Quarantadue

Credevo di essere stato attento a non inserire in nessun luogo internettiano la mia data di nascita, ma facebook mi ha fregato. Per dare la definitiva mazzata alla mia psiche già in crisi per l'avanzamento inesorabile del tempo, oggi Ronkas si è presentato con un pacchettino regalo per me. E che regalo: una fantastica maglietta di xkcd.

C'era anche un bigliettino, di quelli che ti fanno pensare di aver fatto qualcosa di buono nella vita.

Speriamo bene

Scopro adesso che Ridley Scott girerà un film tratto da uno dei più bei romanzi di fantascienza dell'universo (ehm): Guerra Eterna. Se avete presente Fanteria dello Spazio di Heinlein, ecco, questo è il suo duale: in grado di fare cambiare opinione anche al più guerrafondaio dei lettori.

Per l'astrofisico che è in voi

C'è un giochino online sul problema degli n corpi: orbitrunner. Voi siete un sole (ehm) e non dovete farvi sfuggire i pianeti...

Alla riunione di prima elementare

Le maestre di mio figlio si sono lamentate del fatto che, spesso, i bambini copiano dalla lavagna e non ascoltano. Alla mattina io mi ero lamentato della stessa cosa con i miei studenti di quinta. Superiore.

Teoria del mondo piccolo

In classe con mio figlio piccolo, prima elementare, ci sono la figlia di una mia compagna di classe delle elementari (eravamo sempre in quella scuola elementare) e il figlio di uno dei miei primi studenti; per non parlare della figlia di un mio amico di gioventù.

Praticamente la stessa probabilità che si formi un buco nero dalle parti di Ginevra.

Carnevale della Matematica #6

Con un florilegio di contributi, ecco il carnevale della matematica che corrisponde al primo numero perfetto.

Si fa presto a dire cittadino del mondo

Se poi trovi un elenco di tutto ciò che fa di te un modenese... (non tutto nell'elenco è puro modenese, ma è comunque un'ottima approssimazione).

Colgo l'occasione per domandare: ma voi stranieri capite quello che dice Schumacher alla fine di Cars?

Forse devo donare il mio sangue alla scienza

Io, durante l'afosa estate ricca di zanzare che si è appena conclusa, non sono mai stato punto.

Verso l'infinito, ma con calma - epilogo

È finita, eh. Grazie per essere arrivati fino in fondo...

Questa saga è nata grazie a vari stimoli che ho ricevuto nel corso dei miei studi matematici, che pian piano si sono accumulati in un angolino della mia testa e hanno prodotto tutto ciò.

La prima volta in cui ho sentito parlare di cardinali transfiniti è stata durante il primo anno di matematica, nel corso di algebra. Il prof (buonanima) era un vero barone universitario, uno che prima di ogni lezione si faceva lavare dai bidelli la lavagna (cosa che piacerebbe tantissimo anche a me — ma se lo chiedo ai bidelli della mia scuola come minimo mi sparano), uno che scriveva una formula ogni cinque minuti, e per il resto del tempo parlava, e noi dovevamo arrangiarci con gli appunti. Uno che una volta si è fermato nel mezzo di una lezione per sgridare una ragazza che era di fianco a me perché aveva sbadigliato senza mettersi la mano davanti alla bocca, per dire. Uno sul quale si narravano leggende metropolitane, come quella che raccontava che lui scrivesse anche i voti minori di 18 sul libretto. Nonostante il terrore misto a odio che provavo nei suoi confronti e nei confronti dell'algebra, sono rimasto affascinato dai numeri cardinali.

Lo stile a dialogo è nato un po' per caso. Inizialmente avevo pensato di inserire qualche dialogo qua e là, ma poi ho visto che quella forma mi permetteva di capire meglio gli argomenti di cui parlavo... e quindi l'ho adottata. Gran parte delle definizioni e dei teoremi di cui ho scritto mi sono diventati più chiari mentre cercavo di far sì che il Vero Matematico rispondesse in modo semplice. Tanti grandi scrittori hanno usato questo stile, ma l'ispirazione maggiore mi è venuta dai dialoghi del professor Apotema: si trovano sul mensile il Leonardo, pubblicato dall'ITI Vinci di Carpi, leggeteli perché sono bellissimi (può darsi che il link cambi nel tempo, comunque dalla home page del sito ci si arriva sempre). Invece di due interlocutori, in quei dialoghi c'è una classe intera.

Poi c'è la parte sugli ordinali. Avrete visto che è meno rigorosa, senza teoremi. Quella non l'ho studiata per l'esame di algebra, e non ho nemmeno un libro di testo con le dimostrazioni. Me la sono guardata per conto mio, utilizzando libri più o meno divulgativi sull'argomento, e traducendo dall'inglese l'omonima pagina di wikipedia...

