmeno lo strumento legge nulla, non è possibile apprezzare un movimento di una lancetta pari a un milionesimo di metro. Questa definizione serve solo per fissare lo zero della scala.

Cosa succede coi terremoti veri? Che la lancetta si sposta anche di molti centimetri, fino a che non si arriva a fine scala. Già, perché i terremoti più grossi avrebbero la potenza sufficiente a spostare la lancetta di chilometri (!).

Molti centimetri significa moltissimi micrometri (per esempio, dieci centimetri sono centomila micrometri), e allora nasce il problema di rappresentare i dati in maniera chiara.

Ad esempio, prendiamo un po' di dati dal sito INGV (faccio finta che le magnitudini indicate siano nella scala Richter, per semplicità). Prima di mostrarli, li trasformo in spostamenti della lancetta di un sismografo (l'unità di misura è il millimetro):

1.7
9.6
1.7
1.0
4.1
9.6
2.7
1.7
2.7
4.1
2.7
6.3
9.5
6.3
4.1
1.0
112.6

E ora li metto su un grafico:

Per fortuna le scosse di oggi non sono state tanto grandi. Ora faccio una piccola modifica al grafico: assieme a questi dati aggiungo la scossa più forte di questi giorni, quella del 20 maggio.

Ecco, non è che le barre precedenti siano sparite; se guardate la scala sull'asse verticale si capisce dove sono andate a finire: tutte indistinguibili dallo zero, anche se non sono uguali a zero. In proporzione, sembra che la loro altezza sia quasi nulla. L'oscillazione della scossa più grande sarebbe di una cinquantina di metri (naturalmente in via teorica, in pratica non esistono strumenti così grandi).

Ora la domanda è: perché? E la risposta è che la natura è fatta così. La terra è grande.

Passiamo adesso, temporaneamente, ad un altro argomento: le bombe. Su wikipedia si trovano delle tabelle che mettono in corrispondenza l'energia sprigionata dai terremoti con quella prodotta dalle bombe.

Immaginiamo ad esempio una bomba a mano: questa fa un certo fracasso (anche se io non ne ho mai sentita scoppiare una) e produce un certo danno. Contiene circa 30 grammi di esplosivo (wikipedia usa il TNT, non so se nella realtà si usi questo materiale oppure qualcos'altro) e fa vibrare il terreno in un certo modo.

Ora, il genio umano ha costruito ordigni ben più letali. Un candelotto di dinamite contiene tanto esplosivo quanto 36 bombe a mano; una delle più potenti bombe non nucleari contiene 11 tonnellate di esplosivo, quanto diecimila candelotti di dinamite.

La prima bomba atomica utilizzata in guerra, Little Boy, pare che abbia sviluppato una potenza di 16 kilotoni, corrispondente quindi a una bomba ordinaria di 16000 tonnellate. Insomma, poco meno di 16 milioni di candelotti di dinamite. La più grande bomba all'idrogeno mai testata, la bomba Zar (ehm), è in grado di sviluppare un'energia corrispondente a 50 megatoni. Circa 3125 volte Hiroshima. Circa un terremoto di magnitudo 8.35.

Come possiamo rappresentare questi dati in modo da riuscire a vederli? Se vogliamo utilizzare la proporzionalità (una barra verticale rappresenta una bomba, una barra alta il doppio rappresenta una bomba  di potenza doppia), non ce la facciamo: vedremmo solo la barra della bomba più potente, e ciao a tutto il resto. Stessa cosa per i terremoti.

È per questo che si usano i logaritmi: per riuscire a vedere in maniera chiara tutta questa gamma di valori. Il logaritmo funziona in questo modo: considera il numero che vogliamo rappresentare, lo trasforma in una potenza di 10, e prende solo l'esponente. Quindi 10 diventa 1, 100 diventa 2, un miliardo diventa 9: riusciamo a vedere bene nel piccolo quanto nel grande. Il prezzo da pagare è che la proporzionalità non funziona più. La magnitudo Richter, infatti, corrisponde al logaritmo della misura in micrometri dello spostamento dell'ago dello strumento. Si sposta di un micrometro? Bene, siccome 1 è come dire 10 elevato alla 0, ecco che 1 micrometro corrisponde a 0 Richter. Si sposta di un centimetro? Allora, un centimetro corrisponde a 10000 micrometri, cioè a 10 elevato alla 4, e dunque la magnitudo è 4.

