sabato 2 giugno 2012

Di proporzionalità, logaritmi e argomenti affini

Succede che, a un certo punto, l'insegnante di matematica delle medie ti spiega la proporzionalità, e da quel momento in poi il tuo modo di pensare cambia. Se devi fare qualche calcolo, qualche stima, qualche analogia, appena puoi ci piazzi in mezzo una proporzione. E non ti rendi conto che non tutto il mondo funziona così.

Prendiamo per esempio un argomento molto attuale, almeno da queste parti: la scala Richter (prima di cominciare: i numerini che leggiamo con tanta apprensione in questi giorni e che misurano l'intensità dei terremoti non sono valori della scala Richter. Quella scala non esiste praticamente più, è stata modificata in modo da essere più precisa e ora si chiama scala di magnitudo del momento sismico, ma ai fini del discorso sulle proporzioni questo fatto non è importante).

La scala Richter funziona così: si prende un particolare strumento sensibile ai terremoti, con una lancetta mobile, ci si mette a 100 km dall'epicentro, e si guarda se la lancetta si sposta. Se si sposta di un micrometro (quindi di pochissimo), diciamo che abbiamo misurato una magnitudo di valore 0. In questo caso, i nostri piedi non sentono assolutamente nulla, il terreno ci pare bello stabile e solido. In realtà, nemmeno lo strumento legge nulla, non è possibile apprezzare un movimento di una lancetta pari a un milionesimo di metro. Questa definizione serve solo per fissare lo zero della scala.

Cosa succede coi terremoti veri? Che la lancetta si sposta anche di molti centimetri, fino a che non si arriva a fine scala. Già, perché i terremoti più grossi avrebbero la potenza sufficiente a spostare la lancetta di chilometri (!).

Molti centimetri significa moltissimi micrometri (per esempio, dieci centimetri sono centomila micrometri), e allora nasce il problema di rappresentare i dati in maniera chiara.

Ad esempio, prendiamo un po' di dati dal sito INGV (faccio finta che le magnitudini indicate siano nella scala Richter, per semplicità). Prima di mostrarli, li trasformo in spostamenti della lancetta di un sismografo (l'unità di misura è il millimetro):

1.7
9.6
1.7
1.0
4.1
9.6
2.7
1.7
2.7
4.1
2.7
6.3
9.5
6.3
4.1
1.0
112.6

E ora li metto su un grafico:


Per fortuna le scosse di oggi non sono state tanto grandi. Ora faccio una piccola modifica al grafico: assieme a questi dati aggiungo la scossa più forte di questi giorni, quella del 20 maggio.


Ecco, non è che le barre precedenti siano sparite; se guardate la scala sull'asse verticale si capisce dove sono andate a finire: tutte indistinguibili dallo zero, anche se non sono uguali a zero. In proporzione, sembra che la loro altezza sia quasi nulla. L'oscillazione della scossa più grande sarebbe di una cinquantina di metri (naturalmente in via teorica, in pratica non esistono strumenti così grandi).

Ora la domanda è: perché? E la risposta è che la natura è fatta così. La terra è grande.

Passiamo adesso, temporaneamente, ad un altro argomento: le bombe. Su wikipedia si trovano delle tabelle che mettono in corrispondenza l'energia sprigionata dai terremoti con quella prodotta dalle bombe.

Immaginiamo ad esempio una bomba a mano: questa fa un certo fracasso (anche se io non ne ho mai sentita scoppiare una) e produce un certo danno. Contiene circa 30 grammi di esplosivo (wikipedia usa il TNT, non so se nella realtà si usi questo materiale oppure qualcos'altro) e fa vibrare il terreno in un certo modo.

Ora, il genio umano ha costruito ordigni ben più letali. Un candelotto di dinamite contiene tanto esplosivo quanto 36 bombe a mano; una delle più potenti bombe non nucleari contiene 11 tonnellate di esplosivo, quanto diecimila candelotti di dinamite.

La prima bomba atomica utilizzata in guerra, Little Boy, pare che abbia sviluppato una potenza di 16 kilotoni, corrispondente quindi a una bomba ordinaria di 16000 tonnellate. Insomma, poco meno di 16 milioni di candelotti di dinamite. La più grande bomba all'idrogeno mai testata, la bomba Zar (ehm), è in grado di sviluppare un'energia corrispondente a 50 megatoni. Circa 3125 volte Hiroshima. Circa un terremoto di magnitudo 8.35.

