Irrazionalità

Premessa: i numeri irrazionali sono sempre stati un po' fastidiosi, da quando Pitagora è andato in crisi dopo averne scoperto l'esistenza (qui .mau. dimostra che la radice di due è irrazionale). Non si possono scrivere come rapporto di numeri interi, la loro espansione decimale è infinita e non periodica, serve una quantità infinita di memoria per contenerli. Insomma, sono una scocciatura, eppure esistono, e con essi si possono fare calcoli.

Ci si è chiesti se il carattere di irrazionalità si trasmette oppure no applicando le operazioni elementari. Per esempio, la somma di due numeri irrazionali è irrazionale oppure no? La risposta è: dipende dai numeri. Per esempio, la somma dei due seguenti numeri irrazionali è irrazionale:



mentre la somma dei seguenti è razionale:



Anche per quanto riguarda il prodotto esistono due numeri irrazionali che, moltiplicati tra loro, danno un risultato irrazionale:



così come esistono due numeri irrazionali che, moltiplicati tra loro, danno un risultato razionale:



E per la potenza, si chiedono i matematici, come funziona la cosa? Esistono due numeri a e b irrazionali tali che a^b sia razionale?

Certo, rispondono.

Ah, potete farci un esempio?

Non importa.

Come non importa?

Noi possiamo dimostrare cose anche senza fare esempi.

Eh?