Si può andare anche all'indietro: a quanto corrisponde una magnitudo 3? Corrisponde a 10 elevato alla 3 micrometri, cioè 1000 micrometri, cioè 1 millimetro. Ecco, qua si vede come la proporzionalità non funzioni per nulla: se magnitudo 3 corrisponde a 1 millimetro, allora magnitudo 6 dovrebbe corrispondere a 2 millimetri. Invece no: magnitudo 6 è pari a 10⁶ micrometri, cioè 1000 millimetri, cioè 1 metro, e tanti saluti al fondo scala.

Proporzionalità significa che il rapporto tra due grandezze è costante. Detto in altri termini, se una grandezza varia in progressione aritmetica, anche l'altra varia in progressione aritmetica. Una cosa del genere:

In questo esempio sull'asse orizzontale ci si sposta di passo 1, su quello verticale di passo 2. Se prendiamo un valore qualsiasi sull'asse orizzontale e lo raddoppiamo, triplichiamo, eccetera, anche sull'asse verticale il valore corrispondente raddoppia, triplica, eccetera.

I logaritmi, invece, godono di un'altra proprietà: trasformano progressioni geometriche in progressioni aritmetiche. Ecco un grafico:

Non fate caso alle scale, non ho usato il logaritmo in base 10 perché altrimenti la figura sarebbe risultata ancora più schiacciata. La cosa importante da notare è che a uno spostamento sempre più grande (in progressione geometrica) sull'asse orizzontale corrisponde uno spostamento di entità costante (in progressione aritmetica) sull'asse verticale.

Il discorso vale anche al contrario: a spostamenti costanti in verticale corrispondono spostamenti sempre più grandi in orizzontale. Ecco perché nei giorni scorsi abbiamo letto paragoni che non stavano molto in piedi tra il sisma dell'Emilia e quello dell'Aquila. Qui in Emilia la magnitudo momento (una delle nuove scale utilizzate al posto della Richter) ha raggiunto il valore di 5.9, all'Aquila invece 6.3.

La formula per il calcolo di questo valore di magnitudo contiene il logaritmo in base 10 moltiplicato per 2/3. Se, dunque, la differenza tra le magnitudo dei due sismi è uguale a 0.4, questo significa che la differenza tra i logaritmi dei due valori misurati (che non corrispondono più ai valori di spostamento di un ago, ma che comunque sono legati all'energia sprigionata) è uguale ai 3/2 di 0.4, cioè 0.6. E questo, infine, significa che il rapporto tra le energie in gioco nei due sismi è pari a 10 elevato a 0.6, cioè circa 4 volte tanto. Da noi c'è stata una bomba, da loro ce ne sono state quattro.

Retrovie

Modena non è stata particolarmente colpita dai terremoti di questi giorni (qui è consentito anche ai più scettici mettere in atto qualunque tipo di gesto o attività apotropaica): abbiamo sentito le scosse, qualche edificio ha messo su un po' di crepe, nel centro storico è caduta una palla di marmo dal tetto di una chiesa che ha travolto le linee del filobus e ha lasciato un buco sul marciapiede, ma, alla fine, niente di irreparabile.

Non è andata così bene più a nord, nella cosiddetta bassa. Avete letto gli articoli, avete sentito i telegiornali, avete visto le foto: un disastro. La seconda scossa, quella di ieri, è stata brutta.