Tutto questo è rimasto a lievitare in silenzio per un po' di tempo, fino a quando un amico (un filosofo appassionato di Cantor) non mi ha chiesto: “ma come si dimostra che la cardinalità dei reali è maggiore di ℵ₀?”. La risposta che diedi a lui stava su due o tre pagine. Qui ho ampliato un po'...

Verso l'infinito, ma con calma - così tanto da dire, così poco per dire

Utilizzando un numero finito di somme, moltiplicazioni e potenze di ordinali, possiamo esprimere “solo” ordinali nella forma normale di Cantor. La potenza, che è l'operazione che ci permette di esprimere in modo conciso gli ordinali più grandi, ci ha condotti alla scrittura di una torre di potenze di ω:

ω, ω^ω, ω^ωω, ω^ωωω, ..., ω^ωωω....

Ora la domanda è: possiamo continuare all'infinito? E, se sì (ed è certamente sì, i passaggi all'infinito ormai non ci spaventano più), cosa otteniamo?

Partiamo dall'inizio, definendo una successione di potenze:

a₁=1,
a_n+1=ω^a_n.

“Uhm, vediamo... a₂ dovrebbe essere ω, giusto?”.

“Giusto”.

“Poi a₃ dovrebbe essere ω^ω”.

“Giusto anche questo”.

“Ok, ci sono, ogni volta che aumenta n aumenta di un piano la torre di potenze”.

“Perfetto. Ora indichiamo con x l'estremo superiore dell'insieme di tutti gli a_i. In formule: x = sup{a_i : i < ω}”.

“Ok, fin qua ci sono, ma non esagerare con le formule”.

“Va bene, ormai ci siamo. Ora calcoliamo ω^x”.

“Uhm, come si fa?”.

“Ricordi la definizione? Dobbiamo prendere ω^α per tutti gli ordinali α minori di x”.

“Quindi dovrei prendere... un momento! Tutti gli ordinali minori di x sono tutti quelli che abbiamo considerato finora, perché x è l'estremo superiore dell'insieme che contiene tutte le potenze di base ω. In pratica dobbiamo prendere di nuovo x”.

“Giusto. Detto in termini poco rigorosi ma più chiari, se hai una torre infinita di potenze di ω e aggiungi un altro esponente ω, non cambia nulla”.

“E quindi cosa abbiamo ottenuto?”.

“Abbiamo ottenuto un x tanto grande che ω^x = x”.

“Sembra un'equazione”.

“È un'equazione. Noi abbiamo ottenuto il più piccolo x che la soddisfa, che Cantor ha chiamato ε₀. Oltre a indicarlo con una torre di potenze infinita, possiamo anche indicarlo in questo modo:”.

ε₀ = 1+ω+ω^ω+ω^ωω+...

“Ohi ohi”.

“Che c'è?”.

“Quell'indice 0...”.

“Sì?”.

“Vuol forse dire che ce ne sono altri?”.

“Naturalmente. Sempre soluzioni di ω^x = x. Il prossimo si chiama ε₁”.

“Ci avrei scommesso”.

“Eccolo qua:”.

ε₁=(ε₀+1)+ω^ε₀+1+ω^ωε₀+1+...

“Gulp”.

“Poi ci sono ε₂, ε₃, ..., ε_ω”.

“Argh”.

“Poi ε_ω², ..., ε_ω^ω”.

“Ma no, si ricomincia!”.

“E guarda questa sequenza:”.

ε_ε0, ε_εε0, ..., ε_εεε....

“Ma non si finisce mai!”.

“Mai. Osserva che l'ultimo numero è la prima soluzione di ε_x = x”.

“Non oso pensare a quello che viene dopo”.

“Il fatto è che possiamo giusto solo pensarci”.

“Perché?”.

“Perché possiamo andare avanti quanto vogliamo, all'infinito, e definire nuovi numeri. Ma non avremo mai abbastanza parole per farlo”.

“In che senso?”.

“Nel senso che con le lettere dell'alfabeto possiamo formare soltanto un insieme finito di parole. Al limite possiamo immaginare un dizionario infinito di parole, anche se non potremo mai leggerle tutte. Ma se anche le usassimo tutte per dare un nome ai nuovi numeri che definiremo, avremo comunque un'infinità numerabile di nomi a disposizione. Cioè ne avremo ℵ₀”.

“Ah”.

