Carnevale della Matematica numero 97

Buongiorno e benvenuti al Carnevale della Matematica numero 97, il carnevale che rompe con le tradizioni. Tradizioni che vorrebbero, infatti, che la parte iniziale del Carnevale fosse dedicata alle proprietà del numero che caratterizza il carnevale stesso — ma, diciamocelo, vogliamo davvero un copia-incolla della voce presente in Wikipedia? Ebbene, no.

Quindi, celebriamo il più grande numero primo di due cifre (quando scritto in base 10) declamando il verso ad esso associato nella poesia gaussiana, e cioè sul pino, per poi passare direttamente ai contributi, tutti rigorosamente scritti avendo presente il tema di oggi, che è I Giochi.

---

Sapevate che esiste una rivista di storia della scienza su Medium redatta da autori italiani? Ebbene, esiste. Si chiama Through the optic glass, ci scrive sopra anche Dioniso, che ci segnala una revisione, o una nuova edizione, dei primi articoli della sua serie sulla storia della matematica. Eccoli qua:

I primi passi del pensiero matematico

Talete

Pitagora I - La nascita e i viaggi

Pitagora II - Crotone e la scuola: matematici e acusmatici

Pitagora III - la famiglia, Muia, Teano e il ruolo delle donne nella scuola

Pitagora IV - Qual è la scoperta più importante dei pitagorici?

Pitagora V - Ippaso, l’incommensurabile e il crollo della scuola

Infine, Dioniso ha anche scritto Musica e numeri per Voltalacarta, una relazione sul legame tra musica e numeri fatta per l'associazione culturale Voltalacarta di Heidelberg.

---

Nel 1878 il giovane matematico francese François Proth pubblicò una breve nota contenente quattro teoremi sui numeri primi: uno di questi è oggi conosciuto come teorema di Proth e riguarda numeri nella forma h × 2^k + 1. Come succede sempre in matematica, i teoremi che portano il nome di un matematico non sono stati dimostrati da quel matematico. O, meglio, in questo caso Proth scrisse di possedere la dimostrazione, ma non la pubblicò. Dato che si sta parlando di una dimostrazione che sta in meno di cinque righe, i Veri Matematici sono propensi a credergli, anche se la prima dimostrazione scritta sembra essere quella di Robinson, pubblicata nel 1957. Comunque siano andate le cose, il teorema di Proth può essere usato come test per trovare numeri primi grandi, e sappiamo bene quanto questi numeri piacciano ai matematici e ai crittografi. Dato che 3 × 2⁵ + 1 fa 97, possiamo dire che 97 è uno dei numeri primi di Proth. Il più grande di questi numeri ad oggi noto è 19249 · 2^13018586 + 1, che è composto da 3,918,990 cifre ed è il più grande numero primo noto non facente parte della categoria degli enormi numeri di Mersenne.

Annalisa Santi ha scritto, per Matetango, un post che parla di uno dei più antichi indovinelli matematici, e cioè il problema numero 79 del papiro di Rhind. Sarà un caso il fatto che il numero del problema si ottiene invertendo le cifre di 97?

---

Ma parliamo ora di cose inutili (non che finora si sia fatto altro, ma non sottilizziamo). C'è un giochino matematico che funziona in questo modo: si parte dal numero 1, e poi si generano nuovi numeri seguendo questa regola: ogni nuovo numero che aggiungiamo deve essere tale per cui tutte le somme che si possono fare con i numeri che abbiamo scritto devono essere tutte distinte.

Per capirci: se ho un numero solo, e cioè 1, posso calcolare solo la somma di 1 con sé stesso, che è ovviamente unica. Se aggiungo il numero 2 alla lista si possono formare le seguenti somme: 1 + 1, 1 + 2, 2 + 2, che danno tre risultati distinti. Se ora provassi ad aggiungere 3 alla lista, scoprirei che due somme si ripetono: 1 + 3 = 2 + 2. Quindi 3 non può appartenere alla lista, mentre 4 invece funziona: le somme 1 + 1, 1 + 2, 1 + 4, 2 + 2, 2 + 4, 4 + 4 sono tutte distinte.

La successione prosegue con 8, 13, 21, eccetera, e ci pare bello notare il fatto che l'undicesimo termine sia 97.

Juhan ha analizzato, dal punto di vista dei linguaggi di programmazione, ma non solo, un giochino giapponese che è diventato famoso in breve tempo. In sostanza si tratta di capire se 3:1:3 e 3:1/3 siano o no la stessa espressione. Dopo averci pensato un po', andate a vedere cosa fanno alcuni software molto famosi.

---

Tutti conoscono la dimostrazione di Euclide sull'infinità dei numeri primi, ma riprendiamola un momento per chi avesse un momentaneo lapsus. Supponiamo che i numeri primi siano in numero finito, dice Euclide, consideriamo il loro prodotto, e sommiamo 1. Il numero che otteniamo dovrebbe essere composto, dato che i numeri primi li abbiamo già usati tutti e non ce ne sono più, ma se fosse davvero composto per quale numero sarebbe divisibile? Non per il primo dei nostri numeri primi, dato che il resto della divisione sarebbe uguale a 1. Nemmeno per il secondo, anche in questo caso il resto sarebbe uguale a 1. Ma allora nemmeno per il terzo, il quarto, e così via. E dunque? Dunque il numero che abbiamo ottenuto dovrebbe essere un nuovo numero primo, ah, ma avevamo detto che non ce n'erano più, assurdo.

Proviamo: partiamo da 2, numero primo. Aggiungiamo 1, otteniamo 3, non è divisibile per 2, è un nuovo numero primo. Ora moltiplichiamo 2 per 3, aggiungiamo 1, otteniamo 7, altro numero primo. Andiamo avanti:

2 × 3 × 7 + 1 = 43, primo.

2 × 3 × 7 × 43 + 1 = 1807, ehi, non è primo, Euclide si è sbagliato! No, in effetti 1807 è uguale a 13 × 19, nessuno dei quali fa parte della nostra lista di numeri primi. Allora aggiungiamo il minore: 13.

2 × 3 × 7 × 43 × 13 + 1 = 23479 = 53 × 443, aggiungiamo 53.

2 × 3 × 7 × 43 × 13 × 53 + 1 = 1244335 = 5 × 248867, aggiungiamo 5.

2 × 3 × 7 × 43 × 13 × 53 × 5 + 1 = 6221671, primo, aggiungiamolo.

E, insomma, avete capito, si va avanti così generando nuovi primi alla maniera di Euclide. Questa successione si chiama successione di Euclide-Mullin, di cui non si sa tanto. Per esempio, non si sa se contiene 41; si sa invece che al ventiseiesimo posto possiamo trovare il numero 97.

.mau. ha scritto come al solito una buona percentuale di tutto il Carnevale. Ecco allora, pubblicati sul Post, Ausilii per le moltiplicazioni, che racconta di quando non esistevano le calcolatrici e si faceva tutto a mano; e Quante cifre di pi greco ci servono davvero? Non tante, in realtà.

Sulle Notiziole ha invece questa notevole lista: Conferenze per matematici girelloni dove segnala due conferenze internazionali di matematica ricreativa; un ricordo di Solomon Golomb, l'uomo dei pentamini e dei regoli omonimi; una notiziola di povera matematica, "stimati con precisione". I quizzini della domenica sono Case gialle e case blu e Attraversare un fiume; le recensioni sono Leonardo's Mirror and Other Puzzles di Ivan Moskovich (recensione breve: molto colorato, alcuni giochi carini) e Uncommon Mathematical Excursion di Dan Kalman (recensione breve: a livello universitario, ma molto interessante per la prospettiva non standard sui temi di analisi trattati nel testo).

---

Un tale di nome Martin Gardner — uno che di giochi ne sapeva un po' — scrisse, tempo fa, un libro intitolato Time Travel and Other Mathematical Bewilderments in cui presentava il seguente problema, intitolato Self Numbers. Il problema ha una presentazione, ovviamente. Eccola.

D. R. Kaprekar, dice Martin, è un matematico minuto, ma con un grande cervello e un grande cuore, che vive in India (o, meglio, viveva ai tempi in cui l'articolo è stato scritto, perché è morto nel 1986). Per più di quarant'anni ha scritto contributi originali nel campo della teoria dei numeri ricreativa (dice proprio così, chissà se esistono corsi universitari sulla teoria dei numeri ricreativa), ha pubblicato articoli su riviste specializzate indiane, e ha anche pubblicato un elevato numero di libretti scritti in inglese un po' traballante.

Kaprekar è conosciuto, fuori dall'India, sopratutto per la scoperta della cosiddetta costante di Kaprekar, che possiamo presentare in questo modo. Partiamo da un qualunque numero di quattro cifre in cui non tutte le cifre sono uguali. Riordiniamo le cifre in ordine decrescente, poi creiamo un nuovo numero invertendo le cifre appena scritte. Sottraiamo il nuovo numero dal primo numero, e ripetiamo il procedimento. In un massimo di otto passi si arriva a 6174, la costante di Kaprekar.

Per esempio, partiamo da 2111, creiamo 1112, sottraiamo 2111 − 1112 = 0999
Ora calcoliamo 9990 − 0999 = 8991
Proseguiamo: 9981 − 1899 = 8082
8820 − 0288 = 8532
8532 − 2358 = 6174
Ed ecco fatto: 7641 − 1467 = 6174.

Ma veniamo alla nuova scoperta di Kaprekar: i self-numbers, numeri che si fanno da sé, di cui si è parlato per la prima volta fuori dall'India nell'aprile del 1974, sul The American Mathematical Monthly (pagina 407). Per capire cosa siano questi numeri che si fanno da sé, è opportuno prima di tutto comprendere un procedimento detto digitadition (digitaddizione? addigitazione? fate voi). Funziona così: preso un qualunque intero positivo, lo si deve sommare alla somma delle sue cifre. Per esempio, a partire da 47 si deve calcolare 47+4+7=58. Il numero 58 viene detto generato da 47, e 47 è detto generatore. Il processo può poi essere ripetuto: 58+5+8 fa 71, 71+7+1 fa 79, eccetera. Non è ancora stata trovata una formula non ricorsiva che generi la successione dei numeri digitaggiunti.

Possiamo (ovviamente) porci alcune domande: possono esistere più generatori per uno stesso numero? La risposta è sì, ma non fino a che i numeri non superano 100: il primo numero con due generatori è 101, generato da 91 e 100. Esistono numeri non generati da nessun altro numero, cioè numeri che si fanno da sé? Ebbene, sì, ne esistono infiniti, e se li mettiamo in ordine crescente al tredicesimo posto troviamo 97.

