Funzioni e equazioni

Questa settimana in edicola, allegato alla Gazzetta dello Sport e al Corriere della Sera, c'è questo volumetto:

Che parla di funzioni e equazioni, che sono un po' la stessa cosa e un po' no e magari si rischia di fare confusione, ma ai Veri Matematici piace vedere le cose da punti di vista diversi e quindi va bene così.

Io lo prenderei, tra l'altro la data ufficiale di uscita è il 29 febbraio, quando mai ricapita di comprare un libro proprio il 29 febbraio?

Inferno, canto XXIII

“L'osmio è un metallo scoperto da Smithson Tennant e William Hyde Wollaston, a Londra, nel 1803. Lo isolò insieme con l'iridio dal residuo ottenuto dallo scioglimento del platino nell'acqua regia”.

“Molto bene”.

“Peccato non fosse conosciuto ai tempi di Dante”.

“Ah, una vera mancanza”.

“Perché se Dante ne fosse stato a conoscenza, l'avrebbe sicuramente usato per la pena degli ipocriti, nella sesta bolgia”.

“E invece cos'ha usato?”.

Là giù trovammo una gente dipinta
che giva intorno assai con lenti passi,
piangendo e nel sembiante stanca e vinta.

Elli avean cappe con cappucci bassi
dinanzi a li occhi, fatte de la taglia
che in Clugnì per li monaci fassi.

Di fuor dorate son, sì ch’elli abbaglia;
ma dentro tutte piombo, e gravi tanto,
che Federigo le mettea di paglia.

“Piombo?”.

“Piombo. Sembrano monaci, camminano insieme, hanno delle cappe dorate, molto belle all'esterno, ma foderate di piombo e molto pesanti”.

“E Federigo chi è?”.

“Federico II di Svevia. Si narra che punisse i colpevoli di lesa maestà rivestendoli di una cappa di piombo e ponendoli poi in una caldaia sul fuoco, ma è quasi certamente propaganda nemica. Comunque, queste cappe di piombo sono pesantissime e i dannati se le devono portare sulle spalle per l'eternità”.

“Bene. E l'osmio cosa c'entra?”.

“L'osmio è un metallo ancora più denso del piombo, quindi un mantello di osmio sembrebbe più sottile ma avrebbe ugualmente lo stesso peso. O un mantello come quello portato dai dannati ma fatto di osmio sarebbe ancora più pesante. Insomma, sarebbe uno strumento di tortura ancora più efficace”.

“Santo cielo”.

“Dunque, cos'ha di speciale l'osmio? E, anche se in misura minore, il piombo? Perché pesano tanto?”.

“Boh, saranno atomi più pesanti, no?”.

“Sì, ma no. Cioè, se bastasse il peso atomico, allora basterebbe prendere l'ultimo elemento della tavola periodica, ma gli atomi si legano tra loro, e il problema è come lo fanno”.

“Uhm”.

“Gli atomi hanno un nucleo, nel quale si concentra quasi tutta la massa. Il rapporto tra massa dei protoni (o neutroni) e massa degli elettroni vale circa 1800”.

“Ok, e quindi ciò che conta è il nucleo”.

“Eh, ma quando leghi tanti atomi tra loro, per fare per esempio una bella giacca di piombo, conta anche la distanza tra i vari nuclei. Se i nuclei molto pesanti sono anche molto lontani tra loro, allora il materiale non è poi così tanto pesante. Uno scatolone pieno zeppo di chicchi di riso pesa di più dello stesso scatolone che contiene un solo mattone”.

“Va bene, ma la distanza tra i nuclei da cosa dipende? Intorno ai nuclei girano gli elettroni, come se fossero un mini sistema solare: c'entra questa cosa?”.

“C'entra, anche se non è vera”.

“Ma come?”.

“Il modello di atomo come mini sistema solare è superato, non funziona così”.

“Ah. Eppure mi sembrava che fosse così”.

“Quella è una prima, grossolana, approssimazione. In realtà gli elettroni non sono pianetini, c'è la faccenda della dualità onda-particella che complica un po' le cose. Gli elettroni si comportano a volte come particelle, e a volte come onde”.

“Questa cosa è incredibile, ma come si spiega?”.

“Cito Feynman: the behavior of things on a small scale is so fantastic, it's so wonderfully different, so marvelously different than anything that behaves on a large scale”.

“Ma non ha spiegato, ha solo detto che il comportamento delle cose microscopiche è molto diverso da quello delle cose macroscopiche”.

“Meravigliosamente diverso”.

“Vabbe', è un fisico…”.

“E poi aggiunge: you say electrons act like waves: no, they don't exactly”.

“Ma come? Non hai detto che a volte gli elettroni si comportano come onde?”.

“Ma io non sono Feynman”.

“Ah, bene”.

“E poi aggiunge: they act like particles: no, they don't exactly”.

“Eh, ma allora”.

“they act like a kind of a fog around the nucleus: no, they don't exactly”.

“Vabbe'. E allora come si fa a avere un'immagine vera di un atomo?”.

“Ha la risposta anche a questa domanda, senti qua: if you would like to get a clear, sharp picture of an atom, so that you can tell exactly how it's going to behave correctly and have a good image, in other words a really good image of reality…”.

“Eh, esatto, questo voglio sapere: si può avere una descrizione chiara di un atomo, in modo da capire come funziona? Cosa dice Feynman?”.

“I don't know how to do it”.

“Ma no!”.

