«Nove lati».
«Vai avanti nell'analisi».
«Allora, l'equazione dei vertici è x9-1 = 0, che si riduce nel prodotto (x-1)(x8+x7+…+x+1) = 0. L'equazione ciclotomica è quindi di ottavo grado, 8 è una potenza di 2, quindi siamo a posto, l'ennagono è costruibile. Fatto».
«Sbagliato».
«Perché?».
«Hai dimenticato un particolare: l'equazione deve avere come grado una potenza di 2, è vero, ma deve anche essere irriducibile, altrimenti non puoi concludere niente».
«E questa non è irriducibile?».
«No, e lo si può vedere facilmente: possiamo interpretare il polinomio x9-1 come una differenza di cubi».
«Giusto, se lo scompongo ottengo x9-1 = (x3-1)(x6+x3+1)».
«Continua nella scomposizione, anche x3-1 è una differenza di cubi».
«Vero, si scompone in (x-1)(x2+x+1)».
«Se mettiamo tutto insieme, abbiamo che».
x9-1 = (x-1)(x2+x+1)(x6+x3+1).
«Ah, ho capito, l'equazione ciclotomica di grado 8 è stata scomposta, non è irriducibile».
«Esatto. Ora concentriamoci sull'equazione x6+x3+1 = 0».
«Posso dire che ha le stesse soluzioni dell'equazione ciclotomica da cui siamo partiti, da cui però devo togliere le soluzioni di (x-1)(x2+x+1) = 0».
«Che sono poi le soluzioni di x3-1 = 0, cioè le tre radici cubiche dell'unità».
«Ah, è vero. Se chiamiamo R la prima soluzione non banale dell'equazione ciclotomica, abbiamo allora che le soluzioni di x6+x3+1 = 0 sono R, R2, R4, R5, R7 e R8».
«Esatto, abbiamo lasciato indietro 1, R3 e R6 che corrispondono alle radici cubiche di 1. Ora le accoppiamo come in questa figura:».
«Ah, hai messo in evidenza anche le radici cubiche».
«Sì, ma quelle non vanno considerate. Accoppiamo le altre costruendo tre nuove variabili:».
y1 = R+R8,
y2 = R2+R7,
y3 = R4+R5.
«Ora dobbiamo fare quei calcoli noiosi, vero?».
«Sì, se vuoi ti abbrevio il calcolo e ti dico il risultato».
«Benissimo».
«Allora, se provi a calcolare la somma y1+y2+y3, risulta R+R2+R4+R5+R7+R8».
«Uhm, e quanto fa?».
«È la somma delle radici di x6+x3+1 = 0».
«Vero. Ma quanto fa?».
«Data un'equazione, è possibile calcolare la somma delle sue radici senza calcolare tutte le radici».
«Ah, sì, basta prendere il coefficiente del secondo termine».
«E cambiargli di segno».
«Vero. Ma nella nostra equazione il secondo termine non è x3, no? Dovrebbe essere x5, ma non c'è».
«Dunque il suo coefficiente è zero».
«Ah, ma allora la somma delle radici è zero, e quindi anche y1+y2+y3 = 0».
«Bene. Ora passiamo al calcolo di y1y2+y1y3+y2y3. Ti dirò che il risultato è -1+2(R3+R6), cioè -1+2(-1), cioè -3».
«Ok, rimane ora da calcolare y1y2y3».
«Qui il risultato è -1».
«Ok, perfetto. Allora, dovrei costruire un'equazione di terzo grado in y con questi coefficienti…».
«…ricordati di prendere i segni alterni».
«Giusto. Allora, i coefficienti sono 0, -3, +1. L'equazione è y3-3y+1».
«Che è irriducibile, e di terzo grado».
«Ah, ma allora i nostri y non possono essere costruiti».
«No, e quindi nemmeno l'ennagono. Il grado 8 non era sufficiente, per poter applicare il teorema serviva anche l'irriducibilità dell'equazione ciclotomica».
«Poveri greci».
2 commenti:
Sbaglio o si puo` anche vedere che tolte le prime tre radici le altre 6 sono ottenute trisezionando degli angoli?
Mh, non so. Perché è vero che sappiamo costruire R^3 e non sappiamo trisecarlo, ma potrebbe esistere un altro modo per costuire R.
Ripensandoci, però, se esistesse un altro modo per costruire R, allora R^3 sarebbe trisecabile. Potresti aver ragione.
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