Roberto Natalini ha mandato una serie quasi infinita di interventi, scritti da varie persone. Facciamo un po' di ordine:

Il nuovo Comics&Science: Lupo Alberto, materia oscura.
Il 12 maggio al Salone del libro di Torino (clic qui per l'evento) è stato presentato il nuovo albo Comics&Science, contenente tra l'altro un fumetto originale di Lupo Alberto, con testi di Francesco Artibani e disegni di Silver.

Anteprima Archimede: Matematica alla Maturità, raccolta dei temi assegnati all'esame di Stato di Liceo Scientifico (ndz: è la raccolta più completa che io abbia mai visto, sfogliatela).
Nel numero 2/2016 di Archimede, che uscirà alla fine del mese di giugno, ci sarà questo articolo di Luciano Battaia, che presenta una raccolta completa dei temi di matematica assegnati all'esame di stato dei Licei Scientifici a partire dal 1923 (sic!), curata dallo stesso Battaia e da Ercole Suppa. Viene pubblicato in anteprima esclusiva su MaddMaths!, sperando di fare cosa gradita a tutti gli studenti e insegnanti interessati.

Il problema non è la matematica, ma il modo in cui viene insegnata.
Alcuni critici, tra cui Simon Jenkins, pensano che la matematica (eccetto quella di base) non serva assolutamente a nulla. Questo è il risultato di curricula scolastici privi di fantasia. Un articolo della medaglia Fields Tim Gowers, comparso su The Guardian e tradotto da Elena Toscano.

La matematica e il Piano Nazionale della ricerca: un appello al ministro Giannini.
Maddmaths! pubblica una lettera dei presidenti di alcune tra le maggiori società matematiche italiane al Ministro Giannini a proposito del nuovo Piano Nazionale della Ricerca.

Documento di riflessione dell'Unione Matematica Italiana sui risultati OCSE-PISA 2012.
Il Consiglio Scientifico dell'Unione Matematica Italiana ha approvato un documento di riflessioni sui risultati degli studenti italiani nella parte matematica dei test OCSE-PISA. L’UMI ritiene infatti opportuno utilizzare questa occasione per una riflessione su quanto è emerso nella passata edizione che vada al di là di un’impressione, o di un titolo, più o meno allarmistici, con l’obiettivo di individuare indicazioni significative per l'importante dibattito sulla formazione matematica dei nostri studenti.

La matematica umida dell'evoluzione #9. "The Last Woman, volume I.
Benvenuto nel primo volume di un progetto a cui tengo molto, che mi rappresenta come madre, moglie e donna. Il mio nome è Mary Shelley… Uno spin-off de "La matematica umida dell'evoluzione", a cura di Davide Palmigiani.

Madd-Spot #2, 2016 - "Cellular Potts Model" e applicazioni biomediche.
Gli individual cell-based models (IBM) sono modelli matematici che riproducono individui biologici, caratterizzati dalle dimensioni tipiche di una cellula, che sono in grado di rivelare come comportamenti anomali di singole cellule possono portare a malformazioni di interi aggregati. Il Cellular Potts Model (CPM) è un metodo stocastico di tipo Monte Carlo, in cui l’evoluzione del sistema biologico in esame è guidata da un principio di minimizzazione di energia. Negli ultimi anni il CPM è stato applicato a specifici problemi biologici e biomedici, originati dalla collaborazione con centri sperimentali. In particolare, sono stati riprodotti esperimenti di tubulogenesi tumorale. Capiamone di più nel Madd-Spot firmato da Marco Scianna, ricercatore in Fisica Matematica presso il Dipartimento di Scienze Matematiche “G. L. Lagrange” del Politecnico di Torino. Una rubrica a cura di Emiliano Cristiani.

Nicola Ciccoli: I miei libri di matematica.
Leggere un libro di matematica non è come leggere un libro di letteratura. Non si inizia necessariamente da pagina uno, non si finisce necessariamente all’ultima pagina. Nicola Ciccoli ci conduce tra le sue letture giovanili di matematica. Qui la prima puntata e qui la seconda.

Sapiens vs Neanderthal: ne rimarrà solo uno.
Gli archeologi sostengono che l'estinzione dei Neanderthal a causa degli umani moderni fu legata alla competizione interspecifica per differenze nel livello culturale. Vediamo di capire meglio cosa può essere successo con un po’ di matematica, in base ad un articolo recentemente apparso su PNAS. Di Davide Palmigiani.

Infine, due articoli sulla quintessenza dei giochi matematici:

Olimpiadi di Matematica — Finali nazionali 2016.
Nello scorso fine settimana si è tenuto su MaddMaths! l'appuntamento con le finali delle Olimpiadi di matematica. Il primo appuntamento è stato con il liveblogging dei momenti salienti delle semifinali delle gare a squadre, venerdì 6 maggio a partire dalle 15, mentre sabato 7 maggio dalle 9 la finale a squadre è stata seguita minuto per minuto.

EGMO 2016: tre medaglie per l'Italia alle Olimpiadi Femminili Europee di Matematica.
Dal 10 al 16 aprile si è tenuta a Busteni, Romania, la quintaEuropean Girls' Mathematical Olympiad (EGMO). Hanno partecipato 147 concorrenti in rappresentanza di 39 nazioni (31 europee e 8 ospiti). La squadra italiana, accompagnata da Alessandra Caraceni e Giada Franz, si è fatta onore. Di Luigi Amedeo Bianchi.

---

Doctor Who è una serie televisiva molto famosa che io non ho mai visto, ahimé, lo so, prima o poi dovrò porre rimedio alla cosa. Ho letto che nel 2007 andò in onda un episodio, intitolato 42 (già questo dovrebbe bastare) in cui una sequenza di numeri primi felici venne usata come codice per aprire una certa porta su un'astronave. Nessuno su quell'astronave, a parte il Dottore, sapeva cosa fossero questi fantomatici numeri felici, al che il nostro eroe si domandò se per caso non venisse più insegnata nelle scuole la materia matematica ricreativa. Ebbene, se non volete trovarvi a disagio davanti alla porta chiusa di un'astronave, forse dovreste sapere che un numero si dice felice quando il processo di prendere le sue cifre, elevarle al quadrato, sommarle, e ripetere tutto, converge al numero 1.

Per esempio, se partite da 2, ottenete 4, poi 16, poi 37 (uguale a 1² + 6²), poi 58 (3² + 7²), poi 89, 145, 42, 20, e si ricomincia. La successione non arriva mai a 1, e quindi il numero 2 si dice triste (già).

Se invece partite da 97, ecco quello che succede: 130, 10, 1. Quindi 97 è un numero felice.


Gianluigi Filippelli ha scritto Le partizioni cicliche del Cappellaio Matto: per la serie dei Rompicapi di Alice un metodo, tratto dal numero speciale dedicato a Martin Gardner del College Mathematical Journal del 2012, per calcolare alcune particolari partizioni che possono venire in mente durante un classico tea party.

---

Il periodo decimale di 1/97 raggiunge il massimo della lunghezza, pari a 96. Alexander Aitken, un calcolatore fulmineo che era anche professore di matematica all'Università di Edimburgo, lo conosceva a memoria.

Certamente non lo aiutava granché il fatto che iniziasse con le potenze di 3 (in quanto 97 = 100 − 3):

1/97 = 0.010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567…


Annarita Ruberto in Math Mahjong Game: Gioca con le Quattro Operazioni ci racconta, invece, di una variante del Mahjong in cui, per progredire nel gioco, occorre eseguire alcune operazioni.

---

L'Hebdarole (termine che probabilmente ha anche una traduzione in italiano, che io non conosco) è un oscillatore di periodo 7 che vive nella matrice di Life. Non sapete di cosa si stia parlando? Leggete le prossime righe, allora (non prima di aver contato il numero di celle di cui è composto l'Hebdarole stesso: sono 97).

Leonardo Petrillo ha scritto, sul Tamburo Riparato, un post che ci racconta gli aspetti fondamentali e molte curiosità sul Gioco della Vita, ideato da John Horton Conway nel 1970.

---

“Perché mai Kurt Russell, che nell’originale si chiama Snake e che ha un colossale cobra tatuato, mostrando una inoppugnabile coerenza tra nome e tatuaggio, in italiano l’hanno chiamato Iena? Perché? Perché? Perché? Non lo saprò mai…” — Piotr, commentando un film che parla del '97.

E veniamo infine ai Rudi Mathematici, che mi hanno mandato il materiale poco meno di 24 ore fa, 'sti disgraziati.

L’enigma della Monaca: continua la serie dei Canterbury Puzzles.

Il compleanno del grande Kolmogorov.

Per la tradizionale soluzione al problema del mese ecco quel che è emerso in “L’egocentrismo di Teseo”.

Breve interludio puramente enigmistico: una crittografia (però del tutto irrisolvibile da un enigmista che non abbia almeno sfiorato le gioie del calcolo differenziale).

Per la lunga serie dei Paraphernalia, si procede ancora un po’ con la teoria dei giochi.

E chiudiamo in bellezza con la prestigiosa rivista di matematica ricreativa: RM208.

---

Grazie a tutti, anche ai ritardatari; il Carnevale finisce qua, il prossimo sarà ospitato da .mau. sul Post e avrà, come tema, le curiosità.

Gli orologi di Fourier — 1. Homer Simpson destrutturato

“Guarda che bello!”.

“Ma cos'è?”.

“Un orologio…”.

“…con le lancette che vanno al contrario”.

“Eh, vabbé, è un orologio matematico. L'importante è che abbia almeno due lancette che si muovono a velocità diversa”.

“Almeno? Quante lancette vuoi?”.

“Un numero qualsiasi, basta che ruotino a velocità diverse”.

“Un orologio complicato”.

“Oh, sì, e lo complichiamo ulteriormente. Immagina di sommare, in un certo senso, le lancette”.

“E come si fa?”.

“Come se tu dovessi sommare dei vettori. In realtà quelle che tu chiami lancette dell'orologio sono vettori rotanti”.

“Ah. E come li sommo? Con la regola del parallelogramma?”.

“Quello è un modo, altrimenti potresti sommarli mettendoli in sequenza, la coda del secondo vettore parte dalla punta del primo. Quello che i fisici chiamano metodo punta-coda”.

“Vediamo: se li sommo con la regola del parallelogramma, otterrei una figura del genere”.



“Molto bene”.

“Non saprei come fare una figura in movimento col metodo punta coda, però”.

“Ecco qua:”.



“Ahh, ma è bellissimo! Epiciclo e deferente, vero?”.

“Esatto”.

“E adesso?”.

“E adesso sporchiamo un po' la figura: vediamo che traccia lascia la somma delle due lancette”.



“Molto bella”.

