Soldati - Una dimostrazione alternativa

“Se ben ricordo, hai parlato di Achille e la Tartaruga perché avevi detto che esiste un'altro modo di dimostrare che, nel gioco dei soldati, non si può arrivare alla quinta casella”.

“Esatto, un modo che richiede la conoscenza delle serie geometriche”.

“E come funziona?”.

“Prima di tutto dobbiamo utilizzare un numero particolare, la sezione aurea”.

“Ne ho già sentito parlare...”.

“Molto bene. Noi utilizzeremo questo valore: (√5 -1)/2, che indichiamo con φ, e con le sue potenze riempiremo la nostra scacchiera, così:”.

“Uhm, e adesso?”.

“Per prima cosa ci ricordiamo della definizione di φ: è una delle soluzioni dell'equazione x² + x - 1 = 0, che potremmo scrivere come x² + x = 1”.

“Va bene”.

“Il fatto che φ sia soluzione significa che possiamo sostituirlo alla x, e otteniamo la formula φ² + φ = 1”.

“Ok”.

“Ora ragioniamo come abbiamo fatto quando abbiamo usato i numeri di Fibonacci. Che succede se sposto un soldato verso l'alto?”.

“Ci provo. Allora, per spostare un soldato verso l'alto devi avere due caselle occupate, per esempio φ⁹ e φ⁸. Queste le cancelli e riempi invece φ⁷. Adesso?”.

“Adesso calcoli la differenza tra prima e dopo”.

“Dovrebbe essere φ⁹ + φ⁸ - φ⁷. E quanto fa?”.

“Prova a scriverla così: φ⁷ (φ² + φ - 1)”.

“Ah! Nella parentesi vedo l'espressione φ² + φ, che è uguale a 1. Quindi dentro alla parentesi c'è uno zero, e allora tutto vale zero!”.

“Bene. Se invece ci muoviamo verso il basso?”.

“Se ci muoviamo verso il basso devo passare da φ⁷ + φ⁸ a φ⁹, tanto per fare un esempio”.

“E quindi la differenza è?”.

“La differenza tra prima e dopo sarà φ⁷ + φ⁸ - φ⁹”.

“Che puoi scrivere come φ⁷(1 + φ - φ²). Dato che φ è circa uguale a 0.6, la quantità tra parentesi sarà sempre maggiore di zero”.

“Questo significa che se mi muovo verso il basso, la somma dei valori nelle caselle occupate diminuisce”.

“Perfetto. Ora parliamo dei movimenti verso destra e verso sinistra”.

“Bè, possiamo farla un po' più breve: o mi trovo di fronte a una sequenza di potenze decrescenti, come quando mi sposto verso l'alto, e in questo caso il totale dei valori nelle caselle rimane invariato, oppure mi trovo di fronte a una sequenza di potenze crescenti, come quando mi sposto verso il basso, e in questo caso il totale diminuisce”.

“Giusto. Rimarrebbe il caso particolare in cui devi attraversare la colonna centrale: per esempio, quando passi da φ⁷ + φ⁶ a φ⁷”.

“Bè, in quel caso il valore diminuisce”.

“Bene. Ora osserviamo che, dato che la somma totale nei movimenti può rimanere costante oppure diminuire, per poter fare arrivare un soldato nella casella con valore 1, bisogna che la somma totale sia maggiore o uguale a 1”.

“Va bene. Quanto è allora il valore totale delle caselle occupate dai nostri soldati?”.

“Dobbiamo calcolarla. Immagina che la prima riga, quella appena sotto alla linea blu, sia infinitamente estesa, sia a destra che a sinistra”.

“Vedo che abbiamo un φ⁵ centrale, e poi sia a destra che a sinistra si estende una successione di φ⁶, φ⁷, eccetera”.

“Giusto. Prova a calcolare la somma di φ⁶ + φ⁷ + ...”.

“Come faccio?”.

“Scrivila così:”.

φ⁶(1 + φ + φ² + φ³ + ...)

“Ah, ora tra parentesi ho la serie geometrica, la cui somma è 1/(1 - φ). Allora risulta φ⁶/(1 - φ)”.

“Ricordati che φ è soluzione di x² + x - 1 = 0, che potremmo scrivere così, questa volta: x² = 1 - x”.

“E quindi φ² = 1 - φ. Ah, ma allora φ⁶/(1 - φ) = φ⁴”.

“Giusto. Ora ricordati che hai un'altra serie come questa che va verso sinistra, e hai un φ⁵ centrale”.

“Va bene. Allora la prima riga ha come somma φ⁵ + 2φ⁴”.

“Adesso ti faccio fare un po' di passaggi: ricordati sempre che φ² + φ = 1”.

“Ok, sono pronto”.

“Scriviamo l'espressione che hai ottenuto come φ⁵ + φ⁴ + φ⁴, e poi raccogliamo φ³ tra i primi due termini”.

“Va bene, mi viene φ³(φ² + φ) + φ⁴”.

“Dato che φ² + φ = 1, puoi semplificare”.

“Giusto, viene φ³ + φ⁴”.

“Questa volta raccogli φ²”.

“Uhm, risulta φ²(φ + φ²), e dato che la parentesi vale 1, ottengo finalmente φ²”.

“Perfetto. Riassumendo, la somma dei valori della prima riga, che ha come elemento centrale φ⁵, è φ²”.

“Posso generalizzare?”.

“Certo, i calcoli per le altre righe sono identici, hai solo una potenza in più”.

“Allora il totale della seconda riga, quella con elemento centrale φ⁶, sarà φ³”.

“Certo, e poi avrai φ⁴, φ⁵, e così via. Ora immagina di sommare tutte le righe, andando via via verso il basso”.

“Uh, bello, una doppia serie geometrica... Allora, devo calcolare questa somma:”.

φ² + φ³ + φ⁴ + ...

“E quanto fa?”.

“Se raccolgo φ², ottengo φ²(1 + φ + φ² + φ³ + ...)”.

“Hai un'altra serie geometrica tra parentesi”.

“Vedo, quindi il risultato è φ²/(1 - φ). Un momento, dato che φ² è uguale a 1 - φ, ottengo 1”.

“Giusto. Quindi?”.

“Quindi se avessi infiniti soldati, il valore sarebbe quello giusto per poter arrivare fino alla quinta riga. Se ne ho a disposizione un numero finito, invece, la somma totale non raggiungerà mai 1, e quindi i soldati non arriveranno mai alla quinta riga. Wow”.

“E tutto questo grazie alle proprietà della sezione aurea, o dei numeri di Fibonacci”.

Carnevale della Matematica #9

È uscito da .mau. oggi. Il prossimo sarà ospitato qui, cominciate già a pensare a cosa scrivere...

Soldati - Somme infinite

“Ma dai, figuriamoci se qualcuno ha pensato sul serio che Achille non fosse in grado di raggiungere e superare la tartaruga”.

“A parte i miei studenti, intendi? Che dopo che io ho raccontato la storia mi chiedono sempre se è proprio vero che Achille non ce la fa a vincere la gara di corsa?”.

“Eh, sì”.

“Bè, la descrizione del paradosso viene da Zenone di Elea, un filosofo greco. In effetti i greci ne dovevano sapere di gare di corsa”.

“Appunto. E quindi? Perché tutta questa storia?”.

“La storia serve per fare capire che non è così semplice parlare di somme infinite”.

“In che senso?”.

“Nel senso che la descrizione fatta dalla signorina Tartaruga è giusta, dopotutto. Achille deve davvero percorrere tanti piccoli pezzi, se ogni volta vuole raggiungere la posizione in cui si trovava la tartaruga precedentemente. Naturalmente impiegherà sempre meno tempo, e a un certo punto raggiungerà e sorpasserà la tartaruga. Il fatto è che, se vogliamo seguire la descrizione del moto fatta dalla signorina Tartaruga, dobbiamo sommare infiniti segmenti sempre più piccoli, e anche infiniti istanti di tempo sempre più piccoli. E non è ovvio il modo in cui possiamo farlo, come spiega il paradosso”.

“Uhm, comincio a capire. Quando si ha a che fare con gli infiniti ci sono sempre dei problemi”.

“Esatto. Pensa a questa somma:”.

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

“Quando mi fermo?”.

“Mai”.

“Ah. Sommo tutte le frazioni con denominatori del tipo 2ⁿ. Sono numeri sempre più piccoli, però sono anche infiniti”.

“Già. E la domanda a cui è difficile rispondere è questa: quanto risulta?”.

“Boh? Come si fa a saperlo?”.

“Prova a guardare questa figura:”.

“Che roba è?”.

“È un segmento lungo due unità. Noterai che è stato diviso in tanti segmenti più piccoli”.

“Vedo”.

“Partiamo da sinistra. Il primo segmento che vedi è la metà del totale”.

“E quindi è lungo una unità”.

“Giusto. Il puntino che si vede è proprio il punto medio del segmento grande. Se osservi bene, la metà di destra è stata divisa ulteriormente a metà da un altro puntino”.

“Sì, e mi pare anche che ogni metà di destra sia divisa ulteriormente a metà. A un certo punto i pallini sono così vicini che non si capisce più niente”.

“Non si capisce, in effetti, ma possiamo pensare che questo procedimento di dividere a metà la metà di destra non abbia mai fine”.

“Ok, i segmenti contengono infiniti punti”.

“Bene, ora ti domando: quanto sono lunghi questi segmenti?”.

“Dunque, abbiamo detto che il primo è lungo una unità, cioè 1. Il secondo è lungo la metà di 1, cioè 1/2. Il terzo è la metà del secondo, cioè 1/4. Poi ci sarà 1/8, 1/16... Ho capito, è una rappresentazione grafica della somma infinita che mi hai scritto prima”.

“Esatto. Ora puoi calcolare il risultato di quella somma infinita, anche se in modo non del tutto rigoroso”.

“E come faccio?”.

“Ti basta vedere quanto è lungo il segmento”.

“Ah, già. Il segmento è lungo due unità. Vuol dire che quella somma di infiniti termini ha come risultato 2?”.

