Le terne pitagoriche, spiegate bene — 2. Che proprietà hanno?

“Allora, mi hai detto che in una terna pitagorica i due cateti sono uno pari e uno dispari”.

“Esatto. Da adesso in poi diciamo che quello pari sia quello che abbiamo indicato con x, e quindi quello dispari è y”.

“E z?”.

“Proviamo a capire se c'è anche qualche proprietà che riguarda z. Può essere pari?”.

“Eh, boh, devo provare”.

“Prova. Ricordati che l'equazione x² + y² = z² può anche essere scritta come y² = z² - x²”.

“Ah, allora se sia x che z sono pari, dovrebbe esserlo anche y”.

“Che invece è dispari”.

“Allora è impossibile che z sia pari, quindi deve essere sempre dispari”.

“Benissimo, ecco una nuova proprietà:”.

Proprietà 2: in una terna pitagorica primitiva, x è pari, y è dispari, z è dispari (a meno di uno scambio tra x e y)

“Molto bene”.

“Ora, è possibile che i due termini y e z abbiano fattori in comune?”.

“Se ce li hanno, devono essere dispari”.

“Giusto. Inoltre, se ce li hanno, li possiamo scomporre e possiamo così affermare che esiste un numero primo p che li divide entrambi”.

“Certo”.

“E quindi p divide anche i loro quadrati”.

“Senza dubbio”.

“E allora p deve dividere anche il quadrato di x, perché x² = z² - y²”.

“Ma allora p li dividerebbe tutti e tre, e questo è impossibile, perché abbiamo a che fare con terne primitive”.

“Forse x e y potrebbero avere qualche fattore comune, allora?”.

“Mah, mi sembra che si possa ripetere il ragionamento appena fatto. Non serviva sapere che y e z fossero dispari”.

“Esatto. Quindi nemmeno x e z possono avere fattori comuni, giusto?”.

“Giusto. Ecco una nuova proprietà:”.

Proprietà 3: in una terna pitagorica primitiva, MCD(x,y) = MCD(x,z) = MCD(y,z) = 1

“Che è un modo complicato per dire che nemmeno presi a coppie x, y e z hanno fattori comuni”.

“Proprio così. Ora vediamo un'ultima proprietà, che è abbastanza semplice da raccontare, ma un po' noiosa da dimostrare alla maniera dei Veri Matematici”.

“Uhh”.

“Eccola:”.

Proprietà 4: Se il prodotto di due numeri primi tra loro è un quadrato, allora i due numeri sono due quadrati

“Mh”.

“Il prodotto di due numeri primi tra loro è 36, che è un quadrato. Quali sono questi due numeri?”.

“Sei e sei. Sei per sei fa trentasei. Ma sei non è un quadrato, qualcosa non va”.

“Certo che qualcosa non va: sei e sei non sono primi tra loro”.

“Ah, ehm, vero”.

“I due numeri corretti sono 4 e 9, che sono due quadrati”.

“Già”.

“Questo vale sempre”.

“Ed è difficile da dimostrare?”.

“No, è noioso perché devi sempre pensare alle scomposizioni in fattori primi dei numeri, e allora le formule da scrivere sono lunghe perché non sai mai a priori in quanti fattori sia scomponibile un numero. Comunque, vediamo un'idea di dimostrazione. Indichiamo con a e b i due numeri che, moltiplicati, danno un quadrato, che indichiamo con c²”.

“Ok, ab = c²”.

“Succede che a sarà scomponibile in fattori, così come b”.

“Certo”.

“Dato che a e b sono primi tra loro, i fattori della scomposizione di a saranno diversi da quelli della scomposizione di b”.

“Ok”.

“E quindi i fattori di ab saranno tutti quelli di a assieme a tutti quelli di b”.

“Giusto”.

“Ma tutto questo è uguale a c², che sarà pure lui scomponibile in fattori. Ma è un quadrato…”.

“Quindi nella sua scomposizione ci saranno tanti fattori al quadrato”.

“Questo è il punto. Dato che il teorema fondamentale dell'aritmetica ci dice che la scomposizione in fattori primi è unica, la scomposizione in fattori di ab deve essere uguale a quella di c²”.

“Ah, allora ci saranno quadrati anche nella scomposizione di a e b”.

“Ed ecco fatto: anche a e b sono quadrati. Te lo faccio capire meglio con un esempio: il prodotto ab = 8100, che è il quadrato di 90. Prova a scomporlo:”.

“Dunque, 8100 è 2²3⁴5². Come faccio a sapere chi sono a e b?”.

“Fai i vari casi, ma ricordati che devono essere primi tra loro”.

“Allora, potrei avere a = 2² e b = 3⁴5²”.

“E sia a che b sarebbero due quadrati”.

“Vero. Oppure potrei avere a = 2²3⁴ e b = 5²”.

“E anche in questo caso hai due quadrati”.

“Ah, ma ho capito, si hanno sempre quadrati. L'unico modo per non averli sarebbe quello di spezzare le potenze distribuendole un po' su a e un po' su b”.

“Ma non si può, perché a e b devono essere primi tra loro”.

“Ok, ho capito. E adesso?”.

“Adesso costruiamo queste benedette terne”.