“Già. E, nel caso qualcuno pensasse di non aver capito bene, aggiunge: I don't understand how it is, but we can write mathematical expressions and calculate what the thing is going to do, without actually being able to picture it”.

“Santo cielo. Dante avrebbe messo i fisici quantistici in una bolgia speciale tutta per loro, costretti a trasportare avanti e indietro dei pesantissimi libri di matematica”.

“Con le Malebranche che tirano loro dei dadi con delle fionde, fortissimo”.

“Dei dadi? Perché?”.

“Perché la matematica di cui parla Feynman ci fornisce solo la probabilità che un elettrone si trovi in una certa posizione, ma non ci dà nessuna certezza. Nonostante questo, la matematica è lo strumento che, incredibilmente, si presta benissimo a essere usato come linguaggio della fisica”.

“Incredibilmente?”.

“Sì, perché mai la fisica parla il linguaggio della matematica? Perché il mondo può essere descritto con equazioni? Perché la matematica è così efficace nel descrivere e anche nel predire?”.

“Predire?”.

“Eh, sì. A volte la struttura matematica di una teoria aiuta a predire altri fenomeni fisici, che poi vengono osservati sperimentalmente. Questa irragionevole efficacia della matematica è stata sottolineata dal fisico Eugene Wigner nel 1960 in un suo famoso articolo, che ha poi suscitato tante discussioni. C'è chi dice che questa efficacia sia un'illusione, perché l'uomo vede ciò che cerca, e chi invece dice che il mondo fisico è completamente matematico, e noi stiamo scoprendolo pian piano. E certamente non lo abbiamo ancora scoperto tutto, anche perché ci sono cose che scopriamo e non capiamo”.

“Come gli atomi”.

“Esatto. E per tornare alla domanda iniziale, cioè perché l'osmio è così denso?, premesso che non sappiamo spiegare benissimo quello che c'è sotto, possiamo però dare delle idee, delle intuizioni parziali, come la nuvoletta di elettroni intorno al nucleo. La descrizione migliore che abbiamo oggi dell'atomo è proprio quella della nube di elettroni, che non va però interpretata come un insieme di puntini che si muovo veloci, ma come una probabilità che hanno gli elettroni di trovarsi in un certo posto. Questi posti in cui si trovano gli elettroni vengono chiamati orbitali, con un nome che ricorda il modello a sistema solare, che però è sbagliato”.

“Ottimo”.

“E anche se noi non sappiamo esattamente dove sono gli elettroni, sappiamo che sono circa lì e che si muovono intorno al nucleo, e per rispettare le leggi matematiche che sono irragionevoli ma che funzionano benissimo sappiamo anche che se il nucleo è molto pesante essi devono muoversi molto velocemente. La legge matematica che descrive questo fenomeno contiene una costante famosa che ha un nome bellissimo, si chiama costante di struttura fine”.

“Uh, e che roba è?”.

“È una costante adimensionale, un numero che sta lì ma non si sa bene perché, come se fosse un artificio per fare funzionare una cosa che non abbiamo ancora ben compreso”.

“Ed è così?”.

“Cito nuovamente Feynman: It has been a mystery ever since it was discovered more than fifty years ago, and all good theoretical physicists put this number up on their wall and worry about it”.

“Perfetto”.

“Tornando ai nostri atomi, dunque, quello che succede è che gli elettroni interagiscono tra loro, non vogliono stare troppo vicini perché particelle con la stessa carica si respingono”.

“Ammesso che siano particelle”.

“Appunto. Quindi ci sono questi elettroni, che non sono in una posizione ben precisa, ma non vogliono stare troppo vicini e quindi forse una posizione ce l'hanno, e però noi possiamo conoscerla solo in termini di probabilità, e insomma questi elettroni si dispongono su orbitali che hanno varie forme, create dalle irragionevoli ma efficaci leggi matematiche. Ci sono dunque atomi con elettroni vicini al nucleo, e atomi con elettroni invece più lontani: dipende da come sono fatti gli orbitali. Ma la teoria della relatività…”.

“Un'altra roba misteriosa e irragionevole”.

“Esatto, ma che almeno non gioca a dadi, ci dice che quando un corpo si muove a velocità elevate, la sua massa aumenta”.

“Ah, ed ecco la densità dell'osmio?”.

“Esatto, ma non del tutto. È tutto un equilibrio tra elettroni la cui massa aumenta a causa della velocità (facendo aumentare la densità) e la cui nube elettronica aumenta di dimensione (facendo diminuire la densità). Insomma, contano sia la massa del nucleo sia la dimensione dell'atomo, e dunque gli atomi possono aggregarsi in materiali più o meno densi. L'osmio è un atomo pesante ma piccolino, e che quindi quando si aggrega con altri atomi a formare un reticolo cristallino metallico, crea un materiale molto denso. Il piombo, per esempio, è un atomo con un nucleo più pesante di quello dell'osmio, ma è più grande, cioè ha orbitali più grandi, e quindi quando vari atomi di piombo si mettono insieme creano un materiale un po' più leggero, perché tra i vari atomi c'è un po' più spazio (mi perdonino i fisici per tutte le imprecisioni)”.

“Anche se i dannati che indossano la tunica di piombo non sarebbero tanto d'accordo su questa leggerezza del piombo”.

“Eh, neanche un po'”.

“Ma almeno avrebbero una consolazione: i fisici quantistici sarebbero puniti con una pena più pesante della loro”.

“Poveretti”.