sabato 19 aprile 2008

Pane per i filosofi

Teorema: esistono due numeri irrazionali a e b tali che ab sia razionale.

Dimostrazione: poniamo



Possono verificarsi due casi: o ab è razionale, oppure non lo è.

Se lo è, abbiamo già dimostrato il teorema: i due numeri cercati sono proprio a e b.

Se non lo è, allora prendiamo



Se calcoliamo la potenza di base a e esponente b, otteniamo



che è razionale.

Dunque il teorema è dimostrato.

Sì, va bene, ma quali sono i due numeri a e b, allora?

Non lo so.

23 commenti:

Cassa ha detto...

b è sqrt(2) in ogni caso, no?

.mau. ha detto...

È buffo perché questa dimostrazione non è costruttiva ma quasi. Chissà cosa ne avrebbe pensato Brouwer.

professore ha detto...

@cassa: sì, uno dei due valori è noto. Ne manca uno però...

@.mau.: la trovo meravigliosa, chissà cosa ne penserebbe Hofstadter...

Ronkas ha detto...

Sì, questo teorema è affascinante, è un po' come dire...

Se esistesse uno soppiatore di monetine sarei ricco.
Le monetine le hai, ma il famoso marchinegno?

A boh, non lo so... da qualche parte, sperduto nell'Universo...


Pfft.
Questi matematici! Hanno l'incrediibile capacità di rendere tutto terribilmente freddo e banale.

professore ha detto...

Ma come freddo e banale? Essere certi del fatto che da qualche parte, nello sterminato universo, ci sono due numerini con una certa proprietà, non è romantico? :-)

Ammiraglio Vlad ha detto...

mi allappa la bocca 'sta dimostrazione.

.mau. ha detto...

credo che per Hofstadter non sia un problema, nel senso che l'esistenza di un ente senza sapere quello che sia non è poi così diverso dal gatto di Schrödinger. In compenso, almeno a me piace molto di più l'idea del teorema di Goodstein :-)

professore ha detto...

Vabbè, se tiri fuori il teorema di Goodstein, non ce n'è più per nessuno :-)

Ronkas ha detto...

Sì, volendo esser superficiali potrebbe esserlo, ma non c'è proprio assolutamente nulla di romantico in un piano irrazionale.

E scherzi a parte, una formula analitico/matematica/eccetera credo che sia una delle cose più distanti, dalla concezione di uomo, figuriamoci da un sentimento così intricato come l'Amore.

"Pignoleria" a parte, sì, da un certo punto di vista potrebbe considerarsi "romantico".

Soprattutto per il fatto che il teorema dimostra che non sono due numeri aventi la stessa proprietà, bensì due numeri con proprietà complentari che assieme producono un risultato inconcepibile dall'unione di qualsiasi altra coppia di numeri stessi.

professore ha detto...

Ossignore, pensa che Cantor vedeva Dio in una costruzione matematica.

Ronkas ha detto...

Beh, a ognuno il suo modo.
Già se lo vedeva era un buon passo, e se ciò è vero, ha tutta la mia approvazione.

giovanna ha detto...

affascinante, affascinante!
"noi possiamo dimostrare cose senza fare esempi":-)
la matematica banale??
ah no, eh!
è giusto il titolo: è filosofia!

Ronkas ha detto...

Giovanna, nessuno qui ha detto che la matematica è in se' banale (leggi meglio), dico solo che per me ha questo brutto difetto, ovvero di rendere ciò di cui tratta, banale, appunto.

Tutto è dimostrabile, visibile, paragonabile: fatto questo si perde ogni piccolo "mistero" del mondo e della vita; non so mi spiego, è una sensazione che provo difficile da rendere a parole.

professore ha detto...

Tutto è dimostrabile? Mica vero, sai? Esistono affermazioni che, forse, si riuscirà a dimostrare in futuro, ed esistono teoremi (quindi affermazioni vere) che non sono dimostrabili (e si dimostra, che non sono dimostrabili).

giovanna ha detto...

Ronkas,
no, anche il mio tono voleva essere più "leggero":-)
volendo dire: "non toccatemi la matematica!" :-)
Quanto al tutto dimostrabile, ti ha già ben risposto il prof.
Per cui, altroché perdita del mistero. Nel "mistero" sta il fascino della matematica. Pensa all'infinito, pensa alla retta che non esiste, al triangolo che non esiste, pensa appunto agli irrazionali...
all'oggetto stesso di questo post.
Si dimostra il teorema: i due numeri razionali esistono.
E' ben diverso da: fai un esempio, trova due numeri razionali tali che....
Questo per me è il fascino...!