“Sì. Puoi interpretare il disegno come il percorso fatto da Achille. Ogni volta deve correre lungo un tratto che è sempre più breve, ma alla fine riuscirà a raggiungere la tartaruga e a sorpassarla”.

“Ho capito. Ma si riesce anche a dimostrare in modo rigoroso che il risultato è proprio 2?”.

“Sì, ma bisogna sviluppare una teoria complicata, che richiede l'uso dei limiti. I Veri Matematici chiamano serie geometrica quella somma infinita. Noi possiamo fare qualche calcolo, anche se non del tutto rigoroso”.

“Proviamo”.

“Allora, la somma che vogliamo calcolare è la seguente:”.

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = x.

“Ok, hai indicato con x il risultato che vogliamo trovare”.

“Sì. Quella somma può anche essere scritta in questo modo:”.

1 + 1/2(1 + 1/2 + 1/4 + ...) = x

“Uhm, va bene, anche se non capisco bene il motivo di questa complicazione”.

“Osserva bene ciò che è scritto dentro alla parentesi. Non noti niente?”.

“Bè, è una somma infinita anche quella... Un momento, è proprio la somma che vogliamo calcolare! Uffa, non mi abituerò mai a questi paradossi”.

“Già, è qui che la dimostrazione diventa poco rigorosa. Per fare le cose per bene dovremmo prima utilizzare delle somme finite, e poi fare il limite. Ma siccome i limiti sono difficili, ci accontentiamo”.

“Va bene, va bene. Ora che facciamo?”.

“Ora, dato che hai visto anche tu che quella che è dentro alla parentesi è proprio la somma che vogliamo calcolare, e dato che a quella somma noi abbiamo dato il nome di x, facciamo una sostituzione:”.

1+ 1/2 x = x.

“Uhm, mi pare che questo si possa definire Trucco Ignobile”.

“Lo è, infatti. Ma prova a calcolare x”.

“Questo è facile, viene x = 2. Ehi, è proprio il calcolo che avevamo fatto prima guardando il segmento!”.

“Esatto. Questa tecnica, anche se farebbe inorridire un Vero Matematico, può essere usata per calcolare il risultato di altre somme infinite. Possiamo usarla per tutte le serie geometriche convergenti”.

“Spiega, spiega”.

“Invece di prendere le potenze di 1/2, prendiamo le potenze di un generico numero q”.

“Va bene, in questo caso la tua somma dovrebbe diventare così:”.

1 + q + q² + q³ + ... = x.

“Bene. Riesci a fare la trasformazione che ho fatto prima?”.

“Se non sbaglio, è questa:”.

1 + q(1 + q + q² + q³ + ...) = x

“Vero. Hai notato che all'interno della parentesi c'è ancora x?”.

“Ah, giusto. Allora posso scrivere questo:”.

1 + qx = x

“E, se risolvi l'equazione, cosa ottieni?”.

“Ottengo che x = 1/(1 - q)”.

“Molto bene. Questo è il risultato della somma di infinite potenze di q. Hai calcolato la somma di una serie geometrica, di cui q viene detta ragione”.

“E perché dici che questo procedimento non è rigoroso? Non funziona sempre?”.

“Prova a calcolare il risultato della somma infinita quando q è uguale a 2”.

“Cioè dovrei calcolare il risultato di questa espressione?”.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...

“Già, una serie geometrica di ragione 2”.

“Secondo la formula viene 1/(1-2). Oh oh, risulta -1”.

“Ti pare possibile che la somma di infiniti numeri positivi, sempre più grandi, dia come risultato un numero negativo?”.

“Eh, no”.

“Ecco spiegato il motivo. Quel risultato vale solo quando la serie converge, cioè quando q è minore di 1 (se usiamo anche i numeri negativi, allora q deve essere compreso tra -1 e +1, ma se vogliamo stabilire chi vince la gara di corsa tra Achille e la Tartaruga non abbiamo bisogno di numeri negativi)”.

Soldati - Il piè veloce Achille e la signorina Tartaruga

“Buongiorno, signorina Tartaruga!”.

“Oh, buon giorno, signor Achille. Dove va così di fretta?”.

“Ah, stavo facendo una corsetta per tenermi in allenamento, non ho una meta particolare”.

“Bravo, bravo, si tenga in forma. Anzi, senta...”.

“Mi dica”.

“Le andrebbe di fare una gara di corsa con me?”.

“Con lei?”.

“Con me, certo. Un omone grande e grosso come lei non avrà paura, vero?”.

“Ma no, certo che no. Però, sa, con rispetto parlando, io penso che non sia proprio una gara alla pari”.

“Eh, lo so. Per questo mi domandavo se lei fosse così gentile da lasciarmi un po' di vantaggio. Non tanto, sa? Mi basta poco”.

“Va bene, se proprio vuole”.

“Facciamo così, allora. Lei parte da qua, e io mi metto un po' più avanti, diciamo a circa dieci metri. Vince chi arriva per primo a quell'albero là in fondo, lo vede?”.

“Quello con il bersaglio appeso?”.

“Proprio quello. C'era un signore, prima, che stava cercando di lanciare delle frecce, andava avanti e indietro, prendeva delle misure. Non ho ben capito, ma mi pare che alla fine di frecce non ne abbia lanciato nemmeno una”.

“C'è della gente strana, al mondo. Ecco, io mi metto in posizione, mi dica lei quando vuole partire. Dia il segnale, e io parto”.

“Sa che lei mi sembra un po' troppo sicuro di vincere?”.

“Bè, lei mi scuserà se le ho dato questa impressione, ma mi pare proprio di riuscire a batterla anche se le ho dato dieci metri di vantaggio”.

“Perché lei pensa di riuscire a raggiungermi in breve tempo, immagino?”.

“Eh, sì. In un attimo riesco a percorrere quei dieci metri che mi separano da lei”.

“Ma lei ha pensato a cosa succede, mentre percorre quei dieci metri?”.

“No, cosa succede?”.

“Succede che anche io faccio un pochino di strada, sa? Quando lei ha percorso i suoi dieci metri, io mi sono spostata un po' dalla mia posizione”.

“E allora?”.

“E allora lei dovrà percorrere anche quel po' di strada in più che io ho percorso”.

“Va bene, non sarà un problema”.

“Ma mentre lei percorre quel pezzetto di strada, io riuscirò a farne ancora un po', e lei dovrà percorrere anche quell'ulteriore pezzo”.

“Oh, già”.

“Lei capisce che, ogni volta che percorre un po' di strada, io riuscirò sempre a farne un altro pezzetto. Insomma, riuscirò sempre a starle davanti”.

“Oh!”.

“E quindi lei non riuscirà a vincere”.

“Non ci avevo pensato, sa che ha ragione?”.

“In altre parole, vincerò io”.

“Ecco, io, credevo...”.

“Comunque, se ora vuole partire, io sono pronta”.

“Vede, il fatto è che, dopo la descrizione che ha fatto, io non mi sento più tanto in forma per gareggiare”.

“Vuol dire che si ritira?”.

“Mah, sì, pensavo che forse dovrei allenarmi ancora un pochino”.

“Come vuole. Allora la saluto, quando vuole tornare a sfidarmi io sono sempre qui”.

“Va bene, ci penserò. Ora vado a correre ancora un po', arrivederci”.

“Arrivederci, signor Achille”.

“Ah, signorina Tartaruga?”.

“Sì?”.

“Complimenti per la gara, non mi era mai capitato di perdere senza gareggiare. A dir la verità, non mi era ancora capitato di perdere”.

“C'è sempre una prima volta, signor Achille. Si faccia coraggio, e si alleni. Arriverci!”.

“Arrivederci, signorina Tartaruga!”.

Soldati - La più bella dimostrazione della matematica

“Oh, ci ho provato e riprovato, ma non ce l'ho fatta a spingere un soldato fino alla quinta riga”.

“Eh, lo so”.

“Come, lo sai?”.

“Lo so perché è impossibile”.

“Ma come? Potevi anche dirmelo prima!”.

“E privarti del piacere di provare il gioco?”.

“Grrr. E come mai è impossibile? Si dimostra?”.

“Certo. La dimostrazione a me piace moltissimo, vuoi vederla?”.

“Ah, sì, dopo aver provato tante volte, ora voglio sapere perché non ci si riesce”.

“Bene. Dobbiamo mettere un po' di numeri sulla nostra scacchiera: cominciamo dal basso, e scegliamo arbitrariamente la settima riga sotto il confine con il deserto”.

“Perché proprio quella?”.

“Non è importante, da qualche parte dobbiamo partire. Poi ti dico cosa succede se decidiamo di partire da un'altra riga”.

“Ok”.

“Ora ci espandiamo, verso l'alto, destra e sinistra, mediante i numeri di Fibonacci”.

“Fibonacci? La successione 1, 1, 2, 3, 5, eccetera? Quella in cui ogni numero è la somma dei due precedenti?”.

“Giusto, quella”.

“E cosa c'entra adesso Fibonacci?”.

“Eh, è questo il genio della dimostrazione, stai a vedere. Riempiamo la scacchiera fino ad arrivare alla famosa quinta riga, guarda:”.

“Uhm, vedo. Quella casella con il 144 sarebbe quella da raggiungere, giusto?”.

“Certo. Ora ragioniamo sulle mosse che si possono fare per fare muovere un soldato”.

“Bè, un soldato potrebbe muoversi verso l'alto, scavalcando un suo compagno ed eliminandolo”.

“Ok, facciamo un esempio. All'inizio la situazione potrebbe essere questa:”.

“Allora, il soldato sulla casella col 5 salta quello sulla casella con 8 e arriva sulla 13”.

“Perfetto. Ora calcola la somma delle caselle con i soldati prima e dopo il movimento”.

“Allora, prima del movimento abbiamo un soldato sul cinque e uno sull'otto, totale tredici”.

“E dopo il movimento?”.

“Dopo, bè, c'è solo la casella col tredici. Quindi è ancora tredici. Ah, ho capito! La somma non cambia, è la definizione dei numeri di Fibonacci. Ogni numero è la somma dei due precedenti, allora ogni volta che un soldato salta e ne mangia un altro la somma dei numeri sulle caselle non cambia”.