Io ero in classe, era appena suonata la campana, stavo per uscire, tutti erano in piedi, qualcuno voleva sapere come fare per rimediare ai suoi voti, qualcuno voleva uscire, qualcuno stava chiacchierando, tutti abbiamo sentito il pavimento saltellare. Ho in mente un fermo-immagine, tutti che mi guardano a bocca aperta, mentre cerchiamo di renderci conto di quello che succede, poi qualcuno si muove, sposta una sedia, ma non vuole essere il primo a mettere la testa sotto al banco perché a sedici anni se metti la testa sotto il banco fai brutta figura. E allora io urlo "tutti sotto i banchi!" e mentre mi fiondo sotto la cattedra vedo che tutti quanti si stanno mettendo al riparo, per quanto un banco possa essere considerato un riparo.

E là sotto, con una mano appoggiata sul pavimento, sento muovere tutto e sento i due studenti che stanno nei due banchi davanti alla cattedra che dicono "ma non finisce più!", e io dico "zitti!", "state zitti!", e non so bene perché lo dico, cosa c'è poi da ascoltare, e poi anche loro cominciano a dire "sshht, zitti!", forse vogliamo capire se la scuola starà in piedi, o forse vogliamo poter sentire se qualcuno chiama perché ha davvero bisogno, chissà.

Poi il tempo, che in quei momenti è dotato di vita propria e fa un po' quel che gli pare, finalmente passa e le scosse si fermano. Ci alziamo, si sentono le tre campane, e io dico "andate giù", e poi urlo "PIANO, NON CORRETE!", che mi ricordo ancora di quel terremoto di sedici anni fa, quando non esisteva un piano di evacuazione per la scuola, quando non si mettevano le teste sotto ai banchi, quando si correva fuori alla disperata, e c'era quella ragazza che era rimasta un po' indietro rispetto ai compagni, si era messa a correre nell'atrio vuoto, ed è caduta a terra. Non si è fatta nulla, ma il panico è una brutta bestia.

Io ho raccolto le mie cose e sono uscito, ho cercato gli studenti e ho fatto l'appello per vedere se c'erano tutti. Il punto di ritrovo era nel parco dell'istituto di riposo che si trova di fronte alla nostra scuola: lontano dagli edifici, sull'erba, all'ombra degli alberi, aveva un'atmosfera surreale. E la sensazione di essere in uno strano mondo mi ha accompagnato per tutto il giorno, e poi anche per la notte e il giorno dopo, cioè oggi. I telefoni non andavano, qualcuno è riuscito a fare qualche telefonata utilizzando una cabina telefonica (ne esistono ancora, sì), le auto non giravano. Quando mi ha telefonato mia moglie, da Carpi, sentivo un elicottero, delle sirene, lei che mi diceva che ci sarebbe voluto un po' per tornare a casa, visto che le strade erano intasate.

Una volta consegnati gli studenti ai loro parenti ho preso la bicicletta e me ne sono andato a casa. Ho attraversato due parchi, pieni zeppi di gente. Bambini che giocavano, biciclette, persone sedute sull'erba, carrozzine, passeggini, ragazzi più grandi che chiacchieravano. Era bellissimo, non avevo mai visto così tanta gente al parco, sembrava una giornata di festa. E mi ripetevo che non era vero, che c'era gente che aveva paura, che erano arrivate notizie di morti e di crolli, eppure non potevo fare a meno di pensare che sarebbe stato bello se tutte le giornate fossero state così, con la gente al parco che si chiede "come va?", che si dà una mano, che si aiuta.

I miei genitori si erano preoccupati di prelevare i nipoti da scuola, e li avevano raccolti tutti in cortile. Li ho visti giocare, li ho salutati, ho tirato fuori il telefono e mi sono attaccato a internet, per capire un po' cosa stesse succedendo.

Leggendo, trovavo notizie spaventose, e durante tutta la giornata ho cercato di informarmi, ho mandato email ad amici che abitano a Carpi e dintorni, ho guardato carte geografiche piene di puntini e stelline, ho letto la lista delle ultime scosse, e mi rendevo conto che a pochi chilometri di distanza c'era il disastro.

