È una questione di equilibrio

Qualche giorno fa si è parlato, nel cyberspazio (ehm), di quanto faccia 0⁰. Sono state fatte alcune analisi e sono state date delle risposte: si parte dalla domanda di Juhan, si passa alle risposte di .mau. e di Gianluigi Filipelli, e si arriva alla conclusione, ancora di Juhan.

Ecco, in un commento che ho scritto mentre ero via ho aggiunto un paio di righe alla discussione, e ho detto che, una volta tornato a casa, avrei provato a spiegarmi meglio. Eccomi qua.

Parliamo di forme indeterminate.

Le forme indeterminate sono tante, ma potremmo anche dire che di forme indeterminate ce n'è solo una, e in più aggiungiamo anche che non sono quello che sembrano.

Per esempio, prendiamone una:

0/0

Si tratta di una operazione che non si può fare: non si può dividere per zero, zero diviso zero non esiste, fine della discussione. È da quando abbiamo imparato la divisione alle elementari che sappiamo che non si può dividere per zero, non è che adesso le cose cambiano. Non si può dividere per zero, punto.

Qualcuno dice che l'operazione 0/0 è indeterminata, ma a me questa è una affermazione che piace poco, perché non spiega (e nemmeno fa intuire) il problema delle forme indeterminate, che sono un'altra cosa.

Le forme indeterminate sono un gioco di equilibrio, come in una bilancia a bracci uguali. Abbiamo due oggetti sui due piatti della bilancia, oggetti generalmente diversi, ognuno dei quali tenta di squilibrare la bilancia dalla sua parte. E abbiamo tre possibilità: i due oggetti sono in equilibrio, oppure il primo è più pesante, oppure è il secondo a esserlo.

Prima cosa da fissare: i due oggetti non sono numeri. Se lo fossero, faremmo direttamente il calcolo. Nel caso della forma 0/0, ad esempio, i due oggetti sono il numeratore e il denominatore. Se fossero numeri, fine del discorso: cosa dobbiamo dire di 3/2? Niente, è una frazione, fine. E di 0/3? Ancora niente di speciale, è un'altra frazione, equivalente a 0. E 3/0? Non si può fare. E 0/0? Secondo le regole della divisione, nemmeno questo si può fare.

I due oggetti, allora, non sono numeri. Cosa sono, quindi? Sono funzioni, sono oggetti dinamici che cambiano, si muovono, e cercano di tirare la bilancia dalla loro parte. Nel caso di 0/0, sono funzioni che in un punto diventano uguali a 0 (ma vicino a quel punto non lo sono, o, almeno, non lo è quella che sta al denominatore). Non chiedete cosa vuol dire vicino: la risposta può essere data in almeno due modi diversi, e entrambi richiedono di sviluppare una teoria adeguata. Lasciamo il concetto all'intuizione: se mi avvicino sempre di più a un certo punto, quelle due funzioni si avvicinano sempre di più a zero.

Che cosa succede, in una frazione, quando il numeratore si avvicina sempre di più a zero (e il denominatore sta fermo, invece — poniamolo per comodità uguale a 42)? Succede che tutta la frazione si avvicina sempre di più a zero:

42/42, 3/42, 1/42, 0.1/42, 0.00000000001/42, …

Direi che sia chiaro quello che succede. Potremmo usare questo linguaggio: se il numeratore diventa infinitesimo (e il denominatore rimane finito non infinitesimo), la frazione diventa infinitesima.

E se invece è il denominatore a diventare infinitesimo?

42/42, 42/3, 42/1, 42/0.1, 42/0.00000000001, …

Qua vediamo che la frazione diventa sempre più grande: se il denominatore diventa infinitesimo (e il numeratore rimane finito non infinitesimo), la frazione diventa infinita.

Nel primo caso abbiamo un infinitesimo al numeratore che fa pendere la bilancia a suo favore, nel secondo caso ne abbiamo uno al denominatore che fa la stessa cosa, e in entrambi i casi possiamo dire quello che succederà senza sapere nulla dei particolari infinitesimi in gioco: succede sempre la stessa cosa. Sappiamo chi vince in anticipo.

Siamo invece di fronte a una forma indeterminata quando sia il numeratore che il denominatore sono infinitesimi: in questo caso non possiamo sapere chi vince senza sapere come sono fatti i particolari infinitesimi in gioco. Potrebbe essere più pesante (cioè più veloce a diventare zero, più dotato di infinitesimalità) il numeratore, e in questo caso saremmo di fronte a una frazione che diventa infinitesima. Oppure potrebbe essere più pesante il denominatore, e allora la frazione diventerebbe infinitamente grande (positivamente o negativamente), oppure i due pesi potrebbero essere paragonabili, e in questo terzo caso la frazione si avvicinerebbe a un numero finito diverso da 0.

Esempio del terzo tipo: al numeratore abbiamo la funzione y = sin(x), la funzione seno. Al denominatore abbiamo y = x, la retta passante per l'origine e inclinata di 45 gradi.

Eccole:

Noi dobbiamo concentrarci su quello che succede quando ci si avvicina a zero, cioè all'origine degli assi cartesiani. Quello che osserviamo è che le due funzioni vanno a zero nello stesso modo: se ingrandiamo sempre di più la figura, esse diventano indistinguibili:

Chiaro, no?

Quello che succede è che il rapporto sin(x)/x, quando x diventa infinitesimo, è una frazione che ha al numeratore un infinitesimo, e al denominatore un altro infinitesimo (per gli amici, è una forma indeterminata 0/0): dato che i due infinitesimi pesano allo stesso modo sulla bilancia, il loro rapporto rimane un numero finito (e non infinitesimo). In questo caso, il rapporto si avvicina proprio a 1. Provate con un foglio elettronico se non vi fidate (come? vi viene 0.017? avete impostato x in radianti?).

Ecco, le forme indeterminate funzionano così: c'è una gara tra due funzioni che cercano di portare la bilancia dalla loro parte. Se vince una delle due, la gara avrà come risultato 0. Se vince l'altra, la gara avrà come risultato un infinito. Se sono alla pari, la gara avrà come risultato un numero che non è né 0 né infinito: un numero finito diverso da 0. In questo esempio, 1 (o 0.017, a seconda di come avete impostato la calcolatrice).

Le altre forme indeterminate, che ora vediamo velocemente, hanno alla base la stessa idea. Eccone un'altra:

∞/∞

Possiamo ragionare come prima, ma questa volta la gara è effettuata tra infiniti: quando vince il numeratore, la frazione diventa infinita, quando vince il denominatore, diventa infinitesima. Quando sono alla pari, la frazione diventa un numero finito diverso da zero. Vince l'infinito più grosso.

Ma potremmo anche non preoccuparci di questa nuova forma indeterminata, e osservare semplicemente che la frazione a/b è uguale a (1/b)/(1/a). Se a e b sono infiniti, (1/b) e (1/a) sono infinitesimi, e ricadiamo nel caso della forma 0/0.

Andiamo avanti:

+∞-∞

Questa volta la bilancia non è data dall'operazione di divisione, ma dalla sottrazione tra due quantità che vogliono diventare sempre più grandi. Se vince la prima, il risultato è un infinito positivo. Se vince la seconda, un infinito negativo. Se sono in equilibrio, un numero finito (positivo, negativo o anche zero).

(Anche questa forma si può trasformare in quella iniziale, ma l'espressione fa un po' schifo. Se la volete, eccola: a-b = ln(e^-b/e^-a); nell'argomento del logaritmo c'è 0/0. L'avevo detto)

Ancora:

0·∞

Qui abbiamo un prodotto tra una funzione infinitesima (e che vorrebbe, quindi, portare a 0 il risultato) e una funzione infinita (che vorrebbe fare diventare tutto infinito). Può vincere la prima, oppure la seconda, oppure potrebbero essere in equilibrio. In quest'ultimo caso si ottiene un numero finito diverso da 0. Possiamo fare ricadere questa espressione nel primo caso notando che ab = a/(1/b).

E con le quattro operazioni abbiamo finito. Passiamo alle potenze.

1^∞

Qui è un po' più difficile capire quello che succede. Possiamo ragionare in questo modo: se abbiamo una potenza del tipo a⁴², il fatto che a voglia avvicinarsi sempre di più a 1 comporta il fatto che il risultato della potenza si avvicini anche esso a 1. Insomma, a cerca di tirare verso il basso il risultato (non troppo in basso, cioè non fino a 0, gli basta 1).

D'altra parte, se abbiamo un'esponenziale del tipo 42^b, se b diventa sempre più grande allora tutto diventerà sempre più grande: b cerca di tirare verso l'alto (verso l'infinito) il risultato.

Cosa può succedere? Come al solito, di tutto. Notate che se prendo 0.42 al posto di 42 le cose cambiano un po': in quel caso b infinito cerca di fare diventare 0.42^b infinitesimo, quindi b cerca di tirare verso il basso. Mentre a vorrebbe sempre andare verso 1. Dunque abbiamo tutti i possibili risultati, da 0 a infinito (non quelli negativi, perché l'esponenziale non è definita per basi negative). Una forma notevole di questo tipo è quella che dà come risultato e. Possiamo ricondurci al solito 0/0 ricordandoci che a^b = e^{(ln a)/(1/b)} (lo so).