Come possiamo rappresentare questi dati in modo da riuscire a vederli? Se vogliamo utilizzare la proporzionalità (una barra verticale rappresenta una bomba, una barra alta il doppio rappresenta una bomba  di potenza doppia), non ce la facciamo: vedremmo solo la barra della bomba più potente, e ciao a tutto il resto. Stessa cosa per i terremoti.

È per questo che si usano i logaritmi: per riuscire a vedere in maniera chiara tutta questa gamma di valori. Il logaritmo funziona in questo modo: considera il numero che vogliamo rappresentare, lo trasforma in una potenza di 10, e prende solo l'esponente. Quindi 10 diventa 1, 100 diventa 2, un miliardo diventa 9: riusciamo a vedere bene nel piccolo quanto nel grande. Il prezzo da pagare è che la proporzionalità non funziona più. La magnitudo Richter, infatti, corrisponde al logaritmo della misura in micrometri dello spostamento dell'ago dello strumento. Si sposta di un micrometro? Bene, siccome 1 è come dire 10 elevato alla 0, ecco che 1 micrometro corrisponde a 0 Richter. Si sposta di un centimetro? Allora, un centimetro corrisponde a 10000 micrometri, cioè a 10 elevato alla 4, e dunque la magnitudo è 4.

Si può andare anche all'indietro: a quanto corrisponde una magnitudo 3? Corrisponde a 10 elevato alla 3 micrometri, cioè 1000 micrometri, cioè 1 millimetro. Ecco, qua si vede come la proporzionalità non funzioni per nulla: se magnitudo 3 corrisponde a 1 millimetro, allora magnitudo 6 dovrebbe corrispondere a 2 millimetri. Invece no: magnitudo 6 è pari a 106 micrometri, cioè 1000 millimetri, cioè 1 metro, e tanti saluti al fondo scala.

Proporzionalità significa che il rapporto tra due grandezze è costante. Detto in altri termini, se una grandezza varia in progressione aritmetica, anche l'altra varia in progressione aritmetica. Una cosa del genere:


In questo esempio sull'asse orizzontale ci si sposta di passo 1, su quello verticale di passo 2. Se prendiamo un valore qualsiasi sull'asse orizzontale e lo raddoppiamo, triplichiamo, eccetera, anche sull'asse verticale il valore corrispondente raddoppia, triplica, eccetera.

I logaritmi, invece, godono di un'altra proprietà: trasformano progressioni geometriche in progressioni aritmetiche. Ecco un grafico:


Non fate caso alle scale, non ho usato il logaritmo in base 10 perché altrimenti la figura sarebbe risultata ancora più schiacciata. La cosa importante da notare è che a uno spostamento sempre più grande (in progressione geometrica) sull'asse orizzontale corrisponde uno spostamento di entità costante (in progressione aritmetica) sull'asse verticale.

Il discorso vale anche al contrario: a spostamenti costanti in verticale corrispondono spostamenti sempre più grandi in orizzontale. Ecco perché nei giorni scorsi abbiamo letto paragoni che non stavano molto in piedi tra il sisma dell'Emilia e quello dell'Aquila. Qui in Emilia la magnitudo momento (una delle nuove scale utilizzate al posto della Richter) ha raggiunto il valore di 5.9, all'Aquila invece 6.3.

La formula per il calcolo di questo valore di magnitudo contiene il logaritmo in base 10 moltiplicato per 2/3. Se, dunque, la differenza tra le magnitudo dei due sismi è uguale a 0.4, questo significa che la differenza tra i logaritmi dei due valori misurati (che non corrispondono più ai valori di spostamento di un ago, ma che comunque sono legati all'energia sprigionata) è uguale ai 3/2 di 0.4, cioè 0.6. E questo, infine, significa che il rapporto tra le energie in gioco nei due sismi è pari a 10 elevato a 0.6, cioè circa 4 volte tanto. Da noi c'è stata una bomba, da loro ce ne sono state quattro.

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