Erlangen 1872 — Esiste una sola conica

Utilizziamo la proiettività della volta scorsa per trasformare qualche conica. Prendiamo la circonferenza di equazione

che è semplicemente la circonferenza con centro nel punto (0,2) e raggio 1 (se volete saltare i calcoli, più giù c'è la figurina che mostra subito la prospettiva). Dobbiamo trasformarla in coordinate omogenee,

e poi applicare la trasformazione scritta l'altra volta, quella che al posto di x sostituisce x' (cioè non fa nulla), al posto di y sostituisce z' e, al posto di z, sostituisce -y'. Ecco il risultato:

che possiamo riscrivere eliminando gli apici, che ora non servono più, svolgendo un po' i calcoli e rimettendo in coordinate cartesiane. Quello che si ottiene è la seguente formula:

che, se vogliamo scrivere in una forma più utile (per chi ricorda qualcosa di geometria analitica), diventa:

una ellisse, insomma, con centro in (0,-2/3), semiasse maggiore uguale a 1 su radice di 3, semiasse minore uguale a 1 su 3.

Per quelli che hanno saltato i calcoli, ecco la figurina: una circonferenza in prospettiva diventa una ellisse.

Direi che sia una cosa abbastanza naturale, se mi è concesso l'ardire.

Ora trasformiamo qualcosa di meno immediato: una parabola. Precisamente, quella di equazione y=x²+1, che diventa yz=x²+z² in coordinate omogenee.

Tralascio i passaggi e scrivo subito il risultato: si ottiene la curva x²+y²+y=0 che, scritta in modo da mettere in evidenza centro e raggio, diventa:

Si tratta di una circonferenza con centro in (0,-1/2) e raggio 1/2. Ecco la figura:

Stranamente, una parabola in prospettiva diventa ancora una circonferenza. Questa volta, però, la circonferenza è tangente all'asse delle x, cioè alla linea di orizzonte, cioè alla retta impropria. Insomma, i due rami di parabola non sono proprio come due rette parallele, ma quasi.

Prima di passare all'iperbole, bisogna aggiungere una considerazione. Abbiamo detto che la proiettività che stiamo usando prende ciò che si trova al di sopra dell'asse x e lo mette in prospettiva nella parte sottostante, avendo cioè l'asse x come orizzonte. Naturalmente la trasformazione lavora anche sui punti che si trovano al di sotto dell'asse delle ascisse, anche se finora non abbiamo (volutamente) mai visto un esempio.

Come dobbiamo interpretare l'azione della proiettività nella parte sottostante l'asse delle x? Ecco, è come se noi ci voltassimo dall'altra parte: se finora abbiamo pensato al disegno in prospettiva di ciò che vediamo davanti a noi, ora aggiungiamo anche il disegno di ciò che si trova dietro di noi.

Faccio due disegni, che è meglio. Nel primo, metto solo una parte dell'iperbole di equazione x²-y²=-1, quella che sta di sopra, al posto giusto. E metto anche la funzione trasformata, che è x²+y²=1.

E fin qua possiamo anche essere d'accordo. Ora aggiungo il ramo inferiore dell'iperbole (che si trova nella zona dove noi disegniamo la prospettiva) e la curva trasformata (che si troverà nella parte sopra all'asse delle x). Ecco:

Abbiamo di nuovo una circonferenza, che questa volta attraversa l'orizzonte, cioè la retta impropria.

Riassunto: la prospettiva è un sistema che ci permette di vedere la retta impropria. Mediante il disegno in prospettiva abbiamo capito che le tre categorie di coniche si differenziano solo per il modo in cui vanno all'infinito, cioè intersecano la retta impropria.

L'ellisse non ci va, la retta impropria la vede solo da lontano. La parabola è tangente alla retta impropria, l'iperbole è secante.

Se noi trattiamo la retta impropria come una retta normale, succede che la forma delle tre curve, che ci appare così diversa nella geometria affine, è invece la stessa: sono tutte e tre curve chiuse.

Nella geometria proiettiva esiste una sola conica.

Non ce la posso fare

Dopo una settimana di lezione, ancora non mi capacito di avere studenti dell'età di mio figlio maggiore.