E ora passiamo a

∞⁰

Si tratta di una base che vorrebbe portare a infinito il risultato, e che combatte contro un esponente che vorrebbe portare a 1 il risultato. Possiamo aspettarci di tutto anche qui (basta mettere un segno negativo all'esponente per ottenere numeri compresi tra 0 e 1). E anche in questo caso possiamo ricondurci alla prima forma indeterminata notando che a^b = e^{b/(1/ln a)}.

E, infine, eccoci alla famosa

0⁰

Qui siamo di fronte a una base che vorrebbe portare a 0 il tutto, e a un esponente che vorrebbe portare tutto a 1: anche qui può succedere di tutto e (con un cambio di segno all'esponente, tanto +0 e -0 sono la stessa cosa (storia lunga: posso avvicinarmi a 0 sia da valori negativi che da valori positivi; in altre parole, gli infinitesimi possono essere positivi o negativi)) si possono ottenere anche numeri maggiori di 1, fino a infinito.

E anche qui possiamo ricondurci alla prima forma, sempre utilizzando la trasformazione del caso precedente.

Dato che questa forma indeterminata è quella che ha dato l'origine a tutta la discussione, aggiungo un'altra considerazione. Invece di parlare di questioni di equilibrio, potremmo vedere le cose sotto un punto di vista diverso.

Abbiamo a che fare con la funzione in due variabili f(x,y) = x^y, e vogliamo capire cosa succede quando sia x che y si avvicinano a 0. Il grafico di questa funzione (una superficie) è questo (preso da wikipedia):

Ecco, qui si vede bene che il risultato può cambiare, dipende solo da come ci si avvicina a 0 alla 0: sono possibili tutti i valori da 0 a infinito. Se base e esponente si avvicinano allo stesso modo (come in x^x), allora effettivamente il risultato si avvicina a 1.

[La parola infinitesimalità non esiste, nemmeno in matematica]

[No, non ne manca una, 0^∞ non è una forma indeterminata. Se l'esponente è un infinito positivo, risulta 0, se invece è un infinito negativo, risulta infinito, non ci sono altre possibilità]

Una approssimazione di π senza parole

(Via)

Erone in corsa

Uno dei quesiti assegnati quest'anno all'esame di stato agli studenti del liceo scientifico riguardava il problema di Erone, che ora enuncio dandogli un'ambientazione sportiva (ehm).

Si tratta di un problema di corsa, per cui il nostro protagonista sarà, ovviamente, il piè veloce Achille. Egli dovrà percorrere, nel minor tempo possibile, la distanza tra un punto A e un punto B, e dovrà anche toccare con una mano un qualunque punto del muro rettilineo che corre a fianco della zona in cui si svolgerà la prova.

Il problema è il seguente: dove dovrà essere posizionato il punto C in modo tale che Achille perda il minor tempo possibile?

Se C si trova troppo vicino ad A, ad esempio, spostandolo un po' verso B otteniamo due risultati: la lunghezza di CB diminuisce, e quella di AC aumenta. Il fatto è che la diminuzione e l'aumento non si compensano: AC varia meno rispetto a CB, dato che CB forma un angolo piccolo col muro, mentre AC ne forma uno più grande. Ecco un disegno:

La differenza tra AC e AD (ciò che perdiamo) è minore rispetto alla differenza tra CB e DB (ciò che guadagniamo), quindi D risulta una posizione migliore rispetto a C: se Achille tocca il muro in D, invece che in C, guadagna un po' di strada.

Se invece C si trova troppo vicino a B, il problema si ribalta (ma rimane un problema):

Quello che succede in questo caso è che la differenza tra AC e AD è maggiore di quella tra BD e BC. Anche in questo caso ad Achille conviene toccare il punto D invece del punto C.

Dunque, nel primo caso conviene spostare D verso l'alto, nel secondo caso invece conviene spostarlo verso il basso. Esisterà dunque un punto giusto in cui tutto è in equilibrio e non conviene più spostarsi.

Come facciamo a trovarlo?

Facciamolo alla Newton, o alla Leibniz — insomma, senza gli strumenti standard dell'analisi.

Il punto C ideale sarà un punto tale per cui, se mi sposto di una quantità infinitesima verso l'alto o verso il basso, non trovo convenienza. Questo succede quando ciò che perdo nella variazione di una delle due lunghezze è uguale a ciò che guadagno nella variazione dell'altra: quando, insomma, c'è equilibrio.

Ora, per visualizzare uno spostamento infinitesimo, abbiamo bisogno di una lente di ingrandimento molto potente. Supponiamo quindi di disporre di un microscopio capace di infiniti ingrandimenti, e andiamo a vedere come stanno le cose intorno a questo misterioso punto di equilibrio.

Ecco, cosa vediamo in questa figura? Ci sono due punti C₁ e C₂ che, non dimentichiamo, sono infinitamente vicini. Riusciamo a risolverli perché stiamo utilizzando un microscopio capace di ingrandire all'infinito. I due segmenti che congiungono questi punti con A ci appaiono infinitamente lunghi (e perciò sono delle semirette), e ci appaiono anche paralleli, dato che il punto A si trova a distanza infinita. Stessa cosa per le due semirette blu che sono parallele e convergenti in B (convergenze parallele, roba da matti).

Se la posizione di C è quella giusta (come, quale delle due? Vanno bene tutte e due, sono a distanza infinitesima…), allora il passare da C₁ a C₂ farà aumentare un po' la lunghezza del segmento rosso, e farà diminuire della stessa lunghezza il segmento blu. Vediamo di mettere in evidenza queste due differenze.

Ecco, la differenza tra AC₂ e AC₁ è uguale alla lunghezza del segmento HC₂, mentre la differenza tra BC₁ e BC₂ è pari alla lunghezza del segmento KC₁. E noi abbiamo detto che questi due segmenti devono avere la stessa lunghezza. Ma allora siamo di fronte a due triangoli rettangoli aventi la stessa ipotenusa C₁C₂ e aventi anche due cateti di uguale misura: si tratta quindi di due triangoli rettangoli congruenti, e saranno congruenti anche i loro angoli acuti. In particolare, l'angolo che la semiretta rossa forma con il muro dovrà essere uguale all'angolo che la semiretta blu forma con il muro.

Il punto ideale, quello che farà perdere ad Achille la minor quantità di tempo possibile, sarà quel punto C del muro tale per cui AC e CB formano due angoli congruenti con il muro stesso.

Ed ecco fatto.


«Eppure, signor Achille, tutta questa fatica…».

«Ah, signorina Tartaruga, buonasera! Perché mi dice così?».

«Bé, perché ha fatto un sacco di calcoli, di figure, e poi ha usato dei concetti un po' strani».

«Dice?».

«Mah, parla di distanze infinitesime, di microscopi infiniti? Ma cosa sono questi infinitesimi? Mi paiono fantasmi di quantità defunte».

«Eh, ma allora come…».

«Ma proprio lei, un atleta, mi chiede come?».

«Mi scusi, ma cosa c'entra adesso il fatto che io sia un atleta?».

«So che voi atleti, nelle palestre, avete sempre degli specchi in cui ammirarvi, no?».

«In effetti».

«E, del resto, lei ha appena dimostrato, per così dire, che per correre il più veloce possibile dovrebbe arrivare verso il muro formando un angolo identico a quello che dovrà poi formare quando si dirigerà verso l'arrivo».

«Esattamente».

«Detto in altri termini, l'angolo di incidenza deve essere uguale all'angolo di riflessione».

«Ah, ma lei mi sta parlando del modo in cui gli specchi riflettono la luce».

«Proprio così. Se lei mettesse uno specchio sul muro, prima di partire per la corsa, avrebbe a disposizione un modo semplicissimo per trovare il suo famoso punto C».

«E quale sarebbe, questo modo?».

«Bé, le basterebbe dirigersi verso l'immagine riflessa del traguardo».

«Signorina Tartaruga, devo ammettere che lei è sempre un passo avanti rispetto a me».

«Signor Achille, lei ha la memoria corta: questo lo avevamo già stabilito ai tempi della nostra famosa corsa».

Ho visto cose

Queste vengono dalle prove INVALSI di quest'anno. Seconda superiore.

 

Brave maestre1

Sono stato assieme ai miei figli soltanto durante quattro delle varie scosse grosse di terremoto che sono capitate da queste parti.

La prima è capitata nel cuore della notte, e vabbé, io mi sono fiondato nella loro camera mentre stavano svegliandosi, ma durante le altre ho notato una assoluta lucidità nel loro comportamento. Mentre io sono ancora lì a chiedermi eh, ma questa è un'altra scossa o è solo un'impressione? Aspetta che cerco un lampadario. Ma sarà di quelle forti? O passa subito? Vediamo di capire che succede, loro sono già sotto al tavolo più vicino. Senza domande, senza storie, senza urla, via, la prima cosa da fare è ripararsi, al resto ci pensiamo dopo. E questo è merito delle maestre.

Ieri, dato che a Modena sono state dichiarate concluse le attività didattiche, le maestre della classe del mio figlio piccolo hanno invitato alunni e genitori al parco per un saluto. E lì mi hanno spiegato che loro fanno spesso esercitazioni, anche a sorpresa, in maniera seria. E se, fra qualche anno, anche alle superiori avremo ragazzi che imparano a mettere la testa sotto al banco senza storie, senza vergogna, senza ma prof come faccio che non ci sto?, senza quell'aria di superiorità che si trasforma in folle terrore e irrazionalità quando capita una scossa vera, bé, sapremo chi ringraziare.



