Lissajous, chi era costui?

Qualche post fa (e ormai un paio di mesi fa) avevo parlato di onde sinusoidali, di vettori rotanti, di moti circolari uniformi e moti armonici. Torniamo sull'argomento, questa volta combinando ortogonalmente due moti armonici.

Abbiamo due punti che si muovono su due diverse circonferenze; ne proiettiamo uno in direzione orizzontale, l'altro in direzione verticale, e siamo interessati a vedere quello che succede nell'intersezione.

I punti ruotano in maniera indipendente uno dall'altro: possono avere fase diversa (cioè possono partire da qualunque posizione sulla circonferenza) e possono avere velocità angolare diversa. A seconda del valore di questi due parametri si possono osservare figure (dette figure di Lissajous) con varie caratteristiche.

Eccone qualcuna:

ed ecco un'app java per giocarci un po':

Questa è un'Applet Java creata con GeoGebra da www.geogebra.org - Java non risulta installato sul computer in uso - fare riferimento a www.java.com

È interessante notare che a volte le figure che si ottengono sono chiuse, altre volte invece no — e, in questo caso, aspettando abbastanza tempo il quadrato che le contiene verrebbe riempito completamente. Le curve che si ottengono sono chiuse solo se il rapporto tra le frequenze generatrici dei moti circolari è un numero razionale. Altrimenti non si chiudono e riempiono tutto il quadrato: in questo caso si parla di moto quasi periodico. I Veri Matematici dicono che questo tipo di moto è ergodico: la definizione precisa si trova, ad esempio, in questa pagina di wikipedia.

Una definizione più accessibile è: bello sparpagliato.

E questo mi fa venire in mente un giochino che, apparentemente, non ha nulla a che fare con quanto detto finora (ma tutto è collegato, e quando si colgono i legami è sempre bellissimo): prendiamo la successione delle prime cifre delle potenze di 2, e cioè

20  = 1
21  = 2
22  = 4
23  = 8
24  = 16
25  = 32
26  = 64
27  = 128
28  = 256
29  = 512
210 = 1024
211 = 2048
212 = 4096
213 = 8192
214 = 16384
215 = 32768
216 = 65536
217 = 131072
218 = 262144
219 = 524288
220 = 1048576
...

Compare mai la cifra 7?

Quale cifra si incontra più spesso, 7 o 8? E quanto più spesso?