R.I.P.
giovedì 30 aprile 2009
sabato 25 aprile 2009
Mi serve più antenna
“Un'altra dimostrazione senza parole?”.
“Già”.
“Qui, però, qualche parolina ci starebbe bene, eh?”.
“Forse hai ragione”.
“Quella disegnata lì è una parabola?”.
“Esatto. La figura evidenzia la definizione: la parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto e da una retta”.
“Ah, nella figura il punto è F e la retta è quella orizzontale che contiene A?”.
“Sì. Il punto si chiama fuoco, la retta invece direttrice”.
“Ok, quindi PF e PA sono uguali”.
“O, come dicono i Veri Matematici, congruenti. O isometrici”.
“Va bene. Cos'altro si vede in figura?”.
“Si vede un altro punto particolare della parabola, quello indicato con V, che si chiama vertice”.
“Bene, vedo. È quello che si trova sull'asse di simmetria, giusto?”.
“Giusto. Dato che anche V è un punto della parabola, allora VF e VB sono segmenti congruenti”.
“Poi vedo anche il segmento FA, è diviso a metà da M?”.
“Esatto, la retta VM divide a metà sia FB che FA, per il teorema di Talete”.
“Ok. Però c'è una cosa non chiara: come faccio a dire che PM è la tangente?”.
“Bene, ottima osservazione: in effetti non l'abbiamo mai detto. Si può ragionare in questo modo: il triangolo PFA è isoscele, giusto?”.
“Certo, l'abbiamo detto all'inizio: è la definizione di parabola”.
“Sappiamo anche che in un triangolo isoscele la mediana relativa alla base è anche altezza e bisettrice”.
“Vero. Quindi PM divide in due AF, è perpendicolare ancora ad AF, e in più divide in due l'angolo in P. Ah, ecco, vedo che i due angoli FPM e MPA sono segnati allo stesso modo”.
“Esatto. Ora, ragionamo sulla retta PM; questa divide il piano in due parti: una contiene punti che hanno distanza da F minore della loro distanza da A, l'altra contiene punti che hanno la proprietà opposta, cioè hanno distanza da A minore della distanza che essi hanno da F”.
“Uhm, va bene, credo di aver capito. Dovrebbe essere il modo che usano i Veri Matematici per dire che la retta PM divide il piano in due parti, i punti vicini a F e quelli vicini ad A”.
“Va bene, diciamo così. Ora, noterai che tutti i punti della parabola stanno dalla stessa parte”.
“Ehi, Vero Matematico! Quasi tutti i punti...”.
“Sì, hai ragione, tutti i punti tranne P stanno dalla stessa parte, quella dei punti vicini a F”.
“Bene”.
“Siamo sicuri?”.
“Eh?”.
“Siamo sicuri che non ci siano altri punti della parabola che stanno sulla retta PM?”.
“Uffa. Come faccio a saperlo? Ma dai, si vede!”.
“Eh, si vede è una risposta non accettabile... Lo sai, vero?”.
“Già. Quindi, come faccio?”.
“Prova. Immagina di prendere un altro punto della parabola, chiamalo Q”.
“Ok. Aspetta che faccio una figura”.
“Bene. Ora, Q si trova sulla parabola, quindi la sua distanza da F sarà uguale alla sua distanza dalla direttrice”.
“Cioè QF è uguale — anzi, congruente — a QQ'”.
“Sì. Dato che QQ' sarà sempre minore di QA, possiamo concludere che QF è minore di QA”.
“E quindi?”.
“E quindi Q sta nel semipiano dei punti vicini a F, e non può appartenere a PM”.
“Va bene, ma ancora non vedo la conclusione”.
“Ormai è semplice: hai immaginato di prendere un qualsiasi punto Q della parabola diverso da P, e hai concluso che Q non appartiene a PM”.
“E quindi?”.
“E quindi PM ha un solo punto in comune con la parabola”.
“Ah! Ho capito! Dato che PM ha un solo punto in comune con la parabola, è la tangente”.
“Proprio così. A questo punto la nostra dimostrazione senza parole ci dice qualcosa sugli angoli che hanno vertice P”.
“Uhm, vedo tre angoli congruenti”.
“Sì. Considera anche la linea tratteggiata, che è la perpendicolare alla tangente”.
