«Sette lati. Dobbiamo analizzare l'equazione x7-1 = 0, suppongo».
«Sì, in particolare dobbiamo analizzare la solita equazione ciclotomica, che in questo caso ha grado 6».
«Facciamo come con il pentagono? Dobbiamo accoppiare le soluzioni?».
«Esatto. Indichiamo con R, R2, …, R6 le soluzioni dell'equazione ciclotomica, e accoppiamo le complesse coniugate».
«Fammi dare un'occhiata alla figura: accoppiamo R con R6, vero?».
«Sì, indichiamo con y1 la somma R+R6».
«Provo ad andare avanti: indichiamo con y2 la somma R2+R5 e con y3 la somma R3+R4».
«Proprio così».
«E adesso?».
«Adesso cominciamo a calcolare un po' di somme di prodotti di valori di y».
«Uhm, vediamo se mi ricordo: prima di tutto calcolo y1+y2+y3, giusto?».
«Giusto, vai».
«Bé. è facile, mi viene la somma di tutte le potenze di R, tranne 1, così come era successo col pentagono. La somma di tutte queste potenze è uguale a -1, me lo dice la famosa equazione ciclotomica».
«Molto bene, quindi y1+y2+y3 = -1».
«Adesso devo prendere gli y a due a due, moltiplicarli e sommare tutto, se ben ricordo».
«Sì, in formule devi calcolare y1y2+y1y3+y2y3».
«Noioso».
«E devi anche ricordarti che le potenze di R funzionano come i numeri dell'orologio: R7 = 1, R8 = R, e così via».
«Ancora più noioso».
«Se vuoi ti dico il risultato».
«Sì, è meglio».
«Allora, risulta la somma di tutte le potenze di R, tranne 1, contate due volte».
«Sono dodici termini, mamma mia».
«Sì, giusto».
«Vediamo, dato che la somma delle potenze di R, escluso 1, vale -1, quella somma varrà -2».
«Certo. Quindi, riassumendo, y1y2+y1y3+y2y3 = -2».
«Ora dovrei calcolare il prodotto di tutti gli y, se non sbaglio».
«Non sbagli».
«Noioso anche questo».
«Ti dico anche questo risutato: se moltiplichi y1y2y3, ottieni la somma di tutte le potenze di R, questa volta da 1 fino a R7».
«Dato che la somma di tutte le potenze di R, da 1 fino a R6, è uguale a zero (grazie all'equazione ciclotomica), mi rimane R7».
«Che è uguale a?».
«Che è uguale a 1».
«Ottimo. Quindi y1y2y3 = 1».
«E adesso cosa dobbiamo fare?».
«Dobbiamo costruire un'equazione che abbia, come soluzioni, i tre valori y1, y2, y3».
«E come facciamo?».
«Utilizziamo quella generalizzazione della regola della somma e del prodotto che abbiamo visto l'altra volta».
«Ah, ecco a cosa serve. Devo scrivere un'equazione in y, i cui coefficienti siano uguali ai numeri che abbiamo trovato adesso…».
«Coi segni alterni!».
«Giusto, è vero. E il primo segno è negativo. Vediamo se ho capito bene, questa è l'equazione:».
y3+y2-2y-1 = 0.
«E questa è una equazione irriducibile nei razionali».
«E come facciamo a saperlo?».
«Risposta breve: guarda le soluzioni su wolfram alpha».
«Ah, vedo. C'è anche una risposta lunga?».
«Sì, una equazione polinomiale come la nostra può avere, come soluzioni razionali, solo i numeri che si ottengono prendendo i divisori del termine noto».
«Ma il termine noto è -1».
«Appunto. Se quella equazione avesse soluzioni razionali, queste potrebbero essere solo o +1 o -1».
«E ci basta provare a sostituire per vedere che quei due numeri non sono soluzioni, ho capito».
«E allora siamo di fronte a un'equazione di terzo grado irriducibile, e quindi le soluzioni (che pure esistono) non sono costruibili con riga e compasso».
«Ok».
«E questo conferma anche il teorema di cui ti avevo parlato: un poligono è costruibile se l'equazione ciclotomica ha come grado una potenza di due ed è irriducibile».
«Mentre, in questo caso, il grado è 6, che non è una potenza di 2».
«E tanti saluti all'ettagono».
8 commenti:
Buon giorno,
vorrei segnalare un possibile errore in "Storia della scienza" edito da Treccani, vol VII, "L'ottocento", argomento "La teoria di Galois e la soluzione algebrica delle equazioni algebriche", pag. 155. A un certo punto si afferma "Ciò sembra suggerire che un'equazione algebrica è risolubile per radicali solo se ha grado minore o uguale a quattro. D'altra parte, come Abel ben sapeva,esistonoequazioni di grado più elevato risolubili per radicali. E' il caso, per esempio, di questa equazione di sesto grado:
Chiedo scusa, mi sono dovuto fermare perché l'equazione in parola è l'equazione ciclotomica dell'ettagono, che riguarda le sei radici complesse tra le radici settime dell'unità, e non sono in grado di gestire le relative formattazioni (segni speciali, esponenti, eccetera).Se può bastare posso solo riportare le conclusioni a cui arriva l'autore di questo contributo (Jeremy Gray, The Open University - Milton Keynes), secondo cui questa equazione è risolubile per radicali. Ma poiché mi risulta (salvo errore) che nessun parametro dell'ettagono regolare di raggio unitario sia costruibile con riga e compasso, ritengo che essi neppure siano rappresentabili per radicali.