Erlangen 1872 — Prospettiva

Facciamo un esempio. Prendiamo questa proiettività, dalle equazioni molto semplici:

Dobbiamo interpretare le equazioni in questo modo: noi abbiamo le coordinate (omogenee) di un punto (x,y,z), le inseriamo nelle formule e otteniamo le coordinate del punto trasformato (x',y',z').


Ora prendiamo questi quattro punti: A(-1,1,1), B(1,1,1), C(1,3,1) e D(-1,3,1), e li trasformiamo. Utilizzando le formule della proiettività, otteniamo A'(-1,-1,1), B'(1,-1,1), e fin qua è facile. Quando andiamo a fare i conti per C', risulta (1,-1,3): se ci ricordiamo che le coordinate sono omogenee, e quindi possiamo moltiplicare o dividere ogni termine per una costante arbitraria, possiamo scrivere che C' ha coordinate (1/3,-1/3,1), così lo possiamo rappresentare meglio. Analogamente per D' otteniamo (-1/3,-1/3,1).

Ecco un disegno:

Si capisce come agisce la trasformazione? Prende ciò che si trova al di sopra dell'asse x e lo rappresenta in prospettiva di sotto: in questo caso l'asse x diventa la linea d'orizzonte; le rette parallele BC e AD convergono in un punto. In pratica questa proiettività prende la retta impropria e la sposta al posto dell'asse x.

Ecco un altro esempio:

La figura ABCD è un rettangolo, le cui coordinate sono le seguenti: A(0,1), B(1,3), C(-3,5), D(-4,3). Se volete fare i conti, i punti trasformati sono A'(0,-1), B'(1/3,-1/3), C'(-3/5,-1/5), D'(-4/3,-1/3). Il rettangolo ha i lati opposti paralleli secondo due direzioni diverse, quindi AB e DC si incontrano nello stesso punto improprio, mentre BC e AD si incontrano in un punto improprio diverso (sono quelli che, in disegno tecnico, si chiamano punti di fuga): ecco un ingrandimento della figura in prospettiva.

Bene, trasformare i punti è facile. Ora vorremmo trasformare delle curve. È altrettanto facile purché capiamo una cosa: se la curva ha equazione f(x,y)=0, noi non possiamo prendere i suoi infiniti punti e trasformarli uno per uno, e allora giriamo il problema: prendiamo le equazioni della trasformazione geometrica e le inseriamo nella curva. Occorre quindi un passaggio preliminare, molto semplice: dobbiamo ricavare le coordinate x,y,z in funzione di x',y',z'.

Questa è quindi la trasformazione da usare per trasformare delle curve:

Trasformare alcune coniche sarà molto simpatico.

Erlangen 1872 — Intersezioni con la retta impropria

Abbiamo detto che l'equazione di una conica è una generica equazione di secondo grado in due incognite:

che in coordinate omogenee diventa:

Se ora intersechiamo con la retta impropria (che ha equazione z=0), otteniamo:

che è una equazione di secondo grado facilmente risolvibile con la solita formula. Come succede per tutte le equazioni di secondo grado, sono possibili tre casi:

— due soluzioni reali distinte: in questo caso la conica ha due punti impropri diversi, e quindi è una iperbole;

— due soluzioni reali coincidenti: in questo caso la conica è tangente alla retta impropria, ed è una parabola;

— nessuna soluzione reale: ecco l'ellisse.

Insomma, le coniche si riconoscono dal tipo di intersezione che hanno con la retta impropria. O, se vogliamo, per come vanno all'infinito.

Sarà meglio fare qualche disegnino.

Erlangen 1872 — Coniche e retta impropria

Le rette sono tutte rappresentabili da equazioni di primo grado nelle due incognite x e y; viceversa, ogni equazione in due incognite rappresenta una retta (purché l'equazione non sia una roba strana e impossibile come 1=0).

Quindi le rette sono fatte così: ax+by+c=0 (con a e b non contemporaneamente uguali a zero).

Ora passiamo alle equazioni di secondo grado. Prima di tutto: come sono fatte? Ricordando che le incognite sono due, e che quindi esiste anche il termine xy, di secondo grado, una generica equazione è fatta così:

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0.