“Si chiama anche normale, vero?”.
“Esatto. Immaginala come asse di simmetria”.
“Ah, vedo: i due angoli segnati in blu sono simmetrici rispetto alla normale”.
“Già. Immagina che la parabola sia uno specchio. Ti traduco quello che abbiamo dimostrato in linguaggio fisico: l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione”.
“Wow!”.
“Quindi ogni raggio parallelo all'asse della parabola viene riflesso nel fuoco”.
“Ma allora è per questo che mettiamo le parabole sul tetto per ricevere i segnali da satellite?”.
“Proprio così. Anche se quelle che mettiamo sul tetto non sono curve, ma sono superfici. In pratica si prende una parabola, la si fa ruotare intorno al suo asse, e si ottiene una specie di scodella che i Veri Matematici chiamano paraboloide ellittico”.
“E poi mettiamo il ricevitore nel fuoco?”.
“Sì”.
“A me però non sembra che il ricevitore delle antenne che stanno sui tetti sia proprio nel fuoco, mi sembra un po' fuori asse”.
“In realtà è il paraboloide che è tagliato storto: viene tagliato con un piano non perpendicolare all'asse in modo tale che il ricevitore non schermi una parte di superficie. Le antenne fatte così si chiamano antenne offset. In questo modo si può risparmiare sulle dimensioni del disco”.
“Anche se...”.
“Anche se?”.
“Se uno ha bisogno di un'antenna grande può usare questa”.
martedì 14 aprile 2009
Giorni di un futuro passato
Oggi è uscito il dodicesimo Carnevale della Matematica, da Gravità Zero. Il che ha provocato una notevole reazione a catena: per prima cosa, una delle partecipanti ha scritto un post sul Festival della Matematica di quest'anno parlando di Galois (e già questo non è poco). Il suddetto post cita, in tre righe, le macchine matematiche costruite a Modena.
Allora io ho scritto all'autrice su feisbuc (nessuno è perfetto) facendole presente che la costruzione delle macchine matematiche ebbe inizio ai tempi in cui io ero al liceo, nel mio liceo, da parte della mia prof. di matematica e di un collega.
Nel mio commento facevo riferimento anche a una mia compagna di classe, pure lei in ascolto. I ricordi iniziano a mettersi in movimento.
Cominciamo a cercare informazioni in rete, salta fuori una pagina di Treccani Scuola, che fra le altre cose dice:
Siamo quasi alla commozione: noi c'eravamo, eravamo gli strani del liceo, perché avevamo una prof. che ci spiegava cose strane, non nel programma. Parole come traslazioni, rotazioni, isometrie, glissosimmetrie, omotetie, proiettività, birapporti, polari erano il nostro pane quotidiano. La matematica ha iniziato a piacermi grazie a quelle cose lì.
L'articolo prosegue:
Mi sono rivisto per un attimo in quell'aula, a provare le macchine. C'era un plotter (un plotter vero, di quelli di una volta) col quale i nostri insegnanti avevano fatto un filmato: un fascio di coniche in movimento. Non c'era geogebra, a quei tempi. C'erano delle calcolatrici HP, che programmavamo in notazione polacca inversa—conoscevamo la regola di Horner, per dire. C'erano dei coni di legno tagliati in tutti i modi possibili. C'eravamo noi, così tanto giovani...
Allora io ho scritto all'autrice su feisbuc (nessuno è perfetto) facendole presente che la costruzione delle macchine matematiche ebbe inizio ai tempi in cui io ero al liceo, nel mio liceo, da parte della mia prof. di matematica e di un collega.
Nel mio commento facevo riferimento anche a una mia compagna di classe, pure lei in ascolto. I ricordi iniziano a mettersi in movimento.
Cominciamo a cercare informazioni in rete, salta fuori una pagina di Treccani Scuola, che fra le altre cose dice:
Già all'inizio degli anni '80, un piccolo gruppo di insegnanti (Marcello Pergola, Annalisa Martinez e Carla Zanoli) aveva iniziato a produrre a scuola sussidi didattici ispirati agli approcci di Lucio Lombardo Radice ed Emma Castelnuovo. I sussidi erano sistemi articolati e biellismi montati su tavolette di piccole dimensioni, in grado di tracciare curve algebriche o di realizzare trasformazioni geometriche. Accanto a questi, c'erano le 'barelle', modelli dinamici più grandi con piani fissi e piani mobili di legno o plexiglas, in grado di rappresentare ombre e prospettive, attraverso la materializzazione dei raggi luminosi o dei visivi con fili tenuti tesi da pesi da pesca.
