Nel piano avevamo tre forze identiche che tiravano in tre direzioni diverse, e avevamo l'equilibrio quando le tre forze erano disposte in modo da formare angoli di 120 gradi; ora prendiamo quattro forze identiche e le mettiamo nello spazio. Quando si ha l'equilibrio?
È come se le quattro palline rosse della seguente figura volessero tutte allontanarsi dal centro:
come devono disporsi?
Evidenti ragioni di simmetria porterebbero il Matematico Audace a dare subito la risposta, ma io ho preferito farmi tutti i calcoli (anche perché per fare la figura ho avuto bisogno di calcolare le coordinate dei centri delle quattro sfere).
Immaginiamo allora che uno dei quattro vettori punti in direzione (0,0,1). O, se vogliamo, immaginiamo che uno dei quattro vettori sia k. Ancora, potremmo dire che stiamo facendo dei calcoli con dei quaternioni.
Ora poniamo un secondo vettore sul piano xz: questo sarà del tipo ai-bk (componente positiva lungo l'asse delle x, e negativa lungo l'asse z). Gli altri due vettori saranno ci+dj-bk e ci-dj-bk.
Sommiamo tutto: il risultato deve essere 0, se vogliamo che tutto sia in equilibrio. Quindi otteniamo che
k + ai - bk + ci + dj - bk + ci - dj - bk = 0,
e cioè
(a + 2c)i + (1-3b)k = 0.
Ricaviamo quindi subito che b = 1/3 (ce lo aspettavamo, ci sono tre vettori che tirano verso il basso con forza b, e devono equilibrare quello che tira verso l'alto con forza 1) e che a = -2c. Inoltre sappiamo che tutti i vettori hanno lunghezza unitaria, quindi
a2 + b2 = 1,
c2 + d2 + b2 = 1.
Dalla prima ricaviamo che a2 = 1-b2 = 8/9, e cioè a = 2√2/3, di conseguenza c = -√2/3. Dalla seconda abbiamo che:
d2 = 1-c2 - b2 = 1 - 2/9 - 1/9 = 6/9, da cui d = √6/3.
Riassumendo, le coordinate dei quattro vertici sono:
(0,0,1),
(2√2/3,0,-1/3),
(-√2/3,√6/3,-1/3),
(-√2/3,-√6/3,-1/3).
Ecco fatto. Per rispondere alla domanda iniziale, e cioè calcolare quel famoso valore di 109 gradi e rotti, rappresentiamo due di quei vettori, per esempio quelli che stanno sul piano xz. Sistemiamoli un po', in modo che uno dei due si trovi nella direzione positiva dell'asse orizzontale (in altre parole: mettiamo l'asse z in orizzontale):
Bene, l'angolo che stiamo cercando è quello tale per cui, se lo mettiamo sulla circonferenza di raggio 1 con un lato nella direzione dell'asse x, l'altro lato viene proiettato sull'asse x in modo da formare un segmento di lunghezza pari a 1/3 nella direzione negativa. In breve:
α = arccos(-1/3) = 109.47°.
La dimostrazione di questo teorema (le cui tesi sono note con il nome di leggi di Plateau) è molto recente. La matematica americana Jean Taylor la pubblicò sugli Annals of Mathematics nel 1976, dimostrando così che la formazione della schiuma è governata da due semplici costanti: arccos(-1/2), cioè 120 gradi, e arccos(-1/3), cioè 109.47 gradi circa. Plateau l'aveva capito nel 1873, più di cento anni prima, ma non era riuscito a dimostrarlo.
Era un grande osservatore, e uno studioso appassionato. Nella sua tesi di dottorato del 1829 trattò, in sole 27 pagine, della persistenza dei colori sulla retina, delle intersezioni di alcuni particolari luoghi geometrici, della distorsione delle immagini in movimento, della ricostruzione di immagini distorte. Inventò il fenachistoscopio, un oggetto che permetteva di vedere immagini in movimento (quando ancora il cinema non esisteva).
Volendo studiare la persistenza della visione, ideò un esperimento in cui fissò il suo sguardo direttamente sul sole per 25 secondi. Esperimento che, purtroppo, lo portò a perdere la vista qualche anno dopo, nel 1843.
Sì, le leggi che portano il suo nome Plateau le ha elaborate e sperimentate solo con gli occhi della mente.
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