¹Anche bravi maestri, via (ma secondo me le maestre sono più brave, son più precise).

Il problema dei corsi universitari di matematica

Il problema dei corsi universitari di matematica — che consistono quasi per intero di un processo ritmico di ingestione/rigurgito di informazioni astratte e sono strutturati in modo da massimizzare questo flusso di dati reciproco — è che la loro estrema difficoltà superficiale può indurci a pensare di sapere veramente qualcosa quando tutto ciò che davvero "sappiamo" sono formule astratte e regole per il loro utilizzo. Di rado i corsi di matematica ci dicono se una data formula è davvero significativa, o perché, o da dove è arrivata, o cosa c'era in gioco.

David Foster Wallace, Tutto, e di più. Storia compatta dell'∞.

Di proporzionalità, logaritmi e argomenti affini

Succede che, a un certo punto, l'insegnante di matematica delle medie ti spiega la proporzionalità, e da quel momento in poi il tuo modo di pensare cambia. Se devi fare qualche calcolo, qualche stima, qualche analogia, appena puoi ci piazzi in mezzo una proporzione. E non ti rendi conto che non tutto il mondo funziona così.

Prendiamo per esempio un argomento molto attuale, almeno da queste parti: la scala Richter (prima di cominciare: i numerini che leggiamo con tanta apprensione in questi giorni e che misurano l'intensità dei terremoti non sono valori della scala Richter. Quella scala non esiste praticamente più, è stata modificata in modo da essere più precisa e ora si chiama scala di magnitudo del momento sismico, ma ai fini del discorso sulle proporzioni questo fatto non è importante).

La scala Richter funziona così: si prende un particolare strumento sensibile ai terremoti, con una lancetta mobile, ci si mette a 100 km dall'epicentro, e si guarda se la lancetta si sposta. Se si sposta di un micrometro (quindi di pochissimo), diciamo che abbiamo misurato una magnitudo di valore 0. In questo caso, i nostri piedi non sentono assolutamente nulla, il terreno ci pare bello stabile e solido. In realtà, nemmeno lo strumento legge nulla, non è possibile apprezzare un movimento di una lancetta pari a un milionesimo di metro. Questa definizione serve solo per fissare lo zero della scala.

Cosa succede coi terremoti veri? Che la lancetta si sposta anche di molti centimetri, fino a che non si arriva a fine scala. Già, perché i terremoti più grossi avrebbero la potenza sufficiente a spostare la lancetta di chilometri (!).

Molti centimetri significa moltissimi micrometri (per esempio, dieci centimetri sono centomila micrometri), e allora nasce il problema di rappresentare i dati in maniera chiara.

Ad esempio, prendiamo un po' di dati dal sito INGV (faccio finta che le magnitudini indicate siano nella scala Richter, per semplicità). Prima di mostrarli, li trasformo in spostamenti della lancetta di un sismografo (l'unità di misura è il millimetro):

1.7
9.6
1.7
1.0
4.1
9.6
2.7
1.7
2.7
4.1
2.7
6.3
9.5
6.3
4.1
1.0
112.6

E ora li metto su un grafico:

Per fortuna le scosse di oggi non sono state tanto grandi. Ora faccio una piccola modifica al grafico: assieme a questi dati aggiungo la scossa più forte di questi giorni, quella del 20 maggio.

Ecco, non è che le barre precedenti siano sparite; se guardate la scala sull'asse verticale si capisce dove sono andate a finire: tutte indistinguibili dallo zero, anche se non sono uguali a zero. In proporzione, sembra che la loro altezza sia quasi nulla. L'oscillazione della scossa più grande sarebbe di una cinquantina di metri (naturalmente in via teorica, in pratica non esistono strumenti così grandi).

Ora la domanda è: perché? E la risposta è che la natura è fatta così. La terra è grande.

Passiamo adesso, temporaneamente, ad un altro argomento: le bombe. Su wikipedia si trovano delle tabelle che mettono in corrispondenza l'energia sprigionata dai terremoti con quella prodotta dalle bombe.

Immaginiamo ad esempio una bomba a mano: questa fa un certo fracasso (anche se io non ne ho mai sentita scoppiare una) e produce un certo danno. Contiene circa 30 grammi di esplosivo (wikipedia usa il TNT, non so se nella realtà si usi questo materiale oppure qualcos'altro) e fa vibrare il terreno in un certo modo.

Ora, il genio umano ha costruito ordigni ben più letali. Un candelotto di dinamite contiene tanto esplosivo quanto 36 bombe a mano; una delle più potenti bombe non nucleari contiene 11 tonnellate di esplosivo, quanto diecimila candelotti di dinamite.

La prima bomba atomica utilizzata in guerra, Little Boy, pare che abbia sviluppato una potenza di 16 kilotoni, corrispondente quindi a una bomba ordinaria di 16000 tonnellate. Insomma, poco meno di 16 milioni di candelotti di dinamite. La più grande bomba all'idrogeno mai testata, la bomba Zar (ehm), è in grado di sviluppare un'energia corrispondente a 50 megatoni. Circa 3125 volte Hiroshima. Circa un terremoto di magnitudo 8.35.

Come possiamo rappresentare questi dati in modo da riuscire a vederli? Se vogliamo utilizzare la proporzionalità (una barra verticale rappresenta una bomba, una barra alta il doppio rappresenta una bomba  di potenza doppia), non ce la facciamo: vedremmo solo la barra della bomba più potente, e ciao a tutto il resto. Stessa cosa per i terremoti.

È per questo che si usano i logaritmi: per riuscire a vedere in maniera chiara tutta questa gamma di valori. Il logaritmo funziona in questo modo: considera il numero che vogliamo rappresentare, lo trasforma in una potenza di 10, e prende solo l'esponente. Quindi 10 diventa 1, 100 diventa 2, un miliardo diventa 9: riusciamo a vedere bene nel piccolo quanto nel grande. Il prezzo da pagare è che la proporzionalità non funziona più. La magnitudo Richter, infatti, corrisponde al logaritmo della misura in micrometri dello spostamento dell'ago dello strumento. Si sposta di un micrometro? Bene, siccome 1 è come dire 10 elevato alla 0, ecco che 1 micrometro corrisponde a 0 Richter. Si sposta di un centimetro? Allora, un centimetro corrisponde a 10000 micrometri, cioè a 10 elevato alla 4, e dunque la magnitudo è 4.

Si può andare anche all'indietro: a quanto corrisponde una magnitudo 3? Corrisponde a 10 elevato alla 3 micrometri, cioè 1000 micrometri, cioè 1 millimetro. Ecco, qua si vede come la proporzionalità non funzioni per nulla: se magnitudo 3 corrisponde a 1 millimetro, allora magnitudo 6 dovrebbe corrispondere a 2 millimetri. Invece no: magnitudo 6 è pari a 10⁶ micrometri, cioè 1000 millimetri, cioè 1 metro, e tanti saluti al fondo scala.

Proporzionalità significa che il rapporto tra due grandezze è costante. Detto in altri termini, se una grandezza varia in progressione aritmetica, anche l'altra varia in progressione aritmetica. Una cosa del genere:

In questo esempio sull'asse orizzontale ci si sposta di passo 1, su quello verticale di passo 2. Se prendiamo un valore qualsiasi sull'asse orizzontale e lo raddoppiamo, triplichiamo, eccetera, anche sull'asse verticale il valore corrispondente raddoppia, triplica, eccetera.

I logaritmi, invece, godono di un'altra proprietà: trasformano progressioni geometriche in progressioni aritmetiche. Ecco un grafico:

Non fate caso alle scale, non ho usato il logaritmo in base 10 perché altrimenti la figura sarebbe risultata ancora più schiacciata. La cosa importante da notare è che a uno spostamento sempre più grande (in progressione geometrica) sull'asse orizzontale corrisponde uno spostamento di entità costante (in progressione aritmetica) sull'asse verticale.

Il discorso vale anche al contrario: a spostamenti costanti in verticale corrispondono spostamenti sempre più grandi in orizzontale. Ecco perché nei giorni scorsi abbiamo letto paragoni che non stavano molto in piedi tra il sisma dell'Emilia e quello dell'Aquila. Qui in Emilia la magnitudo momento (una delle nuove scale utilizzate al posto della Richter) ha raggiunto il valore di 5.9, all'Aquila invece 6.3.

La formula per il calcolo di questo valore di magnitudo contiene il logaritmo in base 10 moltiplicato per 2/3. Se, dunque, la differenza tra le magnitudo dei due sismi è uguale a 0.4, questo significa che la differenza tra i logaritmi dei due valori misurati (che non corrispondono più ai valori di spostamento di un ago, ma che comunque sono legati all'energia sprigionata) è uguale ai 3/2 di 0.4, cioè 0.6. E questo, infine, significa che il rapporto tra le energie in gioco nei due sismi è pari a 10 elevato a 0.6, cioè circa 4 volte tanto. Da noi c'è stata una bomba, da loro ce ne sono state quattro.