Nel pomeriggio vado a casa, arriva mia moglie, ce ne stiamo seduti su un paio di panchine, parliamo con altre persone che abitano nel nostro condominio. Che si fa stanotte? Qualcuno dormirà in macchina, qualcuno in casa sul divano, qualcuno non lo sa ancora. Mi telefona un amico e mi dice che se ne va con tutta la famiglia in montagna, tanto le scuole sono chiuse; lui poi tornerà a Modena il giorno dopo, vediamo come va la notte.

Già, la notte. Io ho lo sportello di un armadio che è un sismografo sensibilissimo, e quando sento quel rumore le pulsazioni mi vanno a mille (e mi succede da quando, sedici anni fa, ho scoperto mio malgrado questa caratteristica). Mia moglie mi propone di montare una tenda nel prato dietro casa, i figli sono ben felici, e allora via che si monta la tenda.

Prima di andare a dormire raccolgo un po' i pensieri, mi rivedo la studentessa quasi in lacrime che aveva paura di tornare in casa, lo studente sperduto che sarebbe dovuto tornare a casa con la corriera, ma le strade erano bloccate, i figli e i nipoti che in un lampo si infilano sotto la tavola mentre io sono ancora lì che mi chiedo "ma sarà un'altra scossa, o è solo un'impressione?" (era un'altra scossa), le ambulanze, gli elicotteri, la collega che abita nella zona dell'epicentro e non ha notizie, e mi sento un po' in colpa. Perché io posso dormire in tenda sotto casa, mentre qualcuno deve dormire in tenda perché la casa non ce l'ha più.

E allora, tra la paura che non passa, e il pensiero di essere ancora uno dei fortunati, mi pare di essere come il soldato che sta nelle retrovie. Un po' sollevato perché non è coinvolto direttamente, ma terrorizzato perché a trenta chilometri più a nord c'è la guerra.

Una cosa divertente che non farò mai più

Mi sono trovato in casa questo libro:



Una cosa divertente che non farò mai più, Minimum Fax, 12.50€

e me lo sono preso dietro per avere qualcosa da leggere durante una trasferta a Milano per i giochi matematici organizzati dalla Bocconi (dove ho finalmente incontrato .mau., ma questa è un'altra storia).

Non avevo mai letto niente di David Foster Wallace, ed è stata una piacevolissima scoperta. Anobii raccoglie, al momento, 420 recensioni su questo libro, e quindi non starò a tirarla tanto per le lunghe: si tratta della cronaca di una settimana di crociera extra-lusso commissionata all'autore dalla rivista Harper's — inizialmente doveva trattarsi di un semplice articolo, che poi si è trasformato in un volume di 149 pagine.

Il racconto è umoristico, scritto con uno stile meraviglioso, denso di satira e critica nei riguardi dello stile di vita delle crociere da ricconi. Da leggere (ma lo avrete già letto tutti).

Pagherei per sapere scrivere così.

Ho visto cose

Quest'anno ho vinto il pacchetto completo per i giochi matematici: ho accompagnato uno studente alle finali delle Olimpiadi della Matematica a Cesenatico, una squadra alle semifinali, sempre a Cesenatico, e uno studente (quello di cui sopra) per le finali Kangourou a Cervia-Mirabilandia.

Ho potuto quindi osservare da vicino e per molto tempo il mondo dei giochi matematici. E sono giunto a una conclusione: il mondo dei giochi matematici contiene la quintessenza della nerditudine.

Ho visto un ragazzo risolvere un cubo di Rubik dietro la schiena. Ne ho visto un altro far girare alcune palline in aria, alla maniera dei giocolieri, mentre attendeva l'inizio della gara.

Ne ho visto uno scendere le scale con un monociclo (era uno dei miei, tra l'altro, uno che come sport pratica il basket su monociclo, per dire).

Ho visto l'impegno e la serietà di una ragazza che, per conciliare tutte le sue attività, è venuta nel pomeriggio a Cesenatico, ha svolto la gara, e a mezzanotte se ne è tornata a casa (ciao, M.).

Ho visto studenti scrivere formule sui tovaglioli del ristorante (anche insegnanti (ero io, sì)), sfogliare libri contenenti quesiti matematici, chiedere di fare più allenamenti il prossimo anno scolastico, e persino promettere di parteciparvi.

