Nel tentativo di far capire a quelli di quinta che le equazioni differenziali sono un utile strumento per risolvere problemi reali (qualunque cosa ciò significhi), quest'anno ho provato ad assegnare loro, nelle verifiche in classe, un paio di esercizi non standard. Il risultato è stato fallimentare, ma io mi sono divertito molto.
Eccoli.
La kryptonite è un materiale radioattivo alieno molto dannoso per gli abitanti del pianeta Krypton. Il suo tempo di dimezzamento è pari a circa 5.55 ore (più precisamente, 8ln2 ore). Indica con t il tempo, espresso in giorni, e con Q(t) la quantità di kryptonite esistente al tempo t. Scrivi l'equazione differenziale che rappresenta il decadimento della kryptonite. Quanta massa rimarrà dopo un giorno, se la massa iniziale è di 2 Kg?
Lex Luthor ha catturato Superman e lo ha imprigionato in una stanza assieme ai 2 Kg di kryptonite dell'esercizio precedente. Per evitare che il minerale alieno si esaurisca, ha ideato una macchina che in continuazione rinnova la riserva. La macchina migliora la sua efficienza man mano che essa rimane in funzione, e perciò il primo giorno riesce a produrre un solo Kg di materiale, il secondo giorno ne riesce a produrre 2, e così via: il giorno x-esimo riesce a produrre x Kg di minerale. Scrivi l'equazione differenziale che rappresenta questa situazione e risolvila.
Nevica. Il malvagio Uomo Neve ha stretto Gotham City sotto una morsa di gelo. La neve cade dalle 5 di questa mattina, a una velocità di 30 centimetri all'ora (che indichiamo con h(t)). Alle 6 del mattino (cioè quando t=1) Batman attiva il suo bat-spazzaneve per cercare di ostacolare i piani maligni dell'Uomo Neve: la macchina si muove a una velocità inversamente proporzionale all'altezza della neve. Ricordando che la velocità è la derivata dello spazio percorso s(t) fatta rispetto al tempo, scrivi l'equazione differenziale che governa il moto del bat-spazzaneve e risolvila. Alle ore 7 Batman ha ripulito 10 Km di strada, quanti ne avrà puliti ancora quando saranno le 9?
(L'ultimo è stato fortemente ispirato da un problema dei Rudi Mathematici)
7 commenti:
Maaa io voglio dei problemi così!
Non è giusto che la mia prof mette solo degli integrali e delle equazioni differenziali da risolvere senza significato ._.
Vediamo, azzardo la soluzione del terzo. Alle 9 il batspazzaneve ha spazzolato in tutto circa 20 km di strada, solo 10 km in più di quanti ne aveva spazzolati alle 7. Senza scrivere tutti i passaggi lo spazio percorso dal batspazzaneve è s(t) = 14.43 km * ln t.
@harrym: lo studente medio apprezza solo il testo dei problemi, ma poi quando si tratta di risolvere si lamenta :-)
@eriadan: ah! lo spirito dell'ingegnere :-) Giusto, giusto.
Che meraviglia... :)
Ma nei nostri compiti in classe, la maggior parte degli esercizi sono tipo questi ò.ò Però devo ammettere che la maggior parte sono davvero mooolto lunghi da risolvere... Ma sono solo uno studente eheh
Segnalo il libro "La fisica dei Supereroi", http://it.wikipedia.org/wiki/La_fisica_dei_supereroi
che adotta un approccio didattico molto simile a questo...
Con i problemini, anche?
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