Retrovie

Modena non è stata particolarmente colpita dai terremoti di questi giorni (qui è consentito anche ai più scettici mettere in atto qualunque tipo di gesto o attività apotropaica): abbiamo sentito le scosse, qualche edificio ha messo su un po' di crepe, nel centro storico è caduta una palla di marmo dal tetto di una chiesa che ha travolto le linee del filobus e ha lasciato un buco sul marciapiede, ma, alla fine, niente di irreparabile.

Non è andata così bene più a nord, nella cosiddetta bassa. Avete letto gli articoli, avete sentito i telegiornali, avete visto le foto: un disastro. La seconda scossa, quella di ieri, è stata brutta.

Io ero in classe, era appena suonata la campana, stavo per uscire, tutti erano in piedi, qualcuno voleva sapere come fare per rimediare ai suoi voti, qualcuno voleva uscire, qualcuno stava chiacchierando, tutti abbiamo sentito il pavimento saltellare. Ho in mente un fermo-immagine, tutti che mi guardano a bocca aperta, mentre cerchiamo di renderci conto di quello che succede, poi qualcuno si muove, sposta una sedia, ma non vuole essere il primo a mettere la testa sotto al banco perché a sedici anni se metti la testa sotto il banco fai brutta figura. E allora io urlo "tutti sotto i banchi!" e mentre mi fiondo sotto la cattedra vedo che tutti quanti si stanno mettendo al riparo, per quanto un banco possa essere considerato un riparo.

E là sotto, con una mano appoggiata sul pavimento, sento muovere tutto e sento i due studenti che stanno nei due banchi davanti alla cattedra che dicono "ma non finisce più!", e io dico "zitti!", "state zitti!", e non so bene perché lo dico, cosa c'è poi da ascoltare, e poi anche loro cominciano a dire "sshht, zitti!", forse vogliamo capire se la scuola starà in piedi, o forse vogliamo poter sentire se qualcuno chiama perché ha davvero bisogno, chissà.

Poi il tempo, che in quei momenti è dotato di vita propria e fa un po' quel che gli pare, finalmente passa e le scosse si fermano. Ci alziamo, si sentono le tre campane, e io dico "andate giù", e poi urlo "PIANO, NON CORRETE!", che mi ricordo ancora di quel terremoto di sedici anni fa, quando non esisteva un piano di evacuazione per la scuola, quando non si mettevano le teste sotto ai banchi, quando si correva fuori alla disperata, e c'era quella ragazza che era rimasta un po' indietro rispetto ai compagni, si era messa a correre nell'atrio vuoto, ed è caduta a terra. Non si è fatta nulla, ma il panico è una brutta bestia.

Io ho raccolto le mie cose e sono uscito, ho cercato gli studenti e ho fatto l'appello per vedere se c'erano tutti. Il punto di ritrovo era nel parco dell'istituto di riposo che si trova di fronte alla nostra scuola: lontano dagli edifici, sull'erba, all'ombra degli alberi, aveva un'atmosfera surreale. E la sensazione di essere in uno strano mondo mi ha accompagnato per tutto il giorno, e poi anche per la notte e il giorno dopo, cioè oggi. I telefoni non andavano, qualcuno è riuscito a fare qualche telefonata utilizzando una cabina telefonica (ne esistono ancora, sì), le auto non giravano. Quando mi ha telefonato mia moglie, da Carpi, sentivo un elicottero, delle sirene, lei che mi diceva che ci sarebbe voluto un po' per tornare a casa, visto che le strade erano intasate.

Una volta consegnati gli studenti ai loro parenti ho preso la bicicletta e me ne sono andato a casa. Ho attraversato due parchi, pieni zeppi di gente. Bambini che giocavano, biciclette, persone sedute sull'erba, carrozzine, passeggini, ragazzi più grandi che chiacchieravano. Era bellissimo, non avevo mai visto così tanta gente al parco, sembrava una giornata di festa. E mi ripetevo che non era vero, che c'era gente che aveva paura, che erano arrivate notizie di morti e di crolli, eppure non potevo fare a meno di pensare che sarebbe stato bello se tutte le giornate fossero state così, con la gente al parco che si chiede "come va?", che si dà una mano, che si aiuta.

I miei genitori si erano preoccupati di prelevare i nipoti da scuola, e li avevano raccolti tutti in cortile. Li ho visti giocare, li ho salutati, ho tirato fuori il telefono e mi sono attaccato a internet, per capire un po' cosa stesse succedendo.

Leggendo, trovavo notizie spaventose, e durante tutta la giornata ho cercato di informarmi, ho mandato email ad amici che abitano a Carpi e dintorni, ho guardato carte geografiche piene di puntini e stelline, ho letto la lista delle ultime scosse, e mi rendevo conto che a pochi chilometri di distanza c'era il disastro.

Nel pomeriggio vado a casa, arriva mia moglie, ce ne stiamo seduti su un paio di panchine, parliamo con altre persone che abitano nel nostro condominio. Che si fa stanotte? Qualcuno dormirà in macchina, qualcuno in casa sul divano, qualcuno non lo sa ancora. Mi telefona un amico e mi dice che se ne va con tutta la famiglia in montagna, tanto le scuole sono chiuse; lui poi tornerà a Modena il giorno dopo, vediamo come va la notte.

Già, la notte. Io ho lo sportello di un armadio che è un sismografo sensibilissimo, e quando sento quel rumore le pulsazioni mi vanno a mille (e mi succede da quando, sedici anni fa, ho scoperto mio malgrado questa caratteristica). Mia moglie mi propone di montare una tenda nel prato dietro casa, i figli sono ben felici, e allora via che si monta la tenda.

Prima di andare a dormire raccolgo un po' i pensieri, mi rivedo la studentessa quasi in lacrime che aveva paura di tornare in casa, lo studente sperduto che sarebbe dovuto tornare a casa con la corriera, ma le strade erano bloccate, i figli e i nipoti che in un lampo si infilano sotto la tavola mentre io sono ancora lì che mi chiedo "ma sarà un'altra scossa, o è solo un'impressione?" (era un'altra scossa), le ambulanze, gli elicotteri, la collega che abita nella zona dell'epicentro e non ha notizie, e mi sento un po' in colpa. Perché io posso dormire in tenda sotto casa, mentre qualcuno deve dormire in tenda perché la casa non ce l'ha più.

E allora, tra la paura che non passa, e il pensiero di essere ancora uno dei fortunati, mi pare di essere come il soldato che sta nelle retrovie. Un po' sollevato perché non è coinvolto direttamente, ma terrorizzato perché a trenta chilometri più a nord c'è la guerra.

Una cosa divertente che non farò mai più

Mi sono trovato in casa questo libro:



Una cosa divertente che non farò mai più, Minimum Fax, 12.50€

e me lo sono preso dietro per avere qualcosa da leggere durante una trasferta a Milano per i giochi matematici organizzati dalla Bocconi (dove ho finalmente incontrato .mau., ma questa è un'altra storia).

Non avevo mai letto niente di David Foster Wallace, ed è stata una piacevolissima scoperta. Anobii raccoglie, al momento, 420 recensioni su questo libro, e quindi non starò a tirarla tanto per le lunghe: si tratta della cronaca di una settimana di crociera extra-lusso commissionata all'autore dalla rivista Harper's — inizialmente doveva trattarsi di un semplice articolo, che poi si è trasformato in un volume di 149 pagine.

Il racconto è umoristico, scritto con uno stile meraviglioso, denso di satira e critica nei riguardi dello stile di vita delle crociere da ricconi. Da leggere (ma lo avrete già letto tutti).

Pagherei per sapere scrivere così.

Ho visto cose

Quest'anno ho vinto il pacchetto completo per i giochi matematici: ho accompagnato uno studente alle finali delle Olimpiadi della Matematica a Cesenatico, una squadra alle semifinali, sempre a Cesenatico, e uno studente (quello di cui sopra) per le finali Kangourou a Cervia-Mirabilandia.

Ho potuto quindi osservare da vicino e per molto tempo il mondo dei giochi matematici. E sono giunto a una conclusione: il mondo dei giochi matematici contiene la quintessenza della nerditudine.

Ho visto un ragazzo risolvere un cubo di Rubik dietro la schiena. Ne ho visto un altro far girare alcune palline in aria, alla maniera dei giocolieri, mentre attendeva l'inizio della gara.

Ne ho visto uno scendere le scale con un monociclo (era uno dei miei, tra l'altro, uno che come sport pratica il basket su monociclo, per dire).

Ho visto l'impegno e la serietà di una ragazza che, per conciliare tutte le sue attività, è venuta nel pomeriggio a Cesenatico, ha svolto la gara, e a mezzanotte se ne è tornata a casa (ciao, M.).

Ho visto studenti scrivere formule sui tovaglioli del ristorante (anche insegnanti (ero io, sì)), sfogliare libri contenenti quesiti matematici, chiedere di fare più allenamenti il prossimo anno scolastico, e persino promettere di parteciparvi.

Ho visto un insegnante manifestare il suo disappunto perché la partenza al venerdì mattina gli ha impedito di guardare l'episodio appena uscito di The Big Bang Theory (ero ancora io, ehm). E ho visto gli studenti dargli ragione.

Ho visto un gruppo di giovani universitari, che facevano parte dell'organizzazione, vestirsi come i personaggi di Dragonball per presentare ai concorrenti l'ambientazione delle gare di quest'anno (c'era pure Majin-Bu, col tentacolo sulla testa).