Bene: le coniche sono tutte equazioni di secondo grado. Vale anche il viceversa se consideriamo coniche anche oggetti strani come x²+y²=-1, che è una equazione che non rappresenta niente (non esistono valori di x e di y che la soddisfano) e che ci permettiamo dunque di chiamare circonferenza immaginaria. Ci sono anche oggetti un po' meno strani, come per esempio x²-y²=0, che si trasforma in (x+y)(x-y)=0, e che geometricamente è interpretabile come l'insieme di due rette: la chiamiamo iperbole degenere — in pratica è una iperbole coincidente con i propri asintoti, è come se noi prendessimo un cono e lo tagliassimo con un piano che lo attraversa e passa anche per il suo vertice.

Ecco un'immagine che ci mostra una iperbole degenere:

E, già che ci siamo, ecco una parabola degenere (cioè due rette coincidenti):

Ed ecco una ellisse, o circonferenza, degenere (in pratica è un punto solo soletto):

Ora la domanda è: come riconosciamo se una generica equazione di secondo grado rappresenta una iperbole, una parabola o una ellisse? Qui ci viene in aiuto la retta impropria.

La sostanza è questa: una ellisse è una curva tranquilla, chiusa, la vediamo tutta, non fugge lontano: la retta impropria non sa neanche cosa sia. Una iperbole, al contrario, va all'infinito, e ci va oltretutto lungo due direzioni diverse: quindi incontra la retta impropria, e lo fa in due punti. Una parabola è una via di mezzo: va all'infinito, ma ci va lungo la stessa direzione, per così dire: tocca cioè la retta impropria in un solo punto.

Ora vediamo i calcoli.

Primo giorno di scuola

La migliore battuta su facebook dopo il primo giorno di lezione (oggi):

-1: l'estate si avvicina

Erlangen 1872 — Coniche, similitudini e affinità

Le circonferenze sono tutte simili, le parabole anche, le ellissi e le iperboli no.

Intuitivamente, diremmo che queste due ellissi hanno forma diversa, una è più schiacciata dell'altra: si dice che hanno eccentricità diversa. Non si può ingrandire la più piccola per farla diventare uguale a quella più grande: non esiste nessuna similitudine che porta una nell'altra.

Anche per una iperbole vale lo stesso discorso, anche se è più difficile da capire: in figura, oltre all'iperbole, sono rappresentati altri oggetti. Le due rette tratteggiate corrispondono al profilo del cono dal quale è stata ritagliata l'iperbole: si chiamano asintoti e sono due rette che approssimano l'iperbole, man mano che la curva si allontana dal centro. Il rettangolo è quello che ci dà la forma dell'iperbole: una similitudine permette di trasformare un'iperbole in un'altra avente un rettangolo simile a quello di partenza. Cambiando le proporzioni del rettangolo, cambiano le iperboli.

Riassumendo: se ci mettiamo nella geometria delle similitudini, esiste un'unica parabola, esistono tante ellissi diverse, ed esistono tante iperboli diverse.

Se invece passiamo alle affinità, le cose sono più semplici: tutte le ellissi sono trasformabili una nell'altra, e così pure tutte le iperboli (e naturalmente tutte le parabole, dato che bastava una similitudine). Quindi nella geometria affine esistono una sola parabola, una sola ellisse e una sola iperbole. La circonferenza fa naturalmente parte della famiglia delle ellissi.

Ora vediamo un'altra caratteristica comune a tutte le coniche.

Lezione

A volte mi piacerebbe fare lezione così.



(Via Gravità Zero)

Erlangen 1872 — Coniche

Circonferenza, parabola, ellisse, iperbole: tutte queste curve fanno parte della categoria delle coniche. Perché?

Partiamo dalla definizione: cosa sono quelle curve? Cosa hanno in comune, e quali sono le differenze?

Prima di tutto: esistono due modi per definirle. Sono luoghi di punti, e sono sezioni di cono.

Per esempio, una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto (che viene detto centro). Guardando la figura, per ogni punto P la distanza PO rimane costante.