“Benissimo. Questo per quanto riguarda i movimenti verso l'alto. Se invece ci muoviamo verso il basso?”.

“Perché mai dovremmo muoverci verso il basso?”.

“In effetti, sembra che non abbia molto senso, ma non si sa mai: non escludiamo nessuna possibilità”.

“Va bene. In questo caso passeremmo da un 13+8 a un 5: il valore diminuisce”.

“Perfetto. Vediamo ora un movimento verso destra oppure verso sinistra”.

“Qua dipende se mi trovo a sinistra o a destra della colonna che passa per il 144”.

“Sì, e dipende anche dalla direzione in cui vai. Se ci pensi, ci sono due possibilità: o vai verso numeri crescenti, oppure verso numeri decrescenti. C'è anche un caso particolare in cui attraversi la colonna centrale, per esempio nella sequenza 13, 21, 13, ma possiamo metterlo nel caso dei numeri decrescenti”.


“Fammi capire. Potrei avere una sequenza di questo tipo:”.

 
“Giusto. E che succede?”.

“Ah, è come prima, sostituisco 13+21 con 34, la somma non cambia”.

“E se vai verso sinistra?”.

“Se vado nell'altro senso, sostituisco 34+21 con 13, la somma diminuisce”.

“Bene, vedi allora che anche nel caso in cui attraversi la colonna centrale il risultato diminuisce”.

“Ah, ok. Se considero le caselle 13, 21, 13, devo sostituire 13+21 con 13, il risultato diminuisce certamente”.

“Perfetto. Quindi, riassumendo, un qualsiasi movimento dei soldati potrebbe o lasciare invariata la somma totale contenuta nelle caselle occupate, oppure potrebbe farla diminuire. Non è possibile che aumenti”.

“Giusto, abbiamo analizzato tutti i possibili movimenti”.

“Ora immagina di avere un soldato per ogni casella numerata sotto alla linea blu. Quanto è la somma totale?”.

“Uhm, devo fare i calcoli. La prima riga vale 1, la seconda 3, la terza 6, poi 11, 19, 32 e 53. Il totale è 125”.

“E alla fine di tutte le mosse dove vuoi arrivare?”.

“Alla casella 144”.

“E sapendo che le tue mosse lasceranno invariato oppure faranno diminuire la somma totale, cosa concludi?”.

“Che la somma totale non è sufficiente per arrivare a 144, e quindi non riesco ad arrivarci. Bello! Ma potrei aggiungere qualche pedina in più?”.

“Se lo fai, anche il tuo 144 aumenterà. Si può dimostrare che il triangolo di numeri di Fibonacci presente sotto alla linea blu, centrato su un generico numero di Fibonacci, che indichiamo con F_n (nel nostro esempio è 13), ha sempre somma totale minore di F_n+5. E quindi non raggiungerai mai la quinta riga”.

“Molto bello”.

“A me piace molto perché è una dimostrazione che usa un concetto che apparentemente non ha alcun legame col problema, e poi invece scopri che è un'idea geniale per risolverlo. Esiste anche un'altra dimostrazione, molto simile a questa, che non usa direttamente i numeri di Fibonacci, ma usa la sezione aurea, che è comunque legata alla successione di Fibonacci. Però bisogna conoscere le serie geometriche, altrimenti si fa come Achille con la Tartaruga”.

“Eh?”.

Moon, you che brilling in the ciel

In questi giorni la luna è particolarmente vicina alla terra. Da qua si vede così.

Soldati - Avanzata

“Bè, io ce l'ho fatta a mandare qualche soldato in avanti”.

“Bene, spero che tu non abbia cercato la soluzione su internet”.

“Ah, perché, c'è?”.

“Già, basta cercare il gioco dei soldati di Conway”.

“Quel Conway?”.

“Sempre lui, già. Dai, fammi vedere fino a dove riescono ad andare i tuoi soldati”.

“Allora, far fare un solo passo oltre alla linea blu è facile, ecco qua:”.

“Giusto. Il soldato più in alto si sacrifica, quello sotto lo scavalca e arriva nella posizione indicata dal cerchio rosso. Era in effetti facile. Si può andare oltre?”.

“Sì. Si riesce a spingere un soldato fino alla seconda riga con questa configurazione:”.

 
“Molto bene!”.

“Ah, ma ho fatto di meglio. Ecco qua il sistema per arrivare fino alla terza riga:”.

“Bene, bene. Non dirmi che arrivi anche alla quarta riga...”.

“Eh, è stata dura, ma ecco qua:”.

“Ottimo! E, dimmi, per quanto riguarda la quinta riga?”.

“Ecco, ci sto lavorando. Ma ce la farò, ormai ho una certa pratica”.

“Eh eh eh”.

Soldati - il gioco

Siamo in zona di guerra.

 Al di sotto della linea blu c'è il nostro spazio: lì possiamo mettere in posizione i nostri soldati. Al di sopra, il deserto.

Nella figura è rappresentato un solo soldato: da solo non può muoversi, ma deve essere aiutato da altri compagni. Ogni soldato ne può scavalcare un altro adiacente (muovendosi in orizzontale oppure in verticale, ma non lungo la diagonale): il soldato scavalcato viene sacrificato e tolto dal campo di battaglia.

Possiamo mettere quanti soldati vogliamo nella zona al di sotto della linea blu, zona che si estende verso il basso, a destra e a sinistra indefinitamente. Il nostro scopo è quello di fare addentrare il più possibile nel deserto almeno uno dei nostri soldati.

Quanto avanti riusciamo a spingerci?

Due idioti

Io e mia moglie ci stiamo urlando da una stanza all'altra:

“Ci sposiamo?”.

“Sì, dai!”.

Già, feisbuc.

Sottili confini

La differenza tra Vero Pilota, che guida abilmente sulla neve senza catene, e Vero Coglione, che si intraversa e ti fa fare un quarto d'ora di sosta non voluta, sta tutta in un tornante dal fondo ghiacciato.

Promemoria

Se proprio devi toglierti i guanti, non appoggiarli sulla neve con l'apertura controvento.

-1

Lo sapete, vero, che questa notte il Vero Matematico, partecipando al conto alla rovescia per gli auguri di capodanno (ammesso che un Vero Matematico partecipi a questi eventi mondani), dovrà contare fino a -1?

(Un Vero Matematico che si trovi nel fuso orario di Greenwich, naturalmente)

La biblioteca di Babele

Scopro, attraverso FriendFeed, un meraviglioso studio sulla architettura della Biblioteca di Babele. Da leggere, per capire fino a dove può arrivare un matematico...

Sliding doors

Nella vita di una persona capitano eventi speciali, che dopo anni vengono ricordati ancora come se fossero accaduti solo pochi minuti prima, e che segnano momenti importanti.

Per esempio, se qualcuno mi domandasse quando ho cominciato ad apprezzare i giochi matematici, io non avrei dubbi a rispondere. È successo mentre leggevo un libro. Questo libro:



Adesso non ridete, dico davvero, i manuali delle Giovani Marmotte sono cose serie. Guardate un po' cosa si trova alle pagine 44-45:

Un giochetto semplice, che mi aprì un mondo. Ho sempre associato l'immagine dei pozzi scavati dalla talpa con il concetto di gioco bello. Anni dopo ho scoperto che il gioco si chiama Sprouts, ed è stato inventato da Conway. Nel tempo, ho iniziato a incontrare il nome di Conway ogni volta che scoprivo un argomento interessante: leggo Le Scienze, vedo che si parla di uno strano gioco senza giocatori, che si fa bene sui computer; dico bello, devo aver visto qualche salvaschermo, come si chiama questo gioco? Life. Chi lo ha inventato? Conway.

All'università mi parlano di teoria dei gruppi, mi spiegano che i gruppi semplici finiti sono i mattoni che formano tutti i gruppi, così come i numeri primi formano tutti i numeri, e mi raccontano che il teorema di classificazione di tutti i gruppi semplici finiti è un'opera colossale composta da più di 500 articoli, scritti da un centinaio di autori tra il 1955 e il 1983. Alcuni gruppi, pur essendo finiti, sono giganteschi. Uno di questi è composto da 4,157,776,806,543,360,000 elementi, e — guarda un po' — si chiama gruppo di Conway.

Insomma, per farla breve, ho ritrovato Conway un po' ovunque, durante il mio cammino all'interno della matematica. È l'autore della più bella dimostrazione della matematica (eh, prima o poi la racconterò), ha studiato il decadimento audioattivo, è lo scopritore dei numeri surreali. Insomma, si dice che i matematici siano specializzatissimi nel loro campo, che studino solo le loro cose e non sappiano niente del resto. Per il matematico medio questo è certamente vero, ma ci sono alcuni geni che, ancor oggi, riescono ad avere visioni più ampie. Conway è uno di questi.



L'ultimo libro che ho letto è Rudi Ludi, scritto dal trio dei Rudi Mathematici. Parla di giochi, sia nel senso della teoria dei giochi di Nash (sì, quello di A Beautiful Mind), sia nel senso della teoria dei giochi di Conway. Spiega come si possano analizzare i giochi, come possa fare per cercare una strategia vincente, come si possa fare della matematica seria divertendosi. Le ultime pagine contengono un breve elenco di giochi da giocare, che non sono stati spiegati, analizzati e smontati nelle pagine precedenti. Indovinate un po' cosa ho ritrovato in questo elenco?

Sì, il giochino della talpa.

Tortellini natalizi

Allora, la soluzione al problema dei tortellini scomparsi è stata fornita da mia suocera, abile tortellinatrice di provata esperienza: i tortellini freschi, lasciati in freezer, si seccano perdendo circa un 10% del loro peso.

Tortellini e cocomeri

Il problema dei tortellini scomparsi mi ha fatto venire in mente un altro problema, presentato alle olimpiadi della matematica qualche tempo fa.

Un coltivatore ha immagazzinato 200 kg di cocomeri, pronti per la vendita. La giornata è molto calda e i cocomeri, che inizialmente contenevano il 99% d'acqua, ora ne contengono soltanto il 98%. Quanto è ora il loro peso?