“Mentre di ordinali ne possiamo definire molti di più. Ma anche se ci limitiamo ai soli numeri reali, non avremo mai parole a sufficienza per dare un nome ad ognuno. Figuriamoci dare un nome a tutti gli ordinali”.

“E quindi?”.

“E quindi ci fermiamo qui, immaginando tutto il resto solo con il pensiero, senza usare altre parole”.

“Peccato, mi dispiace che il cammino verso l'infinito finisca qua. Avrei però un'ultima domanda”.

“Quale?”.

“Il fatto che questo post venga pubblicato l'otto ottobre duemilaeotto alle otto e otto è un caso?”.

“Questo te lo lascio come esercizio”.

Verso l'infinito, ma con calma - forma normale di Cantor

Le operazioni di somma, prodotto e potenza di ordinali ci permettono di costruire numeri sempre più grandi. Esiste un modo standard per esprimerli, che potremmo considerare come una specie di numerazione posizionale in base ω.

“Eh?”.

“Sai cos'è un sistema di numerazione posizionale?”.

“Ehm...”.

“Allora prova a calcolare XXIII×XLII”.

“Roba da matti, adesso scrivi in numeri romani. Questi li conosco, sai? Devo calcolare 23×42. Posso usare la calcolatrice?”.

“Non se ne parla neanche. Non puoi usare la calcolatrice, puoi usare carta e penna, non puoi usare cifre arabe”.

“Come sarebbe? E allora come faccio?”.

“Preferiresti usare le cifre arabe?”.

“Certo”.

“Perché?”.

“Perché se non mi lasci usare la calcolatrice mi metto a fare i conti a mano. Le moltiplicazioni in colonna dovrei ricordarmele ancora”.

“E non puoi usare i numeri romani?”.

“Eh, no. Non funziona, non si riesce a incolonnare, non si fanno i riporti”.

“Perfetto. Per incolonnare e fare i riporti serve un sistema di numerazione posizionale”.

“Mmh...”.

“Un sistema che ti permetta di usare pochi simboli (noi ne usiamo dieci), di distinguere tra unità, decine, centinaia, e così via. E di fare quindi i riporti”.

“Ah, ho capito”.

“Quando noi scriviamo 42 intendiamo 4 decine e 2 unità. Cioè 4×10+2”.

“Ah, ok, questo lo sapevo. Avevamo parlato anche della numerazione binaria, tempo fa. In quel caso è tutto basato sulle potenze di 2. Bene, ora ricordo tutto. E con gli ordinali dici che si fa un sistema in base ω?”.

“Sì. Se ripensi a tutti i calcoli che abbiamo fatto, noterai che un numero ordinale può contenere una parte finita, poi una parte che contiene ω, una parte che contiene ω², e così via. Puoi andare avanti quanto vuoi e costruire una torre di potenze di ω. Eccoti un esempio di un numero ordinale abbastanza complicato da scrivere:”.

ω^{ωω×7+42×272+ω3+84}×4+ω^ωω×6+3141.

“Ok, ci sono. Sommando, moltiplicando e facendo potenze possiamo ottenere tutti gli ordinali, e li possiamo scrivere in questo modo”.

“No, non è così, non tutti gli ordinali”.

“No? Eppure... se facendo qualunque operazione otteniamo un ordinale di quel tipo, cosa non riusciamo a scrivere?”.

“Noi riusciamo a scrivere in quel modo, che si chiama forma normale di Cantor, solo gli ordinali che si ottengono facendo un numero finito di somme, prodotti e potenze”.

“Ah, perché, possiamo farne anche un numero infinito?”.

“Stiamo o non stiamo parlando di infinito?”.

Verso l'infinito, ma con calma - torri di potenze

Abbiamo visto un esempio di potenza tra numeri ordinali: ω^ω. In generale la potenza di numeri ordinali può essere definita per induzione, ma dobbiamo ricordarci che si sta parlando di induzione transfinita, cioè di un procedimento tra numeri ordinali, e non “semplici” naturali.

“Poveri naturali, ridotti al rango di numeri semplici...”.

“Hai ragione, anche se la struttura degli ordinali è certamente più ricca e complessa”.

“Anche questo è vero. Ma cosa sarebbe questa induzione transfinita?”.

“Ricordi che abbiamo già parlato dell'induzione?”.

“Sì. Dicevamo che se una proprietà è vera per 0, e che se l'essere vera per un certo n implica che sia vera anche per n+1, allora la proprietà è vera sempre. Una specie di effetto domino”.

“Proprio così. Si basava sul concetto di successore di un numero: la proprietà valida per n si trasferisce su n+1, e così via. Possiamo formulare una proprietà analoga per gli ordinali”.