Una ellisse è il luogo dei punti per i quali rimane costante la somma delle due distanze da due punti (che vengono detti fuochi). Sempre facendo riferimento alla figura, la somma PF₁+PF₂ rimane costante.

Una parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto (detto fuoco) e da una retta (detta direttrice). In figura, PF è uguale a PH:

E infine, una iperbole è il luogo dei punti per i quali rimane costante la differenza in valore assoluto delle distanze tra due punti (detti fuochi). In figura, |PF₁ - PF₂| è costante:

Tutte queste curve sono anche definibili in un altro modo. Prendiamo quello che si definisce cono circolare retto, il che significa che dobbiamo prendere una retta, tenerla stretta per un punto e farla ruotare con una certa ampiezza. Quello che otteniamo è una cosa del genere:

Ora cominciamo a tagliare a fette questo doppio cono: a seconda dell'inclinazione del nostro coltello, possiamo ottenere figure diverse.

Se il piano secante è parallelo alla generatrice del cono (diciamo che la generatrice è il lato, ma non ditelo in una interrogazione) abbiamo la figura 1: una parabola. Se il piano forma un angolo sufficientemente grande con l'asse del cono (maggiore di quello formato dalla generatrice) siamo nel caso 2: una ellisse. La circonferenza è un caso particolare: si ottiene quando il piano è perpendicolare alla generatrice. Se il piano forma un angolo piccolo con l'asse del cono (minore di quello formato dalla generatrice) abbiamo una iperbole: questo è il caso 3. Ecco perché queste curve si chiamano coniche: perché si ottengono tutte come sezioni dello stesso cono.

Bene, ora ripensiamo alle isometrie: che succede se trasformiamo una conica con una isometria?

La risposta è: niente di speciale: una circonferenza rimarrà una circonferenza, una ellisse rimarrà una ellisse, e così vale per le parabole e le iperboli. Non solo: una circonferenza non verrà trasformata in una circonferenza di raggio diverso, una ellisse non verrà trasformata in una ellisse con assi di lunghezze diverse, una parabola manterrà costante la distanza tra fuoco e direttrice, e una iperbole manterrà costante la distanza tra i fuochi (e un'altra caratteristica che si chiama asse immaginario, sulla quale non ci fermiamo troppo: diciamo che nemmeno l'iperbole cambia forma).

La prossima volta vediamo cosa combinano le similitudini e le affinità.

Un semplice esercizio

Teorema: per ogni n maggiore di 2, è irrazionale.

Dimostrazione:

Supponiamo per assurdo che la radice n-esima di 2 sia razionale: allora può essere scritta come frazione nel modo seguente:

con p e q interi positivi. Elevando alla n ed eliminando il denominatore, si ottiene l'espressione

che può essere riscritta così:

Un teoremino dimostrato da Andrew Wiles ci fa concludere che p e q non esistono. C.V.D.

(Via: 360, ctk)

Erlangen 1872 — Proiettività

Quando abbiamo scritto per la prima volta le equazioni di una trasformazione geometrica, abbiamo detto che la matrice associata era una matrice 3×3, e non 2×2, per cui un generico punto doveva essere scritto come terna (x,y,1) e non come coppia (x,y).

Avevamo detto che c'erano due motivi per cui erano necessarie tre coordinate: uno era perché così le cose funzionano; la spiegazione del secondo motivo era stata rimandata.

Ecco, ora vediamo qual è il secondo motivo: in realtà quelle trasformazioni sono molto più comprensibili se ci mettiamo nel mondo delle coordinate omogenee. Tutte le trasformazioni viste fino ad ora operavano su punti del tipo (x,y,1), che possiamo vedere come punti propri.

Se le generalizziamo a punti di coordinate (x,y,z), senza porre condizioni su z, osserviamo che tali trasformazioni lasciano sempre fissa la retta impropria. Insomma: le affinità (che costituiscono il gruppo di trasformazioni più grande che abbiamo considerato finora) trasformano punti propri in punti propri, e punti impropri in punti impropri.

Il passo successivo è dunque questo: generalizziamo ulteriormente, e consideriamo trasformazioni che mettono in movimento anche la retta impropria. Queste nuove trasformazioni si chiamano proiettività.