Provate a risolverlo, la soluzione è inaspettata.

L'Illuminazione

La differenza fondamentale tra l'uomo e la donna sta nel fatto che per l'uomo zero per infinito fa zero, per la donna invece fa infinito.

Proporzioni

Ieri è finito il terzo volume di Heroes, di cui non dico nulla se non che Heroes sta a Suresh come Star Wars sta a Jar Jar Binks.

Nel quarto volume compare Obama.

Fisica applicata nel modenese

Durante una interessantissima lezione sui limiti, due studenti in prima fila stanno sviluppando una teoria rivoluzionaria:

“Oh, ma te lo sai che i tortellini in freezer pesano meno?”.

“Cosa?”.

“...ed ecco che abbiamo ricavato un nuovo limite notevole...”.

“Ma sì, ieri mia mamma ha fatto i tortellini, e li abbiamo pesati”.

“E allora?”.

“...cercate di capire lo scopo dei limiti notevoli: perché li usiamo?...”.

“E allora dopo averli messi in freezer li abbiamo pesati di nuovo, e pesavano 35 grammi di meno”.

“Ma dai!”.

“...abbiamo un limite notevole per ogni funzione che conosciamo...”.

“Boh, non capisco. Ho pensato che il ghiaccio ha una densità diversa rispetto all'acqua”.

“Vabbè, ma non credo che c'entri”.

“...e comunque, se non siamo interessati ai limiti notevoli, ricordiamoci che la massa si conserva!”.

“Vabbè, prof, ma la bilancia misura il peso, non la massa”.

“Senti, se non ti sposti sulla luna o comunque in un posto dove la gravità è diversa, la tua bilancia va benissimo”.

“Ma allora?”.

“Allora i casi sono due: o hai dei tortellini relativistici, oppure hai dei tortellini radioattivi”.

Carnevale della matematica - ottava edizione

È uscita oggi, presso Matematica 2005, l'ottava edizione del carnevale della matematica. Andate a dare un'occhiata perché ci sono cose interessanti.

Gibellina

Ho visitato Gibellina qualche anno fa: è un luogo che ti lascia emozioni opposte. In ogni incrocio puoi trovare un'opera d'arte moderna. Sculture in pietra, in metallo, architetture. La chiesa è una sfera, bellissima: la sua costruzione venne iniziata nel 1985, e nel 1989 fu aperta al culto. Nel 1994 crollò la copertura del tetto.

Wikipedia dice che nel 2002 sono iniziati i lavori di restauro, ancora in corso. Quando l'ho vista io (dopo il 2002, mia moglie saprà indicare certamente la data esatta) era abbandonata, nessuno stava lavorando a niente. L'impressione che hai, entrando nel paese, è quello di desolazione. Se fai domande alla gente sulla chiesa, sulla ricostruzione, sulla valorizzazione del loro paese, vedi la rassegnazione.

Stiamo parlando di Gibellina Nuova, cioè il paese costruito negli anni successivi al terremoto del Belice. Della Gibellina vecchia (che si trova ad alcuni chilometri dalla nuova, in una zona collinare) sono rimasti alcuni ruderi di case semidistrutte dal terremoto.

E poi c'è il cretto di Burri. Nella zona centrale del vecchio paese c'è un monumento: una immensa colata di cemento che ripercorre le vie della vecchia Gibellina. Agghiacciante e meraviglioso allo stesso tempo.


Visualizzazione ingrandita della mappa

Trovate una definizione migliore

Il telegiornale parla di Facebook.

“Babbo, ma cos'è Facebook?”.

“Eh, uhm, è... sì, cioè, tu... ehm. È un social network!”.

“Eeh?”.

“Ma sì, tu ti colleghi, hai degli amici, li vedi, loro ti vedono, scrivi delle cose...”.

“Ah, ho capito! È come aNobii, ma senza libri!”.

Kenissuaq!

Pare che Berardi e Milazzo stiano progettando di lavorare alla storia finale della saga di Ken Parker. Incrocio le dita e spero che il fumetto più bello dell'universo (già) trovi davvero una degna conclusione.

Oops!... They did it again

.mau., che legge un libro ogni due giorni, l'ha già finito; io ne ho sfogliato solo qualche pagina (oltre ad averne letto un capitolo, presentato sull'ultimo numero di RM): la prima impressione è positiva, e l'argomento è interessante.



I Rudi Mathematici hanno pubblicato un secondo libro, Rudi Ludi, dedicato ai giochi. Si parla (anche) di Nash, di Conway e di numeri surreali. Mi basta questo per buttarmi nella lettura.

Questa è meravigliosa

Un numero infinito di matematici entra in un bar.
Il primo ordina una birra.
Il secondo ordina mezza birra.
Il terzo ordina un quarto di birra.
Il barista dice “siete degli idioti” e serve due birre.

(Via phonkmeister)

I sette messaggeri

Avete mai letto “I sette messaggeri”, di Dino Buzzati? No? E cosa fate ancora qua? Andate a leggerlo, via.



“Fatto. Carino, un po' angosciante, eh”.

“Un pochino, in effetti”.

“Certo che tutti quei conti...”

“Cos'hanno?”.

“Insomma, Buzzati voleva un po' tirarsela, ecco”.

“Guarda che non sono mica conti messi a caso”.

“No? Cioè, vuoi dire che sono... giusti?”.

“Eh sì”.

“E come fai a saperlo?”.

“Bè, dico, son domande da fare queste?”.

“Naa, hai fatto i conti?”.

“Già”.

“Ma sei un nerd totale”.

“Preferirei essere considerato un Vero Matematico”.

“Come vuoi, contento tu”.

“E non sei curioso di vedere i calcoli?”.

“Mh. Un pochino, solo perché il racconto mi è piaciuto”.

“Pronti. Allora, la carovana del figlio del re procede a 40 leghe al giorno; invece i messaggeri viaggiano una volta e mezzo più veloci, cioè 60 leghe al giorno”.

“Ok, questo lo dice anche il racconto, quindi è vero”.

“Allora, supponiamo che in un certo istante un messaggero decida di partire. La carovana ha già percorso una certa distanza, che indichiamo con x”.

“Bene. Non sappiamo quanto è, e quindi la indichiamo con x? Non potremmo fare un esempio?”.

“Se lasciamo x troviamo una legge generale”.

“Va bene”.

“Quanto tempo è passato?”.

“E come faccio a saperlo, se non conosco x?”.

“Sapendo che la carovana fa 40 leghe al giorno, se ha percorso x leghe quanti giorni sono passati?”.

“Uhm, se non sbaglio vale la relazione spazio uguale velocità per tempo”.

“Esatto. Quindi, se indichiamo con t₀ il tempo trascorso, possiamo scrivere x = 40t₀”.

“Ho capito. E adesso?”.

“Ora ci chiediamo dopo quanti giorni tornerà il messaggero: dobbiamo uguagliare lo spazio percorso dalla carovana, che indichiamo con 40t, con lo spazio percorso dal messaggero, che indichiamo con 60t - 2x”.

“Perché devi togliere 2x?”.

“Perché prima il messaggero deve tornare indietro, percorrendo una lunghezza x. Poi deve tornare al punto da cui era partito, percorrendo nuovamente x. Finalmente può cominciare a percorrere della strada nuova, al ritmo di 60 leghe al giorno”.

“Ho capito: dobbiamo risolvere l'equazione 40t = 60t - 2x”.

“Sì, prova a ricavare t”.

“Risulta 20t = 2x, quindi t = x/10”.

“Ricordando che x è uguale a 40t₀ cosa ottieni?”.

“Ottengo che t = 4t₀”.

“E dunque possiamo dire che se il messaggero parte al tempo t₀, tornerà dopo 4t₀, e cioè tornerà al tempo 4t₀ + t₀ = 5t₀”.

“Ah, ma è vero! Lo dice anche il testo: Ben presto constatai che bastava moltiplicare per cinque i giorni fin lì impiegati per sapere quando il messaggero ci avrebbe ripresi”.

“Visto? Buzzati non ha sbagliato i calcoli”.

“Ma poi ne fa anche degli altri. Per esempio, calcola il distacco tra due messaggeri”.

“Possiamo farlo anche noi, con la legge appena trovata. Il racconto ci dice che il primo messaggero parte il giorno 2, il secondo il giorno 3, e così via fino al settimo, che parte il giorno 8. Ora, utilizzando la formula che abbiamo appena trovato, dimmi quando torneranno i sette messaggeri”.

“La formula ci dice che devo moltiplicare per cinque i giorni impiegati, quindi il primo messaggero torna il giorno 5×2=10, il secondo torna il giorno 5×3=15, fino al settimo che torna il giorno 5×8=40. Ognuno riparte subito, giusto?”.

“Ecco, in effetti riparte la mattina dopo, dopo essersi riposato. Ma anche la carovana è stata ferma durante la notte, quindi dovremmo considerare, come giorno di partenza di ogni messaggero, lo stesso giorno di arrivo. La carovana si mette in moto dopo, per percorrere le sue 40 leghe giornaliere”.

“Allora se il primo messaggero riparte il giorno 5×2, tornerà il giorno 5²×2”.

“Bravo, e il secondo tornerà il giorno 5²×3, e cioè dopo 25 giorni”.

“Ah, anche il testo lo dice! Dopo cinquanta giorni di cammino, l'intervallo fra un arrivo e l'altro dei messaggeri cominciò a spaziarsi sensibilmente; mentre prima ne vedevo arrivare al campo uno ogni cinque giorni, questo intervallo divenne di venticinque”.

“Esatto. Anche qui possiamo ricavare una legge: prova a considerare la successione dei giorni di arrivo:”.

2, 3, ..., 8,
5×2, 5×3, ..., 5×8,
5²×2, 5²×3, ..., 5²×8,
5³×2, 5³×3, ..., 5³×8,
...

“Uhm, mi sembra difficile”.

“Ragioniamo in questo modo: indichiamo con n la posizione di un valore all'interno della successione. Cioè, per n uguale a 0 abbiamo il primo valore, che è 2. Per n uguale a 1 abbiamo il secondo, che è 3, eccetera”.