Cristian ++ ha detto...

Scusate la domanda (sì, sì... me le vado a cercare), ma chi ci assicura ch sqrt(2)^sqrt(2) è irrazionale?
Vogliamo la dimostrazione, redatta in bella scrittura, che sqrt(2)^sqrt(2) è irrazionale.

@Professore: sì, sì è romanticissimo!

@Ronkas:
pensa che Leibniz (credo, ma potrei confondermi con qualcun'altro, forse Kronecker) aveva visto nella rappresentazione binaria dei numeri la Creazione: Dio (l'1) che creava tutto (tutti i numeri) dal nulla (0).

Cristian ++ ha detto...

Mi scuso in anticipo... non ho voglia di spammare. Ma sono tutte carine, quindi...

Certo, ci potrebbe far piacere che la funzione d, oltre a essere additiva in ogni riga, ci prepari la colazione la mattina; sfortunatamente, saremmo costretti a concludere che una tale funzione non esiste. (M. Abate)

Il buon cristiano dovrebbe stare attento ai matematici (…). C’è il pericolo che i matematici abbiano stretto un patto col diavolo per annebbiare lo spirito, e mandare l’uomo all’inferno (S. Agostino di Ippona)

La nostra difficoltà non è nelle dimostrazioni, ma nel capire che cosa dimostrare. (E. Artin)

Gli ingegneri non vivono, funzionano. (F. Bartucci)

La reputazione di un matematico dipende dal numero di dimostrazioni sbagliate che ha elaborato. (A.S. Besicovitch)

Per me questa non è algebra, ma ciò non significa che gli algebristi non possano farla. (G. Birkhoff)

Storicamente è del tutto falso – com’è ovvio – che la Matematica sia priva di contraddizioni: la non-contradditorietà sembra piuttosto un obbiettivo da raggiungere, che un regalo del cielo che ci sia stato dato una volta per tutte. (N. Bourbaki)

Gli analisti numerici sono i magütt della Matematica. (T.M. Bozzini)

Il software è dei matematici. (T.M. Bozzini)

Non ho la minima idea se la mia passione per la Matematica sia una cosa sana. Però come fai a separare la Matematica dalla musica, dalle sue strutture, dai suoi materiali? (A. Braxton)

Tutti i matematici vivono in due mondi diversi. Vivono in un mondo cristallino di forme platoniche perfette. Un palazzo di ghiaccio. Ma vivono anche nel mondo normale dove le cose sono transitorie, ambigue, soggette a vicissitudini. I matematici vanno avanti e indietro da un mondo all’altro. Sono adulti nel mondo cristallino, bambini in quello reale. (S. Cappell)

La Matematica non è un'opinione, ma i dati di un problema quasi sempre sì. (Osservazione di Coby)

Ho continuato a fare aritmetica con mio padre, superando orgogliosamente le frazioni e i decimali. Sono finalmente arrivata al punto in cui tante mucche mangiano tanta erba, e i recipienti si riempiono di acqua in tante ore. L’ho trovato avvincente. (A. Christie)

Non c’è bisogno che io impari quanto fa 8+7: basta che ricordi 8+8 e tolga 1. (T. Cuyler Young jr.)

Da sempre è il pensiero quello che conta. Chissà a che numero è arrivato. (R. D'Avino)

La radice quadrata di Giuliano Ferrara è Vittorio Sgarbi. La radice quadrata di Vittorio Sgarbi è Gigi Marzullo. La radice quadrata di Gigi Marzullo è un numero n con esponente nullo. (I. Della Mea)

La dimostrazione è un idolo davanti al quale il matematico si tortura. (A. Eddington)

Le equazioni sono importanti per me, come la politica per un presidente, anche se l'equazione è qualcosa che rimane per l'eternità. (A. Einstein)

Se le leggi della Matematica si riferiscono alla realtà non sono certe, e se sono certe, non si riferiscono alla realtà. (A. Einstein)

Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi. (P. Erdös)

Quante rette passano per due punti? Dipende da quanto sono grossi i punti. (Erfonsinghelberg)

Un esperto risolutore di problemi deve essere dotato di qualità incompatibili: un’immaginazione irrequieta e una pertinacia paziente. (H.W. Eves)

La Matematica è come il sesso: ogni tanto viene fuori qualcosa di utile, tuttavia non è quello il motivo per cui si fa. (R. Feynnman)

L’algebra non è che geometria scritta; la geometria non è che algebra figurata. (S. Germain)

La conversazione arricchisce la comprensione, ma la solitudine è la scuola del genio. (E. Gibbon)

Un matematico può dire quello che vuole, ma un fisico deve essere almeno parzialmente sano di mente. (J.W. Gibbs)