“Sì, in effetti anche per gli ordinali abbiamo il concetto di successore”.

“Giusto, ma ricordati che non tutti gli ordinali sono successori di qualche ordinale”.

“Ah, è vero. Mi avevi già fatto l'esempio di ω: non è successore di nessun numero”.

“Bravo. L'avevamo chiamato ordinale limite”.

“E come facciamo in questo caso?”.

“Dobbiamo formulare il principio di induzione in modo un po' diverso: per ogni ordinale b, se la proprietà P(a) vale per tutti gli ordinali a minori di b, allora vale anche P(b)”.

“Uhm”.

“Pensa a ω. Ricordi che ω è uguale a {0,1,2,...}?”.

“Sì, è la definizione”.

“E quali sono tutti gli ordinali minori di ω?”.

“Sono tutti i numeri naturali”.

“Bene. Dunque, se dimostri che una certa proprietà è vera per tutti i naturali, allora puoi dire che è vera anche per ω. Poi puoi continuare normalmente con ω+1, ω+2, e così via. Ogni volta che vuoi passare a un ordinale limite, devi considerare tutti gli ordinali minori”.

“Ok, ho capito”.

“Bene, ora possiamo parlare della definizione di potenza. Prima di tutto, diciamo che α⁰=1”.

“Ok, questo mi pare ragionevole”.

“Poi, sistemiamo tutti i successori: α^β+1=α^βα”.

“Ok. Per quanto riguarda i numeri naturali, questa è la solita regola”.

“Giusto. Ora il passo riguardante gli ordinali limite: se δ è un ordinale limite, allora α^δ è l'ordinale limite che si ottiene prendendo tutti gli α^β per tutti i β minori di δ”.

“Credo di aver capito. Come diventa, nel caso di ω^ω?”.

“Siccome ω è un ordinale limite, devi considerare tutti gli ω^β per tutti i β minori di ω, cioè per tutti i β naturali”.

“E quindi dovrei considerare l'ordinale limite che si ottiene prendendo tutte le potenze di ω una dopo l'altra?”.

“Sì: ω^ω = 1 + ω + ω² + ω³ + ...”.

“Ah, ora capisco meglio quella figura a spirale che mi hai fatto vedere. E adesso che abbiamo definito la potenza, possiamo naturalmente andare avanti quanto vogliamo?”.

“Certo. Ormai dovresti aver capito che con gli ordinali si può sempre andare avanti. Ecco una prima sequenza di ordinali:”.

ω^ω+1, ω^ω+2, ω^ω+3, ..., ω^ω+ω.

“Ah, l'ultimo è un nuovo ordinale limite”.

“Poi saliamo ancora:”.

ω^ω+ω×2, ω^ω+ω×3, ..., ω^ω+ω².

“Hai passato un altro limite”.

“E poi ancora:”.

ω^ω+ω²+1, ..., ω^ω+ω²+ω.

“Sempre più grande”.

“Ora vado un po' più in fretta:”.

ω^ω+ω³, ..., ω^ω+ω^ω = ω^ω×2, ω^ω×2+1, ..., ω^ω×3, ..., ω^ω×4, ..., ω^ω×ω=ω^ω+1.

“Wow, sei andato decisamente in fretta”.

“E poi ancora:”.

ω^ω+1+1, ..., ω^ω+1+ω, ... ω^ω+1+ω², ..., ω^ω+1+ω^ω, ..., ω^ω+2, ..., ω^ω+3, ..., ω^ω×2, ..., ω^ω×3, ..., ω^ω2.

“Anche le doppie potenze?”.

“Non solo doppie:”.

ω^ω2, ..., ω^ω3, ..., ω^ω4, ..., ω^ωω, ..., ω^ωω+1, ..., ω^ωωω, ..., ω^ωωωω.

“Mamma mia, e io che pensavo che ω fosse già abbastanza grande...”.

Verso l'infinito, ma con calma - Telegraph Road

Come moltiplicare i numeri ordinali? Partiamo da ordinali finiti: che significa la scrittura 3×2? Dobbiamo leggerla in questo modo: tre per due volte. E cioè, dobbiamo mettere due copie di 3 una di fianco all'altra:

{0,1,2}+{0,1,2}={0,1,2,0,1,2}.

Se ricontiamo, otteniamo {0,1,2,3,4,5}, cioè 6.

Se invece calcoliamo 2×3, dobbiamo mettere tre copie di 2 una di fianco all'altra:

{0,1}+{0,1}+{0,1}={0,1,0,1,0,1}.

Anche in questo caso, dopo aver ricontato, si ottiene 6.

“Sembra commutativa”.

“Certo, con gli ordinali finiti tutto è normale.”.