“Uff, questa mania dei Veri Matematici di cominciare a contare da zero. Va bene, e poi?”.

“Vedi che il valore dell'esponente del 5 cambia dopo 7 passi: da 0 a 6 l'esponente è zero, da 7 a 13 invece vale 1, poi 2, 3, e così via. Ci basta fare la divisione di n per 7 per trovare l'esponente del 5”.

“E come facciamo coi numeri con la virgola?”.

“No, niente virgola. Devi considerare la divisione con resto: per esempio, per trovare il valore che occupa la decima posizione devi calcolare 10/7, che fa 1 con il resto di 3”.

“Questo significa che l'esponente vale 1? Ah, sì, vedo che in effetti è così”.

“Esattamente. Se poi prendi il resto della divisione, e lo aumenti di 2, ottieni il fattore moltiplicativo. In pratica alla posizione 10 troverai 5×5”.

“Giusto anche questo. Un po' macchinoso, ma funziona. Provo a scrivere una formula generale: a(n) = 5^{n div 7}(n mod 7 + 2)”.

“Molto bene, vedo che hai usato un linguaggio da informatico: div sarebbe il quoziente della divisione, mentre con mod ottieni il resto. Bravo; ora puoi anche verificare l'affermazione che dice che dopo 50 giorni si vede arrivare un messaggero ogni 25 giorni”.

“E come faccio?”.

“Puoi provare a esprimere 50 nella forma 5ⁿ×m”.

“Bè, è facile, 50 è 5²×2. Ah, ho capito: dopo avremo 5²×3, e il distacco è di 25 giorni”.

“Giusto, in pratica dato un certo numero di giorni devi trasformarlo nella forma che meglio approssima 5ⁿ×m e guardare quanto vale l'esponente del 5”.

“Vediamo: il testo dice che dopo 6 mesi l'intervallo tra un messaggero e l'altro è di 4 mesi. Allora, 6 mesi sono 180 giorni...”.

“Anche un po' di più, qualche mese è di 31 giorni”.

“Giusto. Non posso però esprimere 180 come 5ⁿ×m”.

“Non importa: tieni presente che 180 è un valore poco preciso, e poi hai un certo periodo durante il quale i messaggeri arrivano sempre con la stessa cadenza. In pratica il settimo messaggero arriva il giorno 5²×7 = 175, poi l'ottavo arriva il giorno 5²×8 = 200, poi ritorna il primo il giorno 5³×2=250. A questo punto comincia la cadenza di 125 giorni, che sono circa quattro mesi”.

“Ci sono, e provo ad andare avanti. Il testo dice che dopo 4 anni i messaggeri arrivano ogni 20 mesi. Quattro anni sono 1460 giorni (volendo fare i Veri Matematici, sono 1461): siamo nell'ordine di 5⁴, cioè 625 giorni di intervallo. È giusto, sono circa 20 mesi”.

“Perfetto. Ora andiamo al finale: sono trascorsi otto anni e mezzo, cioè circa 3100 giorni. Il quarto messaggero, Domenico, è appena entrato nella tenda: i calcoli ci dicono che Domenico dovrebbe presentarsi il giorno 5⁴×5, cioè 3125”.

“Praticamente perfetto”.

“Domenico era arrivato all'accampamento l'ultima volta sette anni fa”.

“Vediamo, la volta precedente era la numero 5³×5, cioè 625. È stato 2500 giorni prima. Quasi sette anni, giusto”.

“Dovrebbe ritornare dopo 34 anni, quando chi scrive ne avrà 72”.

“Uh, qua possiamo fare un po' di considerazioni. Verifichiamo se è vero che tornerà tra 34 anni: dovrebbe tornare al giorno 5⁵×5, cioè 15625. Passano 12500 giorni, fanno giusto 34 anni e rotti”.

“Bene. E quali altre considerazioni vuoi fare?”.

“Per prima cosa, l'età del figlio del re, quello che scrive. Se tra 34 anni ne avrà 72, ora ne ha 38; se sono trascorsi otto anni e mezzo da quando è partito, significa che quando è partito ne aveva circa 30”.

“E infatti il testo dice che è partito poco più che trentenne”.

“Bello. Chissà quanta strada ha fatto”.

“Puoi calcolare facilmente anche questo”.

“Ah, già. Percorrendo 40 leghe al giorno, la carovana ha fatto 124600 leghe circa. Quant'è, poi, una lega?”.

“Wikipedia dice circa 5 chilometri”.

“Allora sono 623000 chilometri”.

“E questo dimostra che il regno percorso in lungo e in largo dai sette messaggeri non si trova sulla nostra terra”.

Nerditudine allo stato puro

Si chiamano rep-tiles quei poligoni che possono essere suddivisi in un certo numero di poligoni aventi la stessa forma. Ecco qualche esempio:

Quattro è un numero naturale per questo tipo di suddivisioni: è il numero di pezzi che servono per crearne uno grande il doppio di quello di partenza (raddoppiando le dimensioni, infatti, si quadruplicano le aree).

Ci sono anche esempi classificati come noiosi: per esempio, un quadrato può essere diviso in quattro quadrati più piccoli (o nove, o sedici, eccetera), ma quelli sono meno interessanti.

Ebbene, tanti anni fa un amico matematico ci fece un'avventura di D&D con una mappa basata su questo:

E per fortuna si è fermato qua. I Veri Matematici si sono invece chiesti se esistono rep-tiles composti da un numero qualunque di pezzi. Scopro oggi che esistono solo quattro tipi di rep-tiles non noiosi che possono essere suddivisi in due parti aventi la stessa forma: si chiamano Levy dragon, Twindragon, Heighway dragon e Tame twindragon. Dite voi se il titolo di questo post non è azzeccato...

(Le figure provengono da un post del 44-esimo carnevale della matematica in lingua inglese, dove potete anche trovare le immagini dei quattro draghi suddivisibili in due parti)

La fine dell'eternità

L'ho letto tanti anni fa e ne ho un vago ricordo, l'impressione che mi è rimasta è stata “ecco un bel modo di risolvere il paradosso dei viaggi nel tempo”. Devo rileggerlo prima che lo distruggano con un film.

Snumeratezza

“Prof, ha detto che questa formula si può applicare solo se qua viene un quadrato perfetto. A me viene 2²3², non è un quadrato, come faccio?”.

Carnevale della matematica 7

Ci siamo, anche per questo mese: marcellosblog celebra il settimo carnevale della matematica. Accorrete numerosi!

Solidi platonici

Vediamo di utilizzare la formula di Eulero, che non si dica che le cose che fanno i matematici non servono mai a niente.

“Uh, è la prima volta che sento un matematico preoccuparsi dell'utilità della matematica”.

“No, in realtà volevo darmi un po' di tono. In effetti i Veri Matematici non si preoccupano affatto delle applicazioni che possono avere le loro scoperte”.

“Ah, ecco, mi sembrava. E per cosa, allora, vorresti usare la formula di Eulero?”.

“Per analizzare i poliedri convessi regolari, cioè i poliedri convessi che hanno le facce tutte congruenti tra loro. Inoltre, le facce devono essere poligoni regolari”.

“Ah, ok, quindi diciamo che sono i solidi più regolari che ci siano”.

“Già. Ti avverto che dobbiamo usare un po' di formule, ma sono formule semplici”.

“Va bene, sono pronto”.

“Per prima cosa, indichiamo con n il numero di spigoli per ciascuna faccia. Quindi, se le facce saranno tutte dei triangoli equilateri, avremo n = 3; se saranno quadrati, avremo n = 4, e così via”.

“Quanto si può andare avanti?”.

“Poco. Lo vediamo tra un momento”.

“Bene. Poi?”.

“Poi indichiamo con m il numero di spigoli incidenti in ciascun vertice. Data la regolarità della figura, m deve essere costante per ogni vertice”.

“Giusto”.

“Ora cominciamo con qualche calcolo. Con nF abbiamo indicato il numero di spigoli per ciascuna faccia, moltiplicato per il totale delle facce. Siccome due facce si incontrano sempre in uno spigolo, questa moltiplicazione ci darà il doppio del totale degli spigoli, cioè 2S”.

“Ok, ogni spigolo viene contato 2 volte perché compare sempre in due facce che si toccano”.

“Perfetto. Ora, con mV indichiamo la moltiplicazione del numero di spigoli incidenti in ciascun vertice per il totale dei vertici. Anche qui ogni spigolo viene contato due volte, perché ogni spigolo ha due estremi: dunque anche con questa moltiplicazione otteniamo il doppio del totale degli spigoli, cioè 2S”.

“Va bene. Direi che possiamo riassumere il tutto con la seguente uguaglianza:”.

nF = 2S = mV.

“Giusto. Quindi V è uguale a nF/m e S invece è uguale a nF/2”.

“Fin qua ci sono”.

“Ora ci ricordiamo di fatti vedere sabato alle 2”.

“Ok, quindi F + V - S = 2. Cosa devo fare?”.

“Devi sostituire al posto di V e S le due espressioni che hai trovato prima”.

“Bene: viene F + nF/m - nF/2 = 2”.

“Ora togliamo i denominatori, moltiplicando a destra e a sinistra per 2m”.

“Per ora è facile, viene 2mF + 2nF - mnF = 4m”.

“Ora, per semplicità, raccogliamo a fattore comune F”.

“Ecco: F(2m + 2n - mn) = 4m”.

“Benissimo. Naturalmente 4m è un numero positivo, giusto?”.

“Certamente: m è il numero di spigoli incidenti in ciascun vertice”.

“Molto bene. Anche F è positivo, perché rappresenta il numero di facce”.

“Certo. Ah, ho capito dove vuoi arrivare: l'espressione tra parentesi, cioè (2m + 2n - mn), è positiva pure lei”.

“Bravo. Aggiungiamo il fatto che n deve essere maggiore o uguale di 3, sei d'accordo anche su questo?”.

“Certo, una faccia deve essere almeno un triangolo, quindi almeno tre lati deve averli”.

“Allora cominciamo con un po' di passaggi”.