Mi dispiace di questo troncamento forzato di ciò che avrei voluto aggiungere e precisare. Se potessi avere un indirizzo mail, potrei fornire maggiori dettagli. Grazie comunque e un cordiale saluto.
Ennio Colucci
Via Oxilia 19 - 20127 MILANO
cell. 333 2284079 - e-mail: ennio.colucci@virgilio.it
Ma costruire con riga e compasso non corrisponde a risolvere per radicali: un semplice radicale cubico come la radice cubica di 2 non è costruibile con riga e compasso. L'equazione ciclotomica si risolve certamente per radicali: le soluzioni sono le radici n-esime dell'unità. No?
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La ringrazio molto della sua risposta. Devo però premettere che, non sapendo come accedere ai caratteri speciali (esponenti, radici, frazioni, ecc.), mi scuso in anteprima per le notazioni da analfabeta e per nulla "matematiche" che userò. E proprio dalla sua risposta deduco che le radici n-esime dell'unità, in quanto soluzioni dell'equazione (x alla n) - 1 = 0 (di cui quelle complesse o comunque non banali sono anche soluzioni della relativa equazione ciclotomica di grado n-1), sono esprimibili per radicali, cioè, salvo errore, ottenibili con un numero finito di operazioni razionali e di estrazioni di radici. Però la prego di dissiparmi un dubbio. Da quello che mi risulta, le soluzioni complesse dell'equazione di cui sopra, quando essa è di grado (n) = 3,4,5,6, sono, sia per la parte reale che per quella immaginaria, effettivamente esprimibili per radicali, nel senso detto sopra. Ad esempio per n=5 la parte reale (coseno di un angolo pari a 1/5 di angolo giro) è ((radice di 5) - 1) / 4, ma non così quando n=7. In altre parole, non ho ancora visto da nessuna parte le radici settime complesse dell'unità espresse per radicali. Ma siccome la sua risposta mette in crisi la convinzione, che avevo fino a ieri, che tali radici settime NON POSSONO essere espresse per radicali, sono io che interpreto male la sua risposta? O che mi pongo il problema nel modo sbagliato? O che cos'altro? La ringrazio ancora della sua attenzione e della sua pazienza, e in attesa di un cortese riscontro la saluto cordialmente.
Ennio Colucci
Via Oxilia 19 - 20127 MILANO
cell. 333 2284079
Uhm, quando ho scritto che le radici dell'unità sono tutte esprimibili tramite radicali, intendevo dire che, in quanto radici, sono certamente esprimibili per radicali, però complessi.
Non ho approfondito l'argomento riguardo l'esprimibilità della parte reale e di quella immaginaria delle radici settime dell'unità. Vedo adesso, da qui (https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_number) e da qui (https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_constants_expressed_in_real_radicals#List_of_trigonometric_constants_of_2%CF%80/n) che si riesce a esprimere il coseno di (2pi/7) per radicali, e qua (https://en.wikipedia.org/wiki/Root_of_unity) si dice che con n=7 ci sono comunque radici cubice di numeri non reali.
Insomma, le radici settime dell'unità si esprimono mediante radicali complessi, non mediante radicali reali.
Grazie Zar, i link che mi hai mandato sono interessantissimi. Come ricorderai tutto il discorso sulla rappresentabilità per radicali (reali) delle radici settime complesse dell'unità era nato dal fatto che la Storia della Scienza (edita da Treccani) riportava, in un contributo di Jeremy Gray, The Open University (Milton Keynes) la asserzione che l'equazione ciclotomica dell'ettagono è risolubile per radicali. Ora, dopo gli ultimi chiarimenti che mi hai fornito, e dato che l'autore intende verosimilmente parlare di radicali reali, c'è evidentemente una imprecisione in quello che scrive, che credo che segnalerò alla redazione di quest'opera, che tra l'altro reca il prestigio del nome Treccani. Ti ringrazio comunque di tutto il tuo interessamento sul problema che avevo segnalato, rinnovo i miei complimenti per il livello scientifico di ciò che si discute sul blog "I Greci non erano normali" (ma perchè non lo erano? Me la levi questa curiosità?) e ti saluto cordialmente. Alla prossima occasione di risentirci.
Ennio
Quel non essere normali è pensiero del Discepolo del Vero Matematico, quello che critica sempre i matematici, tutto qua. Lungi da me non apprezzare il lavoro dei Greci :-)
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