“Vuoi dire che con quelli infiniti le cose cambiano?”.

“Sì. Prova a calcolare 2×ω”.

“Uhm, 2 per ω volte. Vediamo, dovrei scrivere una cosa del genere:”.

{0,1,0,1,0,1,...}

“Giusto. Se riconti, ti accorgi subito che ottieni ω”.

“È vero. Dici che se provo a calcolare ω×2 ottengo un risultato diverso?”.

“Prova”.

“Allora, in questo caso ho due copie di ω, quindi posso scrivere così:”.

{0,1,2,...,0,1,2,...}

“Giusto. Ti sembra ancora uguale a ω?”.

“Eh, no, qui ci sono due numeri che non sono successori di nessun numero, cioè i due zeri. Questo è ω+ω”.

“Ottimo. Quindi ω×2 = ω+ω”.

“Ho capito. Allora potrei calcolare anche ω×3, poi ω×4, e così via. Posso calcolare anche ω×ω?”.

“Sì. Prova a scriverlo”.

“Uh, qui servono tanti puntini. Vediamo, posso scrivere così:”.

{0,1,2,...,0,1,2,...,0,1,2,...,...}

“Non sono tanto belli quei puntini finali”.

“Lo so, ma se non li scrivo non si capisce che l'insieme è diverso da ω×3”.

“Hai ragione. Ti mostro un sistema alternativo per rappresentare questo numero:”.

“Wow, ma che roba è?”.

“Immagina che il primo segmento verticale sia lo 0 iniziale”.

“Bene”.

“Il secondo è il primo 1”.

“Vedo che è un po' più corto del primo”.

“Sì, è una specie di rappresentazione in prospettiva. Se noti, ogni segmento è più corto del precedente. I vari segmenti si rimpiccioliscono e si infittiscono, come se andassero verso l'infinito”.

“Ah, ora vedo! Come i pali del telegrafo che corrono a fianco di una strada”.

“Proprio così. E in questa figura sono rappresentate ω linee del telegrafo, sempre più lontane. Questo è ω×ω, cioè ω²”.

“E dopo avremo anche ω³, suppongo?”.

“Supponi bene. Poi ω⁴, ω⁵, e così via”.

“Fino a ω^ω?”.

“Fino a quello, e oltre”.

“Fermiamoci un attimo a quello, che mi sembra già abbastanza grande. Come potremmo rappresentarlo?”.

“È ancora più difficile, perché comprende troppi livelli di infinito per poterlo rappresentare ancora come un insieme di pali del telegrafo. Un modo è quello di rappresentare una spirale. Ad ogni giro hai una potenza di ω, quindi ad ogni giro i segmenti si avvicinano sempre più in fretta”.

“Mamma mia”.

“Sì, fa girare la testa... ω^ω si ottiene affiancando tutti gli schemi per 1, ω, ω², ω³,...”.

“Basta, basta, fa girare la testa davvero. Mi piacerebbe vedere la figura”.

“Eccola”.

Verso l'infinito, ma con calma - somme non commutative

Con i numeri ordinali la proprietà commutativa non vale più. Abbiamo visto che 1+ω è uguale ancora a ω, mentre ω+1 è un numero diverso. Più precisamente, ω+1 è il successore di ω: avevamo infatti detto che ogni ordinale è l'insieme di tutti gli ordinali che lo precedono, e che quindi il successore di ogni ordinale α è α ∪ {α}. Come 3 è uguale a 2 ∪ {2}, cioè {0,1} ∪ {2} = {0,1,2}, così ω+1 è uguale a ω ∪ {ω}, cioè {1,2,...,ω}.

“Ma allora come dobbiamo fare se vogliamo calcolare una somma un po' più complicata di ω+1?”.

“Ci aiutiamo con le parentesi, e stiamo attenti all'ordine. Per esempio, supponiamo di voler calcolare la somma tra ω+ω+1 e ω+4”.

“Ok. La facciamo nei due modi possibili?”.

“Sì. Cominciamo da (ω+ω+1)+(ω+4)”.

“Va bene. Allora, io scriverei una cosa del genere:”.

{0,1,...,0,1,...,0}+{0,1,...,0,1,2,3}

“E quanto fa?”.

“Boh? Come faccio a saperlo?”.

“Devi ricontare tutto, per vedere se puoi semplificare qualcosa”.

“Allora forse è meglio se prima metto tutto in fila, togliendo le parentesi intermedie”.

{0,1,...,0,1,...,0,0,1,...,0,1,2,3}

“Perfetto. Ricordati che i simboli uguali devono essere sempre considerati diversi, e che al posto dei puntini ci sono infiniti numeri. Ora prova a ricontare”.

