Nim — 2. I personaggi in gioco

«Abbiamo detto cosa significa che un gioco è uguale a zero».

«Sì: vuol dire che vince il secondo giocatore».

«Esatto. Tieni presente che nella teoria dei giochi il secondo giocatore non è fisso, come nei giochi a cui siamo abituati».

«In che senso?».

«Per primo giocatore si intende quello che sta per fare la mossa, mentre il secondo giocatore è l'altro. Nel momento in cui tocca a me, io sono il primo giocatore, mentre quando tocca a te io sono il secondo».

«Ah».

«E, in effetti, un Nim con due pile uguali è un gioco nullo perché chi si trova di fronte alle due pile uguali perderà sicuramente, indipendentemente dal fatto che sia stato lui o no a iniziare il gioco».

«Ho capito. Primo e secondo giocatore sono concetti relativi».

«Esatto».

«E ci sarà un modo per definire il primo che ha iniziato?».

«Mh, no, perché non è importante: immagina che ogni volta che qualcuno fa una mossa si entra in un nuovo gioco, in cui il primo giocatore è l'altro. È comunque importante distinguere i due giocatori: esistono addirittura alcuni tipi di giochi in cui ogni giocatore può fare alcune mosse, inibite all'altro, e viceversa».

«Mh? Davvero?».

«Sì, pensa agli scacchi. Un giocatore può muovere solo le pedine bianche, l'altro le nere».

«Ah, ma certo. Il primo è il bianco, e il secondo il nero».

«A inizio partita, sì. Però abbiamo detto che primo e secondo sono concetti relativi al momento attuale, quindi nella teoria dei giochi non si usano questi termini per distinguere i due giocatori».

«E cosa si usa?».

«I due giocatori vengono chiamati Sinistra e Destra (o, meglio, Left e Right, dato che il Testo Fondamentale che parla di questi argomenti è scritto in inglese)».

«Mi sembra giusto».

«I giochi che sono vinti da Left vengono detti positivi, mentre quelli vinti da Right…».

«Negativi».

«Esatto».

«Chissà perché».

«È naturalmente una convenzione, si potrebbe invertire positivo con negativo e non cambierebbe nulla. Si usa questa terminologia perché essa è strettamente legata ai numeri surreali, per i quali i concetti di numero positivo e numero negativo hanno un ben preciso significato matematico».

«Dobbiamo addentrarci nei numeri surreali?».

«No, per l'analisi del Nim non ce n'è bisogno. Cioè, lo facciamo in minima parte, facendo finta di niente».

«Ehm».

«Non ti preoccupare. Riassumendo: un gioco G in cui vince Left si dice positivo, e si scrive G>0».

«Immagino che un gioco G in cui vince Right si scriva G<0».

«Proprio così. Un gioco in cui vince sempre il secondo giocatore si dice uguale a zero».

«E si scrive G=0».

«Naturalmente. Un gioco in cui vince il primo si dice fuzzy…».

«E come si scrive?».

«Utilizzando una meravigliosa simmetria di simboli, si scrive G║0».

«Bellissimo».

«Vorrei sottolineare un fatto: il Nim è un gioco imparziale, il che significa che i due giocatori hanno le stesse mosse».

«Vero».

«Come abbiamo detto prima, scacchi o dama non sono imparziali: uno dei due giocatori può muovere solo alcuni pezzi, e l'altro può muovere gli altri».

«Vero anche questo».

«In un gioco imparziale non è possibile che vinca sempre Left oppure che vinca sempre Right».

«Perché?».

«Immagina che esista un gioco del genere in cui è certo che vince Left, e supponi che Left sia il primo giocatore. Right osserva la partita, fa le sue mosse, e perde. A questo punto Right chiede di rigiocare, e questa volta comincia lui. Replicando le stesse mosse di Left, deve vincere».

«E quindi non è possibile che vinca sempre Left, ho capito».

«Sì, questo ragionamento si basa sul fatto che Left e Right hanno a disposizione le stesse mosse. Non potremmo ripetere il ragionamento con gli scacchi o la dama. Non è difficile pensare a situazioni, negli scacchi o nella dama, in cui vince sempre uno dei due giocatori, non importa chi sia quello che deve muovere».

«Vero, per esempio se negli scacchi ci fosse il re bianco messo sotto scacco matto da qualche pedina nera che deve stare ferma lì, per controllare appunto il re, e se ci fosse una ulteriore pedina nera libera di muoversi, vincerebbe comunque il nero indipendentemente da chi deve muovere».

«Esatto. Quando vedi la rappresentazione di una partita, ti accorgi subito se uno dei due re è sotto scacco matto, non hai bisogno di sapere chi deve muovere.».

«Quindi i giochi imparziali non sono né positivi né negativi?».

«Esatto. Possono essere uguali a zero, e quindi vince il secondo, o essere confusi con lo zero (cioè né positivi né negativi, ma nemmeno nulli) se vince il primo».

«Ed ecco spiegato il termine fuzzy».

«Esattamente. La prossima volta analizziamo qualche partita di Nim un po' più complicata».