Ho visto un insegnante manifestare il suo disappunto perché la partenza al venerdì mattina gli ha impedito di guardare l'episodio appena uscito di The Big Bang Theory (ero ancora io, ehm). E ho visto gli studenti dargli ragione.

Ho visto un gruppo di giovani universitari, che facevano parte dell'organizzazione, vestirsi come i personaggi di Dragonball per presentare ai concorrenti l'ambientazione delle gare di quest'anno (c'era pure Majin-Bu, col tentacolo sulla testa).

Ho visto ragazzi e ragazze fare matematica in maniera seria: ne ho visti cinque guadagnare il massimo punteggio perché avevano risolto perfettamente sei quesiti. Quesiti che io riuscirei a risolvere perfettamente in sei settimane (forse). Ho visto l'imbarazzo dell'organizzazione che, probabilmente, avrebbe voluto avere un solo vincitore, e invece ne ha avuti cinque e non è stata in grado di distinguerli. Bé, oltre all'imbarazzo c'era anche una certa felicità, bisogna dirlo.

Ho visto la delusione nei volti degli studenti che, tutti appiccicati alle vetrate sulle quali stavano appendendo le soluzioni, si dicevano uno con l'altro: "ma era così facile?".

Ma è stato quando ho visto alcuni ragazzi che si rilassavano in spiaggia, indecisi tra il parlare ancora di curve algebriche e il rivolgere l'attenzione a curve più naturali, che mi sono reso conto dell'esistenza di una costante universale, dalla quale non sfuggono nemmeno le menti più nerd di questo mondo.

Il teorema cinese del resto spiegato ai bambini

Mamma Orsa, Babbo Orso e Piccolo Orso se ne stavano tornando verso casa dopo una piacevole passeggiata nel bosco.

Passando vicino a un cespuglio di more, Piccolo Orso si accorse di una serie di impronte: erano di uno strano animale, ma visto prima di allora.

«Vado io per prima!», esclamò Mamma Orsa, posizionandosi sulla quinta impronta un po' preoccupata.

«Tu stai nel mezzo, Piccolo Orso», disse Babbo Orso a Piccolo Orso che, obbediente, si mise sulla terza impronta.

«Io starò in fondo alla fila», concluse Babbo Orso, sistemandosi sulla prima impronta.

Mamma Orsa si incamminò lungo il sentiero; ogni suo passo era lungo tanto quanto la distanza tra 7 delle piccole orme presenti sul terreno.

I passi di Piccolo Orso erano invece più corti: ognuno di essi copriva la distanza di 5 piccole orme.

Babbo Orso era quello che faceva i passi più lunghi: addirittura 9 orme.

«Ehi, mamma!», chiamò Piccolo Orso, «se vai così in fretta non riesco a starti dietro».

«Non ti preoccupare, Piccolo Orso», rispose Mamma Orsa, «ti aspetto».

«Ma io vorrei venire vicino a te!», disse Piccolo Orso.

«E perché non ci riesci? Non sto andando veloce», domandò Mamma Orsa.

«Eh, perché i miei passi non sono mai pari ai tuoi. Arriveremo mai sulla stessa impronta di questo strano animale?», domandò curioso Piccolo Orso. «Vorrei che anche il Babbo fosse vicino a noi».

«Sono qui dietro, Piccolo Orso», lo rassicurò Babbo Orso, «non ti preoccupare. Vuoi fare un gioco?».

«Uh, sì, sì!», rispose contento Piccolo Orso. «Come si gioca?».

«Giochiamo a indovinare quando riusciremo ad essere tutti vicino alla Mamma», la buttò lì Babbo Orso, cercando di camuffare un problema matematico in un gioco per bambini.

«Babbo, non mi freghi! Questo non è un gioco, è un problema!», rispose Piccolo Orso che, anche se era ancora piccolo, non era uno sprovveduto.