2m + 2n - mn > 0,
2m > mn -2n = n(m - 2)

“Fin qua ci sono: hai portato dall'altra parte l'espressione mn - 2n e hai raccolto a fattore comune n”.

“Bene. Ora, ricordandoci che n deve essere maggiore o uguale di 3, possiamo andare avanti così”.

2m > n(m - 2) ≥ 3(m - 2) = 3m - 6,

cioè

2m > 3m - 6

e quindi

m < 6.

“Ah, ci sono. Abbiamo trovato una limitazione per m, bello”.

“Sì, e poi ce n'è un'altra: m deve essere come minimo uguale 3, perché in ogni vertice devono congiungersi almeno 3 spigoli, altrimenti non ottieni un solido. In pratica abbiamo 4 casi da provare:  m = 3, 4, 5, 6”.

“Va bene. Cominciamo da m = 3?”.

“Sì. Teniamo sempre in mente l'uguaglianza F(2m + 2n - mn) = 4m”.

“Ok. Se provo a sostituire m = 3, risulta F(6 + 2n - 3n) = 12”.

“Semplificando, F(6 - n) = 12. Ora proviamo a sostituire i possibili valori di n e vediamo che succede”.

“Se provo con n = 3, ottengo 3F = 12, quindi F = 4”.

“Giusto, hai trovato un caso accettabile. Quanto risulta V?”.

“Avevamo detto che V = nF/m, quindi viene V = 4”.

“E quanto risulta S?”.

“Dalla formula S = nF/2 ottengo S = 6”.

“Giusto. Quindi il primo solido che abbiamo trovato ha 4 facce triangolari, 4 vertici, 6 spigoli che si incontrano a 3 a 3 sui vertici. Si chiama tetraedro”.

“Wow. Ora devo provare con n = 4?”.

“Sì”.

“Vediamo: da F(6 - n) = 12 ottengo, questa volta, 2F = 12, quindi F = 6. Allora V = 8 e S = 12”.

“Bene, ecco il secondo solido: ha 6 facce quadrate, 8 vertici, 12 spigoli che si incontrano a 3 a 3 sui vertici. Questo è facile: è un cubo (o anche esaedro, se vogliamo mantenere la nomenclatura in -edro)”.

“Giusto. Vado avanti, provo con n = 5, che è anche l'ultimo valore accettabile, perché con n = 6 la parentesi (6 - n) diventa 0”.

“Benissimo, vai”.

“Questa volta da F(6 - n) = 12 ricavo F = 12. Dunque V = 20 e S = 30”.

“Si tratta di un solido con 12 facce pentagonali, 20 vertici e 30 spigoli che si incontrano a 3 a 3 sui vertici. Si chiama dodecaedro”.

“Bene, ora abbiamo finito?”.

“Abbiamo finito il caso m = 3. Ora dovresti provare m = 4”.

“Ok, riparto dalla formula iniziale: F(2m + 2n -mn) = 4m. Con m = 4 viene F(8 + 2n - 4n) = 16, cioè F(8 - 2n) = 16”.

“Puoi semplificare tutto per 2”.

“Ah, giusto, allora viene F(4 - n) = 8. Uh, posso provare solo n = 3, perché già con n = 4 si azzera la parentesi, e poi aumentando n ottengo numeri negativi”.

“Bene. Vai avanti”.

“Allora, con n = 3 risulta F = 8. Quindi V = 6 e S = 12”.

“Bene, questo è un solido con 8 facce triangolari, 6 vertici, 12 spigoli che si incontrano a 4 a 4 sui vertici. Si chiama ottaedro”.

“A questo punto devo già passare a m = 5, mi sa”.

“Sì, non hai altri casi per m = 4”.

“Allora vado. Questa volta la formula F(2m + 2n - mn) = 4m diventa F(10 + 2n - 5n) = 20, cioè F(10 - 3n) = 20”.

“Giusto”.

“Allora anche qua posso provare solo il valore di n = 3”.

“Vero. Vai pure”.

“Mi viene F = 20, quindi V = 12 e S = 30”.

“Bene, un solido con 20 facce triangolari, 12 vertici, 30 spigoli che si incontrano 5 a 5 sui vertici. Si chiama icosaedro”.

“Rimane... ehi, non rimane più niente, abbiamo provato tutti i possibili valori di m!”.

“Giusto, quindi non ci sono altri solidi, sono tutti qua, sono solo questi cinque”.

Poliedro	Vertici	Spigoli	Facce	n	m
tetraedro	4	6	4	3	3
cubo	8	12	6	4	3
ottaedro	6	12	8	3	4
dodecaedro	20	30	12	5	3
icosaedro	12	30	20	3	5

“E l'utilità pratica di questa classificazione?”.

“Eccola qua”.

Verso l'infinito, ma con calma - la raccolta

Loro dicono che ho generosamente accettato di veder pubblicato sulle loro pagine la saga Verso l'infinito, ma con calma, in realtà sono stati loro ad essere generosi e ad aver accolto la mia richiesta di pubblicazione sulla prestigiosa rivista di matematica ricreativa.

Comunque sia, è tutto raccolto in un unico pdf, con tanto di appendice inedita.

La seconda più bella formula della matematica

Della più bella formula della matematica non ne parliamo nemmeno. La seconda, invece, è questa:

Fatti vedere sabato alle 2.

“Uh, sì, bella formula davvero”.

“È solo un sistema mnemonico che i matematici usano per ricordarsi la formula giusta”.

“Ah, avevo dimenticato lo humor da Vero Matematico. La formula, allora quale sarebbe?”.

“Questa: F + V = S + 2”.

“È decisamente meglio la frase, in effetti”.

“Se tu hai un poliedro semplice con F facce, V vertici e S spigoli, allora vale quella formula, che si chiama formula di Eulero, o relazione di Eulero”.

“Carina. Cosa sarebbe un poliedro semplice?”.

“Un poliedro senza buchi, cioè una figura come questa”.

“Essere senza buchi è una definizione matematica?”.

“Sì, anche se i Veri Matematici lo dicono in un modo un po' diverso. Dicono che la figura può essere deformata con continuità, cioè senza tagli o strappi, in una sfera”.

“Come se fosse un oggetto di gomma?”.

“Esattamente. Per ogni poliedro vale la formula di Eulero, indipendentemente dal numero di facce e dal numero di lati per faccia. È una formula assolutamente generica”.

“E, data la sua genericità, avrà una dimostrazione complicatissima”.

“No, anzi, la dimostrazione è semplice ed è anche istruttiva, perché spiega un concetto molto importante utilizzato in matematica, il concetto di invariante”.

“E cosa sarebbe?”.

“Te lo spiego subito. Partiamo dall'inizio, esprimendo la formula di Eulero in questo modo: F + V - S = 2”.

“Va bene, hai portato a sinistra la S, è semplice”.

“Adesso ci concentriamo sull'espressione F + V - S”.

“Va bene. Che dobbiamo fare?”.

“Prendiamo il nostro poliedro generico, per esempio quello della figura di prima, e ne togliamo una faccia, per esempio quella che nella figura è indicata con AGF”.

“Ok, quella che nella figura è dietro”.

“Dobbiamo immaginare il nostro poliedro come se fosse vuoto”.

“Ok, togliendo una faccia possiamo vedere il suo interno, come se fosse una scatola con un buco”.

“Ottimo. Ora immaginiamo che questa scatola sia fatta di gomma. La possiamo deformare e stendere su un piano”.

“Va bene, ma non cambiano le cose?”.

“Guarda, deformando e stendendo su un piano si ottiene questa figura. Il numero di facce, di vertici oppure di spigoli è cambiato?”.

“Uhm, sembra di no. No, in effetti no, i segmenti che vedevo prima ci sono ancora tutti”.

“Molto bene. Quindi l'espressione F + V - S, rispetto a prima, non è cambiata”.

“No, è sempre la stessa”.

“Bene. Adesso osserviamo che nella nostra figura non tutti i poligoni che si vedono sono triangoli”.

“Ah, no. La figura iniziale era un poliedro, non avevi specificato che le facce dovevano essere triangolari”.

“Infatti. Allora facciamo in questo modo: tracciamo vari segmenti fino a che non otteniamo solo triangoli. Possiamo farlo come vogliamo, per esempio così”.

“Ok, ora ci sono solo triangoli, ma la figura è diversa”.

“È vero che è diversa, ma concentrati su F + V - S. Ogni volta che tracciamo un segmento, cosa succede alla figura?”

“Bè, abbiamo un segmento in più, quindi S aumenta di 1”.

“Certo. Ma tracciando un segmento in più, abbiamo anche una faccia in più, quindi anche F aumenta di 1. Mentre non cambiamo il numero di vertici”.

“Uhm, quindi passiamo da F + V - S a (F + 1) + V - (S + 1). Ehi, rimane uguale!”.

“Bravo. I Veri Matematici dicono che l'espressione F + V - S è un invariante: tracciando i segmenti che servono per ottenere solo triangoli il suo valore non cambia”.

“Bello! E adesso che facciamo?”.

“Adesso cominciamo a cancellare qualche triangolo, seguendo alcune regole. Per prima cosa, osserviamo che i triangoli presenti nella figura possono avere un solo lato oppure due verso l'esterno”.

“Bè, no. In questa figura tutti i triangoli che formano il bordo esterno hanno un solo lato che sta sul bordo”.

“Hai detto bene: in questa figura. In generale però non è detto che sia così, dobbiamo tener presente anche l'altra possibilità”.

“Ah, va bene”.

“A questo punto, cancelliamo un triangolo togliendo un lato che si affaccia all'esterno. Per esempio, cancelliamo il lato AG. Ecco la figura”.

“Allora, provo a fare i conti. Abbiamo perso un lato, quindi S diminuisce di 1. Ma abbiamo anche perso una faccia, quindi F diminuisce di 1. Il tuo invariante diventa (F - 1) + V - (S - 1). Ehi, non è cambiato nemmeno questa volta”.

“Già. Ora vado avanti un altro po' per mostrarti un triangolo con due lati affacciato sul bordo: cancello prima il lato DG poi il lato DE. Ecco qua”.