La matrice associata a una generica proiettività è semplicemente questa:

Sembrerebbe quindi che le proiettività siano trasformazioni troppo generali da poter avere qualche caratteristica che le contraddistingue, o qualche invariante (l'unica richiesta che viene fatta sulla matrice è che il suo determinante non sia nullo). Non è così: un invariante esiste anche qua, ed ha lo strano nome di birapporto di quattro punti allineati.

È definito in questo modo:

dove con (A,B,C) si intende il rapporto semplice di tre punti allineati, già definito quando abbiamo parlato di affinità.

Bene, le proiettività formano gruppo, che comprende come sottogruppi tutti quelli visti finora, dalle affinità in giù. Con le proiettività ci si diverte un sacco.

Erlangen 1872 — Retta impropria

Che cosa rappresenta l'equazione x=0?

È quella retta avente tutti i punti con ascissa uguale a zero, cioè è l'asse delle y.

Come si trasforma l'equazione se la mettiamo in coordinate omogenee?

Dato che non ci sono termini noti, in coordinate omogenee l'asse delle y ha sempre equazione x=0. Facile.

Cosa possiamo dire riguardo l'equazione y=0? Analogamente a quanto detto prima, y=0 è l'equazione dell'asse delle x, scritta sia in coordinate non omogenee che in coordinate omogenee. Facile.

Se ci mettiamo in coordinate omogenee, cosa rappresenta l'equazione z=0?

Ecco la novità: z=0 è una equazione di primo grado, e dunque siamo autorizzati a chiamarla retta. Ma qual è la caratteristica comune di tutti i suoi punti? Hanno tutti la terza coordinata uguale a zero, quindi sono tutti punti impropri. La retta di equazione z=0 viene detta retta impropria, e non è disegnabile sul piano cartesiano. Molti dicono che assomiglia a una circonferenza con raggio infinito e centro nell'origine, e in un certo senso hanno ragione.

Esiste però un modo per visualizzarla: basta cambiare punto di vista.

Nella realtà le righe blu del quadro qua sopra sarebbero parallele, eppure si incontrano tutte in un punto. Bene, quello è il punto improprio comune a tutte le rette blu. Dove si trova? Sulla linea dell'orizzonte: ecco, quella è la retta impropria. Ogni punto della linea dell'orizzonte rappresenta una diversa direzione.

Queste considerazioni ci consentono di aprire le porte della geometria proiettiva.

Erlangen 1872 — Punti impropri

Insomma, sembra che le coordinate omogenee portino solo complicazioni: non solo non c'è più una corrispondenza biunivoca tra punti del piano e coordinate, ma succede anche di peggio: le rette parallele si incontrano. E, tanto per girare il coltello nella piaga, nell'esempio che abbiamo visto si incontrano in un punto la cui terza coordinata è uguale a zero: se ci ricordiamo che la terza coordinata è quel numero che va messo al denominatore, quando dobbiamo risalire dalle coordinate omogenee a quelle normali, siamo a posto.

Bé, in realtà tutti questi problemi sono voluti.

Vediamo di capire il perché con un esempio più generale di quello della volta scorsa: prendiamo due rette parallele,

(ci ricordiamo che due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare m, vero?) e le trasformiamo in coordinate omogenee,

e le mettiamo a sistema:

Se risolviamo, otteniamo z=0 e y=mx: questo significa che una generica soluzione del sistema può essere scritta come (x,mx,0) o, se vogliamo, (1,m,0).

Quindi due rette parallele si incontrano in un punto la cui terza coordinata è sempre uguale a zero, mentre le prime due godono della seguente proprietà: se poniamo uguale a 1 la prima, la seconda è uguale a m. Detto in termini un po' più pratici: due rette parallele si incontrano in un punto che dipende solo dalla loro direzione.

Cominciamo dunque a fare un po' di ordine: il mondo si divide in due categorie. La prima, quella dei punti normali,  è costituita dalle terne la cui terza coordinata è diversa da zero (e che, quindi, grazie al fatto che le coordinate omogenee sono definite a meno di una costante moltiplicativa, possiamo porre uguale a 1). La seconda è costituita dai punti strani, aventi terza coordinata uguale a zero. Questi punti non sono veri punti, ma sono in corrispondenza con tutte le possibili direzioni che le rette possono avere.

