giovedì 15 gennaio 2009

Soldati - Una dimostrazione alternativa

“Se ben ricordo, hai parlato di Achille e la Tartaruga perché avevi detto che esiste un'altro modo di dimostrare che, nel gioco dei soldati, non si può arrivare alla quinta casella”.

“Esatto, un modo che richiede la conoscenza delle serie geometriche”.

“E come funziona?”.

“Prima di tutto dobbiamo utilizzare un numero particolare, la sezione aurea”.

“Ne ho già sentito parlare...”.

“Molto bene. Noi utilizzeremo questo valore: (√5 -1)/2, che indichiamo con φ, e con le sue potenze riempiremo la nostra scacchiera, così:”.


“Uhm, e adesso?”.

“Per prima cosa ci ricordiamo della definizione di φ: è una delle soluzioni dell'equazione x2 + x - 1 = 0, che potremmo scrivere come x2 + x = 1”.

“Va bene”.

“Il fatto che φ sia soluzione significa che possiamo sostituirlo alla x, e otteniamo la formula φ2 + φ = 1”.

“Ok”.

“Ora ragioniamo come abbiamo fatto quando abbiamo usato i numeri di Fibonacci. Che succede se sposto un soldato verso l'alto?”.

“Ci provo. Allora, per spostare un soldato verso l'alto devi avere due caselle occupate, per esempio φ9 e φ8. Queste le cancelli e riempi invece φ7. Adesso?”.

“Adesso calcoli la differenza tra prima e dopo”.

“Dovrebbe essere φ9 + φ8 - φ7. E quanto fa?”.

“Prova a scriverla così: φ72 + φ - 1)”.

“Ah! Nella parentesi vedo l'espressione φ2 + φ, che è uguale a 1. Quindi dentro alla parentesi c'è uno zero, e allora tutto vale zero!”.

“Bene. Se invece ci muoviamo verso il basso?”.

“Se ci muoviamo verso il basso devo passare da φ7 + φ8 a φ9, tanto per fare un esempio”.

“E quindi la differenza è?”.

“La differenza tra prima e dopo sarà φ7 + φ8 - φ9”.

“Che puoi scrivere come φ7(1 + φ - φ2). Dato che φ è circa uguale a 0.6, la quantità tra parentesi sarà sempre maggiore di zero”.

“Questo significa che se mi muovo verso il basso, la somma dei valori nelle caselle occupate diminuisce”.

“Perfetto. Ora parliamo dei movimenti verso destra e verso sinistra”.

“Bè, possiamo farla un po' più breve: o mi trovo di fronte a una sequenza di potenze decrescenti, come quando mi sposto verso l'alto, e in questo caso il totale dei valori nelle caselle rimane invariato, oppure mi trovo di fronte a una sequenza di potenze crescenti, come quando mi sposto verso il basso, e in questo caso il totale diminuisce”.

“Giusto. Rimarrebbe il caso particolare in cui devi attraversare la colonna centrale: per esempio, quando passi da φ7 + φ6 a φ7”.

“Bè, in quel caso il valore diminuisce”.

“Bene. Ora osserviamo che, dato che la somma totale nei movimenti può rimanere costante oppure diminuire, per poter fare arrivare un soldato nella casella con valore 1, bisogna che la somma totale sia maggiore o uguale a 1”.

“Va bene. Quanto è allora il valore totale delle caselle occupate dai nostri soldati?”.

“Dobbiamo calcolarla. Immagina che la prima riga, quella appena sotto alla linea blu, sia infinitamente estesa, sia a destra che a sinistra”.

“Vedo che abbiamo un φ5 centrale, e poi sia a destra che a sinistra si estende una successione di φ6, φ7, eccetera”.

“Giusto. Prova a calcolare la somma di φ6 + φ7 + ...”.

“Come faccio?”.

“Scrivila così:”.

φ6(1 + φ + φ2 + φ3 + ...)