I matematici sono come i Francesi: ogni volta che dite loro una cosa, essi la traducono nel loro linguaggio e subito è qualcosa di interamente diverso. (J.W. Goethe)

Dio è la compattificazione di Alexandrov dell’Universo (A. Grothendieck)

La Matematica non è che uno stratagemma dello spirito. (D. Guedj)

Due rette parallele non s'incontrano mai, e se s'incontrano, non si salutano. (C. Guzzanti)

Archimede sarà ricordato quando Eschilo sarà dimenticato, perché le lingue muoiono ma le idee matematiche no. “Immortalità” è forse una parola ingenua ma, qualunque cosa significhi, un matematico ha le migliori probabilità di conseguirla. (G.H. Hardy)

La reductio ab absurdum, tanto amata da Euclide, è una delle più belle armi di un matematico. È un gambetto molto più raffinato di qualsiasi gambetto degli scacchi: un giocatore di scacchi può offrire in sacrificio un pedone o anche qualche altro pezzo, ma il matematico offre la partita. (G.H. Hardy)

Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono essere belle; le idee, come i colori o le parole, devono legarsi armoniosamente. La bellezza è un requisito fondamentale: al mondo non c’è un posto perenne per la Matematica brutta. (G.H. Hardy)

Un problema degno di essere attaccato si dimostra tale resistendo agli attacchi ricevuti. (P. Hein)

Chiunque sia in grado di tener testa alla Matematica non è completamente umano. Nella migliore delle ipotesi è un subumano sopportabile che ha imparato a portare le scarpe, a fare il bagno e a non sporcare in casa. (R.A. Heinlein)

… comprese tuttavia che la Matematica non aveva bisogno di essere utile: era un gioco, come gli scacchi, ma molto più divertente. (R.A. Heinlein)

La Matematica è un gioco dalle regole semplicissime, incomprensibili sulla carta. (D. Hilbert)

Che cos’è la Matematica? È ciò che piace fare ai matematici. (D.H. Hofstadter)

Di solito, il confine tra privo di interesse e interessante passa tra la coerenza fisica e la coerenza matematica. (Naturalmente, a stabilire il confine, sono i matematici e i logici, un gruppo che non è certo imparziale…) (D.H. Hofstadter)

Dio ha creato i numeri interi; tutto il resto è lavoro dell'Uomo. (L. Kronecker)

La geometria algebrica mi sembra algebra con una marcia in più. (S. Lefschetz)

La musica è l’esercizio matematico nascosto di una mente che calcola inconsciamente. (G.W. Leibniz)

Una buona eredità è meglio del più bel problema di geometria, perché rimpiazza un metodo generale e serve a risolvere un gran numero di problemi (G.W. Leibniz)

Questi matematici sono molto altezzosi. Salgono su un piedistallo da cui guardano gli altri dall’alto in basso. Il che rende molto problematici i loro rapporti con le donne. (Z. Levinson)

La medicina crea persone malate, la Matematica persone tristi e la teologia peccatori. (M. Lutero)

Due parallele si incontrano all'infinito, quando ormai non gliene frega più niente. (M. Marchesi)

Quelli che si limitano saggiamente a ciò che pare loro possibile non avanzeranno mai di un passo. (M. Martone)

La statistica è quella scienza che dimostra che se tu hai due mucche e io nessuna, allora ognuno di noi due ha una mucca. (M. Mihura)

È bello solo ciò che è vero (H. Minkowski)

La musica è il suono della Matematica. (L.C. Mitzler)

Geometria: la distanza più breve tra due punti è la metropolitana. (G. Nebiolo)

In Matematica tu non capisci le cose. Puoi appena appena servirti di loro. (J. von Neumann)

Solitamente i matematici devono fucilare qualcuno per avere così tanta pubblicità. (T.R. Nicely, riguardo alle attenzioni che ricevette dopo aver trovato un difetto nel processore Pentium Intel nel 1994)

Gli artisti e gli umanisti abbracciano la complessità e l’ambiguità. I matematici, al contrario, lavorano definendo ossessivamente i termini e ripulendoli dai significati estranei. L’insistenza quasi nevrotica sul fatto che ogni cosa dev’essere definita e dimostrata ci permette, in ultima analisi, di immaginare l’inimmaginabile e di parlarne. La maggior parte delle persone, traumatizzate dall’incontro scolastico con la matematica, sanno fin troppo bene che tale materia è la più meticolosa e la più severa delle discipline, ma poche di loro si rendono conto che è anche la più liberatoria e la più immaginativa di tutte le attività umane. L’assoluta precisione ci permette di acquisire la libertà di sognare in modo significativo. (D. O’Shea)