Siamo quasi alla commozione: noi c'eravamo, eravamo gli strani del liceo, perché avevamo una prof. che ci spiegava cose strane, non nel programma. Parole come traslazioni, rotazioni, isometrie, glissosimmetrie, omotetie, proiettività, birapporti, polari erano il nostro pane quotidiano. La matematica ha iniziato a piacermi grazie a quelle cose lì.
L'articolo prosegue:
La produzione degli oggetti avveniva nel seminterrato del Liceo Scientifico Tassoni di Modena, in prossimità dell'Aula di Matematica. L'aula-laboratorio, frequentata dalle classi dei tre insegnanti, godeva di una fama incerta tra gli studenti delle altre sezioni. L'invito a visitare l'aula per attività di laboratorio era raramente accolto dai colleghi di matematica delle altre sezioni.
Mi sono rivisto per un attimo in quell'aula, a provare le macchine. C'era un plotter (un plotter vero, di quelli di una volta) col quale i nostri insegnanti avevano fatto un filmato: un fascio di coniche in movimento. Non c'era geogebra, a quei tempi. C'erano delle calcolatrici HP, che programmavamo in notazione polacca inversa—conoscevamo la regola di Horner, per dire. C'erano dei coni di legno tagliati in tutti i modi possibili. C'eravamo noi, così tanto giovani...
sabato 4 aprile 2009
Proooof, posso usare la calcolatrice?
Se in una verifica compaiono numeri maggiori di 11 subito tutti gli studenti pretendono di poter usare la calcolatrice (prof, ma non vorrà che calcoli il quadrato di 16 a mano, vero?).
Nel 1907 Henry Dudeney pubblicava il suo primo libro, Gli enigmi di Canterbury, in cui proponeva un problema in cui si chiedeva di trovare due numeri razionali, diversi da 1 e 2, che elevati al cubo e sommati dessero come risultato 9. Questi due numeri, naturalmente, dovevano essere frazionari. Pare che già nel diciassettesimo secolo Fermat avesse trovato una soluzione composta da due frazioni aventi denominatori di ventuno cifre (soluzione che non sono riuscito a trovare, però), ma Dudeney ne presentò una molto più semplice.
Il numero
elevato alla terza dà come risultato
mentre il numero
elevato alla terza dà come risultato
Ebbene, la somma di questi due cubi è uguale a 9.
Senza calcolatrice.
Nel 1907 Henry Dudeney pubblicava il suo primo libro, Gli enigmi di Canterbury, in cui proponeva un problema in cui si chiedeva di trovare due numeri razionali, diversi da 1 e 2, che elevati al cubo e sommati dessero come risultato 9. Questi due numeri, naturalmente, dovevano essere frazionari. Pare che già nel diciassettesimo secolo Fermat avesse trovato una soluzione composta da due frazioni aventi denominatori di ventuno cifre (soluzione che non sono riuscito a trovare, però), ma Dudeney ne presentò una molto più semplice.
Il numero
415280564497
------------
348671682660
elevato alla terza dà come risultato
71618433685536548740491975757991473
-----------------------------------
42388693682134611430314787845096000
mentre il numero
676702467503
------------
348671682660
elevato alla terza dà come risultato
309879809453674954132341114847872527
------------------------------------
42388693682134611430314787845096000
Ebbene, la somma di questi due cubi è uguale a 9.
Senza calcolatrice.
mercoledì 1 aprile 2009
im a AI "brain" lol
Oggi è nata la prima singolarità. Creata da google, si chiama CADIE (acronimo di Cognitive Autoheuristic Distributed-Intelligence Entity), e ha un blog. Naturalmente è ancora giovane: scrive ancora con un sacco di abbreviazioni e usa il comic-sans.
La scala di Giacobbe e altre string figures
I Rudi Mathematici segnalano, nella rivista di questo mese, un sito di string figures, che sarebbero quegli intrecci che si fanno con due mani e un anello di corda. Questa è la "classica" scala di Giacobbe, ma sul sito ce ne sono molte altre, con le istruzioni per costruirle e i filmati.
