«Mh, non sono sicuro di saperlo fare».
«Per quanto riguarda i poligoni di 2n lati, ti basta saper fare la bisettrice di un angolo. Tracci un diametro di una circonferenza, e hai un poligono di 2 lati».
«Che non esiste».
«Infatti, è un segmento, ma se lo chiamiamo poligono non abbiamo bisogno di specificare che n deve essere maggiore di 1».
«Ma dai».
«Trucchi da Vero Matematico».
«Lasciamo stare…».
«E se poi comincio a costruire bisettrici, ottengo poligoni di 4, 8, 16 lati, eccetera».
«Va bene. Per quanto riguarda i 3 lati, cioè il triangolo equilatero, direi di sapere come si fa».
«Vediamo».
«Ecco qua».
«Ottimo. Parti da un punto su una circonferenza, e con apertura uguale al raggio tracci un po' di punti».
«Se vado avanti, riesco a costruire anche un esagono».
«Certo, dopo parliamo di questo fatto, ora rimane il pentagono».
«Ecco, il pentagono proprio non so farlo».
«Mi autocito dicendoti che il lato del decagono è la sezione aurea del raggio della circonferenza».
«E dato che la sezione aurea è (√5-1)/2, possiamo costruirla con riga e compasso».
«Perfetto. E se sai costruire un decagono, sai anche costruire un pentagono, basta prendere un vertice sì e uno no».
«Ok».
«Ecco, un altro risultato interessante ottenuto dai greci è questo: se sai costruire due poligoni, uno di a lati, uno di b lati, con a e b primi tra loro, sai costruire anche un poligono di ab lati».
«E come si fa?».
«Mi autocito di nuovo: con l'algoritmo di Euclide».
«Uhm».
«Facciamo un esempio facile, consideriamo il poligono di 15 lati».
«So costruire quello di 3 e quello di 5 lati, e 3 e 5 sono primi tra loro».
«Bene. L'algoritmo di Euclide ci permette di trovare due numeri k e l tali che ka+lb = 1, se a e b sono primi tra loro».
«Nel nostro caso, 3k+5l = 1».
«Sì, e non c'è nemmeno bisogno dell'algoritmo di Euclide per trovare i valori di k e di l».
«Uhm, no?».
«Bé, non è difficile: k = 2 e l = -1».
«Ah, già. Risulta 6-5, che fa 1, sì».
«Allora, costruire un poligono di a lati significa costruire un angolo al centro di 360/a gradi».
«Giusto. E col poligono di b lati costruisco un angolo al centro di 360/b gradi».
«Ora possiamo costruire dei multipli di questi angoli, affiancandoli più volte».
«Certo».
«Quindi costruiamo 360l/a e 360k/b».
«Ok».
«E li affianchiamo. Cosa otteniamo?».
«Un angolo al centro pari a 360l/a+360k/b».
«Fai il denominatore comune».
«(360lb+360ka)/(ab)».
«Cioè 360(ka+lb)/(ab)».
«E dato che ka+lb fa 1, ho costruito un angolo al centro di 360/(ab) gradi».
«Cioè il lato di un poligono di ab lati».
«Bello».
«Quindi, riassumendo, i greci sapevano costruire poligoni con 2n3r5s, con n non negativo e r e s uguali a 0 oppure a 1».
«E basta?».
«Basta».
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