lunedì 9 novembre 2015

Il determinante di una matrice, che rimane sempre un concetto misterioso

Tempo fa avevo scritto del determinante visto come volume orientato, e di come la sua definizione fosse necessariamente complicata (cioè: se vuoi una formula che funzioni in un certo modo, con determinate proprietà, allora deve essere fatta così).

Possiamo affrontare il problema anche in un altro modo: invece di elencare le proprietà e vedere come va a finire, facciamo il conto una volta per tutte. Lo facciamo in un caso particolare, quello bidimensionale, che riusciamo a visualizzare bene, perché spesso un disegnino spiega più di mille parole (se non sarà una dimostrazione generale da Veri Matematici, pazienza).

Quindi: cosa vogliamo fare? Vogliamo calcolare l'area di un parallelogramma conoscendo i due vettori che lo generano.


Ecco, questa immagine è una dimostrazione senza parole (quasi, via) del fatto che il determinante di una matrice quadrata rappresenta l'area di un parallelogramma generato dai due vettori (a,b) e (c,d), che nel disegno sono scritti in verticale così come si fa di solito in algebra lineare/geometria.

Ecco la spiegazione:


  • Il rettangolo blu ha il lato orizzontale lungo a e quello verticale lungo d, quindi la sua area vale ad.
  • Trasporto il triangolo rettangolo avente cateti a e b (quello con il tratteggio arancione) in alto.
  • Trasporto il triangolo rettangolo avente cateti c e d (quello con il tratteggio viola) a destra.
  • Osservo che in questo modo copro tutto il parallelogramma e anche qualcosa in più, e più precisamente il rettangolino in alto a destra, di dimensioni c e b, e quindi di area bc.
  • Concludo quindi che l'area del parallelogramma si ottiene sottraendo l'area del rettangolino bc dall'area del rettangolone ad, cioè ad − bc.
  • (Noto che devo sottrarre tutto il rettangolino bc e non solo la parte esterna al parallelogramma, perché la parte interna viene contata due volte (e infatti presenta un doppio tratteggio), mentre devo contarla una volta sola)
  • Concludo che va tutto bene, quindi l'area del parallelogramma è proprio uguale al determinante della matrice.


Questo disegnino serve anche per capire perché funziona la misteriosa regola di Cramer per risolvere i sistemi lineari, ma questa è un'altra storia.

P.S. Questo è il millesimo post di questo blog. Incredibile.

3 commenti:

Juhan van Juhan ha detto...

Uh! 1000 e in attesa di altri 1000.
Non ho messo il doveroso punto esclamativo per ragioni a dedursi ma si voleva proprio!

zar ha detto...

1000! sono un po' tantini, eh

Maurizio ha detto...

Non poniamo limiti alla Provvidenza. Complimenti, Roberto!