“E immagina i disegni che si possono fare con tre lancette, o quattro, o molte di più”.

“Chissà che complicazioni”.

“Guarda qua:”.



“!”.

“Bello, eh?”.

“Meraviglioso, ma come hanno fatto?”.

“Con una tecnica scoperta da Fourier”.

“E come funziona? Non saranno andati per tentativi, no?”.

“Eh, no, hanno preso l'immagine che volevano ottenere e hanno fatto andare le lancette al contrario”.

Il primo teorema di Euclide senza parole (e perfino animato)

(Il prossimo lo faccio con le pause, ora che ho imparato come si fa)

Dopo quanto spazio Achille riesce a raggiungere la signorina Tartaruga?

Ovvero: a quanto converge una serie geometrica convergente? Ecco una dimostrazione geometrica senza parole, che usa la similitudine dei triangoli.

Il metodo Cramer, infine

“E insomma, ormai è ora di capire perché funziona la magia del metodo di Cramer”.

“Oh, finalmente”.

“Riassunto delle puntate precedenti: primo, il determinante di un sistema è l'area di un parallelogramma generato da due vettori, che a loro volta sono visibili nelle colonne della matrice”.

“Ricordo”.

“Secondo, un sistema di equazioni può essere visto come la risoluzione del seguente problema: di quanto devo moltiplicare due vettori in modo tale che la somma dei risultati dia un terzo vettore?”.

“Ricordo anche questo”.

“E allora ormai è fatta, basta fare qualche considerazione geometrica. Faccio un po' di figure, prendendo come esempio il sistema che abbiamo considerato l'altra volta, cioè questo:”.

“Ricordo che l'avevi scritto in forma vettoriale in questo modo:”.

“Esatto. Allora, qua sotto ho messo in evidenza il parallelogramma generato dai due vettori (2,1) e (1,3). Nella figura però scrivo una formula generale, considerando i vettori (a,b) e (c,d)”.

“Ok, l'area del parallelogramma è il determinante della matrice”.

“Sì. Sto continuando a usare le parentesi tonde per non complicare la notazione^[*], immagino che si capisca dal contesto quando è necessario considerare la matrice e quando, invece, il suo determinante, no?”.

“Sì, direi di sì, capisco senza problemi per adesso”.

“Bene. Ora moltiplico per x, una delle due incognite, il vettore u”.

“E non moltiplichi u per y?”.

“Ancora no”.

“Ma così non ottieni la soluzione, però”.

“Infatti, no, ma non mi interessa. Voglio considerare questo parallelogramma:”.

“Ah. Ma si può raccogliere quella x?”.

“Pensa alle aree: moltiplicando la base di un parallelogramma per x, che succede all'area?”.

“Viene moltiplicata pure lei per x”.

“Quindi l'area del parallelogramma evidenziato è x volte l'area del parallelogramma iniziale”.

“Bene, ci sono”.

“Ora guarda, modifico la figura in questo modo:”.

“Mh, come mai hai scritto che anche questo nuovo parallelogramma ha la stessa area del precedente?”.

“Perché questo e quello di prima hanno la stessa base e la stessa altezza”.

“Non riesco a vederlo…”.

“Ruota un po' la testa”.

“Ehm”.

“Sì, guarda bene: i due parallelogrammi hanno un lato congruente”.

“Il vettore v”.

“Esatto: quello è la base. E hanno la stessa altezza perché i lati opposti a v, sia quello del primo parallelogramma sia quello del secondo, stanno sulla stessa retta”.

“Ah! Ora ho capito. E adesso?”.

“E adesso osserva come è fatto questo nuovo parallelogramma: quali sono i suoi lati?”.

“Uno è v, abbiamo detto”.

“Certo. E l'altro?”.

“Boh? Vedo che è la diagonale del parallelogramma grande”.

“Esatto, e quanto è lunga?”.

“Come faccio a saperlo?”.

“Pensa a come si sommano i vettori, no? Non c'è una regola che si chiama proprio regola del parallelogramma?”.

“Ah, ma sì, certo! È la somma di x(2,1) + y(1,3)”.

“E tu sai già quanto vale questa somma, no?”.

“Perché?”.

“Beh, è il testo del sistema”.

“Uh. Ma allora quella diagonale è il vettore (7,11)”.

“Già. Ora traduci il ragionamento nel caso generale: il sistema iniziale è questo:”.

“In questo caso la diagonale è (e,f)”.

“E, quindi, in che altro modo puoi scrivere l'area del parallelogramma avente due lati lunghi (e,f) e v?”.

“Posso scriverla come determinante avente come colonne i due vettori! Così:”.

“Ottimo. Vedi quindi che ci sono due modi per esprimere quell'area, da cui puoi ricavare un'equazione”.

“Certo, eccola:”.

“Ricava la x ed è fatta”.

“Ah, ma è vero, è proprio il calcolo che si fa con questo metodo per ricavare la x, mi ricordo!”.

“Molto bene, la regola dice proprio così: per ricavare la x devi costruire una frazione fatta in questo modo. E cioè: al denominatore devi mettere il determinante della matrice dei coefficienti, mentre al numeratore devi mettere il determinante della matrice che si ottiene a partire da quella dei coefficienti, sostituendo però al posto della colonna delle x quella dei termini noti. Per ricavare la y si procede in modo analogo, costruendo però un altro parallelogramma”.

“Suppongo che sia quello che si ottiene moltiplicando il vettore v per y”.

“Già. Ed ecco il risultato di tutta questa fatica:”.

“Molto bene. Immagino che tutto questo si generalizzi con sistemi aventi più equazioni e più incognite, no?”.

“Esatto, il concetto di determinante nasce proprio per generalizzare tutto ciò. Naturalmente invece di parlare di aree si parlerà di volumi, ipervolumi, cose così”.

“Naturalmente”.

“Ma l'idea di base è comunque questa. Concludo con una animazione, che dovrebbe aiutarti a capire meglio come sono fatti i parallelogrammi di cui abbiamo parlato finora”.




“Oh, ora i due parallelogrammi che hanno la stessa area si vedono bene!”.

E quindi, Cramer?

“Cramer! Chi era costui? — ruminava tra sé il Vero Matematico seduto sul suo seggiolone, in una stanza del piano superiore, con un libricciolo aperto davanti…”.

“Ma cosa stai dicendo?”.

“Avevi iniziato a parlare dei determinanti, pensavo che prima o poi mi avresti raccontato anche del misterioso metodo di Cramer per la risoluzione dei sistemi”.

“Hai ragione, rimedio subito! Cosa significa risolvere un sistema?”.

“Eh, significa trovare i valori delle incognite che rendono vere entrambe le equazioni, se non mi sbaglio”.

“Giusto, è così. Ma adesso vorrei mostrarti la cosa da un altro punto di vista”.

“Capirai, fai sempre così!”.

“Guarda che è questo il bello della matematica, vedere le cose da diversi punti di vista, riconoscere analogie, creare collegamenti, ed essere felici per questo”.

“…”.

“Comunque, ti propongo un nuovo punto di vista sui sistemi, e lo faccio con un esempio, così abbiamo dei numeri con cui giocare. Eccoti il testo di un esercizio:”.

“Ok, non mi sembra difficile, fammi fare un po' di conti… mi pare che risulti x = 2 e y = 3”.

“Bene, fin qua ci siamo. Adesso permettimi di scrivere il sistema in un modo leggermente diverso, ecco:”.

“Uh? Ma che roba è”.

“Possiamo vederla come una scrittura in forma vettoriale del sistema di prima: quei numeri scritti tra le parentesi sono le componenti dei vettori”.

“Quindi, per capire, all'inizio sto moltiplicando x per il vettore avente componenti 2 e 1?”.

“Esatto. Per dirla in un altro modo, stiamo considerando la prima riga del sistema come una descrizione di quello che succede nel mondo delle ascisse di certi vettori, e la seconda riga, invece, come una descrizione di quello che succede nel mondo delle ordinate”.

“Ma le ascisse sono le x, che compaiono sia nella prima che nella seconda riga. E anche le ordinate, eh”.

“Non fare confusione, le x e le y che vedi nel sistema non c'entrano con le ascisse e le ordinate di cui ti sto parlando. Tu hai un vettore, che ha componenti 2 e 1…”.

“Ascissa 2 e ordinata 1”.

“Esatto. Lo moltiplichi per x, cioè ne vari la lunghezza, e ottieni un altro vettore…”.

“Di ascissa 2x e ordinata x?”.

“Proprio così. Poi hai un secondo vettore, di componenti 1 e 3. Questo lo moltiplichi per y”.

“E ottengo un vettore di componenti y e 3y”.

“Sì. Adesso li sommi: ti ricordi come si fa la somma tra due vettori?”.

“Si fa componente per componente. Il risultato dovrebbe essere il vettore di ascissa 2x + y e di ordinata x + 3y”.

“E queste sono le due righe del sistema. Cioè, le due parti a sinistra dell'uguale”.

“Ah, ho capito. E il sistema quindi ci domanda quanto devono valere x e y perché il vettore risultante sia quello di componenti 7 e 11?”.

“Ottimo, hai detto bene: traducendo in linguaggio geometrico, il sistema ci domanda di quanto devo allungare i due vettori (2,1) e (1,3) perché il risultato sia il vettore (7,11)”.

“E quindi potrei fare anche un disegnino, con questi vettori? Giusto per vedere meglio le cose”.

“Naturalmente. Puoi giocare con la figura qua sotto: in rosso sono indicati i vettori u e v, che sono i vettori (2,1) e (1,3). Puoi trascinare il punto viola dove vuoi, e osservare come devono essere modificati i due vettori dati perché la loro somma dia il vettore che termina sul punto viola”.



“Mh, carino, ma il punto rosso cosa sarebbe?”.

“È il punto di coordinate (7,11), cioè il punto dove tu vorresti fare andare la punta del vettore”.

“Beh, posso trascinarcela sopra, no?”.

“Certo. Se lo fai, puoi vedere come devono essere modificati i vettori u e v in modo tale che la loro somma finisca proprio su (7,11)”.

“Provo… a occhio mi sembra che il vettore u raddoppi…”.

“Eh eh”.

“Cosa c'è da ridere?”.

“Magari ti sembra anche che il vettore v triplichi?”.

“Mh, non riesco a vederlo bene a occhio, ma potrebbe essere. Continuo a non capire perché ridacchi, però”.

“Perché hai già risolto il sistema prima! Non avevi trovato x = 2 e y = 3?”.

“Sì, ma cosa c'entra… Ah! Ma certo! Il fatto che x sia uguale a 2 significa che devo moltiplicare il vettore u per 2, e il fatto che y sia uguale a 3 significa che devo moltiplicare v per 3, e il risultato è proprio (7,11). Ma guarda un po', non avevo mai visto un sistema risolto in questo modo”.