La prima categoria, quella dei punti normali, viene detta dei punti propri. La seconda, invece, è quella dei punti impropri.

I punti impropri ci permettono di accedere a un mondo meraviglioso.

Altro che orologi digitali

L'arte della fabbricazione degli orologi (funzionanti).

(Via)

Erlangen 1872 — Convergenze parallele

Si tratta di fare un passo ardito. Ma, per capire bene, bisogna fare qualche calcoletto.

Prendiamo l'equazione di una retta, per esempio y=x: è una equazione molto semplice, che rappresenta la bisettrice del primo e del terzo quadrante.

Prendiamone un'altra, per esempio y=2x-1. Se le rappresentiamo sul piano, otteniamo questo grafico:

Sono due rette secanti; se vogliamo trovare le coordinate del loro punto di intersezione, dobbiamo risolvere il sistema tra le due equazioni, che è il seguente:

Con una semplice sostituzione si trova la soluzione, che è proprio x=1, y=1, come si vede anche dal grafico.

Bene: rifacciamo i calcoli in coordinate omogenee.

Come si trasformano le equazioni? Non è difficile: ogni volta che si trova una x si sostituisce x/z, e ogni volta che si trova una y si sostituisce y/z. Quindi le equazioni delle due rette diventerebbero:

E ora il passo ardito: eliminiamo i denominatori senza porci troppi problemi, e rimettiamo a sistema il tutto;

Cosa è successo? Prima di tutto l'equazione di una delle due rette è cambiata, e in secondo luogo abbiamo un sistema in tre equazioni e due incognite. Vediamo di capirci qualcosa.

Primo fatto: se l'equazione originale non aveva termine noto (si dice che era omogenea), allora trasformandola in coordinate omogenee non cambia. Infatti senza termini noti si osserva che z è un denominatore comune, che si può togliere senza scrupoli (se per caso capita da queste parti uno studente di prima superiore: normalmente questa semplificazione è considerata un errore, servono le condizioni di esistenza, eh).

Se l'equazione originale invece aveva termine noto (cioè era non omogenea), la trasformazione in coordinate omogenee la fa diventare omogenea (guarda un po'). Insomma, il termine noto acquisisce una z.

Secondo fatto: un sistema di due equazioni in tre incognite non ha un unico risultato, di solito: ci sono troppe incognite. Se proviamo a risolvere per sostituzione il sistema scritto sopra, otteniamo x=z, e non abbiamo ulteriori equazioni per determinare il valore di z. La soluzione del sistema, utilizzando queste nuove coordinate, diventa quindi (z,z,z). Dividendo tutto per z, otteniamo (1,1,1). Che, in coordinate omogenee, rappresenta il punto (1,1).

Riassunto: abbiamo effettivamente complicato le cose semplici.

Ma allora, perchè lo facciamo?

La risposta è data dal seguente esempio. Proviamo a calcolare l'intersezione tra le due rette y=x e y=x-1.

Le due rette sono parallele, quindi non hanno intersezione. Effettivamente, il sistema tra le loro due equazioni, in coordinate cartesiane, è impossibile. E quello in coordinate omogenee?

Eccolo qua:

Sostituendo x al posto di y nella seconda equazione, otteniamo z=0. Quindi questo sistema ammette soluzione! Tutte le terne del tipo (x,x,0) vanno bene. Dividendo per x, otteniamo ad esempio come soluzione il punto (1,1,0). Quindi il sistema tra le equazioni delle due rette parallele ha soluzione.

Quindi due rette parallele si incontrano in un punto. E buonanotte a Euclide.

Erlangen 1872 — Coordinate omogenee

La battaglia navale ci ha insegnato a trattare le coordinate cartesiane con una certa naturalezza. Un punto sul piano è identificato da una coppia di numeri (x,y), e viceversa una coppia di numeri identifica in modo univoco un punto sul piano.

