«Perché?».
«Ciclotomica? Sembra una roba chirurgica».
«In un certo senso, lo è: l'equazione ciclotomica è quella che serve per dividere il cerchio».
«Come abbiamo fatto per la ricerca delle radici dell'unità?».
«Esattamente. Prendiamo il caso facile, le radici quadrate dell'unità. L'equazione che vogliamo risolvere è x2 = 1».
«Sì, e come risultato abbiamo +1 e -1».
«Certo, ma lasciami scrivere l'equazione in un altro modo: x2-1 = 0».
«Cosa cambia?».
«Nulla, ma così possiamo poi generalizzare. Ricorderai che l'espressione x2-1 si può scomporre».
«Sì, in prima superiore mi hanno spiegato la differenza tra due quadrati (anche in terza media, a dir la verità, ma arrivato in prima non ricordavo più nulla)».
«Eh, succede spesso… Allora, sei d'accordo sul fatto che si può scrivere x2-1 = (x-1)(x+1)?».
«Sì».
«Ora, la prima parentesi, (x-1), si annulla quando x = 1. Questa è la soluzione ovvia: radice di uno è uguale a uno».
«Giusto. L'altra parentesi, invece, si annulla per x = -1, l'altra soluzione dell'equazione».
«Perfetto. Ora passiamo alle radici cubiche. Vogliamo risolvere l'equazione x3-1».
«Va bene, possiamo scomporre anche qui?».
«Certo, se ti ricordi la scomposizione della differenza di due cubi».
«Dovrebbe essere questa: x3-1 = (x-1)(x2+x+1)».
«Esatto. Come vedi, hai sempre la parentesi (x-1), che si annulla per x = 1».
«La soluzione ovvia».
«Già. E poi hai un'equazione di secondo grado, che è impossibile da risolvere nei reali, ma ha due soluzioni complesse».
«Fammi provare. Dovrebbe risultare questo:».
«Esatto. Riconosci questi valori?».
«Uhm… ehi! Sono gli stessi valori che mi hai detto tu quando mi hai mostrato le due radici cubiche dell'unità complesse!».
«Sono loro, ottimo. Quella equazione, x2+x+1, si chiama equazione ciclotomica perché è proprio quella che ci serve per dividere il cerchio in n parti uguali. Naturalmente c'è anche la soluzione ovvia, x = 1, ma quella c'è sempre e non abbiamo bisogno di risolvere una equazione per trovarla. Quindi, in generale, l'equazione che ci serve per dividere un cerchio in n parti uguali è xn-1 = 0, ma questa contiene anche il termine (x-1), che è sempre presente e possiamo metterlo da parte».
«E cosa rimane, quindi?».
«L'espressione generale è questa: xn-1 = (x-1)(xn-1+xn-2+…+x2+x+1). L'espressione lunga tra parentesi è l'equazione ciclotomica. Lunga da scrivere, ma molto semplice da ricordare: tutti i coefficienti sono uguali a 1».
«Sì, è un po' monotona».
«Adesso considera la prima soluzione di quella equazione».
«Cioè x = 1?».
«No, quella è la soluzione ovvia, che non è soluzione dell'equazione ciclotomica. Considera quella successiva, sul cerchio, andando in senso antiorario».
«Ok, credo di aver capito, ma se facciamo un esempio è meglio».
«Esempio facile: prendiamo x4-1 = 0».
«Che si scompone in (x-1)(x3+x2+x+1) = 0».
«Sì, proprio così. Lasciamo da parte (x-1) = 0, che ci dà la soluzione ovvia x = 1».
«Quindi dovrei prendere la prima soluzione di x3+x2+x+1 = 0. Come faccio?».
«Ricordati che le soluzioni le abbiamo già viste: stiamo parlando delle radici quarte dell'unità».
«Ah, è vero, le quattro soluzioni sono +1, +i, -1, -i, andando in senso antiorario».
«E dunque la prima soluzione non ovvia è +i. Indichiamola, in generale, con R».
«Bene, e adesso?».
«Adesso cominciamo a fare un po' di potenze. Quanto fa R2?».