Il sito in questione, Gadan Climbing, parla di manipolazioni di cordini: in effetti è anche un sito di alpinismo. A ogni manipolazione è associato un indice di difficoltà, analogo a quello che usano gli arrampicatori per classificare i loro "passaggi".
Il sito in questione, Gadan Climbing, parla di manipolazioni di cordini: in effetti è anche un sito di alpinismo. A ogni manipolazione è associato un indice di difficoltà, analogo a quello che usano gli arrampicatori per classificare i loro "passaggi".
martedì 31 marzo 2009
Welcome to the real world
Questo succedeva qualche anno fa:
“Proooof, ma lei come fa a conoscere il grafico della funzione solo guardando la formula?”.
“Eh, il prof è come Neo, legge direttamente il codice”.
Son già dieci anni, sigh.
“Proooof, ma lei come fa a conoscere il grafico della funzione solo guardando la formula?”.
“Eh, il prof è come Neo, legge direttamente il codice”.
Son già dieci anni, sigh.
lunedì 30 marzo 2009
Ma come si fa a insegnare quando mancano le basi?
“Abbiamo detto che un flesso è un punto in cui cambia la concavità”.
“Sì, prof, ma in che senso? Non si capisce bene cosa vuol dire cambiare la concavità”.
“Allora, questa è una pista di moto vista dall'alto”.
“Moto?”.
“Sì, facciamo una gara. All'inizio il motociclista è piegato verso sinistra, se vuole percorrere la curva”.
“Eh, già”.
“Poi si rialza e, verso la fine, sarà piegato verso destra”.
“Giusto”.
“Ci sarà un punto in cui la moto si trova verticale, no? Il passaggio dalla curva a sinistra a quella a destra”.
“Vero”.
“Bene, quello è il flesso”.
“Ho capito”.
Passa il tempo.
“Prof, ma anche nei punti angolosi c'è un flesso?”.
“Eh, bella domanda. Qua si tratta di mettersi d'accordo sulla definizione: in effetti anche coi punti angolosi ci potrebbero essere cambi di concavità”.
“Infatti”.
“Però nel punto non esiste la tangente. Di solito quelli non si chiamano flessi, molti libri specificano che nel flesso deve esistere la tangente. Ricordi l'esempio della moto?”.
“Certo”.
“Ecco, in questo caso servirebbe la moto di Tron per percorrere questa pista”.
“Eeeh?”.
sabato 28 marzo 2009
Il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla radice del dente di mia nonna
Per la serie Dimostrazioni Senza Parole, ecco qua un famoso teorema:
(Menzione d'onore a chi coglie la citazione contenuta nel titolo del post senza usare google...)
(Menzione d'onore a chi coglie la citazione contenuta nel titolo del post senza usare google...)
martedì 24 marzo 2009
Altro che tesina d'esame
Keplero ha pubblicato un link, segnalatomi poi anche da Marcello Seri, relativo a uno studio compiuto da alcuni studenti del Liceo Scientifico “A. Vallisneri” di Lucca: analizzando le registrazioni in mp3 delle comunicazioni tra Neil Armstrong (sulla luna) e il controllo di Houston (sulla terra) hanno notato che le parole trasmesse da Houston, riecheggiando all'interno del casco dell'astronauta, rientravano nel suo microfono e venivano ritrasmesse a terra, creando un'eco.
Misurando il ritardo dell'eco, gli studenti sono stati in grado di misurare la distanza terra-luna.
Usando poi le registrazioni della missione Apollo 17 (che è rimasta sulla superficie lunare per circa trecento ore) gli studenti sono riusciti a misurare anche l'eccentricità dell'orbita lunare. Non male, eh?
(Guardando il testo dell'articolo, vedo che ha partecipato anche il Liceo Scientifico “E. Fermi” di Massa: onore anche a loro)
Misurando il ritardo dell'eco, gli studenti sono stati in grado di misurare la distanza terra-luna.
Usando poi le registrazioni della missione Apollo 17 (che è rimasta sulla superficie lunare per circa trecento ore) gli studenti sono riusciti a misurare anche l'eccentricità dell'orbita lunare. Non male, eh?