“Dunque, vediamo: il primo pezzo 0,1,... corrisponde a ω”.

“Giusto”.

“Anche il secondo pezzo 0,1,... corrisponde a un altro ω”.

“Bene”.

“Poi c'è 0,0,1,... Però, se riconto, anche questo corrisponde a ω. È analogo all'albergo di Hilbert: ho aggiunto un elemento all'inizio, spostando di un posto tutti gli altri”.

“Perfetto”.

“Rimane 0,1,2,3. Bé, questo è facile, è uguale a 4”.

“Giusto. Riassumendo?”.

“Riassumendo: (ω+ω+1)+(ω+4) = ω+ω+ω+4”.

“Ottimo. Ora prova a calcolare (ω+4)+(ω+ω+1)”.

“Ok, vado. Il risultato si dovrebbe scrivere così”.

{1,2,...,0,1,2,3,0,1,...,0,1,...,0}

“Giusto. Ricontando come diventa?”.

“Allora, abbiamo un ω all'inizio, poi la sequenza 0,1,2,3,0,1,... è un altro ω, poi un terzo ω e infine un 1. Se ho fatto bene i conti, risulta ω+ω+ω+1. Diverso dal risultato precedente”.

“Proprio così. In generale, due numeri ordinali possono essere sommati in due modi diversi”.

“Ho capito. Tre ordinali potranno essere sommati in sei modi diversi, quattro in ventiquattro, eccetera”.

“Invece no”.

“Ho sbagliato i calcoli? Eppure, non mi sembra...”.

“No, i calcoli in sé vanno bene. Il fatto è che con gli ordinali alcuni risultati coincidono. Per esempio, quando sommi tre ordinali non hai sei possibilità, ma solo cinque, perché due di queste possibilità coincideranno sempre”.

“Uhm”.

“La dimostrazione del caso generale è complicata, sta in un articolo di 13 pagine pubblicato dalla rivista scientifica Fundamenta Mathematicae”.

“Wow. Cosa dice il caso generale?”.

“Dice che il numero più grande possibile di somme distinte di n numeri ordinali, per n che va da 1 in poi, segue questa successione:”.

1, 2, 5, 13, 33
81, 193, 449, 33², 33×81,
81², 81×193, 193², 33²×81, 33×81²,
81³, 81²×193, 81×193², 193³, 33×81³,
e da qui in poi moltiplichi per 81 la riga precedente:
81⁴, 81³×193, 81²×193², 81×193³, 33×81⁴, ...

“Posso permettermi un commento?”.

“Lo so, è una schifezza”.

Verso l'infinito, ma con calma - somme di ordinali

Per poter parlare di somme di ordinali serve una semplice definizione: diciamo che C è il concatenamento dei due insiemi bene ordinati A e B se C è ottenuto unendo A e B in modo tale che all'interno di A e di B sia mantenuto l'ordinamento che già avevano prima, che tutti gli elementi di A siano minori di tutti gli elementi di B, e che gli elementi di A e di B vengano considerati distinti.

“Mamma mia, questa è una definizione da Vero Matematico”.

“Ma no, è semplice, con un esempio si capisce subito”.

“Sarà. Vediamo l'esempio”.

“Cominciamo da due insiemi finiti: A = {1,2,3} e B = {a,b,c,d}. L'insieme C è semplicemente {1,2,3,a,b,c,d}”.

“Tutto qua?”.

“Ti avevo pur detto che è semplice. Nota che tutti gli elementi di A e di B hanno mantenuto il loro ordine iniziale, in più ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B”.

“Va bene, è facile. Noi però vogliamo parlare di somme di ordinali”.

“Vero. Prendiamo allora due ordinali finiti, per esempio 3 = {0,1,2} e 4 = {0,1,2,3}”.

“Mh, questa volta se facciamo l'unione otteniamo {0,1,2,0,1,2,3}, che però sarebbe uguale a {0,1,2,3}”.

“Infatti così non va bene. Devi ragionare immaginando un'operazione preliminare: bisogna cambiare nome agli elementi di B, anche solo mettendo un segno ad ognuno. Per esempio, prova con questi due insiemi: 3 = {0,1,2} e 4 = {0',1',2',3'}”.

“Ah, ok, in questo modo ottengo {0,1,2,0',1',2',3'}. Assomiglia all'esempio che hai fatto prima con {1,2,3} e {a,b,c,d}”.

“Infatti è lo stesso esempio, in cui abbiamo cambiato nome agli elementi dell'insieme. Noterai anche che l'insieme che abbiamo ottenuto è bene ordinato, ed è quindi in corrispondenza con un ordinale”.