«Ma sì, è uno dei soliti problemi di tuo padre», intervenne Mamma Orsa, «per lui sono giochi, non capisce bene la differenza tra le due cose. Lascialo fare, magari è divertente».

«Va bene», disse rassegnato Piccolo Orso. «Siamo sicuri che io posso arrivare di fianco alla Mamma? Perché mentre io faccio un passo da 5 impronte, lei ne fa uno da 7, rimango sempre indietro di 2 impronte!».

«Hai ragione, Piccolo Orso», gli rispose Babbo Orso, «ma ricordati che puoi anche fare una corsetta: se invece di un solo passo ne fai due, non rimani più indietro di 2 impronte, ma sei in vantaggio di 3!».

«Hai ragione, Babbo!», commentò felice Piccolo Orso.

«Allora», continuò Babbo Orso, «ricordati che quando sei partito eri, rispetto alla Mamma, indietro di 2 impronte. Col primo passo la vostra distanza è aumentata a 4 impronte, poi a 6. Ecco fatto!».

«Cosa?», domandò Piccolo Orso.

«Se la distanza è di 6 impronte, puoi raggiungere la Mamma facendo per due volte una corsa: se per ognuno dei due successivi passi della Mamma tu ne fai due, guadagni ogni volta 3 impronte, e quindi riesci a raggiungerla», spiegò Babbo Orso. «Riesci a dirmi a che punto vi incontrerete?».

«Credo di sì», rispose Piccolo Orso, pensieroso. «Devo fare in tutto sei passi, per un totale di 30 impronte. Ero partito dalla numero 3, quindi la incontrerò alla numero 33, giusto?».

«Giusto! Sei stato molto bravo, Piccolo Orso! La Mamma ha fatto invece in tutto quattro passi, per un totale 28 impronte. Era partita dalla numero 5, quindi anche lei arriva alla numero 33», rispose Babbo Orso.

«E tu riuscirai a raggiungerci, Babbo?», domandò Piccolo Orso.

«Certo», rispose Babbo Orso. «Vedi, dall'impronta 33 in poi tu e la Mamma è come se vi muoveste insieme con un grande passo lungo 35 impronte».

«Davvero?», domandò ancora Piccolo Orso.

«Eh, sì. La Mamma fa passi lunghi 7 impronte, tu fai dei passi lunghi 5, allora sette passi dei tuoi corrispondono a cinque dei suoi e a un totale di 35 impronte», spiegò Babbo Orso. «Allora, io invece faccio passi lunghi 9 impronte, e quindi ogni quattro passi percorro una distanza di 36 impronte».

«Una più di noi!», esclamò Piccolo Orso.

«Proprio così. Quindi, pian piano, riesco a raggiungervi», concluse Babbo Orso. «Sono partito dalla impronta numero 1, poi sono arrivato alla 10, poi alla 19 e alla 28. Se voi siete alla numero 33, quanti passi dovrò ancora fare per recuperare la mia distanza?».

«Cinque per quattro!», rispose Piccolo Orso. «Cioè venti, e arriverai di fianco a noi!».

«Bravissimo, Piccolo Orso!», esclamò contento Babbo Orso, «dopo venti passi avrò percorso 180 impronte. Dato che ero partito dalla numero 28, arriverò alla 208».

«E io e la Mamma avremo fatto cinque passi giganti da 35 impronte», concluse Piccolo Orso, «e saremo arrivati alla casella 175+33, cioè alla 208. E saremo finalmente tutti insieme!».

«Bravo, Piccolo Orso. Cammina adesso, altrimenti la Mamma non la raggiungiamo più».

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Mamma Orsa, Babbo Orso e Piccolo Orso hanno applicato quello che i Veri Matematici chiamano teorema cinese del resto.

Hanno cioè risolto il sistema composto dalle seguenti tre equazioni:

x = 3 mod 5,
x = 5 mod 7,
x = 1 mod 9.

Wikipedia riporta la formula risolutiva universale, ma il metodo utilizzato dalla famiglia Orsi è più carino e comprensibile.

Il tutto proviene da una discussione su Quora, figure comprese.