“Allora, oggi mi dici come sono fatte le terne pitagoriche primitive?”.
“Sì. Vediamo di costruirle pian piano. Abbiamo detto che se vale l'equazione x2 + y2 = z2 allora x è pari, y è dispari, z è dispari”.
“A meno di uno scambio tra x e y”.
“Esatto, è solo una questione di nomi. Il triangolo rettangolo ha due cateti, uno pari e uno dispari. Quello pari si chiama x”.
“Perfetto”.
“Inoltre, in una terna primitiva non ci sono fattori comuni tra x, y e z”.
“Nemmeno se li si prende a due a due”.
“Vero anche questo. Infine, possiamo anche sottolineare il fatto che z è maggiore di y”.
“Certamente, è l'ipotenusa”.
“Quindi z - y è una quantità positiva”.
“Vero anche questo, ma perché me lo dici?”.
“Perché ci serve saperlo tra un attimo. Dato che x2 è uguale a z2-y2, utilizzando la formuletta della differenza tra due quadrati possiamo scrivere:”.
x2 = (z - y)(z + y)
“Ok, ci sono”.
“(z - y) è una quantità positiva, perché z è maggiore di y, come abbiamo detto poco fa”.
“Ah, ecco perché me l'hai fatto notare”.
“E naturalmente anche (z + y) è positiva”.
“Certo”.
“Sono anche entrambe quantità pari”.
“Questo perché…”.
“La somma e la differenza di due numeri dispari danno un numero pari”.
“Giusto”.
“Quindi possiamo indicare (z - y) con 2u e (z + y) con 2v”.
“Va bene, così è evidente che sono numeri pari”.
“E dunque x2 = (z - y)(z + y) = 4uv”.
“Fin qua ci sono”.
“Allora (x/2)2 sarà uguale a uv.”.
“Va bene, anche se mi piace poco quella frazione”.
“Ma in realtà non è una frazione, perché abbiamo detto che x è pari, quindi stiamo sempre lavorando con numeri interi”.
“Ah, giusto! Ci sono, allora, andiamo avanti”.
“Ragioniamo un momento su questi due numeri u e v. Voglio dimostrare che sono primi tra loro”.
“E come fai?”.
“Intanto ti faccio notare che si possono esprimere in funzione di y e z. Cosa si può ricavare, infatti, da queste due relazioni?”.
z + y = 2v
z - y = 2u
“Cosa si può ricavare?”.
“Se le sommi, ottieni che 2z = 2(v + u), no?”.
“Vero. Quindi z = v + u”.
“E se le sottrai?”.
“Se faccio la prima meno la seconda ottengo 2y = 2(v - u). Quindi y = v - u. Ah, allora z e y si possono esprimere facilmente in funzione di u e v:”.
z = v + u
y = v - u
“Molto bene. Allora possiamo dimostrare quello che abbiamo detto un momento fa: u e v sono primi tra loro perché, se avessero un fattore comune, questo sarebbe comune anche a v + u e a v - u, e di conseguenza sarebbe comune a z e y”.
“Che però devono essere primi tra loro”.
“Esattamente, l'abbiamo dimostrato l'altra volta, è quella che abbiamo chiamato proprietà 3.”.
“E adesso?”.
“Adesso torniamo all'uguaglianza (x/2)2 = uv. Abbiamo un prodotto di due numeri primi tra loro che dà come risultato un quadrato, quindi…”.
“Quindi, applicando la proprietà 4, possiamo dire che quei due numeri sono due quadrati!”.
“Perfetto, quindi possiamo indicare u con t2 e v con s2”.
“Molto bene”.
“Dato che v - u è uguale a y, numero positivo, questo significa che v è maggiore di u, e quindi che s è maggiore di t”.
“Giusto anche questo”.
“E allora abbiamo finito, ecco come sono fatte le terne pitagoriche:”.
x = 2st
y = s2 - t2
z = s2 + t2
“Ah, ecco. Un momento, la prima uguaglianza da dove viene?”.
“Bè, avevamo detto che x2 = 4uv, cioè 4s2t2”.
“Ah, ok, facciamo la radice. Ma possiamo assegnare a s e t tutti i valori che vogliamo?”.
“No. Abbiamo già detto che s deve essere maggiore di t, perché y deve risultare positivo”.
“Vero”.
“Inoltre s e t devono essere uno pari e uno dispari”.
“Provo a capire perché, ormai ci ho preso la mano… Allora, se fossero entrambi pari, vediamo, la loro somma e la loro differenza sarebbero pari, ma allora y e z sarebbero entrambi pari, e non va bene”.
“Stessa cosa se fossero entrambi dispari, no?”.
“Ah, certo, la somma e la differenza di due numeri dispari sono pari, quindi si fa esattamente lo stesso ragionamento”.
“Infine: è possibile che s e t abbiano fattori comuni?”.
“No, questo è facile: se li avessero li avrebbero anche x, y e z”.
“Benissimo. Questo è il teorema, che non è ancora completo però”.
“Cosa manca?”.
“Il viceversa. Cioè adesso abbiamo detto che se abbiamo una terna pitagorica allora la si può scrivere in funzione di s e t come detto poco fa. Viceversa, dati s e t con le caratteristiche dette sopra, è sempre vero che generano una terna pitagorica?”.
“Ah. Boh, e come si fa a saperlo?”.
“Qui è facile, si fa il calcolo. È vero che x2 + y2 = z2? Prova a calcolarlo”.
“Allora, x2 sarebbe 4s2t2, mentre y2 sarebbe s4 - 2s2t2 + t4. Se li sommo ottengo s4 + 2s2t2 + t4”.
“Che, guarda un po', è proprio il quadrato di z”.
“Ah, bene, allora abbiamo finito”.
“Quasi”.
“Ma come? Cosa c'è ancora?”.
“Eh, quella che hai ottenuto è effettivamente una terna pitagorica, l'hai appena dimostrato. Ma è anche primitiva?”.
“Uffa. Allora, vediamo, se x, y e z avessero un fattore comune…”.
“Chiamalo p, e supponi che sia primo”.
“Se avessero un fattore comune avrebbero anche un fattore primo comune, lo chiamo p, ok”.
“Questo p dovrebbe dividere anche z + y”.
“Certo”.
“E z + y è uguale a 2s2”.
“Fammi controllare… ok, giusto, basta sommarli”.
“E ragionando allo stesso modo, p dovrebbe dividere anche z - y”.
“Giusto. Ti anticipo dicendo che z - y è uguale a 2t2”.
“Perfetto. E osserva anche il fatto che p non è uguale a 2”.
“Uh, allora, p non è 2 perché…”.
“Perché divide x e anche y, ma uno è pari e uno è dispari”.
“Giusto”.
“Quindi p divide 2s2, p divide 2t2, p non è 2”.
“E allora p dividerà s2 e t2”.
“E dunque, siamo alla fine, p divide s e anche t. Ma s e t erano…”.
“Primi tra loro! Impossibile! Ah, finalmente, abbiamo dimostrato che quella è davvero la formula per ottenere tutte e sole le terne pitagoriche”.
“Te la riassumo qua sotto:”.
Tutte e sole le terne pitagoriche primitive con x pari sono date dalle formule seguenti:
x = 2st
y = s2 - t2
z = s2 + t2
con s > t > 0, s e t primi tra loro, s e t hanno diversa parità.
“Uff. Finito?”.
“Sì. Bé, la prossima volta concludiamo con qualche proprietà poco nota, e poi magari scriviamo anche qualche terna diversa dalla solita (3,4,5)”.
“Molto bene”.
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