mercoledì 10 agosto 2011

I greci non erano normali — 20: l'ettagono

«Ora vediamo un esempio di poligono non costruibile con riga e compasso, l'ettagono».

«Sette lati. Dobbiamo analizzare l'equazione x7-1 = 0, suppongo».

«Sì, in particolare dobbiamo analizzare la solita equazione ciclotomica, che in questo caso ha grado 6».

«Facciamo come con il pentagono? Dobbiamo accoppiare le soluzioni?».

«Esatto. Indichiamo con R, R2, …, R6 le soluzioni dell'equazione ciclotomica, e accoppiamo le complesse coniugate».




«Fammi dare un'occhiata alla figura: accoppiamo R con R6, vero?».

«Sì, indichiamo con y1 la somma R+R6».

«Provo ad andare avanti: indichiamo con y2 la somma R2+R5 e con y3 la somma R3+R4».

«Proprio così».

«E adesso?».

«Adesso cominciamo a calcolare un po' di somme di prodotti di valori di y».

«Uhm, vediamo se mi ricordo: prima di tutto calcolo y1+y2+y3, giusto?».

«Giusto, vai».

«Bé. è facile, mi viene la somma di tutte le potenze di R, tranne 1, così come era successo col pentagono. La somma di tutte queste potenze è uguale a -1, me lo dice la famosa equazione ciclotomica».

«Molto bene, quindi y1+y2+y= -1».

«Adesso devo prendere gli y a due a due, moltiplicarli e sommare tutto, se ben ricordo».

«Sì, in formule devi calcolare y1y2+y1y3+y2y3».

«Noioso».

«E devi anche ricordarti che le potenze di R funzionano come i numeri dell'orologio: R= 1, R= R, e così via».

«Ancora più noioso».

«Se vuoi ti dico il risultato».

«Sì, è meglio».

«Allora, risulta la somma di tutte le potenze di R, tranne 1, contate due volte».

«Sono dodici termini, mamma mia».

«Sì, giusto».

«Vediamo, dato che la somma delle potenze di R, escluso 1, vale -1, quella somma varrà -2».

«Certo. Quindi, riassumendo, y1y2+y1y3+y2y= -2».

«Ora dovrei calcolare il prodotto di tutti gli y, se non sbaglio».

«Non sbagli».

«Noioso anche questo».

«Ti dico anche questo risutato: se moltiplichi y1y2y3, ottieni la somma di tutte le potenze di R, questa volta da 1 fino a R7».

«Dato che la somma di tutte le potenze di R, da 1 fino a R6, è uguale a zero (grazie all'equazione ciclotomica), mi rimane R7».

«Che è uguale a?».

«Che è uguale a 1».

«Ottimo. Quindi y1y2y= 1».

«E adesso cosa dobbiamo fare?».

«Dobbiamo costruire un'equazione che abbia, come soluzioni, i tre valori y1, y2, y3».

«E come facciamo?».

«Utilizziamo quella generalizzazione della regola della somma e del prodotto che abbiamo visto l'altra volta».

«Ah, ecco a cosa serve. Devo scrivere un'equazione in y, i cui coefficienti siano uguali ai numeri che abbiamo trovato adesso…».

«Coi segni alterni!».

«Giusto, è vero. E il primo segno è negativo. Vediamo se ho capito bene, questa è l'equazione:».

y3+y2-2y-1 = 0.

«E questa è una equazione irriducibile nei razionali».

«E come facciamo a saperlo?».

«Risposta breve: guarda le soluzioni su wolfram alpha».

«Ah, vedo. C'è anche una risposta lunga?».

«Sì, una equazione polinomiale come la nostra può avere, come soluzioni razionali, solo i numeri che si ottengono prendendo i divisori del termine noto».

«Ma il termine noto è -1».

«Appunto. Se quella equazione avesse soluzioni razionali, queste potrebbero essere solo o +1 o -1».

«E ci basta provare a sostituire per vedere che quei due numeri non sono soluzioni, ho capito».

«E allora siamo di fronte a un'equazione di terzo grado irriducibile, e quindi le soluzioni (che pure esistono) non sono costruibili con riga e compasso».

«Ok».

«E questo conferma anche il teorema di cui ti avevo parlato: un poligono è costruibile se l'equazione ciclotomica ha come grado una potenza di due ed è irriducibile».

«Mentre, in questo caso, il grado è 6, che non è una potenza di 2».

«E tanti saluti all'ettagono».

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