“Bello, vero? In pratica abbiamo interpretato il sistema come un'equazione vettoriale. Se diamo un nome anche al vettore risultante, cioè (7,11)…”.

“A questo punto chiamiamolo w”.

“Bene, se poniamo allora w = (7,11), il sistema che abbiamo scritto prima può essere riscritto così:”.

xu + yv = w.

“Molto semplice”.

“E però non possiamo mica sempre trovare x e y a occhio, no?”.

“Eh, no. Ma questa visualizzazione ci aiuterà molto nella ricerca di un metodo risolutivo”.

“Il famoso metodo di Cramer?”.

“Proprio lui”.

Il determinante di una matrice, che rimane sempre un concetto misterioso

Tempo fa avevo scritto del determinante visto come volume orientato, e di come la sua definizione fosse necessariamente complicata (cioè: se vuoi una formula che funzioni in un certo modo, con determinate proprietà, allora deve essere fatta così).

Possiamo affrontare il problema anche in un altro modo: invece di elencare le proprietà e vedere come va a finire, facciamo il conto una volta per tutte. Lo facciamo in un caso particolare, quello bidimensionale, che riusciamo a visualizzare bene, perché spesso un disegnino spiega più di mille parole (se non sarà una dimostrazione generale da Veri Matematici, pazienza).

Quindi: cosa vogliamo fare? Vogliamo calcolare l'area di un parallelogramma conoscendo i due vettori che lo generano.

Ecco, questa immagine è una dimostrazione senza parole (quasi, via) del fatto che il determinante di una matrice quadrata rappresenta l'area di un parallelogramma generato dai due vettori (a,b) e (c,d), che nel disegno sono scritti in verticale così come si fa di solito in algebra lineare/geometria.

Ecco la spiegazione:

• Il rettangolo blu ha il lato orizzontale lungo a e quello verticale lungo d, quindi la sua area vale ad.
• Trasporto il triangolo rettangolo avente cateti a e b (quello con il tratteggio arancione) in alto.
• Trasporto il triangolo rettangolo avente cateti c e d (quello con il tratteggio viola) a destra.
• Osservo che in questo modo copro tutto il parallelogramma e anche qualcosa in più, e più precisamente il rettangolino in alto a destra, di dimensioni c e b, e quindi di area bc.
• Concludo quindi che l'area del parallelogramma si ottiene sottraendo l'area del rettangolino bc dall'area del rettangolone ad, cioè ad − bc.
• (Noto che devo sottrarre tutto il rettangolino bc e non solo la parte esterna al parallelogramma, perché la parte interna viene contata due volte (e infatti presenta un doppio tratteggio), mentre devo contarla una volta sola)
• Concludo che va tutto bene, quindi l'area del parallelogramma è proprio uguale al determinante della matrice.

Questo disegnino serve anche per capire perché funziona la misteriosa regola di Cramer per risolvere i sistemi lineari, ma questa è un'altra storia.

P.S. Questo è il millesimo post di questo blog. Incredibile.

Uso privato di blog privato

Qualche giorno fa ho partecipato alla Quinta Giornata Nazionale di Analisi Non Standard (sì, c'è gente strana al mondo) e, siccome non sono mica abituato a parlare in pubblico — a gente che ascolta davvero, voglio dire — ero molto nervoso e per questo alla fine del mio intervento ero così provato che, quando una persona è venuta da me a dirmi complimenti professore tirando fuori il mio libro e chiedendomi di firmarglielo, io l'ho fatto quasi meccanicamente, un po' drogato dal fatto che avevo finito di parlare senza aver fatto errori clamorosi e anche dal fatto che qualcuno mi era venuto a cercare col mio libro. Poi, alla fine di tutto, quando ci si saluta e ognuno se ne torna a casa, quella persona è tornata e molto educatamente ha salutato, e io credo di aver detto grazie e arrivederci, ma insomma, non le ho nemmeno chiesto il nome, chi fosse, come mai avesse deciso di partecipare a questa roba non standard.

Ecco, allora, grazie ancora, gentile sconosciuto, e se volesse palesarsi nei commenti mi farebbe molto piacere.

Le terne pitagoriche, spiegate bene — 4. Cosa c'è da dire ancora?

“Non so immaginare cosa ci sia ancora da dire, però fammi vedere qualche altra terna pitagorica oltre a (3,4,5)”.

“Certo. Ti ricordo il teorema:”.

x = 2st
y = s² - t²
z = s² + t²

con s > t > 0, s e t primi tra loro, s e t hanno diversa parità.

“Ricordo”.

“Ed eccoti una tabella, con s minore o uguale di 10”.

  s  t     x   y   z
 -------------------
  2  1 |   4   3   5
  3  2 |  12   5  13
  4  1 |   8  15  17
  4  3 |  24   7  25
  5  2 |  20  21  29
  5  4 |  40   9  41
  6  1 |  12  35  37
  6  3 |  36  27  45
  6  5 |  60  11  61
  7  2 |  28  45  53
  7  4 |  56  33  65
  7  6 |  84  13  85
  8  1 |  16  63  65
  8  3 |  48  55  73
  8  5 |  80  39  89
  8  7 | 112  15 113
  9  2 |  36  77  85
  9  4 |  72  65  97
  9  6 | 108  45 117
  9  8 | 144  17 145
 10  1 |  20  99 101
 10  3 |  60  91 109
 10  5 | 100  75 125
 10  7 | 140  51 149
 10  9 | 180  19 181

“Uh, la prima è proprio (3,4,5)”.

“Sì, ordinata in modo diverso perché abbiamo deciso di chiamare con x il cateto pari”.

“Vero”.

“Ora, avendo scritto un po' di numeri con cui poter giocare, ecco un paio di proprietà. Prima: x è divisibile per 3, oppure y è divisibile per 3”.

“Fammi controllare… sembra vero”.

“Lo è. Però facciamo una dimostrazione, non un controllo su un esiguo numero di terne”.

“Che sono infinite, no?”.

“Appunto, quindi controllarne solo alcune non dimostra nulla”.

“Ok. Come lo dimostriamo?”.

“Se 3 divide x, siamo già a posto, fine del problema”.

“Bé, ma che dimostrazione è?”.

“È un pezzo di dimostrazione, porta pazienza. Primo caso: se 3 divide x, il teorema è già dimostrato e siamo a posto”.

“Ma non è detto che 3 divida x, no?”.

“No, infatti, e questo è il secondo caso: se 3 non divide x vuole dire che non divide né s né t, dato che x = 2st”.

“Ah, ho capito, stai analizzando separatamente i due casi. Il primo è ovvio, il secondo invece mi sembra meno semplice”.

“Certo. Se 3 non divide s e non divide t, come possiamo scriverli in modo tale da mettere in evidenza questa proprietà?”.

“Possiamo dire che s = 3h + 1, per esempio”.

“Molto bene, ma non è l'unica possibilità”.

“Giusto, s potrebbe anche essere uguale a 3h + 2”.

“Certo, ci sono tre possibilità: o un numero è divisibile per 3 (e quindi lo possiamo scrivere come 3h), o ha resto 1 nella divisione per 3 (e lo possiamo scrivere come 3h + 1), o ha resto 2 (e lo scriviamo come 3h + 2). Non ci sono altri casi”.

“Ok. Stessa cosa per t: potrebbe essere 3k + 1 oppure 3k + 2”.

“Giusto. A questo punto calcola s²”.

“In entrambi i casi?”.

“Sì”.

“Allora, nel primo caso, quello in cui s = 3h + 1, se elevo al quadrato ottengo s² = 9h² + 6h + 1”.

“Cosa puoi dire per quanto riguarda la divisione per 3?”.

“Che questo è ancora un numero del tipo 3H + 1, cioè dà ancora resto 1”.

“Perfetto. Controlla l'altro caso”.

“Darà come resto 2”.

“Controlla bene”.

“Mh. Allora, se s = 3h + 2, si ha che s² = 9h² + 12h + 4, quindi è del tipo 3H + 4. No, 4 è troppo, come faccio?”.

“Ricordati che 4 è uguale a 3 più 1”.

“Ah, ma certo, s² = 3H + 4 = 3H + 3 + 1 = 3(H + 1) + 1, cioè 3K+1. È ancora dello stesso tipo!”.

“Già. Hai scoperto che i quadrati di numeri non divisibili per 3 hanno sempre resto 1 nella divisione per 3”.

“Non lo sapevo”.

“Eh, ora possiamo concludere: dato che y è uguale a s² - t², quanto sarà il resto della divisione di y per 3?”.

“Bé, si può scrivere y = (3H + 1) - (3K + 1), quindi y = 3H - 3K. Ehi, y è divisibile per 3”.

“Ecco dimostrata la proprietà: o x è divisibile per 3, oppure lo è y”.

“Bello. Avevi parlato di un paio di proprietà?”.

“Sì, eccone un'altra: in una terna pitagorica primitiva almeno uno tra gli interi x, y e z è divisibile per 5”.

“Ah. Si ragiona allo stesso modo?”.

“Più o meno, sì. Se un numero non è divisibile per 5 puoi scriverlo in quattro modi diversi, a seconda del resto della sua divisione per 5”.

“Esattamente come prima. Se il numero… lo chiamo a, non è divisibile per 5, posso scriverlo così:”.

a = 5h + 1
a = 5h + 2
a = 5h + 3
a = 5h + 4

“Giusto. Ora eleva al quadrato, ma non stare a fare tutti i calcoli. Tieni presente che quando svolgi i calcoli del quadrato di binomio, il quadrato del primo termine contiene 25, mentre il doppio prodotto contiene 5”.

“Ah, vero! Allora la somma dei primi due termini è sempre divisibile per 5, mi rimane da controllare cosa succede al quadrato del secondo termine”.

“Esatto. Scrivi l'elenco dei quadrati dei secondi termini”.

“Sarebbe questo:”.

1
4
9
16

“Giusto. Come si comportano questi numeri nella divisione per 5?”.

“Vediamo… 1 dà resto 1, naturalmente, 4 dà resto 4, 9 dà resto ancora 4, e 16 dà resto 1”.

“Riassunto: il quadrato di un numero non divisibile per 5 dà resto 1 oppure 4 nella divisione per 5”.

“Ok, e adesso?”.

“E adesso abbiamo, come prima, due casi. O z è divisibile per 5…”.

“E abbiamo già dimostrato quello che vogliamo dimostrare”.