Ho visto ragazzi e ragazze fare matematica in maniera seria: ne ho visti cinque guadagnare il massimo punteggio perché avevano risolto perfettamente sei quesiti. Quesiti che io riuscirei a risolvere perfettamente in sei settimane (forse). Ho visto l'imbarazzo dell'organizzazione che, probabilmente, avrebbe voluto avere un solo vincitore, e invece ne ha avuti cinque e non è stata in grado di distinguerli. Bé, oltre all'imbarazzo c'era anche una certa felicità, bisogna dirlo.

Ho visto la delusione nei volti degli studenti che, tutti appiccicati alle vetrate sulle quali stavano appendendo le soluzioni, si dicevano uno con l'altro: "ma era così facile?".

Ma è stato quando ho visto alcuni ragazzi che si rilassavano in spiaggia, indecisi tra il parlare ancora di curve algebriche e il rivolgere l'attenzione a curve più naturali, che mi sono reso conto dell'esistenza di una costante universale, dalla quale non sfuggono nemmeno le menti più nerd di questo mondo.

Il teorema cinese del resto spiegato ai bambini

Mamma Orsa, Babbo Orso e Piccolo Orso se ne stavano tornando verso casa dopo una piacevole passeggiata nel bosco.

Passando vicino a un cespuglio di more, Piccolo Orso si accorse di una serie di impronte: erano di uno strano animale, ma visto prima di allora.

«Vado io per prima!», esclamò Mamma Orsa, posizionandosi sulla quinta impronta un po' preoccupata.

«Tu stai nel mezzo, Piccolo Orso», disse Babbo Orso a Piccolo Orso che, obbediente, si mise sulla terza impronta.

«Io starò in fondo alla fila», concluse Babbo Orso, sistemandosi sulla prima impronta.

Mamma Orsa si incamminò lungo il sentiero; ogni suo passo era lungo tanto quanto la distanza tra 7 delle piccole orme presenti sul terreno.

I passi di Piccolo Orso erano invece più corti: ognuno di essi copriva la distanza di 5 piccole orme.

Babbo Orso era quello che faceva i passi più lunghi: addirittura 9 orme.

«Ehi, mamma!», chiamò Piccolo Orso, «se vai così in fretta non riesco a starti dietro».

«Non ti preoccupare, Piccolo Orso», rispose Mamma Orsa, «ti aspetto».

«Ma io vorrei venire vicino a te!», disse Piccolo Orso.

«E perché non ci riesci? Non sto andando veloce», domandò Mamma Orsa.

«Eh, perché i miei passi non sono mai pari ai tuoi. Arriveremo mai sulla stessa impronta di questo strano animale?», domandò curioso Piccolo Orso. «Vorrei che anche il Babbo fosse vicino a noi».

«Sono qui dietro, Piccolo Orso», lo rassicurò Babbo Orso, «non ti preoccupare. Vuoi fare un gioco?».

«Uh, sì, sì!», rispose contento Piccolo Orso. «Come si gioca?».

«Giochiamo a indovinare quando riusciremo ad essere tutti vicino alla Mamma», la buttò lì Babbo Orso, cercando di camuffare un problema matematico in un gioco per bambini.

«Babbo, non mi freghi! Questo non è un gioco, è un problema!», rispose Piccolo Orso che, anche se era ancora piccolo, non era uno sprovveduto.

«Ma sì, è uno dei soliti problemi di tuo padre», intervenne Mamma Orsa, «per lui sono giochi, non capisce bene la differenza tra le due cose. Lascialo fare, magari è divertente».

«Va bene», disse rassegnato Piccolo Orso. «Siamo sicuri che io posso arrivare di fianco alla Mamma? Perché mentre io faccio un passo da 5 impronte, lei ne fa uno da 7, rimango sempre indietro di 2 impronte!».

«Hai ragione, Piccolo Orso», gli rispose Babbo Orso, «ma ricordati che puoi anche fare una corsetta: se invece di un solo passo ne fai due, non rimani più indietro di 2 impronte, ma sei in vantaggio di 3!».

«Hai ragione, Babbo!», commentò felice Piccolo Orso.

«Allora», continuò Babbo Orso, «ricordati che quando sei partito eri, rispetto alla Mamma, indietro di 2 impronte. Col primo passo la vostra distanza è aumentata a 4 impronte, poi a 6. Ecco fatto!».

«Cosa?», domandò Piccolo Orso.

«Se la distanza è di 6 impronte, puoi raggiungere la Mamma facendo per due volte una corsa: se per ognuno dei due successivi passi della Mamma tu ne fai due, guadagni ogni volta 3 impronte, e quindi riesci a raggiungerla», spiegò Babbo Orso. «Riesci a dirmi a che punto vi incontrerete?».

«Credo di sì», rispose Piccolo Orso, pensieroso. «Devo fare in tutto sei passi, per un totale di 30 impronte. Ero partito dalla numero 3, quindi la incontrerò alla numero 33, giusto?».

«Giusto! Sei stato molto bravo, Piccolo Orso! La Mamma ha fatto invece in tutto quattro passi, per un totale 28 impronte. Era partita dalla numero 5, quindi anche lei arriva alla numero 33», rispose Babbo Orso.

«E tu riuscirai a raggiungerci, Babbo?», domandò Piccolo Orso.

«Certo», rispose Babbo Orso. «Vedi, dall'impronta 33 in poi tu e la Mamma è come se vi muoveste insieme con un grande passo lungo 35 impronte».

«Davvero?», domandò ancora Piccolo Orso.

«Eh, sì. La Mamma fa passi lunghi 7 impronte, tu fai dei passi lunghi 5, allora sette passi dei tuoi corrispondono a cinque dei suoi e a un totale di 35 impronte», spiegò Babbo Orso. «Allora, io invece faccio passi lunghi 9 impronte, e quindi ogni quattro passi percorro una distanza di 36 impronte».

«Una più di noi!», esclamò Piccolo Orso.

«Proprio così. Quindi, pian piano, riesco a raggiungervi», concluse Babbo Orso. «Sono partito dalla impronta numero 1, poi sono arrivato alla 10, poi alla 19 e alla 28. Se voi siete alla numero 33, quanti passi dovrò ancora fare per recuperare la mia distanza?».

«Cinque per quattro!», rispose Piccolo Orso. «Cioè venti, e arriverai di fianco a noi!».

«Bravissimo, Piccolo Orso!», esclamò contento Babbo Orso, «dopo venti passi avrò percorso 180 impronte. Dato che ero partito dalla numero 28, arriverò alla 208».

«E io e la Mamma avremo fatto cinque passi giganti da 35 impronte», concluse Piccolo Orso, «e saremo arrivati alla casella 175+33, cioè alla 208. E saremo finalmente tutti insieme!».

«Bravo, Piccolo Orso. Cammina adesso, altrimenti la Mamma non la raggiungiamo più».

---

Mamma Orsa, Babbo Orso e Piccolo Orso hanno applicato quello che i Veri Matematici chiamano teorema cinese del resto.

Hanno cioè risolto il sistema composto dalle seguenti tre equazioni:

x = 3 mod 5,
x = 5 mod 7,
x = 1 mod 9.

Wikipedia riporta la formula risolutiva universale, ma il metodo utilizzato dalla famiglia Orsi è più carino e comprensibile.

Il tutto proviene da una discussione su Quora, figure comprese.

Qui si fanno regali un po' nerd

Molto nerd, ok.

Come funziona il generatore automatico di testi

Nel post precedente ho parlato di un generatore automatico di testi in "lingua italiana". Ecco come ho fatto a costruirlo (ho usato il python perché mi piace, ma anche chi non lo conosce dovrebbe essere in grado di seguire il sorgente, il linguaggio non lo conosco bene nemmeno io e quindi non ho usato costruzioni strane e incomprensibili).

L'idea di base è questa: non faccio una analisi statistica del testo, perché tenere una tabella delle frequenze di tutte le possibili sestine diventa improponibile. Uso invece il testo stesso come generatore.

E cioè: leggo il testo in memoria e, quando ho bisogno di generare un carattere, estraggo una lettera a caso dal testo. E fin qua è facile.

Se devo generare delle coppie di caratteri, invece, faccio così: all'inizio leggo una lettera a caso, poi a partire da un punto casuale del testo cerco la prima occorrenza di quella particolare lettera, e scelgo la lettera immediatamente successiva. Memorizzo quest'ultima lettera e continuo così.

Se poi devo generare delle terne tengo in memoria una coppia di lettere, e a partire da un punto casuale del testo cerco quella coppia e prendo la lettera successiva, e così via.

Vediamo un po' se si capisce il sorgente. Partiamo così:

f=open("i_promes.txt","r")

testo=f.read()

testo=testo.replace("\x0D","")
testo=testo.replace("\x0A","")

N=len(testo)

from random import randrange

M = 1000 #dimensione massima del testo da generare
K = 6 #memoria del generatore casuale

buffer=testo[randrange(N)]
if K==0:
  buffer=""

output=""

Dovrebbe essere semplice: leggo tutto il file all'interno della variabile testo, tolgo dai piedi i caratteri di line feed e carriage return, memorizzo in N la lunghezza del testo, e importo la funzione che mi serve per generare numeri casuali. Poi definisco M, la lunghezza del testo che deve essere generato, e K, la memoria del generatore (nello scorso post ho mostrato il risultato per i valori di K che vanno da 0 a 6).

