“Sì. E l'abbiamo già fatto, in una versione semplice”.
“Quella del piano proiettivo con sette punti?”.
“Proprio quella. Riguardiamo la figura”.
“Vedo che hai preso la figura duale rispetto alla prima che avevamo disegnato”.
“Solo perché in questa si leggono già le carte da gioco, ma le due versioni sono equivalenti”.
“Come si fa a leggere già le carte? Dove sono, queste carte?”.
“Le carte sono i punti di questa figura, ogni carta contiene tre simboli. Guarda, te le elenco:”.
123
145
167
“Queste hanno tutte il numero 1 in comune”.
“Mentre gli altri simboli sono tutti diversi: potremmo dire che sono tre punti appartenenti alla retta 1”.
“Sì, quello che abbiamo fatto la volta scorsa. Poi ci sono queste:”.
256
247
“Che, assieme a 123, formano la retta 2, e così via. Guardiamo l'elenco completo:”.
123
145
167
256
247
346
357
“Sette carte, sette simboli diversi, tre simboli per carta”.
“Esatto. E due carte qualsiasi hanno un solo simbolo in comune”.
“Perché per due punti passa una sola retta, vero?”.
“Esatto. O, anche, perché due rette si intersecano in un sol punto”.
“Ah, certo, sempre grazie alla dualità”.
“Già. Ora, per ogni piano proiettivo potresti costruire un mazzo di carte da gioco riportanti un certo numero di simboli, con la certezza che due carte qualsiasi hanno sempre un solo simbolo in comune”.
“Ed esistono giochi di questo tipo?”.
“Sì, ce n'è uno che si chiama Dobble, e che ha un mazzo con più di 50 carte”.
“Ah. Che piano proiettivo è stato usato?”.
“Il piano di ordine 7”.
“Oh. Secondo quanto abbiamo detto, ogni carta dovrebbe contenere 8 simboli”.
“Proprio così”.
“E ci dovrebbero essere 72 + 7 + 1 = 57 simboli diversi”.
“Giusto”.
“E anche 57 carte”.
“Purtroppo no”.
“Ma come?”.
“Eh, per motivi che non sono noti ci sono solo 55 carte”.
“Ma che senso ha?”.
“Qualcuno dice che sia per ragioni di stampa: 55 carte le puoi stampare su un foglio che ha 11 righe e 5 colonne, 57 invece potresti farlo solo con un foglio 19 × 3, e forse le macchine che vengono usate per la stampa non permettono di farlo”.
“Peccato, però”.
“Eh, sì. Guarda, questo sarebbe l'elenco completo di tutte le 57 carte, in cui i simboli sono i numeri che vanno da 0 a 56”.
0 1 2 3 4 5 6 7 0 8 9 10 11 12 13 14 0 15 26 27 28 29 30 31 0 16 21 32 41 42 43 44 0 17 22 36 40 50 54 56 0 18 23 33 37 46 51 55 0 19 24 34 38 45 49 53 0 20 25 35 39 47 48 52 1 8 15 16 17 18 19 20 1 9 26 32 33 34 35 36 1 10 22 27 41 45 46 47 1 11 21 31 39 50 53 55 1 12 23 28 38 43 52 54 1 13 25 29 37 42 49 56 1 14 24 30 40 44 48 51 2 8 27 32 37 38 39 40 3 8 23 26 41 48 49 50 4 8 21 30 34 46 52 56 5 8 22 29 35 43 51 53 6 8 24 28 36 42 47 55 7 8 25 31 33 44 45 54 2 9 15 21 22 23 24 25 2 11 17 26 42 45 51 52 2 12 18 29 34 44 47 50 2 10 16 30 35 49 54 55 2 14 20 28 33 41 53 56 2 13 19 31 36 43 46 48 4 9 18 27 42 48 53 54 5 9 17 28 39 44 46 49 3 9 16 31 38 47 51 56 7 9 19 29 40 41 52 55 6 9 20 30 37 43 45 50 5 12 15 32 45 48 55 56 4 11 15 33 40 43 47 49 3 10 15 36 37 44 52 53 7 14 15 35 38 42 46 50 6 13 15 34 39 41 51 54 5 13 16 24 27 33 50 52 3 14 17 25 27 34 43 55 6 11 19 23 27 35 44 56 7 12 20 21 27 36 49 51 4 13 20 22 26 38 44 55 5 14 19 21 26 37 47 54 6 12 16 25 26 40 46 53 7 10 18 24 26 39 43 56 4 10 19 25 28 32 50 51 3 11 20 24 29 32 46 54 7 13 17 23 30 32 47 53 6 14 18 22 31 32 49 52 4 12 17 24 31 35 37 41 4 14 16 23 29 36 39 45 5 11 18 25 30 36 38 41 5 10 20 23 31 34 40 42 3 12 19 22 30 33 39 42 3 13 18 21 28 35 40 45 7 11 16 22 28 34 37 48 6 10 17 21 29 33 38 48
“Uh, quanta roba. C'è un modo per disegnarlo?”.
