Il concetto di curvatura è facile da intuire, ma difficile da definire in una maniera gradita ai Veri Matematici.
Ecco un'idea semplice:
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La curvatura di una curva corrisponde a quanto deve piegarsi un motociclista per percorrerla. Facile. I flessi sono i punti in cui il pilota cambia inclinazione e si piega dall'altra parte; se il pilota è poco inclinato la curvatura è piccola, se è molto inclinato la curvatura è grande.
Se il pilota mantenesse sempre la stessa inclinazione lo vedremmo descrivere una circonferenza, il cui raggio è tanto più piccolo quanto più il pilota è inclinato. Ecco allora che possiamo legare il concetto di curvatura a quello di circonferenza che
meglio approssima (qualunque cosa ciò significhi, la spiegheranno i Veri Matematici) la curva, e quando parliamo di raggio di curvatura intendiamo parlare del raggio di quella particolare circonferenza.
Per esempio, qua sotto c'è una animazione fatta con GeoGebra (e inserita come html5 (credo), se non la vedete fatemi sapere) che mostra il grafico della funzione seno, un punto che si muove su di esso, e il cerchio avente come raggio il raggio di curvatura in quel punto.
Per calcolare la curvatura i Veri Matematici hanno naturalmente sviluppato metodi rigorosi che non fanno uso di piloti di moto, ma ora non ci addentriamo nella questione, perché vogliamo invece passare alle superfici.
Qui le cose si fanno più difficili, perché a seconda della direzione con cui percorriamo la superficie, la curvatura potrebbe cambiare. Ad esempio, prendiamo una superficie a forma di sella.
Possiamo immaginare che sia un passo di montagna: se partiamo da una valle, saliamo fino al valico e poi scendiamo dall'altra parte, la concavità del sentiero che stiamo percorrendo è rivolta verso il basso; viceversa, se partiamo da una cima montuosa e scendiamo fino al valico, per poi salire dall'altra parte, notiamo che la concavità è rivolta verso l'alto: il cerchio che meglio approssima il percorso si trova, in un caso, al di sotto della superficie, e nell'altro caso si trova invece al di sopra.
Bene, quindi come si misura la curvatura di una superficie? Bé, esistono alcuni modi diversi, che mettono in evidenza proprietà diverse delle superfici: ora ci concentriamo su uno solo di questi, detto della
curvatura gaussiana.
Metodo che nasce da questo problema: come facciamo ad accorgerci se una superficie è curva oppure no? Capisco che questa domanda possa fare alzare un sopracciglio anche a un vulcaniano addormentato, perciò mi spiego meglio: come facciamo a capire se una superficie è curva o no senza uscire da essa, cioè senza guardarla dall'esterno?
Detto in altri termini: come fanno gli abitanti di Flatlandia a capire se il loro mondo è un piano euclideo, una sfera, oppure una sella come quella disegnata qua sopra? Loro non possono osservarlo dall'esterno, e quindi per loro non è così facile.
Bene, il buon Gauss ha trovato una soluzione (anche) a questo problema. Dopo essere diventato grande e aver smesso di calcolare somme di interi consecutivi, si è dedicato a questa faccenda della curvatura e, all'età di 50 anni, ha scritto un articolo intitolato
Disquisitiones generales circa superficies curvas, nel quale si trova la seguente affermazione:
Si superficies curva in quamcumque aliam superficiem explicatur, mensura curvaturae in singulis punctis invariata manet.
Che significa: cari lettori, se noi prendiamo una superficie curva e la sviluppiamo su una qualunque altra superficie, il calcolo della curvatura come ve l'ho spiegato io nelle righe precedenti non cambia.
E i lettori rispondono: eh?
E Gauss allora spiega meglio: se io prendo questa superficie e riesco, piegandola senza deformazioni, a appiccicarla a un'altra superficie, la curvatura non cambia. Insomma, vedete questo cilindro? Ecco, se io lo taglio in modo da ottenere un rettangolo riesco a appiccicarlo su un piano, e quindi il cilindro e il piano hanno la stessa curvatura.
Grazie, caro Gauss, rispondono i lettori, l'hai tagliato!