Poi inizializzo un buffer che memorizzerà i caratteri che dovrò cercare (ma se K è uguale a zero il buffer non mi serve, quindi lo riazzero (lo so, era più elegante inserire un if, ma questa è una correzione dell'ultimo minuto…), e preparo la variabile che memorizzerà l'output e che si chiama, giustamente, output.

Ora viene il bello: la funzione che cerca, all'interno del testo, la prima occorrenza dei caratteri contenuti nel buffer. Il testo viene immaginato infinito, quando arrivo alla fine ricomincio dall'inizio.

def trova(lista,posizione):
  #restituisce il carattere successivo a quelli presenti nella lista
  #a partire dalla posizione data, cerca la prima occorrenza di lista
  #(l'ho chiamata lista, ma e' poi una stringa, ehm)
  l=len(lista)

  if l==0:
    return randrange(N)
  
  trovato = False
  c=0
  j=(posizione) % N

  while not trovato:

    if lista[c]==testo[j]:
      c+=1
    else:
      j=j-c #devo riportare indietro j, maledetto
      c=0

    if c==l:
      trovato=True

    j+=1
    j%=N

  return j%N

Questa funzione trova la posizione in cui compaiono tutti i caratteri di lista, a partire dalla posizione indicata dalla variabile posizione. Le prime righe fanno funzionare il generatore senza memoria: se la lista l è vuota, restituisci un numero casuale e basta. Altrimenti vai avanti.

La variabile trovato si occupa di fare terminare il ciclo; all'inizio non ho ancora trovato niente e quindi è settata a False. La variabile c serve per scorrere il buffer, e la j invece scorre il testo (la j viene sempre usata modulo N, in modo da essere riazzerata se supera N).

Poi comincia il ciclo di ricerca: fino a che non è stato trovato tutto ciò che è contenuto nel buffer si fa una ricerca: se il primo carattere del buffer è uguale al carattere nel testo, aumento c di 1 (così successivamente proverò col secondo carattere del buffer, col terzo, eccetera), altrimenti vado avanti. Il vado avanti mi ha fatto penare, e questo è il motivo del commento nella riga j=j-c.

Le cose stanno in questo modo: supponiamo che il buffer contenga le lettere "abc" e che nel testo siano presenti invece le lettere "aabc". Allora il primo confronto ha successo, ma il secondo no: c viene riazzerato, ma j non deve proseguire dal terzo carattere del testo, cioè b, ma deve tornare indietro. So che mi sono spiegato male, ma provate a togliere la riga maledetta e vedrete che non funziona più.

Il resto è facile: se c è uguale alla lunghezza del buffer l, ho trovato tutto quello che cercavo. Segnalo il tutto settando la variabile trovato e restituisco j (che è stato già incrementato di 1 e che quindi punta al primo carattere dopo la stringa trovata). Ed ecco fatto.

Manca il programma principale, molto semplice:

for i in xrange(M):
    j=trova(buffer,randrange(N))
    buffer+=testo[j]
    output+=testo[j]
    if len(buffer)>K:
      buffer=buffer[1:] #cancello il primo carattere


print output

Faccio un ciclo lungo M, all'interno del quale chiamo la funzione trova. Aggiungo al buffer e a output il nuovo carattere restituito da trova, e se il buffer è troppo lungo lo accorcio.

Fine.

Se avete idee per migliorare, dite pure. Con un generatore a memoria 6 comincia a diventare lento.

Sul concetto di entropia

Prima di parlare del concetto di entropia, ecco una citazione di Shannon, cioè di colui che l'ha definita nell'ambito della teoria dell'informazione:

La mia più grande preoccupazione era come chiamarla. Pensavo di chiamarla informazione, ma la parola era fin troppo usata, così decisi di chiamarla incertezza. Quando discussi della cosa con John Von Neumann, lui ebbe un'idea migliore. Mi disse che avrei dovuto chiamarla entropia, per due motivi: "Innanzitutto, la tua funzione d'incertezza è già nota nella meccanica statistica con quel nome. In secondo luogo, e più significativamente, nessuno sa cosa sia con certezza l'entropia, così in una discussione sarai sempre in vantaggio".

Quindi l'entropia è una cosa misteriosa (alla fine, un numero) che rappresenta la quantità di informazione trasportata da un messaggio, o anche una misura dell'imprevedibilità con cui si susseguono i caratteri del messaggio stesso.

Mi spiego meglio: se il messaggio è "1111111111", non è che esso trasporti una gran quantità di informazione. Se una sorgente trasmette sequenzialmente dei caratteri, e io vedo che questi sono sempre degli 1, bé, non sarò sorpreso se, mettendomi in ascolto, osservo in continuazione degli 1. Detto in un altro modo: un libro in cui l'unico carattere utilizzato è 1 è un libro abbastanza noioso, e non ho problemi a immaginare come andrà a finire.

Se invece apro un libro e leggo "Il cielo sopra il porto aveva il colore della televisione sintonizzata su un canale morto", ecco che già faccio fatica a prevedere cosa succederà dopo, e mi vien voglia di andare avanti a leggere (poi cambierò idea dopo tre pagine, ma questa è un'altra storia). Il testo trasporta più informazione di quello banale composto solo dalla cifra 1, anche se in esso è presente ancora della ridondanza. Ad esempio, riconosco il fatto che si tratta della lingua italiana. So che se vedo una "q" è molto probabile che dopo ci sia una "u".

Se poi mi trovo davanti a un testo completamente disordinato, qualcosa del tipo "k853LhbzTF" (testo generato tramite il servizio random.org, che assicura di generare in modo davvero casuale i caratteri), ecco che esso è completamente irriconoscibile e imprevedibile. Non posso sapere quale sarà il prossimo carattere.

Bene, non dirò nient'altro sull'entropia, prima devo studiare… Però vorrei mostrare i risultati di un esperimento.

Ho preso un testo della lingua italiana (di cui non rivelerò ora il titolo), ed ho fatto una statistica sulle frequenze delle singole lettere. Dopodiché ho costruito un generatore casuale di testi che rispetti la statistica trovata: ecco il risultato:

h ban se;ldf lnam idecos ao uobuguceandoi rozin rt iiemPeoiadoroel:r tangvaaanitirnata n ie r aaoin lcrl iigmmprci,n'neriu eaìvrs dl n omgPruunnsed!ais e vrauaeabito va.' ennictu o h ie iso onemn c msfa ete eo ete.n'c oauaonreo asemi ae oszào, iie ef s o rrrihlie ePirgeoreunssad ioedatc arte,t ecal i olseo quiirom cp qia vram aiuhnr lesaanacponeaaho eìcnidcfo elsrenrtlcioaoauichis egoo.eevss fhspie lu ehenrbo gaodelnaomoo:oftpzitn oe uodacaau A qvtm àmlaa od na l,u aud romrudia d ai, etfcssinid s iunldanaouvi giuleer hngr io ouaanrncnoios vo,- oan iaaiscìutir:sn; rt ipp -i faeecqQseenhu btir cen aeetev mn spesoaot se ,sia mclnnuden eitn eascsnacpeet a tao nuaoe soreeecesig pò o o oe cctoiòiaiu' oaai cete ?,lfas p nlnl etrteria ersnoeaneaenaqrplen o reaangoileo'enrloeitltc aùittvnn ,qaussst-i i uuna r i oozitsptevcrinotgliiolnccpa aea;tv aiciEotnanoeoa clIcaepofeetttenaslin aeais ntrn c,o a o t rrt urn nbdvo eeel sne osmnartsg ùna-ignstzcr itcnu madom nn

Totalmente incomprensibile, ma se fate un'analisi delle frequenze, scoprite che l'andamento è quello della lingua italiana.

Questo generatore di testi è senza memoria: ogni lettera non dipende dalla precedente, il sistema non ricorda nulla. Se esce una "q", dopo potrebbe uscire qualunque lettera.