“Ah, ecco come si fa ad avere triangoli che hanno sul bordo due lati! E adesso come facciamo a eliminarlo?”.

“Nel caso di triangoli con due lati sul bordo, dobbiamo eliminare entrambi i lati”.

“Va bene. In questo caso allora perdiamo una faccia e due lati, quindi F diminuisce di 1 mentre S dimiuisce di 2”.

“Non ti dimenticare del punto D”.

“Ah, giusto. Perdiamo anche un punto. Quindi abbiamo (F - 1) + (V - 1) - (S - 2)... anche in questo caso rimane uguale a F + V - S. La figura dovrebbe essere questa”.

“Esatto. Ora possiamo andare avanti, eliminando triangoli su triangoli. In questo procedimento perderemo spigoli, facce e vertici, ma il valore di F + V - S non cambierà mai”.

“E fino a che punto andiamo avanti?”.

“Fino a che non rimarrà un solo triangolo. A questo punto, quanto vale l'espressione F + V - S?”.

“Bè, un triangolo ha una faccia, tre vertici e tre spigoli, quindi F + V - S = 1+3-3 = 1. Il tuo invariante vale 1”.

“E quindi valeva uno anche all'inizio”.

“Ma allora la formula che mi hai detto è sbagliata. Dicevi che doveva risultare 2!”.

“Hai dimenticato il primo triangolo, quello che abbiamo tolto per poter schiacciare la figura su un piano. Il poliedro iniziale ha una faccia in più”.

“Uh, è vero. Inizialmente allora F + V - S valeva 2. Quindi la formula è giusta”.

“Già. C.V.D.”.

“C'è una battuta sulla sigla C.V.D.”.

“Ah sì? Non la conosco”.

“Sai cosa significa per un ingegnere C.V.D.?”.

“Cosa?”.

“Cazzo, Viene Diverso!”.

(questa deve essere la prima parolaccia che scrivo sul blog: sono un po' turbato)

Il dubbio, il dubbio

Se, dopo aver finito di leggere un romanzo, ti domandi: “e se capitasse a me, che farei?”, allora il romanzo smette di essere una semplice storia e diventa un Romanzo.

Soprattutto se te l'ha regalato tua moglie per il tuo compleanno. E non sei più un picciotto vintino.

Io e Obama

Diciamo le stesse cose:

“Vietare le braghe calate sarebbe una sciocchezza, abbiamo cose più importanti di cui occuparci. Detto questo, ragazzi: tiratevi su i calzoni. State camminando al fianco di vostra madre, di vostra nonna, e vi si vedono le mutande. Voi dite, che c’è di male? Dai, per favore. Ci sono questioni che non si regolano per legge, ma c’è anche una questione di rispetto per quelli che non vogliono vedere le vostre mutande. E io sono uno di quelli”.

(via Wittgenstein)

Quarantadue

Credevo di essere stato attento a non inserire in nessun luogo internettiano la mia data di nascita, ma facebook mi ha fregato. Per dare la definitiva mazzata alla mia psiche già in crisi per l'avanzamento inesorabile del tempo, oggi Ronkas si è presentato con un pacchettino regalo per me. E che regalo: una fantastica maglietta di xkcd.

C'era anche un bigliettino, di quelli che ti fanno pensare di aver fatto qualcosa di buono nella vita.

Speriamo bene

Scopro adesso che Ridley Scott girerà un film tratto da uno dei più bei romanzi di fantascienza dell'universo (ehm): Guerra Eterna. Se avete presente Fanteria dello Spazio di Heinlein, ecco, questo è il suo duale: in grado di fare cambiare opinione anche al più guerrafondaio dei lettori.

Per l'astrofisico che è in voi

C'è un giochino online sul problema degli n corpi: orbitrunner. Voi siete un sole (ehm) e non dovete farvi sfuggire i pianeti...

Alla riunione di prima elementare

Le maestre di mio figlio si sono lamentate del fatto che, spesso, i bambini copiano dalla lavagna e non ascoltano. Alla mattina io mi ero lamentato della stessa cosa con i miei studenti di quinta. Superiore.

Teoria del mondo piccolo

In classe con mio figlio piccolo, prima elementare, ci sono la figlia di una mia compagna di classe delle elementari (eravamo sempre in quella scuola elementare) e il figlio di uno dei miei primi studenti; per non parlare della figlia di un mio amico di gioventù.

Praticamente la stessa probabilità che si formi un buco nero dalle parti di Ginevra.

Carnevale della Matematica #6

Con un florilegio di contributi, ecco il carnevale della matematica che corrisponde al primo numero perfetto.

Si fa presto a dire cittadino del mondo

Se poi trovi un elenco di tutto ciò che fa di te un modenese... (non tutto nell'elenco è puro modenese, ma è comunque un'ottima approssimazione).

Colgo l'occasione per domandare: ma voi stranieri capite quello che dice Schumacher alla fine di Cars?

Forse devo donare il mio sangue alla scienza

Io, durante l'afosa estate ricca di zanzare che si è appena conclusa, non sono mai stato punto.

Verso l'infinito, ma con calma - epilogo

È finita, eh. Grazie per essere arrivati fino in fondo...

Questa saga è nata grazie a vari stimoli che ho ricevuto nel corso dei miei studi matematici, che pian piano si sono accumulati in un angolino della mia testa e hanno prodotto tutto ciò.

La prima volta in cui ho sentito parlare di cardinali transfiniti è stata durante il primo anno di matematica, nel corso di algebra. Il prof (buonanima) era un vero barone universitario, uno che prima di ogni lezione si faceva lavare dai bidelli la lavagna (cosa che piacerebbe tantissimo anche a me — ma se lo chiedo ai bidelli della mia scuola come minimo mi sparano), uno che scriveva una formula ogni cinque minuti, e per il resto del tempo parlava, e noi dovevamo arrangiarci con gli appunti. Uno che una volta si è fermato nel mezzo di una lezione per sgridare una ragazza che era di fianco a me perché aveva sbadigliato senza mettersi la mano davanti alla bocca, per dire. Uno sul quale si narravano leggende metropolitane, come quella che raccontava che lui scrivesse anche i voti minori di 18 sul libretto. Nonostante il terrore misto a odio che provavo nei suoi confronti e nei confronti dell'algebra, sono rimasto affascinato dai numeri cardinali.

Lo stile a dialogo è nato un po' per caso. Inizialmente avevo pensato di inserire qualche dialogo qua e là, ma poi ho visto che quella forma mi permetteva di capire meglio gli argomenti di cui parlavo... e quindi l'ho adottata. Gran parte delle definizioni e dei teoremi di cui ho scritto mi sono diventati più chiari mentre cercavo di far sì che il Vero Matematico rispondesse in modo semplice. Tanti grandi scrittori hanno usato questo stile, ma l'ispirazione maggiore mi è venuta dai dialoghi del professor Apotema: si trovano sul mensile il Leonardo, pubblicato dall'ITI Vinci di Carpi, leggeteli perché sono bellissimi (può darsi che il link cambi nel tempo, comunque dalla home page del sito ci si arriva sempre). Invece di due interlocutori, in quei dialoghi c'è una classe intera.

Poi c'è la parte sugli ordinali. Avrete visto che è meno rigorosa, senza teoremi. Quella non l'ho studiata per l'esame di algebra, e non ho nemmeno un libro di testo con le dimostrazioni. Me la sono guardata per conto mio, utilizzando libri più o meno divulgativi sull'argomento, e traducendo dall'inglese l'omonima pagina di wikipedia...

Tutto questo è rimasto a lievitare in silenzio per un po' di tempo, fino a quando un amico (un filosofo appassionato di Cantor) non mi ha chiesto: “ma come si dimostra che la cardinalità dei reali è maggiore di ℵ₀?”. La risposta che diedi a lui stava su due o tre pagine. Qui ho ampliato un po'...

Verso l'infinito, ma con calma - così tanto da dire, così poco per dire

Utilizzando un numero finito di somme, moltiplicazioni e potenze di ordinali, possiamo esprimere “solo” ordinali nella forma normale di Cantor. La potenza, che è l'operazione che ci permette di esprimere in modo conciso gli ordinali più grandi, ci ha condotti alla scrittura di una torre di potenze di ω:

ω, ω^ω, ω^ωω, ω^ωωω, ..., ω^ωωω....

Ora la domanda è: possiamo continuare all'infinito? E, se sì (ed è certamente sì, i passaggi all'infinito ormai non ci spaventano più), cosa otteniamo?

Partiamo dall'inizio, definendo una successione di potenze:

a₁=1,
a_n+1=ω^a_n.

“Uhm, vediamo... a₂ dovrebbe essere ω, giusto?”.

“Giusto”.

“Poi a₃ dovrebbe essere ω^ω”.

“Giusto anche questo”.

“Ok, ci sono, ogni volta che aumenta n aumenta di un piano la torre di potenze”.

“Perfetto. Ora indichiamo con x l'estremo superiore dell'insieme di tutti gli a_i. In formule: x = sup{a_i : i < ω}”.

“Ok, fin qua ci sono, ma non esagerare con le formule”.

“Va bene, ormai ci siamo. Ora calcoliamo ω^x”.

“Uhm, come si fa?”.

“Ricordi la definizione? Dobbiamo prendere ω^α per tutti gli ordinali α minori di x”.

“Quindi dovrei prendere... un momento! Tutti gli ordinali minori di x sono tutti quelli che abbiamo considerato finora, perché x è l'estremo superiore dell'insieme che contiene tutte le potenze di base ω. In pratica dobbiamo prendere di nuovo x”.

“Giusto. Detto in termini poco rigorosi ma più chiari, se hai una torre infinita di potenze di ω e aggiungi un altro esponente ω, non cambia nulla”.

“E quindi cosa abbiamo ottenuto?”.

“Abbiamo ottenuto un x tanto grande che ω^x = x”.

“Sembra un'equazione”.

“È un'equazione. Noi abbiamo ottenuto il più piccolo x che la soddisfa, che Cantor ha chiamato ε₀. Oltre a indicarlo con una torre di potenze infinita, possiamo anche indicarlo in questo modo:”.