“Oppure non lo è. In questo caso il suo quadrato dà resto 1 oppure 4 nella divisione per 5. Se non fossero divisibili per 5 nemmeno x e y, anche i loro quadrati darebbero resto 1 oppure 4”.

“Bene”.

“Ma la somma di x² + y² che resto darebbe?”.

“Ci sono vari casi, non so”.

“Prova a elencarli, non sono tanti. Fai direttamente le somme con i resti”.

“Ho queste possibilità”.

1 + 1
1 + 4
4 + 1
4 + 4

“Giusto. Il primo caso dà un resto di 2, il secondo un resto di 0…”.

“Di cinque! Uno più quattro fa cinque”.

“Ma no, in una divisione per 5 non puoi avere resto 5: il fatto che venga 5 significa semplicemente che il numero è divisibile per 5, cioè il resto è 0”.

“Ah già”.

“Il terzo caso dà ancora 0, e il quarto caso…”.

“Non 8, ma 3”.

“Giusto, 8 - 5 = 3. Quindi la somma dei quadrati di x e y darebbe resto 0, oppure 2, oppure 3 nella divisione per 5, mentre il quadrato di z può solo dare 1 oppure 4”.

“Allora è impossibile che sia x che y e z non siano divisibili per 5, uno almeno deve esserlo”.

“Proprio così”.

“Abbiamo finito?”.

“Sì. Ti faccio solo notare un'ultima proprietà: l'unica terna pitagorica formata da tre numeri consecutivi è la tua amica (3,4,5)”.

“Ah. Dimostriamo anche questo?”.

“No, te lo lascio per esercizio. Basta svolgere i calcoli”.

Le terne pitagoriche, spiegate bene — 3. Come sono fatte?

“Allora, oggi mi dici come sono fatte le terne pitagoriche primitive?”.

“Sì. Vediamo di costruirle pian piano. Abbiamo detto che se vale l'equazione x² + y² = z² allora x è pari, y è dispari, z è dispari”.

“A meno di uno scambio tra x e y”.

“Esatto, è solo una questione di nomi. Il triangolo rettangolo ha due cateti, uno pari e uno dispari. Quello pari si chiama x”.

“Perfetto”.

“Inoltre, in una terna primitiva non ci sono fattori comuni tra x, y e z”.

“Nemmeno se li si prende a due a due”.

“Vero anche questo. Infine, possiamo anche sottolineare il fatto che z è maggiore di y”.

“Certamente, è l'ipotenusa”.

“Quindi z - y è una quantità positiva”.

“Vero anche questo, ma perché me lo dici?”.

“Perché ci serve saperlo tra un attimo. Dato che x² è uguale a z²-y², utilizzando la formuletta della differenza tra due quadrati possiamo scrivere:”.

x² = (z - y)(z + y)

“Ok, ci sono”.

“(z - y) è una quantità positiva, perché z è maggiore di y, come abbiamo detto poco fa”.

“Ah, ecco perché me l'hai fatto notare”.

“E naturalmente anche (z + y) è positiva”.

“Certo”.

“Sono anche entrambe quantità pari”.

“Questo perché…”.

“La somma e la differenza di due numeri dispari danno un numero pari”.

“Giusto”.

“Quindi possiamo indicare (z - y) con 2u e (z + y) con 2v”.

“Va bene, così è evidente che sono numeri pari”.

“E dunque x² = (z - y)(z + y) = 4uv”.

“Fin qua ci sono”.

“Allora (x/2)² sarà uguale a uv.”.

“Va bene, anche se mi piace poco quella frazione”.

“Ma in realtà non è una frazione, perché abbiamo detto che x è pari, quindi stiamo sempre lavorando con numeri interi”.

“Ah, giusto! Ci sono, allora, andiamo avanti”.

“Ragioniamo un momento su questi due numeri u e v. Voglio dimostrare che sono primi tra loro”.

“E come fai?”.

“Intanto ti faccio notare che si possono esprimere in funzione di y e z. Cosa si può ricavare, infatti, da queste due relazioni?”.

z + y = 2v
z - y = 2u

“Cosa si può ricavare?”.

“Se le sommi, ottieni che 2z = 2(v + u), no?”.

“Vero. Quindi z = v + u”.

“E se le sottrai?”.

“Se faccio la prima meno la seconda ottengo 2y = 2(v - u). Quindi y = v - u. Ah, allora z e y si possono esprimere facilmente in funzione di u e v:”.

z = v + u
y = v - u

“Molto bene. Allora possiamo dimostrare quello che abbiamo detto un momento fa: u e v sono primi tra loro perché, se avessero un fattore comune, questo sarebbe comune anche a v + u e a v - u, e di conseguenza sarebbe comune a z e y”.

“Che però devono essere primi tra loro”.

“Esattamente, l'abbiamo dimostrato l'altra volta, è quella che abbiamo chiamato proprietà 3.”.

“E adesso?”.

“Adesso torniamo all'uguaglianza (x/2)² = uv. Abbiamo un prodotto di due numeri primi tra loro che dà come risultato un quadrato, quindi…”.

“Quindi, applicando la proprietà 4, possiamo dire che quei due numeri sono due quadrati!”.

“Perfetto, quindi possiamo indicare u con t² e v con s²”.

“Molto bene”.

“Dato che v - u è uguale a y, numero positivo, questo significa che v è maggiore di u, e quindi che s è maggiore di t”.

“Giusto anche questo”.

“E allora abbiamo finito, ecco come sono fatte le terne pitagoriche:”.

x = 2st
y = s² - t²
z = s² + t²

“Ah, ecco. Un momento, la prima uguaglianza da dove viene?”.

“Bè, avevamo detto che x² = 4uv, cioè 4s²t²”.

“Ah, ok, facciamo la radice. Ma possiamo assegnare a s e t tutti i valori che vogliamo?”.

“No. Abbiamo già detto che s deve essere maggiore di t, perché y deve risultare positivo”.

“Vero”.

“Inoltre s e t devono essere uno pari e uno dispari”.

“Provo a capire perché, ormai ci ho preso la mano… Allora, se fossero entrambi pari, vediamo, la loro somma e la loro differenza sarebbero pari, ma allora y e z sarebbero entrambi pari, e non va bene”.

“Stessa cosa se fossero entrambi dispari, no?”.

“Ah, certo, la somma e la differenza di due numeri dispari sono pari, quindi si fa esattamente lo stesso ragionamento”.

“Infine: è possibile che s e t abbiano fattori comuni?”.

“No, questo è facile: se li avessero li avrebbero anche x, y e z”.

“Benissimo. Questo è il teorema, che non è ancora completo però”.

“Cosa manca?”.

“Il viceversa. Cioè adesso abbiamo detto che se abbiamo una terna pitagorica allora la si può scrivere in funzione di s e t come detto poco fa. Viceversa, dati s e t con le caratteristiche dette sopra, è sempre vero che generano una terna pitagorica?”.

“Ah. Boh, e come si fa a saperlo?”.

“Qui è facile, si fa il calcolo. È vero che x² + y² = z²? Prova a calcolarlo”.

“Allora, x² sarebbe 4s²t², mentre y² sarebbe s⁴ - 2s²t² + t⁴. Se li sommo ottengo s⁴ + 2s²t² + t⁴”.

“Che, guarda un po', è proprio il quadrato di z”.

“Ah, bene, allora abbiamo finito”.

“Quasi”.

“Ma come? Cosa c'è ancora?”.

“Eh, quella che hai ottenuto è effettivamente una terna pitagorica, l'hai appena dimostrato. Ma è anche primitiva?”.

“Uffa. Allora, vediamo, se x, y e z avessero un fattore comune…”.

“Chiamalo p, e supponi che sia primo”.

“Se avessero un fattore comune avrebbero anche un fattore primo comune, lo chiamo p, ok”.

“Questo p dovrebbe dividere anche z + y”.

“Certo”.

“E z + y è uguale a 2s²”.

“Fammi controllare… ok, giusto, basta sommarli”.

“E ragionando allo stesso modo, p dovrebbe dividere anche z - y”.

“Giusto. Ti anticipo dicendo che z - y è uguale a 2t²”.

“Perfetto. E osserva anche il fatto che p non è uguale a 2”.

“Uh, allora, p non è 2 perché…”.

“Perché divide x e anche y, ma uno è pari e uno è dispari”.

“Giusto”.

“Quindi p divide 2s², p divide 2t², p non è 2”.

“E allora p dividerà s² e t²”.

“E dunque, siamo alla fine, p divide s e anche t. Ma s e t erano…”.

“Primi tra loro! Impossibile! Ah, finalmente, abbiamo dimostrato che quella è davvero la formula per ottenere tutte e sole le terne pitagoriche”.

“Te la riassumo qua sotto:”.

---

Tutte e sole le terne pitagoriche primitive con x pari sono date dalle formule seguenti:

x = 2st
y = s² - t²
z = s² + t²

con s > t > 0, s e t primi tra loro, s e t hanno diversa parità.

---

“Uff. Finito?”.

“Sì. Bé, la prossima volta concludiamo con qualche proprietà poco nota, e poi magari scriviamo anche qualche terna diversa dalla solita (3,4,5)”.

“Molto bene”.

Le terne pitagoriche, spiegate bene — 2. Che proprietà hanno?

“Allora, mi hai detto che in una terna pitagorica i due cateti sono uno pari e uno dispari”.

“Esatto. Da adesso in poi diciamo che quello pari sia quello che abbiamo indicato con x, e quindi quello dispari è y”.

“E z?”.

“Proviamo a capire se c'è anche qualche proprietà che riguarda z. Può essere pari?”.

“Eh, boh, devo provare”.

“Prova. Ricordati che l'equazione x² + y² = z² può anche essere scritta come y² = z² - x²”.

“Ah, allora se sia x che z sono pari, dovrebbe esserlo anche y”.

“Che invece è dispari”.

“Allora è impossibile che z sia pari, quindi deve essere sempre dispari”.

“Benissimo, ecco una nuova proprietà:”.

Proprietà 2: in una terna pitagorica primitiva, x è pari, y è dispari, z è dispari (a meno di uno scambio tra x e y)

“Molto bene”.

“Ora, è possibile che i due termini y e z abbiano fattori in comune?”.

“Se ce li hanno, devono essere dispari”.

“Giusto. Inoltre, se ce li hanno, li possiamo scomporre e possiamo così affermare che esiste un numero primo p che li divide entrambi”.

“Certo”.

“E quindi p divide anche i loro quadrati”.

“Senza dubbio”.

“E allora p deve dividere anche il quadrato di x, perché x² = z² - y²”.

“Ma allora p li dividerebbe tutti e tre, e questo è impossibile, perché abbiamo a che fare con terne primitive”.

“Forse x e y potrebbero avere qualche fattore comune, allora?”.