(Guardando il testo dell'articolo, vedo che ha partecipato anche il Liceo Scientifico “E. Fermi” di Massa: onore anche a loro)
lunedì 23 marzo 2009
La Guardia cittadina
Me lo avevano detto che i libri di Terry Pratchett sono suddivisi in varie saghe, pur essendo ambientati sempre nello stesso mondo. Mi avevano anche detto che un profano non dovrebbe leggerli partendo dalla prima, quella di Scuotivento. Io però sono molto puntiglioso su queste cose: devo partire dall'inizio e procedere in ordine (anche se, davanti alla saga di Guerre Stellari o la ciclo della Fondazione di Asimov mi trovo un po' a disagio).
Insomma, sono partito proprio dalla saga di Scuotivento, che mi ha divertito, ma niente di più. Poi sono passato alla saga delle streghe, molto carina; poi Morte, uno dei personaggi migliori del mondo disco. Poi, finalmente, sono arrivato ai romanzi della Guardia: spettacolari.
Oltre al livello dell'umorismo c'è dell'altro. Per esempio, la discussione sull'ateismo messa in bocca al golem di Piedi d'argilla è molto seria, e così pure il tema dell'uguaglianza tra "diversi" di Uomini d'arme. La biblioteca di Modena li classifica come libri per ragazzi, ma non è assolutamente così. I ragazzi certamente si divertiranno, ma gli adulti potranno fare anche riflessioni più profonde (pur continuando a divertirsi, naturalmente).
In più, i romanzi della Guardia sono gialli: c'è un morto, c'è un'indagine, c'è la soluzione finale. Ma per me questo è un aspetto secondario, a me interessano le storie che si evolvono, le relazioni tra i personaggi, mi interessa sapere se lui ama lei, se si rivedranno, se questo è davvero buono e quello davvero cattivo. Temo che questo sia indice di vecchiaia, ma forse no. C'è stato un periodo della mia vita in cui guardavo Sentieri, per dire.
Insomma, sono partito proprio dalla saga di Scuotivento, che mi ha divertito, ma niente di più. Poi sono passato alla saga delle streghe, molto carina; poi Morte, uno dei personaggi migliori del mondo disco. Poi, finalmente, sono arrivato ai romanzi della Guardia: spettacolari.
Oltre al livello dell'umorismo c'è dell'altro. Per esempio, la discussione sull'ateismo messa in bocca al golem di Piedi d'argilla è molto seria, e così pure il tema dell'uguaglianza tra "diversi" di Uomini d'arme. La biblioteca di Modena li classifica come libri per ragazzi, ma non è assolutamente così. I ragazzi certamente si divertiranno, ma gli adulti potranno fare anche riflessioni più profonde (pur continuando a divertirsi, naturalmente).
In più, i romanzi della Guardia sono gialli: c'è un morto, c'è un'indagine, c'è la soluzione finale. Ma per me questo è un aspetto secondario, a me interessano le storie che si evolvono, le relazioni tra i personaggi, mi interessa sapere se lui ama lei, se si rivedranno, se questo è davvero buono e quello davvero cattivo. Temo che questo sia indice di vecchiaia, ma forse no. C'è stato un periodo della mia vita in cui guardavo Sentieri, per dire.
venerdì 20 marzo 2009
Un simpatico problema di probabilità
(Di solito non lo sono, simpatici...)
Consideriamo le prime cifre dei numeri 2n: 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, ...
In questa successione compare la cifra 7? E quale cifra si incontra più spesso: 7 o 8? E quanto più spesso?
Dopo averlo risolto (o prima di risolverlo) (o invece di risolverlo...) date un'occhiata alle Dense Potenze di marcellosblog.
Consideriamo le prime cifre dei numeri 2n: 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, ...
In questa successione compare la cifra 7? E quale cifra si incontra più spesso: 7 o 8? E quanto più spesso?
Dopo averlo risolto (o prima di risolverlo) (o invece di risolverlo...) date un'occhiata alle Dense Potenze di marcellosblog.