La Matematica (…) è una delle attività caratteristiche dell’uomo, un’attività che ci rende più pienamente umani e che, nel far questo, ci porta a trascendere noi stessi. (D. O’Shea)

Le opere divulgative pongono spesso l’accento sull’ossessione della Matematica per la certezza, per le dimostrazioni. E spesso gli stessi matematici raccontano barzellette che prendono in giro questa insistenza sulla precisione. (D. O’Shea)

Penso che al non iniziato le formule appariranno fredde e squallide (B. Pierce)

Non ho mai conosciuto un matematico che sapesse ragionare. (Platone)

La Matematica consiste nel dimostrare le cose più ovvie nella maniera meno ovvia. (G. Polya)

La Matematica è la sola scienza esatta in cui non si sa mai di cosa si sta parlando, né se quello che si dice è vero. (B. Russell)

La Matematica, rettamente concepita, non possiede soltanto la verità, ma la suprema beltà, beltà fredda ed austera come quella della scultura, senza ricorsi alle debolezze della nostra natura, senza i fastosi ornamenti della pittura o della musica, ma d'una purezza sublime e capace d’una severa perfezione, quale l'arte più elevata può raggiungere. (B. Russell)

Rispetto a un onesto lavoro, il metodo assiomatico ha molti vantaggi (B. Russell)

Nel regno della Matematica pura, nella teoria dei numeri in particolare, la mente mortale gioca. Impone a sé stessa regole e costrizioni estremamente rigorose; eppure conosce una libertà, un'astensione dai compromessi normalmente concesse soltanto agli dei. Questo spiega l'intuizione attribuita dalla leggenda a Pitagora, secondo la quale la mente umana "fa musica" quando si impegna nella Matematica pura, o le identificazioni proposte da Aristotele fra la Matematica e il divino. (J. Steiner)

Frazione, s.f.: Numero a due piani. (Topolino)

L'aritmetica è la capacità di contare fino a venti senza togliersi le scarpe. (Topolino)

Per una tipica deformazione professionale dei matematici, ho adottato un punto di vista troppo ristretto. (J.L. Verdier)

Di tutte le scienze la più assurda, la più capace di soffocare ogni specie di genio, è la geometria. Questa scienza ridicola ha come oggetto superfici, linee, punti che non esistono in natura. La geometria è solo uno scherzo di cattivo gusto. (Voltaire)

Di questi tempi l’angelo della topologia e il demone dell’algebra lottano per l’anima di ogni singola disciplina della Matematica (H. Weyl)

La curva è la più graziosa distanza tra due punti. (M. West)

I numeri non sono fondamentali per la Matematica. (L. Wittgenstein)

Le persone si dividono in 10 categorie: quelli che non hanno problemi con le differenti basi numeriche, e gli altri… (Wowbagger)

Il tragitto più corto fra un punto e un altro è di non andarci. (Dr. Zap)

Aiutando la geometria, l’algebra moderna aiuta innanzitutto se stessa (O. Zariski)

Gli ingegneri amano risolvere i problemi. Se non ci sono problemi. (Anonimo)

La Geometria è l’arte di trarre conclusioni corrette basate su disegni sbagliati. (Anonimo)

La Matematica paga tutti con la stessa moneta. (Anonimo)

Per i fisici 30 x 30 fa 1000. (Anonimo)

L'ossigeno è un gas incolore, inodore, insapore. (dispense di chimica per ingegneria)
Per un punto passano un numero infinito di rette... figuriamoci quante rette passano per 2 punti! (Anonimo)

professore ha detto...

@cristian: non hai letto bene la dimostrazione: da nessuna parte c'è scritto che \sqrt2^\sqrt2 è razionale. Non c'è nemmeno scritto che è irrazionale. Comunque una delle due possibilità è quella giusta :-)

Cristian ++ ha detto...

@Professore:
E' vero, avevo letto male :P. chiedo venia!
Davvero bello!

Anonimo ha detto...

Scusate la mia ignoranza, ma sqrt(2)^sqrt(2) esiste?

Perché se non esistesse, inutile discutere se sia rqazionale o irrazionale e il teorema non funzionerebbe.

professore ha detto...

Certo che esiste.

Anonimo ha detto...

Ma non bastava prendere a=numero di Nepero, b=logaritmo naturale di 2.
Sono irrazionali (in realtà, trascendenti) e a^b=2.

Marco Panino ha detto...

@Cristian++
Durante una lezione di analisi I è uscita "2 + 2 = 5, per valori sufficientemente grandi di 2"