Non contenti di questa situazione, complichiamo le cose. Ora utilizziamo una terna di numeri, (x₁,x₂,x₃), legata alle coordinate (x,y) da queste due relazioni:

Vediamo qualche esempio: l'origine degli assi, che normalmente avrebbe coordinate (0,0), con questo nuovo sistema verrebbe ad avere coordinate (0,0,1). Ma andrebbero bene anche le coordinate (0,0,2), (0,0,7), e qualunque terna del tipo (0,0,a). Il punto (3,14) potrebbe essere scritto come (3,14,1), oppure (3π,14π,π), e così via.

Insomma, un generico punto di coordinate (x,y) può essere scritto in un'infinità di modi: se a è un qualunque numero diverso da zero, allora (x,y) è uguale a (xa,ya,a). Tutte le terne che si ottengono una dall'altra moltiplicando per una opportuna costante rappresentano lo stesso punto sul piano cartesiano: per questo motivo queste nuove coordinate vengono dette coordinate omogenee. Per evitare confusione ci si può mettere d'accordo e decidere di tenere sempre uguale a 1 la terza coordinata, ma non è obbligatorio.

Bisogna anche dire che dopo un po' ci si scoccia di tutti quegli indici, quando si scrivono le incognite x₁, x₂, x₃, soprattutto se ci si mette a fare qualche calcolo (pensate ai sistemi di equazioni). Quindi, commettendo quello che i Veri Matematici chiamano abuso di linguaggio, si tende a non usare la scrittura (x₁,x₂,x₃), ma si preferisce utilizzare (x,y,z) — ricordandosi naturalmente che la x di (x,y) è uguale a x/z di (x,y,z).

Riassunto: avevamo delle belle coordinate cartesiane, in cui c'era una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le coppie del tipo (x,y), e ora abbiamo delle coordinate omogenee, in cui non c'è più una corrispondenza biunivoca coi punti del piano, in cui le terne del tipo (xa,ya,za) rappresentano tutte lo stesso punto, purché za sia diverso da zero. Abbiamo complicato abbastanza?

No, non abbiamo ancora parlato di quello che succede quando z=0.

Erlangen 1872 — Omologie e affinità

L'omologia è una trasformazione un po' complicata da spiegare. Vediamo prima un disegno:

Per definire una omologia servono tre elementi: una retta (quella orizzontale nel disegno), una direzione (il vettore) e un numero k (nel disegno ho preso k=2). Poi si procede nel modo seguente: si proietta un qualsiasi punto della figura (il triangolo rosso) sulla retta data, e si moltiplica per k il segmento che va dal punto proiettato sulla retta al punto corrispondente sulla figura. Insomma, il segmento retta-figura blu è il doppio del segmento retta-figura rossa.

Bene, questa roba certamente non è una similitudine: infatti dobbiamo rinunciare a un po' di invarianti. L'ortogonalità non si mantiene più, ma il parallelismo sì. Quindi si può affermare che i parallelogrammi si trasformano in parallelogrammi, ma i rettangoli non rimangono rettangoli.

L'invariante che viene utilizzato in questo tipo di geometria ha un nome strano: si chiama rapporto semplice di tre punti allineati. Dati cioè tre punti A, B e C sulla stessa retta, il rapporto semplice si indica con (A,B,C) ed è uguale a AC/BC (la formula contempla anche i casi di punti coincidenti, e se BC è uguale a zero allora si assegna al rapporto semplice il valore di infinito).

Per poter costruire una nuova geometria dobbiamo combinare queste nuove trasformazioni con le vecchie: se componiamo le omologie con le similitudini, otteniamo il gruppo delle affinità.

Esistono poi alcuni risultati che ci fanno capire qualcosa di più: una qualsiasi affinità si può ottenere componendo una similitudine e al più due omologie. E poi: una qualsiasi affinità si può ottenere componendo una isometria e al più due omologie ortogonali (aventi cioè il vettore ortogonale all'asse) con gli assi ortogonali tra loro. Oppure ancora: una qualsiasi affinità si può ottenere componendo una traslazione più un'altra affinità avente almeno un punto fisso.