Ho allora provato a costruire un generatore diverso, a memoria 1, in cui ogni lettera dipende, in un qualche modo, dalla precedente. Ho insomma seguito la statistica delle coppie di lettere della lingua italiana. Ecco qua:

eno sutrtiaitrila fagugl è e ce ment'è APo, - che ssi a e'eri dia meva seroves' da Viniso enongntencomatuell'è E vina. rglunti, anunorelosì diuofono, ltel veradadi era guerd'aneverorina crove e sisare Laramen di d'e, liabrsici querirtttisuche le fenne pe.Litò, de, ciatrò no.Ini ater nn funnuti diguerovi emevamen a be pechemisto, spitto all'astenevera, cavenio bbernzimo ss'avamichen'etelllla chi Tri scenochemei io merso, duscranontade avelotò a'ive, de chanto. bin o, coratomo me a e quaronn pesue aruo devesté enzavò erte ve pprbavosego, n e ma inda. ma e cuia arva qungilantovavirinelche, cori din Ciù cinovi nto. i illì? to nderela po, enzi dò danzzidisuonacoi anelun del ua, dincheti; ceve spre Di - ccal stedopproste Indasase, lendosomia quore pe di, a pennta i apopomisccore enessere evantanzzaler cicia con iù a, co. esi che cigi si Avenzina chol'orone patrbendeli di l ginqunove le; ccassstolerca erolltrero. pittol di futerm'atti. che a, co. sa Ehe vevoran Ve tenca iarinonongl'i la, di F

Visto cosa succede? Vengono generate delle parole che assomigliano, in modo molto vago, a parole italiane. Se volete giocare, non andate avanti nella lettura e provate a capire quale romanzo è stato usato per istruire il generatore. Secondo me non ci si riesce ancora, ma forse passando a un generatore a memoria 2 (cioè che tenta di seguire la statistica delle terne di lettere della lingua italiana) si riesce a capire qualcosa di più:

iona mo, che, doti: no nella quessarle come posio, più corresta unoripore che che farete nonervi miluttibito cappessacomene diatto anombacch'eranombo più ra Ma segli spel che guil po' mi che, ogno diver tumio, se inta ner lui, mezza, e. Il se inato d'er darcio: le ogolo l'un l'alerse pe verla vogolortiremispersichione no l'ormoste quer unon quanda che par che fostitandissi più di me fato que' verobasciate suovermagio. Scaveneva po e ta, - E quai. E, diste, lì ano chiancato, il pregna che distrimaizion rangue rità. Ne alchigno inonnizio co a corsigna maccribenz'avederno lortava, ganch'esen tire che ra medesto pova quallegrassigo ce no vi menzabittero sappezzo si e da e lo c'essempada partudeverancorava lavate, ri paggiorio, - Si Maggianducambe alibrazi trosappere sciusome paglitano dole da suoi il no da Gettorsi tre; in in griver la pia in purlo, in crivò occoricenno, d'unavanchia luole do be te se ri ve; e Rodre chi soperani fato, né il co campiù mun posta, ci, e no fati, posennal 386.

Un indizio c'è… Ma è certamente più facile risolvere il quesito con un testo generato da un generatore con memoria 3:

dott'effensolla finessuno s'asperfino; e, non mondo, per la tale si racchie dunquella scoppo che gli e invano, com'è accorso, in que' tempossata. Perchessar non sonaria, 13 fero Renza convenion venti par raccio; e racchi ricava in quella.- La gli chi, acco! magine, perca ho tro, e ancorre i botto, le conte Amare ad astata il 1629, ricura sbravamo. Giovarolentivamente: voci parebbe con fuorecissi, zamportunni.- Zittigato ancia e picchiozze, quellire: il che rappensiemeri in cera, che sequillecielargo se prime nella cheneficinquelloquesta in creder che s'ace dopo, inari mando dal sorroratichie difest'invenece arri tire: a fiori, fino, vede col tempresumano don anza sta letervitazio: e tutto: una più per rimaste d'una farsi in quel parlò da l'altri, non la stella tava più precausa. Alloro pre a rimiti, in questamenturba, riposse essegrido che lontare o che una sta andettere di passigno, padre, figli anche ne diverso la l'uominare? Non celli amincorso della suo rimammele me stra quale, in

Qui si riconoscono intere parole. Vado avanti ancora un po', ecco quello con memoria 4:

rebbe far cosa?- Io stare non ha regoli. Avuto fermaron si povero. Renzo ebbe vitato parte megliamento quell'idee superfluo. Prestarsi tutte passarmi stessero di spasimo; lasciò a così che stare, affaccente a ogni porti, lascicantando, questa padrone; ha facesse addosson ne sospetta, si tutto proprivaron tutto. " Ha delle giorno tutte le pane si dànno del vicenda; ma e con un'inchino al privile aveva piazioni poteva, si diede a forse, gettò deferenico andavanti argo. - Ben preti, dà lui con gli stesso. Socchiamaron desto d'Agnescolta, eran facenzo, e con si ragazza tutto asse forza di può con gli era un altri. - Senza, facevamo poi posalità, come poueri d'estralascio; ma che, di boccettare in cui o gli riveste dall'aria disse: - mi causa, divere: diver aprir consonaggio d'esser avvicinò, e che, e più alla monache, sentì necessi, confuso che la viotto da essendo da poco, guardando signor del cominaccia; nessuno, e dondo della se niente a di no, insegnetto, d'avessero malgrado signore? C

Memoria 5:

mo che, o piuttosto a' suoi prova innanzi don Federigo Borromeo, dovesse verso sudice qui, e si storia, che tempo è...?Ma in visto, bisogno d'ubbidirla, come scappa la grazia, rimescolata: ora il cappello, a guardata, che una tese ben essersi trovale, una nuova partite qualche spinge in fretta loro un po' di...! - Meno aspo; e senza arrivava, che, forusciti ad imitava colui che mette comanda, una parte scorsi che noi, per buon se le farmi il passo fissato.- Un po' di sorte, che andato, distribuiti alla mezzo a intrappeso, al peggio che lì, per verità: giacché il carattenzione di venendo legittima.- Renzo tanti, in buona grande davanti nobile incontrasti. Gli atti, era solitudine, legati posto all'acquistata con una scellera, guardando furono di bene. Chi è dovere una presenza terrotte piccolo quotidi, " il conti, vederei. A nessuno di cosa, doveva sentì in mezzi a torbidandosela con quale s'appagorgia, si volesse; e sarebbe a un tempo. Vinse la bianchi degni di corpo, bisogna pecorelle

E infine memoria 6:

mpo aspettata racconterò poi s'avveda.- Basta, aumentaneamenti, d'aspettava in vece vi desideri, l'immaginazioni, ai sacchi, e d'osteri, l'incarico. Una di quelli arruffate, dicendo: - è qui apposta a' monatti, il più fitti che s'avesse più alieni da dove fosse un po' dall'altra parola, arrivasse immoto; spoglia, s'alzò mezzo della morte mia, dal suo paese, avendo risaputo tenere provar la vedremo lasciar andar loro facesse ora che passeggiero era di nuovo in colloquio che credeva quindi disse, con un parentado: dice uno; onde l'orrore, figliuola; e si potesse di protezione, non provare. Ma vogliam crederlo lì quel desiderio, aveva infatti... coll'aiuto m'accorgersi e fautorità spontanetto, che potesse alla carità... gran fatti, alcuno di colui?- Sì, signoria inediti, e spediti e a male prode nelle stanza trovando pur dare avanti, il povero. - Brava gli animi alternativamento di fare una parte, più esperimento che non s'era poi, qualche di sopra questo Raccolse questi momento? - domand

Se non avete ancora capito (impossibile), vi dirò che in una prova che ho fatto mentre mettevo a punto il programma che ho usato per generare tutti questi testi è saltato fuori un certo Don Abbondanza…

Steampunk

Se il Nautilus fosse un essere vivente, invece che un sottomarino, secondo me potrebbe avere dei figli fatti così:





Questo cosino si chiama disfenoide camuso, ha 12 facce triangolari, ed è molto simpatico.

È una specie di magia

Il divertimento nel costruire poliedri col Geomag non consiste soltanto nel soddisfare la fame della propria sindrome di Peter Pan (cosa che, comunque, dà una certa soddisfazione): c'è anche qualcosa di più. Il fatto è che tu sei lì, con mille magnetini in mano che ti scappano da tutte le parti, cerchi di fare stare insieme l'aggeggio che stai costruendo puntellando un po' qua, un po' là e, quando metti l'ultimo pezzo, tac, ecco la magia: ci sta! La figura si chiude perfettamente, ti accorgi che è giusta così, e a volte ti chiedi come sia possibile che tutto si combini.

Poi, magari, ti chiedi anche come hanno fatto a studiarli e a capire che mettendo insieme un po' di quadrati e di triangoli si sarebbe ottenuta una figura stabile e chiusa. E ti immagini che salti di gioia avrebbero fatto Euclide o Archimede con in mano una scatola di Geomag, o con l'accesso a un computer con un software di geometria dinamica.

Comunque sia, non ho abbastanza pezzi per costruire altri solidi archimedei (accidenti, non riesco a fare il pallone da calcio). Alcuni solidi hanno poi facce troppo grandi (ottagoni, o decagoni) che andrebbero sostenute con un interno rigido, che non esiste in commercio. E allora ho provato a costruire qualche poliedro ancora più strano.

Questo piccolino qui, ad esempio:



si chiama ebesfenomegacorona e, sì, l'ho scelto principalmente per il nome. Wikipedia riporta l'etimologia: hebes sta per ottuso, in latino, sphenós sta per cuneo, in greco, mégas sta per grande, sempre in greco, e corona è corona sia in latino che in italiano. Quindi potremmo chiamarlo anche grande corona ottusa cuneiforme. Tre quadrati e diciotto triangoli che magicamente stanno insieme.

Chiralità

Questo poliedro apparentemente poco regolare




è uno dei tredici poliedri archimedei. La sua particolarità (oltre al nome, naturalmente: si chiama cubo camuso oppure cubo simo) è quella di essere chirale: questo significa che se lo mettiamo davanti a uno specchio, l'immagine che vediamo non è identica a quella reale — un po' come quando osserviamo una nostra mano allo specchio.

Dunque esistono due versioni di cubo simo: una destrogira e una levogira. Quella che vedete è quella destr levog è una delle due.

Nomi fantastici

Se si prende un cubo e si troncano sia i vertici che gli spigoli (cosa che non si riesce a fare con Geomag, purtroppo, questa volta le misure dei magneti non si adattano al troncamento) si ottiene una figura che si chiama rombicubottaedro, che già di per sé è un nome importante.