“Mah, mi sembra che si possa ripetere il ragionamento appena fatto. Non serviva sapere che y e z fossero dispari”.

“Esatto. Quindi nemmeno x e z possono avere fattori comuni, giusto?”.

“Giusto. Ecco una nuova proprietà:”.

Proprietà 3: in una terna pitagorica primitiva, MCD(x,y) = MCD(x,z) = MCD(y,z) = 1

“Che è un modo complicato per dire che nemmeno presi a coppie x, y e z hanno fattori comuni”.

“Proprio così. Ora vediamo un'ultima proprietà, che è abbastanza semplice da raccontare, ma un po' noiosa da dimostrare alla maniera dei Veri Matematici”.

“Uhh”.

“Eccola:”.

Proprietà 4: Se il prodotto di due numeri primi tra loro è un quadrato, allora i due numeri sono due quadrati

“Mh”.

“Il prodotto di due numeri primi tra loro è 36, che è un quadrato. Quali sono questi due numeri?”.

“Sei e sei. Sei per sei fa trentasei. Ma sei non è un quadrato, qualcosa non va”.

“Certo che qualcosa non va: sei e sei non sono primi tra loro”.

“Ah, ehm, vero”.

“I due numeri corretti sono 4 e 9, che sono due quadrati”.

“Già”.

“Questo vale sempre”.

“Ed è difficile da dimostrare?”.

“No, è noioso perché devi sempre pensare alle scomposizioni in fattori primi dei numeri, e allora le formule da scrivere sono lunghe perché non sai mai a priori in quanti fattori sia scomponibile un numero. Comunque, vediamo un'idea di dimostrazione. Indichiamo con a e b i due numeri che, moltiplicati, danno un quadrato, che indichiamo con c²”.

“Ok, ab = c²”.

“Succede che a sarà scomponibile in fattori, così come b”.

“Certo”.

“Dato che a e b sono primi tra loro, i fattori della scomposizione di a saranno diversi da quelli della scomposizione di b”.

“Ok”.

“E quindi i fattori di ab saranno tutti quelli di a assieme a tutti quelli di b”.

“Giusto”.

“Ma tutto questo è uguale a c², che sarà pure lui scomponibile in fattori. Ma è un quadrato…”.

“Quindi nella sua scomposizione ci saranno tanti fattori al quadrato”.

“Questo è il punto. Dato che il teorema fondamentale dell'aritmetica ci dice che la scomposizione in fattori primi è unica, la scomposizione in fattori di ab deve essere uguale a quella di c²”.

“Ah, allora ci saranno quadrati anche nella scomposizione di a e b”.

“Ed ecco fatto: anche a e b sono quadrati. Te lo faccio capire meglio con un esempio: il prodotto ab = 8100, che è il quadrato di 90. Prova a scomporlo:”.

“Dunque, 8100 è 2²3⁴5². Come faccio a sapere chi sono a e b?”.

“Fai i vari casi, ma ricordati che devono essere primi tra loro”.

“Allora, potrei avere a = 2² e b = 3⁴5²”.

“E sia a che b sarebbero due quadrati”.

“Vero. Oppure potrei avere a = 2²3⁴ e b = 5²”.

“E anche in questo caso hai due quadrati”.

“Ah, ma ho capito, si hanno sempre quadrati. L'unico modo per non averli sarebbe quello di spezzare le potenze distribuendole un po' su a e un po' su b”.

“Ma non si può, perché a e b devono essere primi tra loro”.

“Ok, ho capito. E adesso?”.

“Adesso costruiamo queste benedette terne”.

Le terne pitagoriche, spiegate bene — 1. Cosa sono?

“Ahh, i bei tempi in cui si poteva giocare”.

“Eh?”.

“Ma sì, me lo vedo Pitagora, nei pomeriggi di Natale, intorno alla tavola assieme ai suoi soci, con il nonno che estraeva i numeri, tre!, quattordici!, quindici!, e Pitagora che urlava terna!, e Ippaso invece tombola!, e Pitagora si arrabbiava sempre, e poi si sa che fine ha fatto Ippaso…”.

“…”.

“E allora Pitagora voleva cambiare gioco, dai mettiamoci a suonare un po' la lira, sentite come vibrano bene queste corde, Ippaso smettila che sei stonato, e gli altri basta Pitagora ci hai rotto con le tue corde che suonano, ma una bella batteria quando la mettiamo su, che noia questa musica, e se sei sfortunato alla tombola non è mica colpa nostra…”.

“ALLORA”.

“Ehm”.

“NO, DICO”.

“Erano altre terne quelle di cui volevi parlare, vero?”.

“Già”.

“Forse quelle del teorema di Pitagora, vero?”.

“Eh”.

“Il quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti”.

“Così andiamo meglio. Se vogliamo tradurre in formule, x² + y² = z²”.

“Dove x e y sono i cateti e z invece è l'ipotenusa, vero?”.

“Certo. Per terna pitagorica si intende una terna di numeri naturali che soddisfa quell'equazione”.

“La famosa terna 3, 4 e 5. Mi ricordo solo quella…”.

“Quella è un esempio, ma ce ne sono altre. Tante altre. Naturalmente se trovi una terna di numeri interi che va bene, puoi anche cambiare qualche segno e quello che ottieni soddisfa ancora l'equazione, perché tanto elevi tutto al quadrato e i segni si perdono”.

“Anche se non ha significato geometrico”.

“Infatti. Noi ragioniamo sui numeri positivi per non avere problemi di segno”.

“Ok”.

“Allora, la domanda è: come sono fatte queste terne? Che proprietà hanno? Come si trovano?”.

“Boh?”.

“Una prima proprietà che possiamo notare subito (e che conoscono anche gli studenti delle medie, quando risolvono problemi che si basano sulle terne pitagoriche) è questa: data una terna che soddisfa l'equazione x² + y² = z², ne possiamo trovare infinite altre moltiplicando tutti i termini della terna per un fattore comune”.

“Cioè mi stai dicendo che se va bene la terna (3,4,5) allora va bene anche la terna (6,8,10)? Mh, sì, in effetti è vero, il fattore comune viene elevato al quadrato e lo si può semplificare”.

“Esattamente, se (x,y,z) soddisfa all'equazione del teorema di Pitagora, allora lo fa anche la terna (dx,dy,dz), perché risulta d²x² + d²y² = d²z²”. Dividendo tutto per d² ritrovi l'equazione iniziale.

“Ok, chiaro. Quindi in sostanza ci interessano le terne non semplificabili”.

“Sì, che vengono dette terne pitagoriche primitive, e sono tali per cui il massimo comun divisore tra x, y e z è uguale a 1”.

“Cioè sono non semplificabili, come ho detto io”.

“Io ho usato il linguaggio che usano i Veri Matematici”.

“Che sono abituati a complicare le cose semplici”.

“Ma no, sono solo precisi”.

“Ma smettila… Allora dobbiamo capire come sono fatte queste terne primitive?”.

“Sì, vediamo una prima proprietà. Diamo sempre per scontato che x e y siano le lunghezze dei due cateti, mentre z è l'ipotenusa. Domanda: x e y possono essere entrambi numeri pari?”.

“Boh? No, hai detto che devono essere primi tra loro”.

“No. L'affermazione che hai appena detto tu è diversa: io ho detto che x, y e z devono essere primi tra loro, ma è possibile che x e y abbiano fattori comuni. In realtà vedremo dopo che non è così, ma adesso non lo sappiamo ancora”.

“Ah, ok. Come faccio allora a sapere se x e y possono essere entrambi pari?”.

“Prova: se sono entrambi pari come saranno i loro quadrati?”.

“Pari pure loro”.

“Puoi dire di più: sono divisibili per il quadrato di 2, cioè sono multipli di 4”.

“Giusto”.

“E dall'equazione x² + y² = z² puoi immediatamente dedurre che anche il quadrato di z deve essere divisibile per 4…”.

“E quindi z deve essere pari, ma questo non è possibile, perché stiamo studiando le terne primitive! In questo caso invece avremmo tre numeri pari, e non va bene”.

“Molto bene. Possono essere entrambi dispari?”.

“Eh, uhm, qui non so mica rispondere, se sono dispari non vuole dire che abbiano un fattore comune”.

“Vero. Se sono dispari li puoi scrivere in questo modo: x = 2h + 1, y = 2k + 1”.

“D'accordo, i numeri dispari si possono scrivere così. È come dire che sono uguali a un numero pari più uno”.

“O, se vuoi usare l'aritmetica modulare, è come dire che sono congruenti a 1 modulo 2. Insomma, il resto della divisione per 2 è uguale a 1. Quando elevi al quadrato, il resto della divisione per 2 sarà ancora 1”.

“Che è un modo complicato per dire che il quadrato di un numero dispari è dispari. Se non c'era un fattore 2 prima di elevare al quadrato, non c'è nemmeno dopo”.

“Perfetto. Cosa mi dici allora della somma dei due quadrati dispari?”.

“Dispari più dispari fa pari”.

“Bene, ma rispetto alla divisione per 4? Quanto vale il resto della divisione per 4 di un dispari più un altro dispari?”.

“Boh?”.

“Dobbiamo fare il calcolo. Eleva al quadrato (2h + 1)”.

“Col quadrato del binomio?”.

“Certo”.

“Viene 4h² + 4h + 1… ah, forse ho capito. È un numero che si può scrivere come 4H + 1”.

“Molto bene”.

“Quindi il quadrato di un numero dispari dà resto 1 nella divisione per 4. Bello”.

“E se sommi due quadrati di dispari, cioè due numeri del tipo 4H + 1 e 4K + 1?”.

“Ottengo 4(H + K) + 2, quindi z² dovrebbe essere un numero che, nella divisione per 4, mi dà resto 2”.

“E questo è impossibile”.

“Perché?”.

“Perché l'abbiamo appena visto: se un numero è pari, il suo quadrato è divisibile per 4, e quindi il resto della divisione per 4 è 0. Se è dispari, il resto è 1. Non ci sono altre possibilità, è impossibile che un quadrato abbia resto 2 nella divisione per 4”.

“Ahh. Ma allora se x e y non possono essere entrambi pari o entrambi dispari, vorrà dire che saranno uno pari e uno dispari”.

“Certo, è rimasta solo questa possibilità. E almeno una volta è verificata, la terna (3,4,5) esiste”.

“Bello”.

“Ok, riassumiamo quindi quello che abbiamo stabilito:”.

Proprietà 1: in una terna pitagorica primitiva x e y sono uno pari e uno dispari.

“Bene”.

“E, come bonus, abbiamo anche scoperto che il quadrato di un numero è sempre congruente a 0 oppure a 1 modulo 4”.