“Ma i Veri Matematici fanno così? Perché non mi sembra una definizione da Vero Matematico, questa”.

“Bé, non fanno proprio così. Volendo essere più rigorosi, invece di rinominare gli elementi del secondo insieme quando sono uguali a quelli del primo, considerano due nuovi insiemi: il primo formato da coppie del tipo (a,0), dove a è un elemento di A. Il secondo formato da coppie del tipo (b,1), dove b è in B. In questo modo tutti gli elementi del primo tipo sono certamente diversi da quelli del secondo tipo”.

“Ho capito. In questo caso otterremmo un insieme fatto così: {(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(2,1),(3,1)}. È vero che è bene ordinato, come dicevi prima, ma non è un ordinale nella sua forma standard”.

“Puoi convertirlo nella forma standard rinominando i suoi elementi ancora una volta, partendo da 0 e andando avanti. In questo modo ottieni {0,1,2,3,4,5,6}”.

“Che sarebbe l'ordinale 7”.

“Perfetto, questa è la somma: hai dimostrato che 3+4=7”.

“Va bene, ma questi giochini funzionano con gli ordinali finiti. Se invece li prendiamo infiniti?”.

“Se invece li prendiamo infiniti le cose si complicano un po'”.

“Capirai”.

“Per esempio, proviamo a calcolare 1+ω. Concordiamo di non rinominare gli elementi, in questo modo la scrittura è più semplice, va bene?”.

“Ok, se vedo qualche numero che si ripete so che va considerato come un elemento diverso dai precedenti”.

“Bene. Allora, 1 = {0}, mentre ω = {0,1,2,...}. Quindi come risulterebbe l'insieme somma?”.

“Facile: {0,0,1,2,...}”.

“Bene. Con quale insieme è in corrispondenza biunivoca? Attenzione che deve essere una corrispondenza che conserva l'ordine”.

“Facile anche questo, perché è l'esempio dell'albergo di Hilbert. Se riconto tutto, è in corrispondenza con {0,1,2,...}”.

“Perfetto. Dunque 1+ω=ω”.

“Come con i cardinali?”.

“Esatto: 1+ℵ₀=ℵ₀. Ma prova ora a calcolare ω+1”.

“Non l'abbiamo appena fatto?”.

“No, abbiamo fatto 1+ω, e sai che i Veri Matematici sono molto pignoli su queste cose. Se c'è scritto ω+1, calcola ω+1 secondo la definizione”.

“Vabbé, anche se non capisco l'utilità. Dovrebbe risultare {0,1,2,...,0}. Uhm...”.

“Cominci a capire?”.

“Già. Mi ricorda l'esempio che avevi fatto con {0,1,2,...,Gigante}”.

“Esatto. Ricordi che non si riesce a fare una corrispondenza biunivoca tra quell'insieme e {0,1,2,...}? O meglio, non si riesce a fare una corrispondenza biunivoca che conserva l'ordine”.

“È vero. Il secondo 0 dovrebbe essere un elemento maggiore di tutti gli altri, ma non riesco a metterlo in corrispondenza biunivoca con nessun elemento di {0,1,2,...}, perché quest'ultimo insieme non contiene un elemento con quella caratteristica”.

“E dunque ω+1 è diverso da ω”.

“Già”.

“Volendo essere più precisi, ω+1 è maggiore di ω: lo avevamo notato quando abbiamo parlato dell'ordinamento degli ordinali”.

“Giusto. E quindi... oh oh”.

“Che succede?”.

“Stavo pensando... ma allora possiamo fare anche ω+2, ω+3, e possiamo andare avanti sempre...”.

“Vedo che ti si è accesa una lampadina”.

“E allora potremmo anche scrivere ω+ω!”.

“Fattoriale?”.

“No, stupore!”.

Verso l'infinito, ma con calma - ordinali in ordine

Sembra un gioco di parole, ma è possibile stabilire un ordinamento tra gli ordinali. Per farlo, occorre una definizione preliminare: dato un insieme bene ordinato A, si chiama segmento iniziale di un elemento x appartenente ad A l'insieme di tutti gli elementi che precedono x nell'ordinamento stabilito su A, e lo si indica con s(x).

Per esempio, se A è l'insieme dei numeri naturali, s(3)={0,1,2}.

A questo punto possiamo definire l'ordinamento tra gli ordinali. Dati i due ordinali α e β, se esiste una corrispondenza biunivoca che conserva l'ordine tra α e un segmento iniziale di β, diciamo che α è minore di β. Viceversa, se esiste una corrispondenza biunivoca che conserva l'ordine tra un segmento iniziale di α e β, allora diciamo che β è minore di α. Se poi esiste una corrispondenza biunivoca che conserva l'ordine tra α e β, allora α è uguale a β.

