Ergodicità

Vediamo come risolvere il problema delle prime cifre delle potenze di 2. Se facciamo qualche conto, analizzando i primi valori, ci sembra che la cifra 7 sia molto rara. Per esempio, questa è la tabella di frequenza per le prime 50 potenze:

1: 15
2: 10
3:  5
4:  5
5:  5
6:  4
7:  1
8:  5
9:  0

Siamo riusciti a dare una risposta alla prima domanda: la cifra 7 compare almeno una volta, infatti

2⁴⁶ = 70368744177664.

Ora: come possiamo andare avanti nell'analisi per capire se sia più frequente la cifra 7 o la cifra 8? Qui c'è da fare qualche calcolo, se non ne avete voglia scendete un pochino, fino alle figure.

Una generica potenza di 2 potrebbe essere scritta in questo modo:

2ⁿ = k·10^r + h·10^r-1+…

(insomma, ho messo in evidenza la prima cifra, k, che è l'unica che ci interessa). Quindi possiamo dire anche che 2ⁿ è compresa tra k·10^r e (k+1)·10^r, in formule

k·10^r ≤ 2ⁿ < (k+1)·10^r.

Siccome ci interessano gli esponenti, passiamo ai logaritmi in base 10 (magari ricordandoci di qualche proprietà: per esempio, il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi, e il logaritmo di una potenza di 10 è l'esponente della potenza):

r + log(k) ≤ nlog2 < r + log(k+1).

Quindi siamo arrivati a questo punto: nlog2 è compreso tra due numeri composti dalla somma di r (che è un numero intero) e log(k) o log(k+1), che sono certamente numeri decimali minori di 1, dato che k è un intero compreso tra 1 e 9. In sostanza, r è la parte intera di nlog2. Bene, sottraiamolo da tutti i termini della disuguaglianza:

log(k) ≤ nlog2-r < log(k+1),

dove il termine centrale, nlog2-r, è la parte decimale di nlog2.

Adesso non dimentichiamo il fatto che stavamo analizzando le potenze del tipo 2ⁿ: quando n diventa n+1 la potenza raddoppia, ed è quindi come se noi sommassimo un termine log2 ai logaritmi (insomma, se A diventa 2A, allora log(A) diventa log(2A) = log(A) + log2).

In sostanza, stiamo studiando un sistema (un sistema dinamico, direbbe un Vero Matematico) del tipo x → x + log2, ristretto all'intervallo [0,1) (questo perché stiamo analizzando solo la parte decimale di nlog2). Ogni volta che superiamo 1, buttiamo via la parte intera e continuiamo con quella decimale.

Come in un orologio.

Ed ecco che ci ricolleghiamo (meraviglia) ai punti che si muovono lungo una circonferenza. Attenzione: una circonferenza di lunghezza unitaria.

[Riassunto per chi è arrivato qui saltando i calcoli: studiare la prima cifra delle potenze di 2 è come studiare il moto di un punto che fa dei salti lunghi log2 su una circonferenza di lunghezza unitaria.]

E il logaritmo di 2 non ci sta un numero intero di volte all'interno di una circonferenza lunga uno, perché è irrazionale (come diceva .mau. in un commento al post precedente). Questo significa che anche se il punto si muove a passi discreti, riempirà in maniera densa (cioè senza lasciare spazi vuoti) tutta la circonferenza. Ecco un esempio con 20 punti:

Ed eccone un altro con 100 punti:

I Veri Matematici direbbero: comunque si scelga un archetto di lunghezza ε, questo conterrà comunque almeno un punto. Continuando l'analogia con l'orologio, possiamo anche dire che la percentuale di tempo impiegata dalla lancetta all'interno di un archetto è proporzionale alla lunghezza dell'archetto stesso (questo è il significato di ergodicità).

Ora siamo in grado di rispondere alla domanda: comparirà più spesso la cifra 7 o la cifra 8?

Per k = 7, le formule trovate prima ci dicono che la parte decimale di nlog2 (cioè la lancetta dell'orologio) deve trovarsi nell'intervallo [log7, log8), di lunghezza log8 - log7 = log(8/7). Per k = 8, invece, la lancetta deve trovarsi in [log8, log9), di lunghezza log9 - log8 = log(9/8). Dato che log(8/7) è maggiore di log(9/8), è più facile trovare un 7 piuttosto che un 8.

Ecco una figurina riassuntiva che visualizza le probabilità di tutte le 9 cifre:

Qualcuno ha detto legge di Benford?