Se osserviamo bene, possiamo notare una specie di cintura fatta di quadrati (costruita con magneti blu), sui cui bordi sono appoggiate due scodelle, una con la concavità verso l'alto e una con la concavità verso il basso (costruite con magneti rossi). Bene, questa constatazione ci permette di chiamare questo solido anche col meraviglioso nome di ortobicupola quadrata elongata.

E non è finita qui: se allineiamo le due scodelle in modo che a un quadrato della parte superiore corrisponda un triangolo della parte inferiore, e viceversa, otteniamo un nuovo poliedro, che non è più un solido archimedeo:

e che viene detto girobicupola quadrata elongata.

Il tetraedro troncato

A partire da un tetraedro,



eliminando i quattro piccoli tetraedri ai vertici si ottiene il tetraedro troncato, composto da quattro esagoni e quattro triangoli (qui gli esagoni sono stati riempiti da triangoli, altrimenti la figura non sta in piedi)

Ed ecco il cubottaedro

A partire da un ottaedro un po' grosso,

 

tagliando le sei piramidi a base quadrata, si ottiene un bel cubottaedro, composto da otto triangoli e sei quadrati.

Babbo, ma quando posso giocare io?

Il figlio piccolo ha tirato fuori la scatola dei Geomag, e io non ho potuto resistere. Volevo costruire una struttura autoportante, ma non il solito icosaedro. E allora ho costruito un icosaedro più grande…

 

La struttura è solidissima, e mette in evidenza le sotto-strutture pentagonali che non appaiono quando si costruisce un icosaedro più piccolo.

E allora, rimuovendo le piramidi a basi pentagonali e sostituendole con pentagoni di plastica che hanno lo scopo di rendere la struttura più solida, e aggiungendo poi qualche triangolino, si può costruire anche un fantastico icosidodecaedro:

Dodici pentagoni e venti triangoli, sessanta spigoli e venti vertici: uno dei tredici poliedri archimedei.

A me pare bellissimo.

Snumeratezza

Si stava parlando, in seconda, di pi greco (ogni tanto capita, si vede che è un numero che attira la curiosità, non so) e uno studente ha domandato: ma è vero che qualcuno ha calcolato sei miliardi di cifre di pi greco?

Io ho risposto che, sì, certamente qualcuno le avrà calcolate; e ora scopro che il record attuale è di oltre mille miliardi, ma non è questo il punto. Il punto è che lo studente poi, stupito, si è chiesto quanto tempo ci avrà messo, questo pazzo furioso, a calcolarsi sei miliardi di cifre di pi greco a mano.

Allora io gli ho fatto notare che il pazzo furioso ha certamente usato un computer, che è impossibile che se le sia calcolate a mano, e gli ho chiesto di provare a calcolare quanti quaderni gli ci sarebbero voluti per contenere sei miliardi di cifre, utilizzando una cifra per ogni quadretto. E lui mi ha guardato strano, come se gli avessi assegnato un compito impossibile.

E l'ho invitato a provarci, partendo dai quadretti contenuti in un foglio. Aiutandosi magari con un righello (i quadretti sono da 4 millimetri, di solito) si trova che in un foglio ce ne stanno circa 52×73, cioè 3796. Un quaderno standard ha 20 fogli piegati a metà, cioè 40 fogli, 80 facciate, per un totale di 303680 quadretti.

I numeri cominciano a diventare grossi, e non è semplice immaginarseli; ora si può calcolare il numero di quaderni necessari per contenere sei miliardi di cifre di pi greco: una semplice divisione ci dà il risultato di 19757, facciamo 20000.

Quanto spazio occuperanno ventimila quaderni? Quanti ce ne stanno in questa stanza? Quanto è grande questa stanza? Ma come facciamo a calcolarlo, dobbiamo prendere un metro?

Ho risposto che non serviva una misura precisa, che sarebbe bastato dare un'occhiata alle mattonelle sul pavimento, che sono quadrati di circa 20 centimetri di lato. Per farla breve, è risultato che l'aula può contenere più di 400000 quaderni. È impossibile, ha esclamato qualcuno. Abbiamo sbagliato i conti! E allora io l'ho invitato a fare una stima più semplice, quella del numero di mattonelle presenti sul pavimento. E lui ha risposto che, boh, saranno state cinquanta, forse cento. In realtà con una divisione si è scoperto che sono 900. Così tante? Impossibile!

Poi è saltato fuori anche un altro argomento, classico quasi quanto il pi greco: quante volte si può piegare un foglio di carta. Ho iniziato con un problema noto (a quelli pratici dell'ambiente, naturalmente): se si potesse piegare un foglio di carta quante volte quante si vuole, quante pieghe si dovrebbero fare per arrivare fino alla Luna? Gli studenti hanno stimato a occhio che sarebbero serviti milioni di pieghe, mentre tutti sanno che la risposta è un semplice 42. Effettivamente è una risposta che ha dell'incredibile, ma è giusta.

Sembra che il record per la piegatura di un foglio di carta sia, attualmente, pari a 12 volte (quello di 13 pieghe non è stato omologato perché il malloppo risultante non stava in piedi da solo, ma aveva bisogno della stabilizzazione fornita dal peso di qualche studente). Qualcuno mi ha chiesto perché non si riesce a fare di più, in fondo basta avere a disposizione un foglio molto grande. L'ho invitato a fare il calcolo, prendendo ad esempio un foglio di carta grande quanto un campo da calcio (in ogni classe c'è sempre qualche studente che conosce le misure di un campo da calcio al millimetro).

Le misure di un campo da calcio sono variabili, per un'area che va dai 6400 agli 8250 metri quadrati: facciamo 8000. Dopo la prima piega diventano 4000, poi 2000, poi 1000, 500, 250, 125 (facciamo 128), 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1. E siamo arrivati alla misura di un foglio A0. Dividiamo ancora una volta e otteniamo un A1, poi un A2, un A3 e infine un A4. Totale: 17 pieghe, che corrispondono a uno spessore di 2¹⁷ pagine, cioè 131072. Piegando un foglio delle dimensioni di un campo da calcio si ottiene un libro di più di 130 mila pagine. Vedete, ho detto prendendo in mano un foglio A4, su un campo da calcio ci stanno centotrentamila fogli fatti così. E qualcuno, nonostante l'evidenza matematica, ha detto che era impossibile.

Ecco, tutto questo per dire che noi ci preoccupiamo di spiegare argomenti complicati come le disequazioni, i radicali o la geometria euclidea, usiamo l'algebra per astrarre sempre più, tendiamo a non eseguire più operazioni ma ci accontentiamo di indicarle, mentre chi ci sta davanti ha pochissima praticità già con i semplici numeri, quando sono un po' grandi (dove grande significa superiore a 20, di solito (le dita delle mani più quelle dei piedi, sì)).

E anche io, che ho scritto queste cose, ho un po' paura a schiacciare il bottone pubblica, perché potrei avere fatto qualche errore di calcolo. Sai che figura, dopo.

Il potere del teatro, e quello delle maestre (ovvero: coi gattini non si sbaglia mai)

Io e mia moglie abbiamo uno strano rapporto col teatro: ci piace sederci davanti, sotto al palco; ci piace vedere gli attori da vicino, ci piace renderci conto del fatto che è tutto vero: loro sono lì, l'opera d'arte è irripetibile, non ci sono effetti speciali, montaggi, trucchi. Ci piacciono gli sputini che fanno quando parlano, per dire come siamo messi. E ci succede una cosa strana: quando, alla fine dello spettacolo, si presentano tutti al pubblico, ringraziano e ricevono gli applausi, bé, noi ci commuoviamo.

Insomma, siamo stati a uno spettacolo teatrale un po' anomalo. Gli attori erano tutti bimbi di quarta elementare, e tra di loro ce n'era uno che, quando è arrivato in prima, non parlava. Dico, non parlava proprio, aveva problemi vari di cui non conosco la diagnosi precisa, ma di cui conosco l'effetto: a scuola aveva (e ha ancora) bisogno della maestra di sostegno.

Bé, in questo spettacolo teatrale la compagnia di quarta elementare ha proposto una libera interpretazione della Storia di una gabbianella e del gatto che le insegnò a volare. La trama, a grandi linee, è quella del romanzo, ma al suo interno gli attori hanno inserito le loro storie, le loro esperienze personali. L'hanno attualizzata e personalizzata.

Ebbene, il bimbo che in prima non parlava era anche lui un attore. Impersonava uno dei gatti amici del gatto protagonista, e aveva una parte comica: uno dei suoi amici gatti si mangiava sempre le parole, non sapeva pronunciare termini un po' difficili e allora lui interveniva e, con perfetta dizione, pronunciava il termine in modo corretto. La prima volta siamo rimasti tutti un po' stupiti, mai avremmo pensato che si sarebbe esposto a tanto. Mai l'avevamo sentito parlare davanti a tanta gente. La seconda volta abbiamo sorriso. La terza abbiamo riso di gusto.

E, dunque, se io e mia moglie ci commuoviamo di fronte a attori sconosciuti che ricevono gli applausi del loro pubblico, figuratevi come ci siamo sentiti di fronte a questi attori, alla fine dello spettacolo. Se, poi, aggiungiamo il fatto che tra di loro c'era anche il nostro figlio più piccolo, potete immaginare la scena pietosa.