Gara a squadre
Questo pomeriggio ho accompagnato alcuni studenti a una gara a squadre di matematica. I testi dei problemi erano tutti sulla falsariga di questo (che è il primo quesito):
1. La luce sulla cima
Il robot paranoico Marvin è sul bordo del cornicione della torre A della Megadodo Publications, la casa editrice della Guida Galattica per AutoStoppisti (G2AS) a 78 metri di altezza, ha appena terminato la discussione esistenziale con il Frogstar Robot Tank e guarda verso la vetta dell'unica collina di Ursa Minor B. In effetti, guarda proprio la luce in cima dell'antenna sulla vetta della collina: per farlo, alza la testa di 30 gradi. Sapendo che la collina è alta 856 m, l'antenna è alta 6 m e gli occhi di Marvin sono a 2 m dal cornicione, qual è la distanza in metri tra gli occhi di Marvin e la cima dell'antenna?
domenica 15 marzo 2009
Buon Ceil(Pi) day
Oggi, giornata nella quale si festeggia il Pi Day approssimato per eccesso, vi segnalo che ieri è uscito l'undicesimo Carnevale della Matematica e vi omaggio con la seguente frazione:
59946682763143137809392908831860261770944188707458 -------------------------------------------------- 19081621767431898279289737232615955683911919747559
giovedì 12 marzo 2009
E anche questa volta niente assegno
Ho scritto a Knuth segnalandogli un errore in un suo libro.
Mi ha risposto in modo molto gentile spiegandomi che non avevo ben colto una nuance della lingua inglese. Insomma, l'errore non c'era.
Stavo pensando di rispondergli che, no, in effetti non avrei mai pensato di essere in grado di trovare un errore in uno dei suoi libri, ma speravo lo stesso di ricevere uno dei suoi famosi assegni da incorniciare.
Mi ha risposto in modo molto gentile spiegandomi che non avevo ben colto una nuance della lingua inglese. Insomma, l'errore non c'era.
Stavo pensando di rispondergli che, no, in effetti non avrei mai pensato di essere in grado di trovare un errore in uno dei suoi libri, ma speravo lo stesso di ricevere uno dei suoi famosi assegni da incorniciare.
giovedì 5 marzo 2009
È un pazzo con la bava alla bocca
Un accanito modellista ha costruito un dodecaedro di Rubik: qui tutte le fasi della costruzione.
Alcune statistiche:
Il dodecaedro è fatto con 975 pezzi;
ogni faccia ha 101 adesivi, per un totale di 1212;
sono state impiegate 20 ore per fare il master e gli stampi;
12 ore per le fusioni di tutti i pezzi;
30 ore per ripulire i pezzi e sabbiarli;
7 ore per l'assemblaggio;
6 ore per incollare gli adesivi.
E poi dicono a cosa serve la matematica.
(via)
mercoledì 4 marzo 2009
Cominciamo bene
“Allora, ci siete tutti?”.
“Boh, prof. Sì, cioè, no, insomma...”.
“Vabbè, ho capito. Alice?”.
“Presente”.
“Bruno?”.
“Sì”.
“Carlo?”.
“Qui”.
“Dario?”.
“Quo”.
“Erio?”.
“Qua”.
“...”.
“Boh, prof. Sì, cioè, no, insomma...”.
“Vabbè, ho capito. Alice?”.
“Presente”.
“Bruno?”.
“Sì”.
“Carlo?”.
“Qui”.
“Dario?”.
“Quo”.
“Erio?”.
“Qua”.
“...”.
sabato 28 febbraio 2009
Are you a math genius?
La Wolfram Research ha da tempo pubblicato un sito sulla matematica di Numb3rs (telefilm che riprende a essere trasmesso in Italia da domani sera). Dall'inizio della quinta stagione il sito si è arricchito: a ogni puntata è associato anche un quesito matematico. Questo è un classico, ma non l'avevo ancora visto sotto forma di animazione.
(Via 360)
(Via 360)
giovedì 26 febbraio 2009
Considerazioni di similitudine
Alcuni problemi che sembrano difficili da risolvere hanno una soluzione facile se si fanno alcune considerazioni di similitudine e di dimensione.
Per esempio: gli animali di un deserto devono compiere grandi distanze tra le diverse sorgenti d'acqua. Come dipende il tempo massimo di corsa dalle dimensioni L dell'animale?
La riserva d'acqua è proporzionale al volume dell'animale (cioè a L3), la trasudazione alla sua superficie, cioè a L2. Quindi il tempo massimo di corsa da una sorgente d'acqua all'altra è proporzionale a L. In altre parole: gli animali grandi corrono per più tempo.
