I greci non erano normali — 25: Fermat si era sbagliato

«Nel 1732 Eulero riuscì a dimostrare che F₅ = 2²⁵+1 = 2³²+1 = 4294967297 è un numero composto».

«Ha fatto la divisione?».

«Non proprio: se ricordi, fattorizzare un numero è un'operazione molto lenta, perché bisogna fare un numero molto alto di divisioni».

«Eulero poi non aveva la calcolatrice».

«Infatti: oggi per fattorizzare F₅ ci mettiamo un attimo».

«E Eulero invece come ha fatto?».

«Ha scritto 2³²+1 come differenza:».

2³²+1 = (5⁴·2²⁸+2³²)-(5⁴·2²⁸-1)

«È certamente giusto, ma mi sfugge il senso».

«Porta pazienza. Ora, consideriamo il primo dei due termini che devono essere sottratti».

«Quello che alle elementari si chiamava minuendo».

«Proprio lui. Se raccogliamo a fattor comune 2²⁸, otteniamo che 5⁴·2²⁸+2³² = 2²⁸(5⁴+2⁴)».

«Vabbé».

«Ora analizziamo il secondo termine».

«Il sottraendo».

«Esatto. Osserva questa catena di scomposizioni:».

5⁴2²⁸-1 =
 = (5²·2¹⁴+1)(5²·2¹⁴-1)
 = (5²·2¹⁴+1)(5·2⁷+1)(5·2⁷-1)

«Io osservo, ma non capisco».

«Ancora un momento. Quanto fa 5⁴+2⁴?».

«Fammi fare il conto… fa 641».

«Bene. E quanto fa 5·2⁷-1?».

«Vediamo… ancora 641».

«Ottimo. Ora trai una conclusione intelligente».

«Ehm».

«Dai, il nostro numerone è stato espresso come una differenza tra altri due numeri. Poi abbiamo lavorato separatamente sui due numeri e abbiamo scoperto che entrambi possono essere scritti come 641 per qualcosa. Cosa possiamo dire, a questo punto?».

«Eh, possiamo dire che entrambi sono divisibili per 641. Ah, ma allora 641 è un fattore comune ai due termini, quindi è un fattore del nostro F₅».

«Ed ecco un controesempio alla congettura di Fermat: non è vero che tutti i numeri di Fermat sono primi».

«Grande Eulero!».

«Eulero ha poi dimostrato un risultato generale: ogni fattore di F_n deve avere la forma di k·2ⁿ⁺¹+1».

«E quindi Fermat si è sbagliato».

«Pare che Fermat fosse a conoscenza di questa proprietà dei divisori di F_n».

«E allora come mai non ha trovato il fattore 641? Non è tanto grande».

«Si pensa che abbia fatto un errore di calcolo. Dato che era così convinto della sua congettura, non ha controllato i calcoli per una seconda volta».

«Ed è rimasto fregato».

«Già. Adesso coi computer si fa molto presto, e si possono controllare numeri di Fermat sempre più grandi».

«E non ne hanno ancora trovato un altro primo?».

«Eh, no. Ad oggi sono arrivati a controllare tutti i numeri fino a F₃₂, e nessuno è primo. Inoltre sono stati fatti alcuni test su numeri mostruosi, che hanno qualche strana proprietà che permette di rendere i calcoli accessibili».

«Per esempio?».

«Per esempio sappiamo che F_2543548 non è primo, perché è divisibile per 9·2^2543551+1».

«Interessantissimo».

«Non fare dello spirito, sai che in matematica non si butta via niente.Gli algoritmi sviluppati per questo tipo di calcoli verranno utilizzati certamente per svolgere calcoli che ti piaceranno di più. In questa pagina, comunque, c'è un riassunto di tutto quello che sappiamo sui numeri di Fermat. Finora non ne sono stati trovati altri che siano primi. E qui trovi l'elenco di tutti coloro che hanno lavorato su questi numeri, da Fermat in poi».

«E quindi, fino a che non troveremo un altro numero primo di Fermat, non avremo altri poligoni costruibili con riga e compasso?».

«Esatto. E, se ne troveremo altri, avranno talmente tanti lati che il nostro 65537-gono sembrerà spigolosissimo.

E così per adesso finiamo qui».