Esiste un teorema sulla schiuma, semplice da enunciare ma complicato da dimostrare (succede più spesso di quanto si immagini: enunciati quasi ovvi sono rognosi da dimostrare per bene). In effetti, la schiuma è una cosa complicata, e possiamo rendercene conto in questo modo: se vogliamo disegnare una bolla di sapone, non abbiamo difficoltà. Se stiamo attenti, possiamo anche disegnarne due appiccicate senza sbagliarci troppo.
Provate a disegnarne tre, adesso, ognuna attaccata alle altre due. La schiuma è decisamente complicata.
È sorprendente il fatto che l'enunciato del teorema riguardante la schiuma sia semplice e, soprattutto, comprensibile.
Il teorema afferma che le pellicole saponate sono superfici lisce (per i matematici questa parola ha un significato preciso, che potremmo tradurre con senza spigoli, lisce, appunto (lo so che sembra un commento del grande capo Estiqaatsi, portate pazienza)). Che ogni porzione di pellicola (ogni pezzetto limitato da bordi, insomma) mantiene sempre curvatura media costante — tradotto, significa che se la pellicola saponata non ha bordi, è una bolla, altrimenti potrebbe essere un piano, oppure una catenoide, un'elicoide, una sella in una delle sue varianti, come per esempio la notevole sella della scimmia, ehm (direi di non aver dimenticato nulla, comunque l'idea è che non ci sono bitorzoli).
E ora arriviamo alla parte interessante: il teorema dice che la schiuma può essere complicata finché vogliamo, ma comunque le pellicole di sapone si incontrano sempre a tre a tre, formando un angolo di 120 gradi.
Così:
Si riesce a capire il motivo se si pensa al fatto che le superfici saponate tendono, grazie alla tensione superficiale, ad assumere una configurazione di minima estensione. È come se, in corrispondenza del punto di incontro delle tre lamine, ci fossero tre forze identiche che tendono a tirare verso tre direzioni diverse. Il sistema si mette in equilibrio quando le tre forze agiscono in questo modo:
Attenzione, funziona sempre, non solo quando le tre lamine hanno la stessa lunghezza:
Funziona anche quando le lamine sono più di tre.
Bene, il teorema dice un'ultima cosa: quando tre lamine si incontrano (a 120 gradi, naturalmente) formano un bordo. Ecco, questi bordi si intersecano sempre quattro a quattro formando un angolo che è poco più di 109 gradi.
Il motivo (e il valore esatto dell'angolo) lo vediamo la prossima volta.
[L'immagine della schiuma è presa da wikipedia]
4 commenti:
Mi sembra che come corollario del teorema della schiuma si ottenga il seguente: dati tre punti non allineati A, B e C, il punto P che rende minima la somma AP+BP+CP è tale che AP, BP e CP formano tra loro angoli di 120°.
Già.
Piccolo refuso:
un angolo che è poco pià di 109 gradi.
Grazie, correggo.
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