Poi uno chiede perché a scuola ci si ferma al secondo grado

(Via smoot)

Di altalene, molle e vasche da bagno — risonanza

“Il bimbetto dell'altra volta, quello che voleva essere spinto sull'altalena, dopo un po' si è scocciato e ha cominciato a giocare con la terra e il fango”.

“Ottimo”.

“A un certo punto è ora di andare a casa, verso la quale lo trasciniamo perché naturalmente lui vorrebbe stare ancora in mezzo alla terra fino a che non è tutta finita”.

“Benissimo”.

“E, necessariamente, deve farsi il bagno”.

“Oh, finalmente parliamo di vasche da bagno. O lo mettiamo sotto la doccia?”.

“Eh, questa volta vasca”.

“Ottimo”.

“Mentre la vasca si riempie il bimbo si prepara per entrare, raccattando tutti i giochi che gli sono necessari per questa importante attività”.

“Certamente”.

“Poi mette una mano dentro l'acqua, e sente che è troppo calda”.

“Aggiungiamone di fredda, allora”.

“Lo facciamo, ma dopo un po' il bimbo ancora si lamenta perché, con la sua manina, sente ancora caldo nella zona lontana dal rubinetto”.

“Mescolala un po', santo cielo”.

“Hai pronunciato le parole magiche, e il bimbetto si mette a mescolare. Mescolando mescolando, si accorge che riesce a produrre delle belle onde che attraversano la vasca in tutta la sua lunghezza”.

“Oh oh”.

“Queste onde accarezzano la sua mano, che si fa trasportare avanti e indietro, avanti e indietro…”.

“Ahi”.

“Il bimbo, naturalmente, non se ne sta fermo, e anche lui accarezza le onde, a ritmo”.

“Disastro!”.

“Improvvisamente, dopo un ultimo leggero colpetto della mano innocente, si alza uno tsunami che vuota mezza vasca e allaga il pavimento”.

“È successo anche a me da piccolo, coff coff”.

“Credo che sia successo a tutti. Una esperienza divertente, se non fosse per le conseguenze”.

“Ehm”.

“La dura vita dello scienziato: a volte sperimenti senza sapere come andrà a finire”.

“Povero bimbo”.

“Ma proviamo a capire cosa è successo: il bimbo non ha tanta forza da vuotare mezza vasca con una sola manata”.

“Certamente no”.

“E quindi?”.

“Eh, mi sa che ha spinto al momento giusto: questa volta è riuscito ad andare a tempo”.

“Esattamente. Anche questo è un oscillatore forzato smorzato, con una grossa differenza: la frequenza con cui la forza esterna agisce sull'acqua è quella giusta. La piccola quantità di energia che il bimbo fornisce all'acqua contribuisce sempre a aumentare l'ampiezza delle onde della vasca. E a forza di piccoli trasferimenti…”.

“… arriva l'onda anomala”.

“Esatto. Nel caso più semplice di tutti, cioè quello dell'oscillatore senza attriti, non ci sono perdite di energia, mentre tutta l'energia proveniente dall'esterno contribuisce soltanto ad aumentare l'ampiezza delle oscillazioni. Quella modulazione che avevi notato prima ora è in sincronia con le oscillazioni proprie del sistema, che teoricamente potrebbero aumentare di ampiezza all'infinito. Questo è il fenomeno della risonanza”.

“Uh, aumenta sempre di più”.

“Sì, dopo una fase transitoria iniziale, l'oscillazione si stabilizza in frequenza e aumenta sempre di più in ampiezza”.

“Ho capito. Però in realtà non esistono oscillatori senza attriti, no?”.

“In realtà un po' di dispersione c'è sempre, infatti. In questo caso non si verificherà una risonanza pura come quella di questo esempio, in cui l'ampiezza cresce infinitamente: quello che si osserva, e che ha osservato anche il bambino, è che se si verificano opportune condizioni l'ampiezza aumenta molto”.

“Quanto?”.

“Eh, non si può dire a priori: dipende da quanto è l'attrito e quanto è la frequenza propria del sistema. In ogni caso: quanto basta per allagare un bagno”.

“Già”.

“Qui sotto puoi giocare con un oscillatore. Hai tre parametri che puoi modificare:

• k rappresenta la forza di attrito: se lo poni uguale a zero, hai un oscillatore senza attriti,
• a è l'ampiezza della forza esterna: se lo poni uguale a zero hai un oscillatore non forzato,
• b rappresenta invece la frequenza della forza esterna: se trovi il valore giusto puoi fare le onde nella vasca da bagno.

Attento a non allagare”.

Di altalene, molle e vasche da bagno — oscillazioni forzate

“Aggiungiamo alla nostra altalena uno che spinge”.

“Oh, bene”.

“Come sai, se non spingi l'altalena nel modo giusto non ti diverti”.

“Eh, sì. I bimbi piccoli chiedono sempre di essere spinti perché non sono capaci di tenere il tempo”.

“Tenere il tempo è proprio l'espressione giusta, infatti. Il fatto è che un'altalena, e più in generale un oscillatore, ha una sua frequenza di oscillazione”.

“In che senso?”.

“Nel senso che non puoi decidere tu il modo in cui oscilla”.

“Ma io posso decidere se andare più forte o più lentamente!”.

“Certo, ma non puoi decidere la durata di ogni oscillazione. Questo fenomeno si chiama isocronismo del pendolo, una scoperta fatta da Galileo”.

“Ah”.

“In realtà è una legge che vale se le oscillazioni sono abbastanza piccole, se sono troppo grandi non è più vera, ma se lasciamo perdere questo piccolo particolare possiamo dire che tutti gli oscillatori si comportano in questo modo: la frequenza delle oscillazioni non è legata alla loro ampiezza. Vale anche per le corde della chitarra, per esempio”.

“Uh?”.

“Ogni corda emette, oscillando, una nota. Se tu pizzichi la corda con più o meno forza, ottieni solo un cambiamento nel volume della nota, cioè nell'ampiezza dell'oscillazione. Ma la nota rimane sempre quella”.

“Ah, giusto. Ma quindi tu mi stai dicendo che se metto un bambino su un'altalena, oppure se ci salgo io, entrambi andiamo alla stessa velocità?”.

“Non velocità: frequenza. Entrambi battete il tempo allo stesso modo: se tu spingi più forte significa che vai più in alto, con maggiore velocità. Le due cose si compensano: sei più veloce ma devi fare più strada; del resto, gli orologi a pendolo si basano su questo principio.”.

“Pure!”.

“Pure loro, sì. Il pendolo batte sempre il tempo alla stessa frequenza, sia che oscilli molto sia che oscilli poco. In realtà lo si fa oscillare poco perché, come dicevamo prima, per i pendoli questa legge non è del tutto esatta. Se l'angolo di oscillazione cresce molto, non è più vera”.

“E quindi come si fa a regolare un orologio a pendolo?”.

“Si cambia la lunghezza: gli orologi a pendolo hanno un contrappeso in fondo che può essere spostato verso l'alto o verso il basso. In questo modo modifichi la posizione del baricentro e, sostanzialmente, ottieni un pendolo più o meno lungo. Le oscillazioni dipendono solo dalla lunghezza del pendolo”.

“Ah”.

“In realtà dipendono anche dal valore dell'accelerazione di gravità del pianeta su cui il pendolo oscilla, ma direi che possiamo pensare di stare con i piedi per terra”.

“Sono d'accordo”.

“Torniamo allora alla nostra altalena, spinta da qualcuno che non conosce la frequenza di oscillazione”.

“Ma nessuno conosce la frequenza di oscillazione delle altalene!”.

“Vero, ma appena ci sali sopra, o ti metti a spingerla, ti accorgi del modo giusto di farlo, se hai fatto un po' di pratica da bambino”.

“Ah, questo è vero”.

“Ecco, supponiamo che qualcuno che non ha mai visto un'altalena voglia spingerla con una certa frequenza decisa da lui, che non è quella giusta. Che succede?”.

“Boh? Immagino che chi spinge faccia molta fatica a farlo”.

“Sicuramente, perché si troverà spesso fuori sincrono con le oscillazioni, per cui a volte spinge mentre l'altalena va indietro”.

“Deve stare attento a non farsi del male”.

“Pensa a quello che fa un bambino piccolo le prime volte in cui sale su un'altalena: si siede e comincia a muovere all'impazzata le gambe avanti e indietro. Che succede all'altalena?”.

“Niente”.

“Bé, non proprio niente”.

“Sì, va bene, un pochino si muove”.

“Esatto: un pochino oscilla avanti e indietro, seguendo il moto dato dal bimbo, ma senza quelle belle oscillazioni che il bimbo vorrebbe”.

“Già”.

“E che succede se tu gli dai una spinta, all'inizio, e poi lo lasci andare?”.

“Eh, succede che l'altalena oscilla un pochino, e pian piano si smorza”.

“Bene, hai descritto perfettamente il comportamento di un oscillatore forzato e smorzato”.

“Forzato?”.

“Sì, con uno che spinge, insomma. C'è una forza esterna che imprime una oscillazione”.

“Ah. Ma non ho ben capito cosa ho descritto…”.

“Hai descritto questo: l'oscillatore ha una sua frequenza di oscillazione, che pian piano si smorza a causa dell'attrito. Quello che rimane è dovuto soltanto alla forza esterna, che oscilla a una frequenza che non è quella giusta e che, quindi, provoca soltanto piccoli movimenti”.

“Ma la forza esterna c'è anche all'inizio, quando l'oscillatore è ancora in grado di oscillare secondo la sua frequenza propria, no?”.

“Certo: i due tipi di oscillazione sono sempre presenti; all'inizio, però, prevale l'oscillazione propria (cioè prevale la grossa spinta che dai all'altalena in modo da fare divertire il bimbo che non è capace di spingersi), e in seguito prevale l'oscillazione forzata (cioè il bimbo che sgambetta e fa oscillare di poco l'altalena). Eccoti un disegno di esempio”.

“Ah, ecco, sembra una modulazione”.

“Lo è! L'oscillazione smorzata dell'altalena viene modulata dalle piccole oscillazioni impresse dal bimbo. Alla fine rimangono solo quelle e il bimbo si scoccia”.

“Bello. Questo comportamento si verifica anche nel caso dell'altalena arrugginita?”.

“Quello della modulazione? Sì. Naturalmente nel caso dell'altalena arrugginita non c'è nemmeno una qualche oscillazione iniziale e quindi il bimbo si scoccia subito”.

“E quand'è che insegniamo al bimbo ad andare in altalena?”.

“La prossima volta”.

“Con anche la vasca da bagno?”.

“Con anche la vasca da bagno”.