Ecco un disegno che rappresenta una omologia ortogonale e che mostra la trasformazione di una circonferenza in una ellisse.

E dunque, dal punto di vista della geometria affine, non c'è differenza tra circonferenza ed ellisse. In questa geometria ci sono solo tre curve di secondo grado diverse: l'ellisse, la parabola e l'iperbole (non tre tipi di curve, ma proprio tre curve in tutto).

La matrice associata a una generica affinità è questa:

dove a, b, c, d, p, q sono numeri qualsiasi (purché la matrice 2×2 che contiene a, b, c, d non abbia determinante nullo). E quindi non c'è spazio per ulteriori generalizzazioni, a meno che non cominciamo a pensare di dare un significato a quella misteriosa terza riga.

Ora viene il bello.

Erlangen 1872 — Omotetie e similitudini

Prendiamo un foglio, con tante belle formule scritte sopra, e fotocopiamolo in modo da ridurlo alle dimensioni di un francobollo. Questa è una trasformazione che certamente non conserva le distanze, e quindi non è una isometria.

La trasformazione base che permette di costruire ingrandimenti o rimpicciolimenti si chiama omotetia, ed è definita una volta fissati un punto (detto centro) e un numero k, che rappresenta il fattore di ingrandimento o rimpicciolimento. Ecco una figurina:

Si costruiscono i segmenti che vanno dal centro C ai vertici della figura (quella rossa), poi questi segmenti devono essere moltiplicati per k (in questa figura k è uguale a 2: i segmenti sono raddoppiati).

La matrice associata a una omotetia avente centro nell'origine e rapporto k è:

Le omotetie di centro C formano un gruppo: l'elemento neutro è l'omotetia che si ottiene per k=1, e l'inverso dell'omotetia di rapporto k è quella di rapporto 1/k. Questo gruppo è però un po' troppo piccolo per poterci fare della geometria, e quindi lo allarghiamo aggiungendovi tutte le isometrie: questo ci consente di spostare le figure in giro per il piano un po' come vogliamo, mentre la solo omotetia ci obbligherebbe a tenere le figure in posizioni ben precise, in modo da avere i vertici allineati col centro.

Il gruppo delle isometrie più le omotetie si chiama gruppo delle similitudini, di cui abbiamo probabilmente sentito parlare, forse alle scuole medie, forse alle superiori. Non ho trovato consenso in giro per la rete per quanto riguarda il nome di questa geometria: qualcuno non associa un nome particolare, qualcun altro la chiama geometria elementare. Chiamiamola così fino a che qualche autorità non interviene a correggere.

Una similitudine non ha, naturalmente, tutti gli invarianti di una isometria. La similitudine non conserva le lunghezze, ad esempio. Nella similitudine si conservano, invece, i rapporti tra le distanze. Quindi le circonferenze vengono trasformate in circonferenze, i segmenti in segmenti, le rette in rette, vengono conservati il parallelismo, la perpendicolarità e le ampiezze degli angoli. Il gruppo delle isometrie è un sottogruppo di quello delle similitudini: questo significa che ogni isometria è anche una similitudine, ma non è vero il viceversa.

E ora cerchiamo di capire il senso di questa suddivisione in tante geometrie. Prendiamo queste due circonferenze:

Non sono uguali, nel senso che non sono composte dagli stessi punti. Non sono uguali nemmeno nel senso della geometria euclidea: non sono cioè congruenti; non esiste nessuna isometria che trasforma una nell'altra. Esse sono invece uguali nel senso della geometria elementare, cioè sono simili.

Quindi in questo tipo di geometria esiste un solo tipo di circonferenza, mentre esistono vari tipi di ellissi, così come esistono vari tipi di rettangoli (ricordiamo la differenza tra un televisore in formato 4:3 e uno in 16:9). Forse non tutti sanno che esiste un solo tipo di parabola: le parabole sono tutte simili tra loro.

La matrice associata a una generica similitudine è questa (dove d è sempre uguale a +1 oppure -1 a seconda del tipo di trasformazione, diretta oppure inversa):

Questo è tutto: per allargare ancora un po' il gruppo, bisogna considerare qualche nuova trasformazione.