Carissimi, riprende Gauss, l'ho tagliato perché le vostre semplici menti si sarebbero trovate in difficoltà con il concetto di isometria locale. Pezzo per pezzo il mio cilindro si può mettere su un piano, quindi pezzo per pezzo ha curvatura uguale a quella del piano: dato che il piano ha curvatura nulla, anche il cilindro ha curvatura nulla pezzo per pezzo. E quindi ha curvatura nulla sempre. Se ci provo con una sfera non ci riesco, nemmeno se taglio pezzi piccoli: devo comunque sempre deformarli per appiccicarli su un piano.
Ah, Gauss, sai che forse abbiamo capito? E come funziona questo tuo calcolo della curvatura?
Ecco, vedete, spiega Gauss, ho scoperto che se definisco come curvatura il prodotto delle due curvature principali, allora questo risultato è indipendente dalle osservazioni che si possono fare dall'esterno sulla superficie in questione. Insomma, è una misura che anche gli abitanti di Flatlandia potrebbero fare.
Bello, ma non sappiamo assolutamente cosa siano le curvature principali, sai?
Avete ragione: si chiamano
curvature principali misurate in un punto il massimo valore e il minimo valore della curvatura di una curva contenuta nella superficie e passante per il punto.
Uhm.
Avete presente quella sella di prima? Se vado da una valle all'altra, salgo e poi scendo. Quindi la circonferenza che meglio approssima si trova al di sotto della superficie. Se invece vado da una montagna all'altra, prima scendo e poi salgo: in questo modo la circonferenza che meglio approssima si trova al di sopra della superficie. Ora non sto a tediarvi con questioni di segno, ma capite anche voi che una delle due circonferenze avrà curvatura positiva, l'altra negativa. Quindi il loro prodotto sarà negativo.
E quindi la sella ha una curvatura negativa?
Esattamente. Più precisamente, ha curvatura negativa nel punto in cui la stiamo misurando. Se cambio punto la curvatura potrebbe cambiare. Ma non ci addentriamo troppo in questi discorsi, perché mi è venuta fame. Avete ancora un po' di pizza?
Ehm, certo.
Ecco, bene, perché è con la pizza che il mio teorema trova una fondamentale applicazione.
Eh?
Certo, certo. Osservate questa bella pizza, che superficie occupa?
È un cerchio, no?
Sì, il pizzaiolo è stato molto abile, quando le faccio io sembrano dei frattali.
Eh?
Non importa, qualcosa che studieranno bene in futuro… Dicevo, questa pizza è un cerchio, certo, ma vedete che è appoggiata su un piano, no?
Ovvio.
E quindi ha la stessa curvatura del piano.
Che, secondo quanto hai detto, dovrebbe essere zero, vero?
Esattamente. Allora, secondo il mio egregio teorema, se anche la deformo senza stirarla la curvatura non cambia.
Certo, Gauss, a meno che non sia fatta di gomma.
Questa è un'ottima pizza, non è per niente gommosa. Allora, guardate, ne taglio una bella fetta…
Isometria locale?
Bene, bene, vedo che mi seguite. Questo bello spicchio che ho appena tagliato ha curvatura zero, come l'intero cerchio, e come l'intero piano.
Ok, quindi?
Quindi ora lo piego lungo un raggio con le mani, e lo sollevo dal piatto, vedete?
Cosa?
Vedete che ora ho in mano una superficie curva, no? Che secondo il mio teorema ha ancora curvatura zero.
E quindi?
E quindi io l'ho piegata per tenerla in mano, e allora una delle due curvature principali è aumentata.
Quella lungo la direzione perpendicolare alla piega, che ora assomiglia a una conca, una specie di cilindro.
Proprio così. E dunque, se la mia curvatura, ehm, se la curvatura gaussiana deve rimanere zero, l'altra curvatura principale che valore dovrà avere?
Eh, dovrà essere zero, no? Solo moltiplicando per zero otteniamo zero.
Esatto. Ecco perché piegando uno spicchio di pizza la punta non cade verso il basso: se la curvatura principale in quella direzione deve rimanere zero, la pizza deve stare su. Così ce la possiamo mangiare comodamente con le mani. Gnam.