ε₀ = 1+ω+ω^ω+ω^ωω+...

“Ohi ohi”.

“Che c'è?”.

“Quell'indice 0...”.

“Sì?”.

“Vuol forse dire che ce ne sono altri?”.

“Naturalmente. Sempre soluzioni di ω^x = x. Il prossimo si chiama ε₁”.

“Ci avrei scommesso”.

“Eccolo qua:”.

ε₁=(ε₀+1)+ω^ε₀+1+ω^ωε₀+1+...

“Gulp”.

“Poi ci sono ε₂, ε₃, ..., ε_ω”.

“Argh”.

“Poi ε_ω², ..., ε_ω^ω”.

“Ma no, si ricomincia!”.

“E guarda questa sequenza:”.

ε_ε0, ε_εε0, ..., ε_εεε....

“Ma non si finisce mai!”.

“Mai. Osserva che l'ultimo numero è la prima soluzione di ε_x = x”.

“Non oso pensare a quello che viene dopo”.

“Il fatto è che possiamo giusto solo pensarci”.

“Perché?”.

“Perché possiamo andare avanti quanto vogliamo, all'infinito, e definire nuovi numeri. Ma non avremo mai abbastanza parole per farlo”.

“In che senso?”.

“Nel senso che con le lettere dell'alfabeto possiamo formare soltanto un insieme finito di parole. Al limite possiamo immaginare un dizionario infinito di parole, anche se non potremo mai leggerle tutte. Ma se anche le usassimo tutte per dare un nome ai nuovi numeri che definiremo, avremo comunque un'infinità numerabile di nomi a disposizione. Cioè ne avremo ℵ₀”.

“Ah”.

“Mentre di ordinali ne possiamo definire molti di più. Ma anche se ci limitiamo ai soli numeri reali, non avremo mai parole a sufficienza per dare un nome ad ognuno. Figuriamoci dare un nome a tutti gli ordinali”.

“E quindi?”.

“E quindi ci fermiamo qui, immaginando tutto il resto solo con il pensiero, senza usare altre parole”.

“Peccato, mi dispiace che il cammino verso l'infinito finisca qua. Avrei però un'ultima domanda”.

“Quale?”.

“Il fatto che questo post venga pubblicato l'otto ottobre duemilaeotto alle otto e otto è un caso?”.

“Questo te lo lascio come esercizio”.

Verso l'infinito, ma con calma - forma normale di Cantor

Le operazioni di somma, prodotto e potenza di ordinali ci permettono di costruire numeri sempre più grandi. Esiste un modo standard per esprimerli, che potremmo considerare come una specie di numerazione posizionale in base ω.

“Eh?”.

“Sai cos'è un sistema di numerazione posizionale?”.

“Ehm...”.

“Allora prova a calcolare XXIII×XLII”.

“Roba da matti, adesso scrivi in numeri romani. Questi li conosco, sai? Devo calcolare 23×42. Posso usare la calcolatrice?”.

“Non se ne parla neanche. Non puoi usare la calcolatrice, puoi usare carta e penna, non puoi usare cifre arabe”.

“Come sarebbe? E allora come faccio?”.

“Preferiresti usare le cifre arabe?”.

“Certo”.

“Perché?”.

“Perché se non mi lasci usare la calcolatrice mi metto a fare i conti a mano. Le moltiplicazioni in colonna dovrei ricordarmele ancora”.

“E non puoi usare i numeri romani?”.

“Eh, no. Non funziona, non si riesce a incolonnare, non si fanno i riporti”.

“Perfetto. Per incolonnare e fare i riporti serve un sistema di numerazione posizionale”.

“Mmh...”.

“Un sistema che ti permetta di usare pochi simboli (noi ne usiamo dieci), di distinguere tra unità, decine, centinaia, e così via. E di fare quindi i riporti”.

“Ah, ho capito”.

“Quando noi scriviamo 42 intendiamo 4 decine e 2 unità. Cioè 4×10+2”.

“Ah, ok, questo lo sapevo. Avevamo parlato anche della numerazione binaria, tempo fa. In quel caso è tutto basato sulle potenze di 2. Bene, ora ricordo tutto. E con gli ordinali dici che si fa un sistema in base ω?”.

“Sì. Se ripensi a tutti i calcoli che abbiamo fatto, noterai che un numero ordinale può contenere una parte finita, poi una parte che contiene ω, una parte che contiene ω², e così via. Puoi andare avanti quanto vuoi e costruire una torre di potenze di ω. Eccoti un esempio di un numero ordinale abbastanza complicato da scrivere:”.

ω^{ωω×7+42×272+ω3+84}×4+ω^ωω×6+3141.

“Ok, ci sono. Sommando, moltiplicando e facendo potenze possiamo ottenere tutti gli ordinali, e li possiamo scrivere in questo modo”.

“No, non è così, non tutti gli ordinali”.

“No? Eppure... se facendo qualunque operazione otteniamo un ordinale di quel tipo, cosa non riusciamo a scrivere?”.

“Noi riusciamo a scrivere in quel modo, che si chiama forma normale di Cantor, solo gli ordinali che si ottengono facendo un numero finito di somme, prodotti e potenze”.

“Ah, perché, possiamo farne anche un numero infinito?”.

“Stiamo o non stiamo parlando di infinito?”.

Verso l'infinito, ma con calma - torri di potenze

Abbiamo visto un esempio di potenza tra numeri ordinali: ω^ω. In generale la potenza di numeri ordinali può essere definita per induzione, ma dobbiamo ricordarci che si sta parlando di induzione transfinita, cioè di un procedimento tra numeri ordinali, e non “semplici” naturali.

“Poveri naturali, ridotti al rango di numeri semplici...”.

“Hai ragione, anche se la struttura degli ordinali è certamente più ricca e complessa”.

“Anche questo è vero. Ma cosa sarebbe questa induzione transfinita?”.

“Ricordi che abbiamo già parlato dell'induzione?”.

“Sì. Dicevamo che se una proprietà è vera per 0, e che se l'essere vera per un certo n implica che sia vera anche per n+1, allora la proprietà è vera sempre. Una specie di effetto domino”.

“Proprio così. Si basava sul concetto di successore di un numero: la proprietà valida per n si trasferisce su n+1, e così via. Possiamo formulare una proprietà analoga per gli ordinali”.

“Sì, in effetti anche per gli ordinali abbiamo il concetto di successore”.

“Giusto, ma ricordati che non tutti gli ordinali sono successori di qualche ordinale”.

“Ah, è vero. Mi avevi già fatto l'esempio di ω: non è successore di nessun numero”.

“Bravo. L'avevamo chiamato ordinale limite”.

“E come facciamo in questo caso?”.

“Dobbiamo formulare il principio di induzione in modo un po' diverso: per ogni ordinale b, se la proprietà P(a) vale per tutti gli ordinali a minori di b, allora vale anche P(b)”.

“Uhm”.

“Pensa a ω. Ricordi che ω è uguale a {0,1,2,...}?”.

“Sì, è la definizione”.

“E quali sono tutti gli ordinali minori di ω?”.

“Sono tutti i numeri naturali”.

“Bene. Dunque, se dimostri che una certa proprietà è vera per tutti i naturali, allora puoi dire che è vera anche per ω. Poi puoi continuare normalmente con ω+1, ω+2, e così via. Ogni volta che vuoi passare a un ordinale limite, devi considerare tutti gli ordinali minori”.

“Ok, ho capito”.

“Bene, ora possiamo parlare della definizione di potenza. Prima di tutto, diciamo che α⁰=1”.

“Ok, questo mi pare ragionevole”.

“Poi, sistemiamo tutti i successori: α^β+1=α^βα”.

“Ok. Per quanto riguarda i numeri naturali, questa è la solita regola”.

“Giusto. Ora il passo riguardante gli ordinali limite: se δ è un ordinale limite, allora α^δ è l'ordinale limite che si ottiene prendendo tutti gli α^β per tutti i β minori di δ”.

“Credo di aver capito. Come diventa, nel caso di ω^ω?”.

“Siccome ω è un ordinale limite, devi considerare tutti gli ω^β per tutti i β minori di ω, cioè per tutti i β naturali”.

“E quindi dovrei considerare l'ordinale limite che si ottiene prendendo tutte le potenze di ω una dopo l'altra?”.

“Sì: ω^ω = 1 + ω + ω² + ω³ + ...”.

“Ah, ora capisco meglio quella figura a spirale che mi hai fatto vedere. E adesso che abbiamo definito la potenza, possiamo naturalmente andare avanti quanto vogliamo?”.

“Certo. Ormai dovresti aver capito che con gli ordinali si può sempre andare avanti. Ecco una prima sequenza di ordinali:”.

ω^ω+1, ω^ω+2, ω^ω+3, ..., ω^ω+ω.

“Ah, l'ultimo è un nuovo ordinale limite”.

“Poi saliamo ancora:”.

ω^ω+ω×2, ω^ω+ω×3, ..., ω^ω+ω².

“Hai passato un altro limite”.

“E poi ancora:”.

ω^ω+ω²+1, ..., ω^ω+ω²+ω.

“Sempre più grande”.

“Ora vado un po' più in fretta:”.

ω^ω+ω³, ..., ω^ω+ω^ω = ω^ω×2, ω^ω×2+1, ..., ω^ω×3, ..., ω^ω×4, ..., ω^ω×ω=ω^ω+1.

“Wow, sei andato decisamente in fretta”.

“E poi ancora:”.

ω^ω+1+1, ..., ω^ω+1+ω, ... ω^ω+1+ω², ..., ω^ω+1+ω^ω, ..., ω^ω+2, ..., ω^ω+3, ..., ω^ω×2, ..., ω^ω×3, ..., ω^ω2.

“Anche le doppie potenze?”.

“Non solo doppie:”.

ω^ω2, ..., ω^ω3, ..., ω^ω4, ..., ω^ωω, ..., ω^ωω+1, ..., ω^ωωω, ..., ω^ωωωω.

“Mamma mia, e io che pensavo che ω fosse già abbastanza grande...”.