Le terne pitagoriche, spiegate bene — 1. Cosa sono?

“Ahh, i bei tempi in cui si poteva giocare”.

“Eh?”.

“Ma sì, me lo vedo Pitagora, nei pomeriggi di Natale, intorno alla tavola assieme ai suoi soci, con il nonno che estraeva i numeri, tre!, quattordici!, quindici!, e Pitagora che urlava terna!, e Ippaso invece tombola!, e Pitagora si arrabbiava sempre, e poi si sa che fine ha fatto Ippaso…”.

“…”.

“E allora Pitagora voleva cambiare gioco, dai mettiamoci a suonare un po' la lira, sentite come vibrano bene queste corde, Ippaso smettila che sei stonato, e gli altri basta Pitagora ci hai rotto con le tue corde che suonano, ma una bella batteria quando la mettiamo su, che noia questa musica, e se sei sfortunato alla tombola non è mica colpa nostra…”.

“ALLORA”.

“Ehm”.

“NO, DICO”.

“Erano altre terne quelle di cui volevi parlare, vero?”.

“Già”.

“Forse quelle del teorema di Pitagora, vero?”.

“Eh”.

“Il quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti”.

“Così andiamo meglio. Se vogliamo tradurre in formule, x² + y² = z²”.

“Dove x e y sono i cateti e z invece è l'ipotenusa, vero?”.

“Certo. Per terna pitagorica si intende una terna di numeri naturali che soddisfa quell'equazione”.

“La famosa terna 3, 4 e 5. Mi ricordo solo quella…”.

“Quella è un esempio, ma ce ne sono altre. Tante altre. Naturalmente se trovi una terna di numeri interi che va bene, puoi anche cambiare qualche segno e quello che ottieni soddisfa ancora l'equazione, perché tanto elevi tutto al quadrato e i segni si perdono”.

“Anche se non ha significato geometrico”.

“Infatti. Noi ragioniamo sui numeri positivi per non avere problemi di segno”.

“Ok”.

“Allora, la domanda è: come sono fatte queste terne? Che proprietà hanno? Come si trovano?”.

“Boh?”.

“Una prima proprietà che possiamo notare subito (e che conoscono anche gli studenti delle medie, quando risolvono problemi che si basano sulle terne pitagoriche) è questa: data una terna che soddisfa l'equazione x² + y² = z², ne possiamo trovare infinite altre moltiplicando tutti i termini della terna per un fattore comune”.

“Cioè mi stai dicendo che se va bene la terna (3,4,5) allora va bene anche la terna (6,8,10)? Mh, sì, in effetti è vero, il fattore comune viene elevato al quadrato e lo si può semplificare”.

“Esattamente, se (x,y,z) soddisfa all'equazione del teorema di Pitagora, allora lo fa anche la terna (dx,dy,dz), perché risulta d²x² + d²y² = d²z²”. Dividendo tutto per d² ritrovi l'equazione iniziale.

“Ok, chiaro. Quindi in sostanza ci interessano le terne non semplificabili”.

“Sì, che vengono dette terne pitagoriche primitive, e sono tali per cui il massimo comun divisore tra x, y e z è uguale a 1”.

“Cioè sono non semplificabili, come ho detto io”.

“Io ho usato il linguaggio che usano i Veri Matematici”.

“Che sono abituati a complicare le cose semplici”.

“Ma no, sono solo precisi”.

“Ma smettila… Allora dobbiamo capire come sono fatte queste terne primitive?”.

“Sì, vediamo una prima proprietà. Diamo sempre per scontato che x e y siano le lunghezze dei due cateti, mentre z è l'ipotenusa. Domanda: x e y possono essere entrambi numeri pari?”.

“Boh? No, hai detto che devono essere primi tra loro”.

“No. L'affermazione che hai appena detto tu è diversa: io ho detto che x, y e z devono essere primi tra loro, ma è possibile che x e y abbiano fattori comuni. In realtà vedremo dopo che non è così, ma adesso non lo sappiamo ancora”.

“Ah, ok. Come faccio allora a sapere se x e y possono essere entrambi pari?”.

“Prova: se sono entrambi pari come saranno i loro quadrati?”.

“Pari pure loro”.

“Puoi dire di più: sono divisibili per il quadrato di 2, cioè sono multipli di 4”.

“Giusto”.

“E dall'equazione x² + y² = z² puoi immediatamente dedurre che anche il quadrato di z deve essere divisibile per 4…”.

“E quindi z deve essere pari, ma questo non è possibile, perché stiamo studiando le terne primitive! In questo caso invece avremmo tre numeri pari, e non va bene”.

“Molto bene. Possono essere entrambi dispari?”.

“Eh, uhm, qui non so mica rispondere, se sono dispari non vuole dire che abbiano un fattore comune”.

“Vero. Se sono dispari li puoi scrivere in questo modo: x = 2h + 1, y = 2k + 1”.

“D'accordo, i numeri dispari si possono scrivere così. È come dire che sono uguali a un numero pari più uno”.

“O, se vuoi usare l'aritmetica modulare, è come dire che sono congruenti a 1 modulo 2. Insomma, il resto della divisione per 2 è uguale a 1. Quando elevi al quadrato, il resto della divisione per 2 sarà ancora 1”.

“Che è un modo complicato per dire che il quadrato di un numero dispari è dispari. Se non c'era un fattore 2 prima di elevare al quadrato, non c'è nemmeno dopo”.

“Perfetto. Cosa mi dici allora della somma dei due quadrati dispari?”.

“Dispari più dispari fa pari”.

“Bene, ma rispetto alla divisione per 4? Quanto vale il resto della divisione per 4 di un dispari più un altro dispari?”.

“Boh?”.

“Dobbiamo fare il calcolo. Eleva al quadrato (2h + 1)”.

“Col quadrato del binomio?”.

“Certo”.

“Viene 4h² + 4h + 1… ah, forse ho capito. È un numero che si può scrivere come 4H + 1”.

“Molto bene”.

“Quindi il quadrato di un numero dispari dà resto 1 nella divisione per 4. Bello”.

“E se sommi due quadrati di dispari, cioè due numeri del tipo 4H + 1 e 4K + 1?”.

“Ottengo 4(H + K) + 2, quindi z² dovrebbe essere un numero che, nella divisione per 4, mi dà resto 2”.

“E questo è impossibile”.

“Perché?”.

“Perché l'abbiamo appena visto: se un numero è pari, il suo quadrato è divisibile per 4, e quindi il resto della divisione per 4 è 0. Se è dispari, il resto è 1. Non ci sono altre possibilità, è impossibile che un quadrato abbia resto 2 nella divisione per 4”.

“Ahh. Ma allora se x e y non possono essere entrambi pari o entrambi dispari, vorrà dire che saranno uno pari e uno dispari”.

“Certo, è rimasta solo questa possibilità. E almeno una volta è verificata, la terna (3,4,5) esiste”.

“Bello”.

“Ok, riassumiamo quindi quello che abbiamo stabilito:”.

Proprietà 1: in una terna pitagorica primitiva x e y sono uno pari e uno dispari.

“Bene”.

“E, come bonus, abbiamo anche scoperto che il quadrato di un numero è sempre congruente a 0 oppure a 1 modulo 4”.