“Non ci ho mica capito molto, sai?”.

“Esempio facile: sono dati i due ordinali 3 e 5. Ricordi che sono insiemi, vero?”.

“Sì, 3 è uguale a {0,1,2} mentre 5 è uguale a {0,1,2,3,4}”.

“Ottimo. È vero che esiste una corrispondenza biunivoca tra i due?”.

“No”.

“Ed è vero che puoi mettere in corrispondenza biunivoca uno dei due con un segmento dell'altro?”.

“Sì: in pratica il primo insieme è un segmento del secondo. Metto in corrispondenza lo 0 del primo insieme con lo 0 del secondo, poi 1 del primo insieme con 1 del secondo, poi 2 del primo col 2 del secondo. Rimangono fuori, dal secondo, 3 e 4”.

“Bene, secondo la definizione allora 3 è minore di 5”.

“Ah, certo. Non è che prima non lo sapessi, eh”.

“Lo so, ma questo era un esempio semplice, per capire. Ora prendi questi due insiemi:”.

{0,1,2,...}
{0,1,2,...,Gigante}

“Ah, me li ricordo. Avevamo detto che non si riesce a metterli in corrispondenza biunivoca se si vuole mantenere l'ordine”.

“Esatto. Ma prova a considerare questo segmento iniziale del secondo: s(Gigante)”.

“Uhm, è formato da tutti gli elementi minori di Gigante”.

“Giusto, quindi?”.

“Quindi è l'insieme dei naturali. Ah! Ci sono: esiste una corrispondenza biunivoca che mantiene l'ordine tra il primo insieme e un segmento del secondo”.

“Allora, se li vediamo come ordinali, il primo è minore del secondo”.

“Il primo l'abbiamo chiamato ω, ma il secondo?”.

“Daremo un nome al secondo quando impareremo a fare le operazioni”.

“Uffa”.

“Per adesso, ragiona su questo tipo di ordinamento”.

“Che ragionamenti devo fare?”.

“Per prima cosa, dato un ordinale, possiamo dire che esiste sempre il successivo”.

“Uhm, con i numeri naturali è ovvio, ma con gli ordinali transfiniti come si fa?”.

“Devi tener presente che ogni ordinale è l'insieme di tutti gli ordinali che lo precedono. Ad esempio, 4 = {0,1,2,3}. Ma il successivo di 4 è 5, e 5 è uguale a {0,1,2,3,4}. Dunque potresti scrivere che 5 = 4 ∪ {4}”.

“Aspetta, aspetta: qui stai facendo operazioni tra insiemi?”.

“Esatto, non pensare a 4 come a un numero, ma come all'insieme {0,1,2,3}”.

“Ah, allora vuoi dire che 5 è uguale all'unione di {0,1,2,3} con {4}. Ok, così torna”.

“Bene, allora per ogni numero ordinale possiamo fare questo giochetto: il successivo di α è α ∪ {α}”.

“Mh, allora il successivo di ω cosa sarebbe? ω unito con {ω}?”.

“Esatto. Il successivo di ω è uguale a ω ∪ {ω}, cioè {0,1,2,...,ω}”.

“Questo mi ricorda l'insieme di prima, {0,1,2,...,Gigante}”.

“Effettivamente è lui. Ma prima che ti torni in mente di chiedermi come si chiama, ti faccio notare che sebbene ogni ordinale ammetta un successore, non è vero il contrario”.

“Cioè?”.

“Cioè non tutti gli ordinali sono successori di qualche altro ordinale”.

“Non è possibile! Se il successore di 4 è 5, allora 5 è successore di 4, no?”.

“Senza dubbio. Ma puoi dirmi di quale ordinale è successore ω?”.

“...”.

“Di nessuno, vero?”.

“Già”.

“E allora lo chiamiamo ordinale limite. Vedi, gli ordinali sono insiemi bene ordinati, e quindi hanno sempre un minimo. Ma non è detto che abbiano un massimo. Se ce l'hanno, allora sono successori di qualche ordinale. Per esempio, 4 = {0,1,2,3}. Il massimo è 3, dunque 4 è successore di 3. Ma ω = {0,1,2,...} non ha massimo, e quindi non è successore di nessun ordinale”.

“Ok, va bene. Mi è venuto in mente che anche 0 non è successore di nessun ordinale”.

“Giusto, però lo escludiamo dalla definizione di ordinale limite. L'insieme vuoto è sempre un po' speciale”.