Di altalene, molle e vasche da bagno — oscillazioni

“Parliamo di altalene meno arrugginite, oggi?”.

“Sì. Tutto è come prima, ma c'è meno attrito. Tu sali sull'altalena, ti lasci andare, man mano che scendi vieni sottoposto a una forza sempre più piccola, come succedeva prima, con una importante differenza”.

“La forza è sempre più piccola, ma non troppo piccola”.

“Esatto. La forza ti permette di arrivare in un tempo finito alla posizione più bassa dell'altalena, e con ancora abbastanza velocità da poter salire dall'altra parte”.

“Un po' meno in alto rispetto alla quota dalla quale ero partito, però”.

“Esatto, perché l'attrito ti fa perdere un po' di energia. Però, dato che riesci a risalire dall'altra parte, poi puoi tornare indietro, e di nuovo passi dalla posizione più bassa con ancora abbastanza velocità da poter risalire dall'altra parte”.

“E così via”.

“E così via. E questo, in matematica, significa che oscillerai per sempre, con ampiezza sempre più piccola”.

“Ma in pratica dopo un po' mi fermerò, no?”.

“Sì, nel mondo fisico a un certo punto non apprezzi più nessuna oscillazione, mentre dal punto di vista matematico puoi pensare a oscillazioni di ampiezza sempre più piccola, ma non nulla”.

“Ok”.

“Ti faccio vedere il grafico anche di questo secondo caso, eccolo”.

“Bello, oscillazioni sempre più piccole”.

“Questo viene detto moto oscillatorio smorzato, o sottosmorzato”.

“Perché è smorzato troppo poco, giusto? Mentre l'altalena arrugginita era sovrasmorzata”.

“Esatto”.

“E il terzo caso, quindi? Sarebbe una via di mezzo tra il moto sottosmorzato e quello sovrasmorzato?”.

“Proprio così, lo smorzamento del caso rimanente si chiama smorzamento critico. Sarebbe quello di un'altalena che ha la giusta quantità di attrito per non farti oltrepassare lo zero, ma non di più. Non ti frena troppo, ma neanche troppo poco”.

“Mi frena il giusto, insomma”.

“Sì, ti fa arrivare in fretta alla posizione più bassa, ma non troppo in fretta. Mh, in realtà non sono stato preciso: anche in questo caso alla posizione di riposo ci arrivi in un tempo infinito, però scendi più velocemente rispetto a quello che facevi prima. Ma se scendessi con una velocità ancora superiore, anche se di pochissimo, passeresti dall'altra parte e cominceresti a oscillare. Ecco il disegno”.

“Mi sembra uguale al primo caso”.

“No, in realtà questo moto scende più velocemente. Guarda, te li sovrappongo sulla stessa figura”.

“Ah, ecco, ora è chiaro”.

“Il mio prof di fisica diceva che, quando devi tarare gli ammortizzatori di un'automobile, devi cercare lo smorzamento critico. Se le molle sono troppo dure, sei nel caso sovrasmorzato e l'auto si adatta male alle buche, e chi è a bordo sente troppi contraccolpi. Viceversa, nel caso sottosmorzato l'auto comincia a oscillare e a chi è a bordo viene il mal di mare”.

“Bello, ho capito. Mi manca un'ultima cosa, però”.

“Cosa?”.

“La vasca da bagno”.

“Porta pazienza”.

Di altalene, molle e vasche da bagno — attriti

“Vasche da bagno?”.

“E altalene, e molle”.

“E cosa c'entrano con la matematica?”.

“A parte il fatto che, volendo, tutto c'entra con la matematica, in questo caso parliamo di un fenomeno preciso: le oscillazioni”.

“Quindi parliamo di fisica”.

“Eh, dipende dal punto di vista: la matematica fa da modello per i fenomeni fisici, oppure è l'alfabeto nel quale Dio ha fcritto l'univerfo?”.

“…”.

“Ma non addentriamoci in queste questioni filosofiche”.

“Ecco, meglio”.

“Parliamo di equazioni matematiche che vengono usate in fisica per studiare le oscillazioni, e lo facciamo ponendo l'accento sulla parte matematica, senza però tralasciare riferimenti alla vita quotidiana”.

“Come la vasca da bagno”.

“Esatto”.

“Cosa c'entra, poi, la vasca da bagno?”.

“Vedrai, vedrai. Ma partiamo dall'inizio: in fisica esistono fenomeni oscillatori di tanti tipi, da quelli generati dai circuiti elettrici che vengono usati, tanto per fare un esempio, in tutti i nostri dispositivi wi-fi alle oscillazioni prodotte da una massa collegata a una molla, o quelle di un pendolo, o di un'altalena”.

“Ok”.

“E il bello è che le equazioni che descrivono questi fenomeni sono sempre le stesse: cambiano certamente le grandezze in gioco e le unità di misura, ma la forma dell'equazione è quella. Che siano elettroni che si muovono lungo un conduttore, o masse sottoposte alla forza di gravità, o a forze elastiche, si ha sempre a che fare con lo stesso tipo di equazione”.

“Che sarebbe?”.

“Eh, purtroppo è un'equazione complicata: i Veri Matematici la chiamano equazione differenziale”.

“Roba di cui non ho assolutamente idea”.

“E che non cerco di spiegarti adesso: servono troppe conoscenze matematiche per farti vedere come si può risolvere. Posso però cercare di darti un'idea intuitiva”.

“Proviamo”.

“In questo tipo di equazioni l'incognita non è un numero, ma una funzione”.

“Uhm”.

“La funzione che ti dà la posizione, istante per istante, del pendolo, o dell'altalena, o della massa attaccata alla molla, o della quantità di carica elettrica che attraversa un filo conduttore”.

“Ah”.

“Inoltre, questo tipo di equazioni contiene informazioni sul modo in cui varia la funzione incognita, e questo è il difficile”.

“Infatti non ho capito niente”.

“Pensa a una molla fissata in terra, e a te che ci sali sopra”.

“Bene, come un tappeto elastico”.

“Esattamente. L'incognita è la posizione dell'estremo della molla che si muove”.

“Quello attaccato a me, insomma?”.

“Esatto”.

“E perché è una funzione?”.

“Perché la posizione non è fissa, ma dipende dal tempo”.

“Ah, ok”.

“Ora pensa a quello che succede: se tu sali sulla molla, questa si comprime”.

“Giusto”.

“Ma comprimendosi esercita una forza verso l'alto, cioè verso di te”.

“Anche questo è vero”.

“E allora l'effetto della tua salita sulla molla sarà un po' mitigato da questa forza contraria”.

“Giusto”.

“E quindi la tua azione di compressione sarà meno efficace, e la molla farà sempre più fatica a accorciarsi”.

“Sì, è così, infatti non la posso comprimere all'infinito, a un certo punto mi bilancerà”.

“Benissimo. Il fatto interessante è che questa azione di bilanciamento non si manifesta all'improvviso: man mano che comprimi la molla senti una forza contraria sempre più grande che ti impedisce di comprimerla con la stessa intensità. Insomma, la velocità con cui la molla si comprime varia nel tempo, fino a che non si arriva alla massima compressione. Anzi, può succedere che tu venga poi spinto via, cioè verso l'alto”.

“Come succede effettivamente nei tappeti elastici”.

“Certo. L'equazione che descrive questo comportamento tiene conto di tutto: cioè tiene conto della tua posizione e del fatto che più comprimi, maggiore è la forza esercitata dalla molla su di te. Forza che a sua volta produce una variazione nella tua velocità”.

“Uh, complicato”.

“Eh, sì. Si dice che un'equazione differenziale dà una descrizione locale di un fenomeno”.

“Locale?”.

“Locale in senso matematico, cioè in questo caso circoscritta a un istante di tempo. In sostanza ti dice: guarda che adesso le leggi che governano il tuo moto sono queste, ma tra un po' saranno diverse perché la molla non sarà più nella stessa posizione e quindi eserciterà una forza diversa su di te”.

“Una roba del tipo adesso la molla spinge poco, tra un po' spingerà di più, e così via?”.

“Più o meno… Quello che ti dice l'equazione è ciò che succede istante per istante, quello che devi fare tu per risolverla è ricostruire il comportamento globale. È come se tu fossi all'interno di un'automobile con i vetri oscurati, assieme a un navigatore che ti dice, istante per istante, che strada devi prendere. Tu, oltre a fidarti delle indicazioni, devi ricostruire il percorso”.

“Ah, bello, così ho quasi capito”.

“Bene, mi fa piacere. Allora, risolvendo l'equazione si possono verificare tre casi, che adesso provo a descriverti”.

“Vai”.

“Il primo caso è quello senza oscillazioni”.

“Ma come?”.

“Eh, ricordi che ti ho parlato di altalene?”.

“Certo, quelle oscillano”.

“Non sempre: immaginati un'altalena molto arrugginita”.

“…”.

“Dico sul serio: immagina che ci sia una grande forza di attrito. Puoi immaginarti un'altalena arrugginita, oppure una molla che fa strisciare un corpo molto rugoso e pesante sul pavimento”.

“Uhm”.

“A fatica sollevi il seggiolino dell'altalena, ti ci siedi sopra, e ti lasci andare. Con un grande cigolio di cardini pian piano scendi verso il basso, ma sempre più lentamente”.

“Prima o poi arrivo in fondo”.

“Dal punto di vista fisico, in una situazione reale, prima o poi ci arrivi. Nel nostro modello matematico la tua velocità diminuisce sempre di più man mano che scendi, in modo tale che ti ci vorrebbe un tempo infinito per arrivare in basso”.

“Ah”.

“Ora provo a farti vedere un disegno: sull'asse orizzontale metto il tempo, sull'asse verticale invece metto l'angolo che l'altalena forma con una immaginaria retta verticale che rappresenta la condizione di riposo”.

“Uh, tutto qua?”.

“Eh, sì, un'altalena arrugginita non è tanto divertente”.

“Cosa rappresentano i numeri sugli assi?”.

“Niente di speciale, immagina delle unità di misura arbitrarie, scelte per comodità. Quello che conta è che la posizione dell'altalena si avvicina molto lentamente allo zero”.

“E più si avvicina, più è lenta, giusto?”.

“Esatto, è proprio così, questo è quello che dice l'equazione differenziale. Più sei vicino alla posizione verticale, più sei lento negli spostamenti”.

“Ho capito. Ma questo è uno solo dei tre casi, vero?”.

“Sì, è quello che viene detto moto aperiodico smorzato, o sovrasmorzato”.

“In pratica, c'è troppo attrito, niente oscillazioni”.

“Esatto”.

“E gli altri due casi?”.

“Li vediamo la prossima volta”.