Altro esempio: come dipende la velocità di corsa dell'animale in un luogo pianeggiante e in montagna dalle dimensioni L dell'animale?
La potenza esercitata da un animale è proporzionale a L2; la resistenza dell'aria è proporzionale al quadrato della velocità e all'area della sezione trasversale — la potenza spesa per vincerla è proporzionale quindi a v2L2v. Quindi v3L2 deve essere proporzionale a L2, e allora v non dipende da L. In effetti la velocità di corsa in pianura per animali non più piccoli della lepre e non più grandi del cavallo non dipende praticamente dalle dimensioni.
Per correre in montagna è necessaria una potenza mgv proporzionale a L3v. Dato che la potenza esercitata è proporzionale a L2, troviamo che v è inversamente proporzionale a L. Un cane sale di corsa su un colle, un cavallo segna il passo.
Infine, come dipende dalle dimensioni dell'animale l'altezza che esso può raggiungere con un salto?
L'energia necessaria per un salto di altezza h è proporzionale a L3h, mentre il lavoro compiuto dalla forza muscolare F è proporzionale a FL. F è proporzionale a L2, dunque L3h deve essere proporzionale a L2L, e quindi h non dipende dalle dimensioni dell'animale. Effettivamente il topo delle piramidi e il canguro salto più o meno alla stessa altezza.
Tratto da V.I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, che a sua volta ha tratto da J. Smith, Idee matematiche in biologia.
Compito per casa: dimostrare che King Kong non può esistere.
Per esempio: gli animali di un deserto devono compiere grandi distanze tra le diverse sorgenti d'acqua. Come dipende il tempo massimo di corsa dalle dimensioni L dell'animale?
La riserva d'acqua è proporzionale al volume dell'animale (cioè a L3), la trasudazione alla sua superficie, cioè a L2. Quindi il tempo massimo di corsa da una sorgente d'acqua all'altra è proporzionale a L. In altre parole: gli animali grandi corrono per più tempo.
Altro esempio: come dipende la velocità di corsa dell'animale in un luogo pianeggiante e in montagna dalle dimensioni L dell'animale?
La potenza esercitata da un animale è proporzionale a L2; la resistenza dell'aria è proporzionale al quadrato della velocità e all'area della sezione trasversale — la potenza spesa per vincerla è proporzionale quindi a v2L2v. Quindi v3L2 deve essere proporzionale a L2, e allora v non dipende da L. In effetti la velocità di corsa in pianura per animali non più piccoli della lepre e non più grandi del cavallo non dipende praticamente dalle dimensioni.
Per correre in montagna è necessaria una potenza mgv proporzionale a L3v. Dato che la potenza esercitata è proporzionale a L2, troviamo che v è inversamente proporzionale a L. Un cane sale di corsa su un colle, un cavallo segna il passo.
Infine, come dipende dalle dimensioni dell'animale l'altezza che esso può raggiungere con un salto?
L'energia necessaria per un salto di altezza h è proporzionale a L3h, mentre il lavoro compiuto dalla forza muscolare F è proporzionale a FL. F è proporzionale a L2, dunque L3h deve essere proporzionale a L2L, e quindi h non dipende dalle dimensioni dell'animale. Effettivamente il topo delle piramidi e il canguro salto più o meno alla stessa altezza.
Tratto da V.I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, che a sua volta ha tratto da J. Smith, Idee matematiche in biologia.
Compito per casa: dimostrare che King Kong non può esistere.
venerdì 20 febbraio 2009
Un interessante problema autoreferenziale
Siamo diventati famosi anche negli States: il carnevale della matematica è stato notato anche là.
Si sono accorti che non è il nostro primo carnevale, dato che il titolo del post parla del numero 1010. Ma in quale base deve essere considerato il secondo 10? Forse 101010? Ma, in questo caso, il terzo 10 in quale base è scritto...?
Si sono accorti che non è il nostro primo carnevale, dato che il titolo del post parla del numero 1010. Ma in quale base deve essere considerato il secondo 10? Forse 101010? Ma, in questo caso, il terzo 10 in quale base è scritto...?
Iscriviti a:
Post (Atom)