“Eh, ci sarebbe, ma sarebbe poco comprensibile, con 57 rette. Guarda:”.
“Argh”.
“Bella roba, eh? Viene da Wolfram Alpha, ripreso da questo post che ha tante belle figure, compresa un'analisi delle carte di Dobble (che è stato pubblicato anche con un altro nome, Spot It!)”.
“Uh, che bellezza”.
“Io mi limito a mettere le carte in una griglia, ordinate in modo tale che si possano intuire le rette, un po' come abbiamo fatto quando abbiamo costruito il piano proiettivo di ordine 3 partendo dal piano affine e aggiungendo la retta impropria. I buchi vuoti, purtroppo, corrispondono alle due carte mancanti”.
“Oh, ecco tutte le carte. Come faccio a intuire le rette?”.
“Non sono ancora tutte le carte: mancano quelle che compongono la retta impropria, che ti mostro tra un po'. Adesso osserva, per esempio, la prima riga. Vedi che tutte le carte hanno in comune uno stesso simbolo?”.
“Sì, il clown”.
“Ecco, tutte le righe orizzontali, cioè le rette orizzontali, sono identificate da un simbolo”.
“Vedo: il punto interrogativo nella seconda riga, il fantasmino nella terza, e così via”.
“Sì. Ora pensa che tutte le rette orizzontali dovranno convergere verso un unico punto, un punto della retta impropria”.
“Che, quindi conterrà i sette simboli relativi alle sette rette”.
“Esatto. In più, conterrà un ottavo simbolo, quello della retta impropria”.
“E gli altri sette punti della retta impropria, come sono fatti?”.
“Ci sono tutte le rette verticali, per esempio, che si intersecano in uno di quei punti. Poi ci sono le diagonali, sia ascendenti che discendenti. Poi viene il difficile”.
“Benissimo”.
“Immagina una diagonale che parta dal primo vertice in alto a sinistra, e che poi prosegua spostandosi di due carte a destra e una sola in basso”.
“Ah, una diagonale non inclinata di 45 gradi”.
“Esatto. Poi immagina un'altra diagonale che si muova di tre carte a destra e una in basso, e così via, mettendo tutte le combinazioni possibili.”.
“Uh, ecco perché il disegno completo ha tante rette”.
“Eh, sì, le rette sono tante quante i punti: 57. Tieni presente che le diagonali possono uscire da un lato e rientrare dall'altro”.
“Uh? In che senso?”.
“Guarda, questa è una diagonale:”.
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“Ah. Avanti di uno, giù di due. Quando esco da un lato, rientro dall'altro”.
“Proprio così”.
“E quindi, abbiamo otto punti per la retta impropria?”.
“Sì, eccoli:”.
“Vedo. Il loro simbolo è la bomba”.
“Esatto, e gli altri simboli invece corrispondono ai gruppi di rette parallele che si intersecano in quel particolare punto”.
“Capito. Beh, niente male per un giochetto di carte”.
“C'è tanta matematica sotto, già.”.
“Se volessi creare un gioco analogo con più carte, dovrei passare all'ordine 8, vero?”.
“Sì, con 73 carte. Mentre se tu ne volessi meno, dovresti passare all'ordine 5, perché l'ordine 6 non esiste”.
“Ah, già. Con l'ordine 5 avrei solo 31 carte. Beh, chi l'avrebbe mai detto che con la matematica si costruiscono giochi da tavolo?”.
“E questo non è l'unico”.
Alcuni riferimenti:
Lo scettico — con l'elenco di tutte le carte e di tutti i simboli di Dobble.
Puzzlewocky — con delle meravigliose figure.
Ericmoorehouse — con tutto quello che sappiamo oggi sui piani proiettivi finiti.
