Gli orologi di Fourier — 2. Tre dimensioni

“Com'è quindi questa faccenda della lancette che girano al contrario?”.

“Prima di spiegartela più nel dettaglio, vorrei farti capire una cosa. Partiamo da questa domanda: quante informazioni contiene il grafico formato dalle lancette che abbiamo visto la volta scorsa?”.

“In che senso informazioni?”.

“Quante variabili, quanti numeri servono per descriverlo completamente?”.

“Uhm, uhm. È un grafico sul piano, no? Non sono due variabili?”.

“Sì, è vero, ma se lo pensi come punto che si muove, c'è una terza variabile nascosta: il tempo che passa. Il movimento della punta della matita sul grafico finale (il faccione di Homer Simpson, per dire) è descritto completamente da tre variabili: le coordinate del punto (due variabili) e l'istante di tempo in cui la punta della matita si trovava proprio in quel punto del foglio”.

“Ah, ok, una funzione in tre variabili, quindi?”.

“Non esattamente: una funzione lega il variare di alcune variabili all'interno di un insieme al variare di altre variabili all'interno di un altro insieme. In questo caso siamo interessati alla funzione che lega il tempo che passa alla punta della matita”.

“Quindi una variabile nell'insieme di partenza e due in quello di arrivo?”.

“Esatto. La sua rappresentazione completa ha bisogno di tre assi cartesiani: uno per il tempo che passa e altri due per le coordinate del punto che si muove”.

“Quindi, se ho capito bene, il grafico dovrebbe essere quello di una curva nello spazio?”.

“Proprio così. Per comodità di disegno possiamo poi fare come si faceva a scuola quando, invece di disegnare in prospettiva, si disegnavano le proiezioni ortogonali”.

“Uh, lontani ricordi…”.

“Se indichiamo le tre variabili con t per il tempo, x e y per la posizione del punto sul foglio, abbiamo tre disegni possibili. Possiamo disegnare soltanto x e y, in questo modo:”.

“E otteniamo la curva che avevamo già visto l'altra volta”.

“Oppure disegniamo t e x”.

“E che grafico salta fuori?”.

“Questo:”.

“Ah, una funzione normale…”.

“Ne esistono di anormali?”.

“Eh, diciamo che questa è una funzione che sono più abituato a vedere”.

“Hai ragione, in effetti è così. Anche quella nel piano t, y dovrebbe essere abbastanza normale, come dici tu:”.

“Sì, direi di sì”.

“Ma potresti anche disegnarle tutte e tre insieme”.

“Come proiezioni?”.

“Non solo: in fondo, le proiezioni le abbiamo già viste separate. Potremmo disegnarle come hai detto tu all'inizio: come curva nello spazio. Ecco qua, puoi orientarla come vuoi trascinando col mouse il grafico. Prova a riottenere le tre proiezioni viste prima”.