“Ah, ora tra parentesi ho la serie geometrica, la cui somma è 1/(1 - φ). Allora risulta φ6/(1 - φ)”.

“Ricordati che φ è soluzione di x2 + x - 1 = 0, che potremmo scrivere così, questa volta: x2 = 1 - x”.

“E quindi φ2 = 1 - φ. Ah, ma allora φ6/(1 - φ) = φ4”.

“Giusto. Ora ricordati che hai un'altra serie come questa che va verso sinistra, e hai un φ5 centrale”.

“Va bene. Allora la prima riga ha come somma φ5 + 2φ4”.

“Adesso ti faccio fare un po' di passaggi: ricordati sempre che φ2 + φ = 1”.

“Ok, sono pronto”.

“Scriviamo l'espressione che hai ottenuto come φ5 + φ4 + φ4, e poi raccogliamo φ3 tra i primi due termini”.

“Va bene, mi viene φ32 + φ) + φ4”.

“Dato che φ2 + φ = 1, puoi semplificare”.

“Giusto, viene φ3 + φ4”.

“Questa volta raccogli φ2”.

“Uhm, risulta φ2(φ + φ2), e dato che la parentesi vale 1, ottengo finalmente φ2”.

“Perfetto. Riassumendo, la somma dei valori della prima riga, che ha come elemento centrale φ5, è φ2”.

“Posso generalizzare?”.

“Certo, i calcoli per le altre righe sono identici, hai solo una potenza in più”.

“Allora il totale della seconda riga, quella con elemento centrale φ6, sarà φ3”.

“Certo, e poi avrai φ4, φ5, e così via. Ora immagina di sommare tutte le righe, andando via via verso il basso”.

“Uh, bello, una doppia serie geometrica... Allora, devo calcolare questa somma:”.

φ2 + φ3 + φ4 + ...

“E quanto fa?”.

“Se raccolgo φ2, ottengo φ2(1 + φ + φ2 + φ3 + ...)”.

“Hai un'altra serie geometrica tra parentesi”.

“Vedo, quindi il risultato è φ2/(1 - φ). Un momento, dato che φ2 è uguale a 1 - φ, ottengo 1”.

“Giusto. Quindi?”.

“Quindi se avessi infiniti soldati, il valore sarebbe quello giusto per poter arrivare fino alla quinta riga. Se ne ho a disposizione un numero finito, invece, la somma totale non raggiungerà mai 1, e quindi i soldati non arriveranno mai alla quinta riga. Wow”.

“E tutto questo grazie alle proprietà della sezione aurea, o dei numeri di Fibonacci”.

7 commenti:

.mau. ha detto...

dal mio punto di vista, la soluzione con Fibonacci è una discretizzazione di questa.

zar ha detto...

Sì, esatto. Questa è probabilmente la tesi del famoso articolo di Aigner...

giovanna ha detto...

zar,
per ora ho letto (attentamente)solo metà. Interessante!
... perché ho appena finito di preparare una "costruzione" carina!:-)
Ti invito a vederla (così mi controlli anche il LaTex, che per me tarda a caricare!)... perché mi è piaciuta molto! :-))
(oh, nel senso che "ci ho preso gusto"!)
grazie,
g

zar ha detto...

giovanna: bella la costruzione! Il LaTeX mi pare funzionare bene, anche se a me viene un po' freddo quando vedo "infinito" senza segno davanti :-)

giovanna ha detto...

ah!
vabbé, vado a mettere +infinito!:-)
Senza segno?
ho letto velocemente di "intorno dell'infinito" ma non so molto! Se ci facevi un post.... :-)
grazie zar!

zar ha detto...

Uhm, a volte si usa il concetto di "intorno di infinito", per indicare che un numero diventa sempre più grande in valore assoluto. Nel tuo caso non va bene, perché se n tende a +infinito allora anche 2^n tende a +infinito, mentre se n tende a -infinito allora 2^n tende a zero.

giovanna ha detto...

Bene.
ciò che è più preciso è più preciso!
grazie,
g