«Vediamo, i2 = -1».
«Perfetto, e così lo hai calcolato in modo algebrico. Ti avevo anche spiegato un altro modo, legato alla forma polare dei numeri complessi».
«Ah, è vero, devo elevare il modulo e raddoppiare l'argomento».
«Già. Quanto è il modulo di i?».
«Uno. E quindi se lo elevo al quadrato rimane tale e quale».
«Bene. Quanto è invece l'argomento?».
«90 gradi. Se lo raddoppio, ottengo 180 gradi, cioè vado a finire su -1. Bene, tutto torna».
«Ora calcola R3».
«Mi viene un angolo di 270 gradi, cioè finisco su -1. È vero, i3 fa -i».
«E infine, calcola R4».
«Faccio un giro completo e ottengo di nuovo 1».
«Bene, ti riassumo quello che abbiamo: un insieme di quattro elementi, che possiamo indicare con 1, R, R2, R3».
«O anche R, R2, R3, R4».
«Giusto, dato che R4 = 1. Se noi prendiamo due qualsiasi di questi elementi e li moltiplichiamo tra di loro, otteniamo sempre uno di quegli elementi, non usciamo dall'insieme».
«Fammi fare una prova: R3 moltiplicato R2 fa R5».
«Che è uguale a R4R».
«Ah, ci sono! Dato che R4 è uguale a 1, rimane R. Sono come i numeri dell'orologio!».
«Esatto, questi calcoli sono identici a quelli che si fanno nell'aritmetica modulare. E non è finita qua: ogni elemento ammette un reciproco».
«Tipo 1/R?».
«Sì, prova a calcolare: quale elemento del nostro insieme è 1/R?».
«E come faccio?».
«Devi pensare a come esprimere 1/R in altri termini, che non contengano l'operazione di divisione, ma solo la moltiplicazione».
«Per esempio, 1/R è quel numero che moltiplicato per R dà 1».
«Bene. Quale dei nostri elementi, moltiplicato per R, dà 1?».
«Ah, R3. Quello moltiplicato per R dà R4, cioè 1».
«Perfetto, quindi 1/R = R3».
«Quindi potrei dire che 1/R2 = R2?».
«Certo. E quanto sarà 1/R3?».
«Ah, sarà R. Ho capito, tutti gli elementi ammettono un reciproco».
«Manca il reciproco di 1, che comunque è facile da calcolare: è sempre 1».
«Giusto».
«Si dice allora che l'insieme composto da 1, R, R2, R3 è un gruppo. Per essere precisi, un gruppo gode delle seguenti proprietà: è chiuso rispetto all'operazione considerata (che nel nostro caso è la moltiplicazione)».
«Giusto, l'abbiamo visto».
«L'operazione gode della proprietà associativa».
«Mi pare corretto».
«Lo è: le nostre moltiplicazioni sono rotazioni intorno all'origine, e puoi farle nell'ordine che preferisci. Poi deve esistere un elemento neutro per l'operazione».
«C'è, è 1. Moltiplicare per 1 è come non fare niente».
«Infatti. Potremmo anche dire che l'argomento di 1 è zero gradi, e ruotare di zero gradi è come non fare niente».
«Vero anche questo».
«E infine, deve esistere l'inverso di ogni elemento — nel caso della moltiplicazione, l'inverso è il reciproco».
«E abbiamo visto che ogni elemento ha il suo reciproco. Bene, e adesso?».
«Adesso, prima di tutto notiamo che questa proprietà di essere gruppo non vale solo per le radici quarte dell'unità, ma per le radici n-esime, qualunque sia il valore di n».
«Va bene, ma avrò più elementi nel gruppo, no?».
«Certo, il gruppo è formato da 1, R, R2, …, Rn-1».
«Bene. E poi?».
«E poi applichiamo queste cose allo studio della costruibilità dei poligoni regolari».
2 commenti:
Ciao Zar, bellissimi dialoghi. Volevo solo segnalarti un misprint. Quando definisci R scrivi che vale +1, invece vale i (come risulta in seguito). Per il resto, ancora complimenti! r
Giusto, grazie, ho corretto.
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