giovedì 25 agosto 2011

Non puoi dire di aver vissuto se non hai mai calcolato un logaritmo con carta e penna

Per prima cosa si calcolano le radici quadrate successive di 10, fino a che non ci si stanca:








E si arriva così a compilare l'importantissima tabella delle radici di 10:


Poi si prende il numero di cui vogliamo calcolare il logaritmo, per esempio 42. Lo si divide per una potenza di 10 opportuna, in modo che il risultato sia un numero compreso minore di 10. Nel nostro caso si ottiene 4.2, e si comincia una serie di divisioni successive per la potenza di 10 appena minore del valore che stiamo utilizzando.







In pratica, questo è quello che abbiamo fatto:


(Quel valore 1.005 finale lo teniamo per dopo)
Abbiamo quindi ottenuto una prima approssimazione per il logaritmo di 4.2:


E ci calcoliamo anche il risultato della frazione:


Ora si tratta di stimare in qualche modo quell'1.005 che abbiamo lasciato indietro. Per prima cosa allarghiamo la tabella delle potenze di 10


Dalla quale scopriamo che (10x-1)/x si comporta con una certa regolarità: le differenze dei valori successivi si dimezzano sempre. Stimiamo quindi l'errore che abbiamo commesso fermandoci a 1/256. Naturalmente anche i calcoli per le due nuove colonne della tabella sono stati fatti a mano:


Dalla tabella abbiamo scoperto che vale la seguente approssimazione, per le potenze di 10 piccole:


(Anche la divisione indicata è fatta come si deve:)


Abbiamo trovato quindi una stima dell'errore che abbiamo commesso lasciando fuori quel famoso 1.005, di cui ora possiamo tenere conto:

E quindi ecco il calcolo corretto:


Ora, per trovare il logaritmo di 42, basta aggiungere uno:


Ed ecco fatto.

Tutti i calcoli sono stati eseguiti rigorosamente a mano, e subito dopo sono stati controllati con la calcolatrice. In media c'era un errore per ogni passaggio, ehm. Tempo impiegato: un pomeriggio.

Briggs, senza il controllo a posteriori, faceva invece delle tabelle del genere:




14 commenti:

giovanna ha detto...

o mammamia!
ma davvero hai eseguito tutti i calcoli a mano?
uuh, di nuovo, mammmamia!
sì sì, i matematici sono matti!:-):-)
g

zar ha detto...

Tutti!

Giu ha detto...

Complimenti per la perseveranza, ma non conveniva usare una serie di Taylor?
Personalmente, se avessi voluto calcolare a mano il logaritmo di 42 in base 10 avrei prima sviluppato il logaritmo in serie con punto iniziale 100, e poi sarebbe bastato fare qualche moltiplicazione e qualche somma, fino ad arrivare alla precisione desiderata. Mi spiego:

Log[42]=Log[100]+1/100*(x-100)-1/(2!*100^2)*(x-100)^2+ecc.

fermandomi al quinto ordine, trovo 1,628.
Non so, per fare a mano operazioni "difficili" ho sempre sviluppato in serie.

Giu ha detto...

Ops, nel messaggio precedente ho dimenticato di sostituire x=42 nel membro a destra.

Piscu ha detto...

l'ideale per passare un pomeriggio di ferie!

Anonimo ha detto...

Se facessi io i calcoli a mano, le tavole dei logaritmi sarebbero delle tavole di numeri casuali. :-)

ilcomizietto

Juhan ha detto...

Quando si ha a che fare con Veri Matematici non bisogna stupirsi di niente. Mai.
Io per fortuna ho preso una strada diversa ;-)

zar ha detto...

@Giu: ho seguito la strada di Briggs (che ci ha passato un certo numero di pomeriggi, sopra alle sue tavole logaritmiche, roba da matti).

In quel modo non devi poi farti tutti i calcoli ogni volta, perché la tabella delle radici successive la fai una volta sola.

(E direi proprio che Biggs non conoscesse gli sviluppi in serie)

Anonimo ha detto...

o.O

edit ha detto...

bellissimo post! complimenti!

zar ha detto...

un duro lavoro :-)

agapetòs ha detto...

Interessante l'uso della virgola anche tra i decimali, a gruppi di cinque.
L'userò quando a lezione mi capiteranno numeri con molti decimali. Capita rare volte, ma a volte capita.

Fabio_9000 ha detto...

Un bel lavoro, almeno per ricordarci che non è tutto un clic!!!!

alesstosc ha detto...

Io credo che gli studenti di oggi farebbero in un altro modo:
prenderebbero il 42 lo dividerebbero per 10 = 4,2
(con questo primo passaggio scoprirebbero che il primo numero del logaritmo e [1])
prenderebbero il risultato 4,2 e farebbero 4,2^10=1708019
lo dividerebbero per 10 (tante volte cioè 6 volte) fino ad arrivare a 1,708019 (fino a quando non arrivano ad un numero sotto la decina)
(con questo secondo passaggio scoprirebbero il secondo numero 6 e cioè [1,6]
prenderebbero il numero dato 1,7^10=201
201/10 tante volte fino ad un numero inferiore alla decina e cioe 2
stabilendo che il numero e [1,62] ancora
2^10=1024
1024/10 tante volte... 3
per scoprire che il logaritmo è [1,623]